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シラクサのアルキメデス[ a ]（/ ˌɑːrkɪˈmiːdiːz / AR - kih - MEE - deez、紀元前287年頃-紀元前212年頃）は、シチリア島のシラクサ出身の古代ギリシアの数学者、物理学者、技術者、天文学者、発明家でした。彼の生涯の詳細はほとんど知られていませんが、現存する著作に基づいて、彼は古典古代における主要な科学者の一人であり、史上最も偉大な数学者の一人であると考えられています。アルキメデスは、無限小の概念と網羅法を適用して、円の面積、球の表面積と体積、楕円の面積、放物線の下の面積、回転放物面のセグメントの体積、回転双曲面のセグメントの体積、螺旋の面積など、多くの幾何学的定理を導き出し、厳密に証明することで、現代の微積分と解析学を先取りしました。
アルキメデスのその他の数学的業績には、円周率 ( π )の近似値の導出、アルキメデス螺旋の定義と研究、非常に大きな数を表現するための指数法を用いたシステムの考案などがある。彼はまた、静力学と流体静力学の研究を通して、物理現象に数学を応用した最初の人物の一人でもある。この分野におけるアルキメデスの業績には、てこの法則の証明、重心の概念の普及、アルキメデスの原理として知られる浮力の法則の提唱などがある。天文学においては、太陽の見かけの直径と宇宙の大きさを測定した。また、既知の天体の動きを示すプラネタリウム装置を製作したとも言われており、アンティキティラ島の機械の先駆けであった可能性もある。さらに、スクリューポンプ、複合滑車、故郷シラクサを侵略から守るための防御兵器など、革新的な機械を設計したことでも知られている。
アルキメデスはシラクサ包囲戦中に、危害を加えてはならないという命令にもかかわらず、ローマ兵によって殺害され亡くなった。キケロはアルキメデスの墓を訪れた時のことを記している。墓の上には、アルキメデスが自身の最も価値ある数学的発見を象徴するために設置を依頼した球体と円筒が置かれていた。
アルキメデスの発明とは異なり、彼の数学に関する著作は古代にはほとんど知られていなかった。アレクサンドリアの数学者たちは彼の著作を読み、引用していたが、最初の包括的な編纂は、紀元530 年頃にビザンツ帝国のコンスタンティノープルでミレトスのイシドロスによって行われた。一方、同じ世紀にエウトキオスがアルキメデスの著作に注釈を加えたことで、初めてより多くの読者に知られるようになった。中世には、アルキメデスの著作は9世紀にアラビア語に、そして12世紀にラテン語に翻訳され、ルネサンス期や科学革命期の科学者たちにとって影響力のある思想源となった。1906年にアルキメデスのパリンプセストから彼の著作が発見されたことで、彼がどのようにして数学的な成果を得たのかについて新たな知見が得られた。
アルキメデスの生涯の詳細は不明瞭である。エウトキオスが言及したアルキメデスの伝記は、彼の友人ヘラクリデス・レンブスによって書かれたとされているが、この著作は失われており、現代の学問ではそもそもヘラクリデスによって書かれたものかどうか疑問視されている。[ 1 ]
ビザンツのギリシャ人学者ヨハネス・ツェツェスの記述によれば、アルキメデスは紀元前212年に亡くなるまで75年間生きたとされており、アルキメデスは紀元前287年頃、当時マグナ・グラエキアの自治植民地であったシチリア島の港湾都市シラクサで 生まれたと推定されている。砂計算書の中で、アルキメデスは父の名前を天文学者のフィディアスとしているが、フィディアスについては他に何も知られていない。プルタルコスは『対比列伝』 [ 2 ]で、アルキメデスはシラクサの支配者であったヒエロ2世王と親戚関係にあったと記しているが、キケロとシリウス・イタリクスはアルキメデスは庶民の出身であったと示唆している[ 3 ] 。また、アルキメデスが結婚したか、子供がいたか、あるいは若い頃にエジプトのアレクサンドリアを訪れたことがあるかどうかも不明である。 [ 4 ]アレクサンドリアの天文学者サモスのコノンの弟子であるペルシウムのドシテウスとキュレネの図書館長エラトステネスに宛てた現存する著作からは、彼がそこに拠点を置く学者たちと親しい関係を維持していたことがうかがえる。[ 5 ]ドシテウスに宛てた『螺旋について』の序文で、アルキメデスは「コノンの死から長い年月が経った」と述べている。サモスのコノンは紀元前280年頃から220年頃に生きていたことから、アルキメデスは著作の一部を執筆した当時、高齢であった可能性が示唆される。[ 6 ]
