4次方程式

定数項a ₄  =  0 の場合、根の 1 つはx  =  0 であり、他の根はxで割って結果として得られる三次方程式を解くことによって見つけることができます。

${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,}$

4次多項式をQ ( x )とします。1の任意のべき乗は1なので、

${\displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\ .}$

したがって、${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0\ ,}$Q (1) = 0なので、x = 1 はQ ( x )の根です。同様に、次のことも示せます。${\displaystyle \ a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}\ ,}$x = − 1 は根です。

いずれの場合も、完全な4次式をそれぞれ( x -1)または( x +1)で割ると、新しい3次多項式が得られ、それを解くことで4次式の他の根を求めることができます。

もし${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$${\displaystyle \ a_{2}=0\ }$そして${\displaystyle \ a_{4}=a_{3}k\ ,}$それから${\displaystyle \ x=-k\ }$これは方程式の根です。完全な4次式は次のように因数分解できます。

${\displaystyle \ a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k)\ .}$

あるいは、もし${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$${\displaystyle \ a_{3}=a_{2}k\ ,}$そして${\displaystyle \ a_{4}=0\ ,}$すると、x = 0とx = − kが既知の 2 つの根になります。Q ( x )をx ( x + k )で割ると、二次多項式になります。

3と1が₀に等しい4次方程式は次の形式をとる_。

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!}$

したがって、これは双二次方程式であり、簡単に解くことができます。${\displaystyle z=x^{2}}$なので、方程式は次のようになります。

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0\,\!}$

これは単純な二次方程式であり、二次方程式の解の公式を使えば簡単に解を求めることができます。

${\displaystyle z={\frac {-a_{2}\pm {\sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}}\,\!}$

それを解いたとき（つまり、この2つのz値を見つけたとき）、それらからxを抽出することができます。

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

zの解のいずれかが負の数または複素数である場合、xの解の一部は複素数となる。

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0\,}$

手順：

1. x  ²で割ります。
2. 変数変換z = x + m / xを使用します。
3. したがって、z  ² = x  ² + ( m / x )  ² + 2 m。

これは以下のことにつながります。

${\displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}$、

${\displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}$、

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{1}z+(a_{2}-2ma_{0})=0}$( z = x + m / xに関する二次式)

4次方程式に重根がある場合、その重根は、多項式とその導関数の最大公約数を求めることで見つけることができます。次に、それらを約分して、得られた2次方程式を解きます。

一般的に、多重根を持つ4次方程式には、以下の4つの場合しか存在しません。^{[ 3 ]}

1. 多重度-4 (M4): 一般的な4次方程式が次のように表せる場合${\displaystyle a(x-l)^{4}=0}$実数に対して${\displaystyle l}$この場合は常に双二次方程式に還元できる。
2. 多重度-3 (M3): 一般的な4次方程式が次のように表せる場合${\displaystyle a(x-l)^{3}(x-m)=0}$、 どこ${\displaystyle l}$ そして${\displaystyle m}$ これらは2つの異なる実数です。これは、決して双二次方程式に還元できない唯一のケースです。
3. 二重多重度-2 (DM2): 一般的な4次方程式が次のように表現できる場合${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)^{2}=0}$、 どこ${\displaystyle l}$ そして${\displaystyle m}$ これらは2つの異なる実数、または2つの非実数の複素共役数です。この場合も常に2次方程式に帰着させることができます。
4. 単一多重度-2 (SM2): 一般的な4次方程式が次のように表現できる場合${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)(x-n)=0}$、 どこ${\displaystyle l}$、 ${\displaystyle m}$、 そして${\displaystyle n}$ 3つの異なる実数または${\displaystyle l}$は実数であり、${\displaystyle m}$ そして${\displaystyle n}$これらは、非実数の複素共役数のペアです。このケースは、2 次方程式に還元できる場合とできない場合の 2 つのサブケースに分けられます。

縮退した4次方程式の3つの非単項係数の場合を考えてみましょう。${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$は、一般四次方程式の5つの係数を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$

${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$

${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$、

次に、多重根を持つ四次方程式の各ケースとそのそれぞれの解を事前に識別するための基準を以下に示す。

• M4. 一般的な4次方程式は、次の場合にこのケースに対応します。${\displaystyle p=q=r=0}$したがって、この方程式の4つの根は次のようになります。