アルキメデスがヒエロ2世に仕えて解決したとされるもう一つの問題は、 「花冠問題」である。[ 7 ]アルキメデスの死後約2世紀後にウィトルウィウスが書いたところによると、シラクサのヒエロ 2世は不死の神々の神殿のために金の花冠を注文し、金細工師に純金を提供した。[ 8 ]しかし、王は金細工師が安価な銀を混ぜて純金の一部を自分のものにしたのではないかと疑い始め、金細工師に自白させることができなかったため、アルキメデスに調査を依頼した。[ 9 ]その後、アルキメデスは浴槽に入ったとき、浴槽に深く沈むほど水位が上がることに気づき、この効果を使って金の冠の体積を測定できることに気づいて興奮し、服を着るのを忘れて裸で街に出て「エウレカ！」[ b ]「見つけた！」と叫んだという。[ 9 ]ウィトルウィウスによれば、アルキメデスは金塊と銀塊をそれぞれ花輪と同じ重さにして用意し、浴槽に入れて実験したところ、花輪は金よりも多くの水を押し出し、銀よりも少ない水を押し出すことが分かり、花輪は金と銀の混合物であることが証明された。[ 9 ]
重さと測定に関する匿名の 5 世紀のラテン語の教訓詩で、かつて文法学者プリスキアヌスに帰せられていた『カルメン・デ・ポンデリブス』[ 10 ]には、別の説明が記されている。この詩では、金と銀の塊が天秤の秤の上に置かれ、装置全体が水に浸される。金と銀、または金と王冠の密度の違いにより、秤はそれに応じて傾く。[ 11 ]ウィトルウィウスによるより有名な浴槽の説明とは異なり、この詩の説明では、流体に浸された物体は、それが押しのける流体の重さに等しい浮力を受けるという、現在アルキメデスの原理として知られる静水力学の原理が、彼の論文『浮体について』に見られる。 [ 12 ] 1586年にアルキメデスの研究に触発されて静水圧天秤を発明したガリレオ・ガリレイは、「この方法は非常に正確であるだけでなく、アルキメデス自身が発見した実証に基づいているため、アルキメデスが用いた方法と同じである可能性が高い」と考えた。[ 13 ]
アルキメデスの工学における業績の大部分は、おそらく彼の故郷であるシラクサ市のニーズを満たすことから生じたものと思われる。[ 14 ]ナウクラティスのアテナイオスは『食卓の賢人たち』の中で、あるモスキオンの記述を引用し、ヒエロ2世が古代において建造された最大の船とされる巨大な船シラクシア号の設計を依頼した経緯を述べている。モスキオンの記述によれば、この船はアルキメデスによって進水されたという。[ 15 ]プルタルコスはやや異なる記述をしている。 [ 16 ]アルキメデスがヒエロに、どんな大きな重量でも動かすことができると自慢したところ、ヒエロが船を動かしてみるように彼に挑戦したという。[ 17 ]これらの記述には、歴史的にあり得ない多くの驚くべき詳細が含まれており、これらの物語の著者は、この作業がどのように達成されたかについて相反する考えを示しています。[ 17 ]プルタルコスは、アルキメデスが滑車装置を構築したと述べていますが、アレクサンドリアのヘロンは、同じ自慢をアルキメデスの発明であるバロウコス（一種の巻き上げ機）に帰しています。[ 18 ]アレクサンドリアのパップスは、代わりにこの偉業をアルキメデスの機械的利点の使用[ 17 ]、つまり、そうでなければ重すぎて動かせない物体を持ち上げるてこの原理の使用に帰し、彼に「私に立つ場所を与えてくれれば、地球を動かしてみせる」というよく引用される言葉を帰しています。[ c ] [ 19 ]
アテナイオスは、おそらくヘロンのバルルコスの記述の詳細を歪曲して[ 20 ] 、アルキメデスがシラクシア号の船体から漏れる可能性のある水を取り除くために「スクリュー」を使用したとも述べている。この装置はアルキメデスのスクリューと呼ばれることもあるが、おそらく彼よりもかなり前に発明されており、その使用について記述している彼の最も近しい同時代人（ビザンティウムのフィロン、ストラボン、ウィトルウィウス）の誰も、その使用を彼に帰していない[ 17 ] 。
アルキメデスが古代に得た最大の名声は、シラクサ包囲戦でローマ人から都市を守ったことによるものである。[ 21 ]プルタルコスによれば、[ 22 ]アルキメデスはヒエロ2世のために戦争兵器を建造したが、ヒエロの存命中はそれらを使用する機会を与えられなかった。しかし、紀元前214年、第二次ポエニ戦争中にシラクサがローマからカルタゴに忠誠を移した際、マルクス・クラウディウス・マルケッルス率いるローマ軍が都市を奪取しようとした際、アルキメデスは都市防衛のためにこれらの戦争兵器の使用を自ら監督し、ローマ軍の進軍を大幅に遅らせたとされている。ローマ軍は長い包囲戦の末にようやく都市を占領することができた。[ 23 ]プルタルコス、リウィウス、ポリュビオスの3人の歴史家がこれらの戦争兵器について証言しており、改良されたカタパルト、ローマ船に重い鉛の塊を落とすクレーン、または鉄の爪を使って船を水から持ち上げて再び水中に落として沈める装置について述べている。[ d ] [ 25 ]
3つの初期の記述（プルタルコス、ポリュビオス、リウィウス）には見られない、はるかにありそうもない記述では、アルキメデスが「燃える鏡」を使って太陽光線を攻撃してくるローマの船に集め、火をつけたとされている。[ 21 ]船が火をつけられたことに言及した最古の記述は、西暦2世紀の風刺作家サモサタのルキアノスによるもので、[ 26 ]鏡については言及しておらず、船が人工的な手段で火をつけられたとだけ述べている。これは、燃える投射物が使用されたことを示唆している可能性がある。[ 21 ]鏡について言及した最初の著者は、同じ世紀の後半に書いたガレノスである。 [ 27 ]ルキアノスとガレノスから約400年後、アンテミウスは懐疑的であったにもかかわらず、アルキメデスの仮説的な反射鏡の幾何学を再構築しようとした。[ 28 ] [ 29 ] 「アルキメデスの熱線」とも呼ばれるこの装置は、ルネサンス以来、その信憑性について議論が続いてきた。[ 30 ]ルネ・デカルトはこれを偽物として否定したが、[ 31 ]現代の研究者はアルキメデスが利用できたであろう手段のみを用いてその効果を再現しようと試み、結果はまちまちであった。[ 32 ]
シラクサがローマに陥落した後の略奪の際にアルキメデスが亡くなったことについては、いくつかの異なる記述がある。[ 33 ]リウィウスによる最も古い記述[ 34 ]では、アルキメデスが塵の上に図形を描いている最中に、アルキメデスだと知らなかったローマ兵に殺されたとされている。プルタルコスによれば[ 35 ]、兵士はアルキメデスに同行するよう要求したが、アルキメデスは問題の作業を終えなければならないと言って拒否し、兵士は剣でアルキメデスを殺した。プルタルコスによる別の話では、アルキメデスは数学の道具を携えていたところを、兵士がそれを貴重品だと勘違いして殺されたとされている。[ 33 ]もう一人のローマの著述家、ヴァレリウス・マクシムス（紀元30年頃活躍）は、『記憶に残る行いと言葉』の中で、兵士がアルキメデスを殺害する際の彼の最後の言葉は「…しかし、両手で塵を守りながら、『お願いですから、これを乱さないでください』と言った」と記している。これは、現在一般的に彼に帰せられている最後の言葉「私の円を乱さないでください」と似ているが、この言葉は古代の文献には見当たらない。[ 33 ]
マルケルスはアルキメデスの死に激怒したと言われている。彼はアルキメデスを貴重な科学的財産と考えており（彼はアルキメデスを「幾何学のブリアレウス」と呼んだ）、彼に危害を加えてはならないと命じていたからだ。[ 36 ] [ 37 ]キケロ（紀元前106～43年）は、マルケルスがアルキメデスが作った2つのプラネタリウムをローマに持ち込んだと述べている。[ 38 ]これらはアルキメデスが作ったもので、太陽、月、5つの惑星の動きを示していた。そのうちの1つはローマの徳の神殿に寄贈され、もう1つはシラクサからの唯一の個人的な戦利品として保管されたと言われている。[ 39 ]アレクサンドリアのパップスは、アルキメデスの失われた論文「球体製作について」について報告しており、これはこれらの機構の製作について扱っていた可能性がある。[ 25 ]このような機構を製作するには、高度な差動歯車の知識が必要だっただろうが、それはかつて古代の技術の範囲を超えていると考えられていた。しかし、1902年に発見されたアンティキティラ機構（紀元前100年頃に作られた、同様の目的で設計された別の装置）により、このような装置が古代ギリシャ人に知られていたことが確認された。[ 40 ]一部の学者はアルキメデスの装置を先駆者とみなしている。[ 41 ] [ 42 ]
シチリアで財務官を務めていたキケロは、シラクサのアグリジェンティヌス門近くで、荒れ果てて茂みに覆われたアルキメデスの墓と思われるものを発見した。キケロは墓を清掃させ、彫刻を見たり、碑文として追加された詩句の一部を読むことができた。墓には、球の体積と表面積は、底面を含む円柱の体積と表面積の3分の2であるという、アルキメデスのお気に入りの数学的証明を示す彫刻があった。[ 43 ]
アルキメデスは機械装置の設計者としてよく知られているが、先人たちの技術を応用して新たな成果を得ること、そして独自の新しい方法を開発することの両面において、数学の分野にも貢献した。