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{\frac {b}{4a}}}$。

• M3. 一般的な4次方程式は、次の場合にこのケースに対応します。${\displaystyle p^{2}=-12r>0}$そして${\displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}>0}$したがって、この方程式の4つの根は次のように与えられます。${\displaystyle q>0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

そうでなければ、もし${\displaystyle q\leq 0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}={\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$。

• DM2. 一般的な4次方程式は、次の場合にこのケースに対応します。${\displaystyle p^{2}=4r>0=q}$したがって、この方程式の4つの根は次のようになります。

${\displaystyle x_{1}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ 

${\displaystyle x_{2}=x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$。

• 双二次SM2。一般の四次方程式は、次の場合にSM2方程式のこのサブケースに対応します。${\displaystyle p\neq q=r=0}$したがって、この方程式の4つの根は次のようになります。

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{3}={\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$ 

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$。

• 非双二次SM2。一般の四次方程式は、次の場合にSM2方程式のこのサブケースに対応します。${\displaystyle (p^{2}+12r)^{3}=[p(p^{2}-36r)+{\frac {27}{2}}q^{2}]^{2}>0\neq {q}}$したがって、この方程式の 4 つの根は次の式で与えられます。^{[ 4 ]}

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\xi {\sqrt {s_{1}}}\pm {\sqrt {2{\biggl (}s_{2}-{\frac {\xi q}{\sqrt {s_{1}}}}{\biggr )}}}\right]-{\frac {b}{4a}}}$、

どこ：

${\displaystyle s_{1}={\frac {9q^{2}-32pr}{p^{2}+12r}}>0}$

${\displaystyle s_{2}=-{\frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}\neq 0}$

${\displaystyle \xi =\pm 1}$。

させて

解こうとしている一般の4次方程式を とする。両辺をAで割る。

${\displaystyle \ x^{4}+{B \over A}x^{3}+{C \over A}x^{2}+{D \over A}x+{E \over A}=0\ .}$

Bがまだゼロでない場合、最初のステップはx ^{3 の}項を消去することです。これを行うには、変数をxからuに変更して、

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ .}$

それから

${\displaystyle \ \left(u-{B \over 4A}\right)^{4}+{B \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{3}+{C \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{2}+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

二項式のべき乗を展開すると

${\displaystyle \ \left(u^{4}-{B \over A}u^{3}+{6u^{2}B^{2} \over 16A^{2}}-{4uB^{3} \over 64A^{3}}+{B^{4} \over 256A^{4}}\right)+{B \over A}\left(u^{3}-{3u^{2}B \over 4A}+{3uB^{2} \over 16A^{2}}-{B^{3} \over 64A^{3}}\right)+{C \over A}\left(u^{2}-{uB \over 2A}+{B^{2} \over 16A^{2}}\right)+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

uの同じべき乗を集めると、

${\displaystyle \ u^{4}+\left({-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\right)u^{2}+\left({B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\right)u+\left({-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\right)=0\ .}$

次に、 uの係数の名前を変更します。

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\ ,\\b&={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\ ,\\c&={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\ .\end{aligned}}}$

結果として得られる方程式は

これは、縮約された4次方程式です。

もし${\displaystyle \ b=0\ }$次に、双二次方程式の特殊なケースを考えますが、これは上記のように簡単に解くことができます。ただし、以下に示す一般解は、この特殊なケースには適用できないことに注意してください。${\displaystyle \ b=0\ .}$この方程式は、双二次方程式として解かなければならない。

いずれの場合も、 uについて縮約四次方程式を解いたら、それらの値を代入して

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ }$

元の4次方程式を解くxの値を生成します。

縮退四次方程式に変換した後

${\displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}$

また、双二次方程式として解かれる特殊なケースb = 0 を除いて、ここからはb ≠ 0 であると仮定します。

左と右の用語を分けて説明します。

${\displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}$

そして両辺に、両方とも平方数になるような項を追加します。

y をこの三次方程式の任意の解とする。

${\displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{\tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0\ .}$

すると（b ≠ 0 なので）

${\displaystyle 2y-a\neq 0}$

そこで、それで割ると、

${\displaystyle y^{2}-c={\frac {b^{2}}{4(2y-a)}}\ .}$

それから

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{\ 4(2y-a)\ }}=\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}\ .}$