アルキメデスは『放物線の求積』の中で、円の面積が直径に比例することを示すユークリッド原論のある命題は、現在「2つの異なる領域のうち大きい方が小さい方を上回る余りをそれ自身に加えると、任意の与えられた境界領域を超えることができる」というアルキメデスの性質として知られる補題を用いて証明されたと述べている。アルキメデス以前には、クニドスのエウドクソスや他の初期の数学者たち[ e ]が、現在「尽くし法」と呼ばれるこの補題を応用して、正四面体、円柱、円錐、球の体積を求めており、その証明はユークリッド原論第12巻に記載されている。[ 44 ]
アルキメデスは『円の測定』の中で、この方法を用いて、円の面積は底辺と高さが半径と円周に等しい直角三角形の面積と同じであることを示した。[ 45 ]彼は次に、円の外側に大きな正六角形を描き、次に円の内側に小さな正六角形を描き、各正多角形の辺の数を段階的に2倍にして、各段階で各多角形の辺の長さを計算することによって、半径と円周の比、つまりπの値を近似した。辺の数が増えるにつれて、円のより正確な近似となる。このような手順を4回繰り返した後、多角形の辺がそれぞれ96になったとき、彼はπの値が3 1/7 (約3.1429) と 3 10/71 (約3.1408) の間にあることを決定することができた。これは、実際の値である約3.1416と一致している。[ 46 ]同じ論文の中で、彼はまた、 3の平方根の値は265/153（約1.7320261）と1351/780（約1.7320512）の間にあると主張しており、これは同様の方法で導き出された可能性がある。[ 47 ]
アルキメデスは『放物線の求積法』において、この手法を用いて、放物線と直線で囲まれた面積が、右図に示す対応する内接三角形の面積の 4/3倍であることを証明し、この問題の解を公比1/4 の無限等比級数として表現した。 [ 48 ]
この級数の最初の項が三角形の面積である場合、2 番目の項は、底辺が 2 つの短い割線である 2 つの三角形の面積の合計であり、3 番目の頂点は放物線の軸に平行で底辺の中点を通る直線が放物線と交わる点である、などとなります。この証明では、合計が 1/3 になる級数 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · の変形を使用しています。
彼はまた、この技術を用いて球と円錐の表面積を測定したり[ 49 ] 、楕円の面積を計算したり[ 50 ] 、アルキメデス螺旋の内側の面積を求めたりした[ 51 ] [ 45 ]。
なぜなら、調査対象となっている事柄について、何らかの方法で既に知識を得ている方が、何も知らないまま調査するよりも、証拠を提示する方がはるかに現実的だからである。
—アルキメデス、『力学的定理の方法』[ 52 ]
アルキメデスは、以前の数学者たちの業績を精算法で発展させたことに加えて、物理的な手段を用いて図形の面積と体積を測定するためにてこの法則を用いた新しい技術も開拓しました。彼はまず『放物線の求積』で幾何学的証明と並んでこの証明の概要を示しましたが、『機械的定理の方法』でより詳細な説明をしています。[ 48 ]アルキメデスによれば、彼はまずこの方法を用いて数学論文の結果を証明し、その後逆算して、答えの近似値を計算した後にのみ精算法を適用したとのことです。[ 53 ]
アルキメデスはまた、大きな数を表す方法も開発した。
『砂の計算』の中で、アルキメデスは宇宙を満たすのに必要な砂粒の数よりも大きな数を計算するために、ギリシャ語で1万を意味する「ミリアド」[f]に基づいた計数システムを考案しました。彼はミリアドの累乗（1億、つまり1万×1万）を用いた数体系を提案し、宇宙を満たすのに必要な砂粒の数は8ヴィギンティリオン、つまり8 × 10⁹であると結論付けました。63. [ 54 ]そうすることで、彼は数学が任意の大きな数を表現できることを示した。
「牛の問題」において、アルキメデスはアレクサンドリア図書館の数学者たちに、太陽の群れの牛の数を数えるよう挑戦した。これは、複数のディオファントス方程式を連立して解くことを必要とする。この問題のより難しいバージョンでは、答えの一部が平方数である必要があり、答えは非常に大きな数、およそ 7.760271 × 10となる。206 544 . [ 55 ]
アレクサンドリアのパップスが記述した失われた著作の中で、アルキメデスは半正多面体がちょうど13個存在することを証明した。[ 56 ]
アルキメデスは、アレクサンドリアの数学者たちとの書簡を通じて自身の業績を世に知らしめた[ 57 ]。これらの書簡は元々、古代シラクサの方言であるドーリア語ギリシャ語で書かれていた[ 58 ] 。
以下は、Knorr (1978) と Sato (1986) によって設定された新しい用語と歴史的基準に基づいて時系列順に並べられています。[ 59 ] [ 60 ]
これは3つの命題からなる短い著作である。サモスのコノンの弟子であったペルシウムのドシテウスとの書簡の形式で書かれている。命題IIでは、アルキメデスは円周率πの値の近似値を示し、それが223/71（3.1408...）より大きく、22 / 7 （3.1428 ...）より小さいことを示している。
『砂の法則』としても知られるこの論文の中で、アルキメデスは宇宙を満たすのに必要な砂粒の数よりも大きな数を発見した。この書物には、サモスのアリスタルコスが提唱した太陽系の地動説、地球の大きさや様々な天体間の距離に関する当時の考え方、そして太陽の見かけの直径を測定しようとする試みが記されている。[ 61 ] [ 62 ]万物の累乗に基づく数体系を用いて、アルキメデスは宇宙を満たすのに必要な砂粒の数は 8 × 10であると結論づけた。現代の表記では63である。序文には、アルキメデスの父はフィディアスという名の天文学者であったと記されている。砂計算書は、アルキメデスが天文学に関する見解を論じた唯一現存する著作である。 [ 63 ]
アルキメデスは『砂の計算』の中で、地球、太陽、月の天文学的測定と、アリスタルコスの太陽中心説について論じている。[ 64 ]アルキメデスは三角法や弦表を用いることなく、まず観測に用いた手順と器具（杭や溝のあるまっすぐな棒）を説明し、[ 65 ]これらの測定値に補正係数を適用し、最後に観測誤差を考慮した上限値と下限値の形で結果を示すことで、太陽の見かけの直径を決定している。[ 66 ]
プトレマイオスはヒッパルコスを引用して、アルマゲストの中でアルキメデスの夏至観測についても言及している。これにより、アルキメデスは連続する年に複数回の夏至の日付と時刻を記録したことが知られている最初のギリシャ人となるだろう。[ 4 ]
『平面の平衡について』は2巻からなり、第1巻には7つの公準と15の命題が、第2巻には10の命題が含まれている。第1巻では、アルキメデスはてこの法則[ 67 ]を証明しており、それは次のように述べている。
物体の大きさは、その重さに反比例する距離において平衡状態にある。
てこの原理に関する初期の記述は、ユークリッドの著作や、アリストテレスの弟子である逍遥学派に属する『力学の問題』に見られる。後者の著者はアルキタスであるとする説もある。[ 68 ]
アルキメデスは、導き出された原理を用いて、三角形、平行四辺形、放物線などの様々な幾何学的図形の面積と重心を計算した。[ 69 ]
ドシテウスに宛てたこの24の命題からなる著作の中で、アルキメデスは2つの方法で、放物線と直線で囲まれた面積が底辺と高さが等しい三角形の面積の4/3であることを証明している。彼は2つの異なる方法でこれを実現している。1つ目はてこの法則を適用すること、2つ目は比が1/4で無限に和をとる等比級数の値を計算することである。[ 70 ]
ドシテウスに宛てたこの2巻の論文で、アルキメデスは彼が最も誇りに思っていた結果、すなわち球と、同じ高さと直径を持つ外接円柱の関係を得ました。体積は球の場合4 / 3πr³ 、円柱の場合2πr³です。表面積は球の場合4πr²、円柱（2つの底面を含む）の場合6πr²です。ここでrは球と円柱の半径です。[ 71 ] [ 72 ]
この28の命題からなる著作は、ドシテウスにも宛てられている。この論文は、現在アルキメデス螺旋と呼ばれるものを定義している。[ 73 ]これは、一定の角速度で回転する線に沿って一定の速度で固定点から遠ざかる点の、時間経過に伴う位置に対応する点の軌跡である。同様に、現代の極座標( r , θ )では、次の式で表すことができる。実数aとbを用いて。[ 74 ]
これは、ギリシャの数学者が考察した、機械曲線（移動する点によって描かれる曲線）の初期の例である。
これはドシテウス宛ての32の命題からなる著作である。この論文の中でアルキメデスは円錐、球、放物面の断面の面積と体積を計算している。 [ 75 ] [ 76 ]
『浮体論』は2巻あります。第1巻では、アルキメデスは流体の平衡法則を詳述し、水は重心を中心に球形になることを証明しています。[ 77 ]
この著作では、アルキメデスの浮力の原理が次のように述べられている。 [ 78 ]
流体中に完全にまたは部分的に浸された物体は、押し出された流体の重さに等しいが、方向が逆の浮力を受ける。
第2部では、放物面の断面の平衡位置を計算している。これはおそらく船体の形状を理想化したものだろう。彼の断面の中には、氷山が浮かぶように、底辺が水面下にあって頂上が水面上に浮くものもある。[ 79 ]
アルキメデスのロクルスまたはアルキメデスの箱としても知られるこのパズルは、タングラムに似た分割パズルであり、それを記述した論文はアルキメデスのパリンプセストに完全な形で発見された。アルキメデスは、正方形を形成するように組み立てることができる14個のピースの面積を計算した。スタンフォード大学のレヴィエル・ネッツは2003年に、アルキメデスはピースを正方形の形に組み立てる方法がいくつあるかを決定しようとしていたと主張した。ネッツは、ピースを正方形にする方法は17,152通りあると計算した。[ 81 ]回転と反射によって等価な解を除外すると、配置の数は536になる。[ 82 ]このパズルは、組み合わせ論の初期の問題の例を表している。
このパズルの名前の由来は不明で、古代ギリシャ語で「喉」または「食道」を意味するstomachos ( στόμαχος ) に由来するという説がある。[ 83 ]アウソニウスはこのパズルをOstomachionと呼んでいる。これはギリシャ語のosteon ( ὀστέον、「骨」 ) とmachē ( μάχη、「戦い」 )の語根から形成された複合語である。[ 80 ]
この作品は、エラトステネスとアレクサンドリアの数学者たちに宛てたもので、アルキメデスは彼らに「太陽の群れ」の牛の数を数えるよう挑戦しており、これには複数のディオファントス方程式を解くことが必要となる。ゴットホルト・エフライム・レッシングは、1773年にドイツのヴォルフェンビュッテルにあるヘルツォーク・アウグスト図書館で、44行の詩からなるギリシャ語写本の中からこの作品を発見した。この問題には、答えの一部が平方数でなければならない、より難しいバージョンも存在する。A. アムトールは1880年にこの問題のバージョンを初めて解き[ 84 ]、その答えは7.760271 × 10という非常に大きな数である。206 544 . [ 55 ]
『牛の問題』と同様に、『機械的定理の方法』もアレクサンドリアのエラトステネス宛の手紙の形で書かれた。
この研究において、アルキメデスは、カヴァリエリの原理の初期の形である新しい方法[ 85 ]を用いて、ドシテウスに送られた論文（放物線の求積法、球と円柱について、螺旋について、円錐体と回転楕円体について）から、以前に彼が尽くしの方法[ 86 ]を用いて証明した結果を再導出しました。彼は、まず物体の重心を見つけるために、平面の平衡について適用したてこの法則を使用し、そこから幾何学的に推論して物体の体積をより簡単に導出しました。[ 87 ]アルキメデスは、ドシテウスに送った論文の結果を導き出すためにこの方法を用い、その後、徹底的証明法でより厳密に証明したと述べている。結果を厳密に証明する前に、結果が正しいことを知っておくことは有用であると述べている。これは、クニドスのエウドクソスが、円錐の体積が円柱の体積の3分の1であることを証明する際に、デモクリトスがピラミッドは同じ底面の長方形の角柱の3分の1の体積を持つという事実に基づいて、すでに正しいと主張していたことを知っていたのと同様である。[ 88 ]
この論文は、1906年にアルキメデスのパリンプセストが発見されるまで失われたと考えられていた。 [ 89 ]
アルキメデスの補題集またはLiber Assumptorumは、円の性質に関する15の命題を含む論文である。このテキストの現存する最古の写本はアラビア語である。TL Heathは、このテキストがアルキメデスの名前を引用していることから、現在の形でアルキメデスによって書かれたものではないと主張し、補題は後世の著者によって編纂されたものだと示唆した。彼は、このテキストのアイデアは、アルベロスと同様に、アルキメデス起源であると考えていた。[ 90 ] Tanneryは、そのような著作がかつて存在したとしても、同様の補題をコレクションに収め、「古代の様々な著作からの」と呼んだPappusの時代にはすでに失われていたと推測している。[ 91 ] [ 92 ]
アルキメデスの業績に帰属すると疑わしいものには、静水圧天秤を用いて王冠の問題を解決する方法を記述したラテン語の詩「Carmen de ponderibus et mensuris 」（4世紀または5世紀）や、金属の比重を計算することで金属の分析を行う方法に関する指示を含む12世紀の文献「Mappae clavicula 」などがある。[ 93 ] [ 94 ]
アルキメデスの著作の多くは現存していないか、大幅に編集された断片としてのみ残っている。[ 95 ]アレクサンドリアのパップスは『球体作りについて』 、半正多面体に関する著作、螺旋に関する別の著作に言及している。一方、アレクサンドリアのテオンは、現在失われている『カトプトリカ』からの屈折に関する記述を引用している。ゼウクシッポスに宛てた『原理』では、 『砂計算人』で使用されている数体系が説明されている。また、 『天秤について』、『重心について』もある。 [ 95 ]
中世イスラム世界の学者たちは、三角形の辺の長さから面積を計算する公式もアルキメデスに帰属させており、これは紀元1世紀のアレクサンドリアのヘロンの著作に初めて登場したことから今日ではヘロンの公式として知られており、現存しないアルキメデスの失われた著作で証明されていた可能性がある。[ 96 ]
1906年、デンマークの教授ヨハン・ルドヴィグ・ハイベルクは、パパドプロス＝ケラメウスが7年前に発表した短い転写を読んだ後、13世紀に書かれた174ページのヤギ皮の祈祷文を調べるためにコンスタンティノープルを訪れた。[ 97 ] [ 98 ]彼は、それが確かにパリンプセスト、つまり消去された古い作品の上にテキストが書かれた文書であることを確認した。パリンプセストは、既存の作品からインクを削り取って再利用することによって作成された。これは、羊皮紙が高価であったため、中世では一般的な慣習であった。パリンプセストにある古い作品は、学者によって、以前に失われたアルキメデスの論文の10世紀の写本であると特定された。[ 97 ] [ 99 ]パリンプセストには、ギリシャ語の原文で現存する唯一の写本である「浮体について」を含む7つの論文が収められている。これは、スウィダスが言及し、永久に失われたと考えられていた『機械的定理の方法』の唯一知られている出典である。また、このパリンプセストの中から『ストマキオン』が発見され、以前の文献よりもパズルのより完全な分析がなされていた。
アルキメデス・パリンプセストに収められている論文には以下のものがある。
この羊皮紙は、1920年代に個人収集家に売却されるまで、コンスタンティノープルの修道院図書館に数百年間保管されていました。1998年10月29日、オークションで匿名の買い手に総額220万ドルで売却されました。[ 100 ] [ 101 ]このパリンプセストは、メリーランド州ボルチモアのウォルターズ美術館に保管され、紫外線やX線を使って上書きされたテキストを読み取るなど、さまざまな現代的なテストを受けました。[ 102 ]その後、匿名の所有者の手に戻りました。[ 103 ] [ 104 ]
数学の父[ 105 ]や数理物理学の父[ 106 ]と呼ばれることもあるアルキメデスは、科学史家や数学史家の間では、古代で最も優れた数学者であったという点でほぼ一致している[ 107 ] 。
古典古代におけるアルキメデスの機械発明の名声はよく知られている。[ 108 ]アテナイオス[ 109 ]は『食卓の賢人たち』の中で、アルキメデスが古代で知られている最大の船であるシラクシア号を進水させた経緯を語り、アプレイウス[ 110 ]はアルキメデスの反射鏡に関する研究について述べている。[ 111 ]プルタルコス[ 112 ]は、アルキメデスは力学を軽蔑し、純粋幾何学に主眼を置いていたと主張したが、これは現代の学問では一般的に誤った解釈であり、アルキメデスの正確な描写というよりは、プルタルコス自身のプラトン主義的価値観を強化するために捏造されたものと考えられている。[ 113 ]
アルキメデスの著作は、タービト・イブン・クッラによってアラビア語に翻訳され、クレモナのジェラールによってアラビア語を経由してラテン語に翻訳された。ギリシア語からラテン語への直接翻訳は、後にモエルベケのウィリアムとイアコブス・クレモネンシスによって行われた。[ 114 ] [ 115 ]
ルネサンス期には、1544年にバーゼルでヨハン・ヘルヴァーゲンによってアルキメデスのギリシャ語とラテン語の著作を収録した『 Editio princeps（初版）』が出版され、 [ 116 ]ルネサンス期および17世紀に科学者にとって影響力のあるアイデアの源泉となった。[ 117 ] [ 118 ]
レオナルド・ダ・ヴィンチはアルキメデスへの賞賛を繰り返し表明し、自身の発明品であるアルキトネールをアルキメデスに帰した。[ 119 ] [ 120 ] [ 121 ]ガリレオ・ガリレイは彼を「超人的」で「私の師」と呼び、[ 122 ] [ 123 ]クリスティアーン・ホイヘンスは「アルキメデスに匹敵する者はいないと思う」と述べ、初期の研究で意識的に彼を模倣した。[ 124 ]ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは「アルキメデスとアポロニウスを理解する者は、後世の最も偉大な人物の業績をそれほど賞賛しないだろう」と述べた。[ 125 ]
イタリアの貨幣学者で考古学者のフィリッポ・パルータとレオナルド・アゴスティーニは、シチリア島で発見された、表面にアルキメデスの肖像、裏面に円筒と球体、そしてラテン語でARMDのモノグラムが刻まれた青銅貨について報告した。[ 126 ]この貨幣は現在失われており、正確な年代は不明だが、イヴォ・シュナイダーは裏面を「台座の上に置かれた球体 ― おそらくアルキメデスが作ったプラネタリウムの粗いイメージ」と表現し、「古代の記録によれば、アルキメデスの球体を2つローマに持ち込んだ」マルケルスのためにローマで鋳造された可能性があると示唆した。[ 127 ]
カール・フリードリヒ・ガウスの英雄はアルキメデスとニュートンであった[ 128 ]。ゲッティンゲン大学でガウスに師事したモーリッツ・カントールは、ガウスがかつて会話の中で「時代を画した数学者はアルキメデス、ニュートン、アイゼンシュタインの3人しかいない」と述べたと報告している[ 129 ] 。同様に、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは「紀元前212年に亡くなったアルキメデスよりも、1500年のヨーロッパの知識は少なかった」と述べている[ 130 ] 。数学史家のレヴィエル・ネッツ[ 131 ]は、プラトンと哲学に関するホワイトヘッドの宣言に呼応して、「西洋科学はアルキメデスへの脚注に過ぎない」と述べ、アルキメデスを「これまで生きた中で最も重要な科学者」と呼んだ。エリック・テンプル・ベル[ 132 ]は、「歴史上最も偉大な数学者3人を挙げるとすれば、アルキメデスの名前は必ず含まれるだろう。彼と並んでよく挙げられるのはニュートンとガウスだ。これらの巨人が生きたそれぞれの時代の数学と物理科学の相対的な豊かさ（あるいは貧弱さ）を考慮し、彼らの業績をその時代の背景と照らし合わせて評価すれば、アルキメデスを第一位に挙げる人もいるだろう」と述べている。
1906年にアルキメデスのパリンプセストからこれまで失われていたアルキメデスの著作が発見されたことで、彼がどのように数学的成果を得たかについての新たな洞察が得られた。[ 133 ] [ 134 ]
数学における傑出した業績に対して贈られるフィールズ賞には、アルキメデスの肖像と、球と円柱に関する彼の証明を描いた彫刻が施されている。アルキメデスの頭部の周りの碑文は、紀元1世紀の詩人マニリウスの言葉とされるラテン語の引用句で、「自らを超越し、世界を掴め」と記されている。[ 135 ] [ 136 ] [ 137 ]
世界初のスクリュープロペラ搭載の航海用蒸気船はSSアルキメデス号で、1839年に進水し、アルキメデスとそのスクリューに関する研究にちなんで命名された。[ 138 ]
アルキメデスは、東ドイツ（1973年）、ギリシャ（1983年）、イタリア（1983年）、ニカラグア（1971年）、サンマリノ（1982年）、スペイン（1963年）が発行した切手にも登場している。[ 139 ]
アルキメデスに帰せられる「ユーレカ！」という叫びは、カリフォルニア州の州のモットーである。この場合、この言葉は1848年にサッターズミルの近くで金が発見され、カリフォルニア・ゴールドラッシュを引き起こしたことを指している。[ 140 ]
月には、彼の名にちなんでアルキメデス（北緯29度42分、西経4度00分 / 北緯29.7度、西経4.0度 / 29.7; -4.0）と名付けられたクレーターがあり[ 141 ] 、また、アルキメデス山脈（北緯25度18分、西経4度36分/北緯25.3度、西経4.6度/ 25.3; -4.6）という山脈もある[ 142 ] 。
詳細な記述が残っている最も古い計測器はおそらくアルキメデスが太陽の見かけの直径を測定するために作った装置だろう。これは、異なる色の杭を動かすことができる棒だった。
アルキメデス・パリンプセストは、激動の時代を経て、古代における最も偉大な数学者・発明家との最も有名な繋がりとなった。
画像を取り囲むローマの詩人マニリウスによるラテン語の碑文は、「理解を超えて宇宙の支配者となる」と訳すことができる。このフレーズは、西暦1世紀のマニリウスの『天文学』4.392 (p. 782) から来ている。