引き算をすると、2つの平方数の差が得られます。これは、それらの平方根の和と差の積です。

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}-\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}=\left(u^{2}+y+{\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)\left(u^{2}+y-{\sqrt {2y-a\ }}\,u+{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)=0}$

これは、2つの因数それぞれに二次方程式の解の公式を適用することで解くことができます。したがって、uの取りうる値は次のとおりです。

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$または

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ .}$

3次方程式の3つの根のうち別のyを用いると、同じ4つのuの値が異なる順序で現れるだけである。3次方程式の解は以下のとおりである。

${\displaystyle \ y={\frac {a}{6}}+w-{\frac {p}{3w}}\ }$

${\displaystyle \ w={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\ }}\ }}}$

3つの可能な立方根のいずれかを使用します。賢明な戦略は、 wの絶対値が最大になるような平方根の符号を選択​​することです。

${\displaystyle \ p=-{\frac {a^{2}}{12}}-c\ ,}$

${\displaystyle \ q=-{\frac {a^{3}}{108}}+{\frac {ac}{3}}-{\frac {b^{2}}{8}}\ .}$

そうでなければ、ロドヴィコ・フェラーリが発見した方法を用いて、縮約四次方程式を解くことができる。縮約四次方程式が得られたら、次のステップは有効な恒等式を追加することである。

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}-u^{4}-2au^{2}=a^{2}}$

式（１）に代入すると、

その結果、 u ^{4 の}項は( u ² + a) ^2という完全な平方数に折り畳まれました。2 番目の項au ²は消えませんでしたが、符号が変わり、右辺に移動しました。  

次のステップは、式（ 2 ）の左辺の完全平方に変数yを挿入し、右辺のu2^の係数にそれに対応する2yを挿入することです。これらの挿入を実行するために、次の有効な式が式（ 2）に追加されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+a+y)^{2}-(u^{2}+a)^{2}&=2y(u^{2}+a)+y^{2}\ \ \\&=2yu^{2}+2ya+y^{2},\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle 0=(a+2y)u^{2}-2yu^{2}-au^{2}\,}$

これら2つの式を足し合わせると、

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}-\left(u^{2}+a\right)^{2}=\left(a+2y\right)u^{2}-au^{2}+2ya+y^{2}\qquad \qquad (y{\hbox{-insertion}})\,}$

式（２）に加えると、

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}+bu+c=\left(a+2y\right)u^{2}+\left(2ya+y^{2}+a^{2}\right).\,}$

これは以下と同等です

ここでの目的は、式（ 3 ）の右辺が平方数となるようなyの値を選択することです。これは、二次関数の判別式をゼロにすることで実現できます。これを説明するために、まず平方数を展開して二次関数に等しくしてみましょう。

${\displaystyle \left(su+t\right)^{2}=\left(s^{2}\right)u^{2}+\left(2st\right)u+\left(t^{2}\right).\,}$

右辺の二次関数には3つの係数があります。2番目の係数を2乗し、そこから1番目と3番目の係数の積の4倍を引くとゼロになることが確認できます。

${\displaystyle \left(2st\right)^{2}-4\left(s^{2}\right)\left(t^{2}\right)=0.\,}$

したがって、式（ ３ ）の右辺を完全平方にするためには、次の式を解く必要があります。

${\displaystyle (-b)^{2}-4\left(2y+a\right)\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=0.\,}$

二項式に多項式を掛けます。

${\displaystyle b^{2}-4\left(2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac\right)\right)=0\,}$

両辺を −4 で割り、−b 2/4^を右に移動させます。

${\displaystyle 2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0}$

両辺を2で割る、

これはyに関する3次方程式です。このような方程式を解くための任意の方法（例えば、簡約3次式への変換とカルダノの公式の適用など）を用いてyを求めなさい。3つの解のうち、いずれか1つが正解となります。

If the coefficients of the quartic equation are real then the nested depressed cubic equation (5) also has real coefficients, thus it has at least one real root.

Furthermore, the cubic function

${\displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}$

where P and Q are given by (5) has the properties that

${\displaystyle C\left({a \over 3}\right)={-b^{2} \over 8}<0}$ and

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }C(v)=\infty ,}$ where ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ are given by (1).

This means that (5) has a real root greater than ${\displaystyle a \over 3}$, and therefore that (4) has a real root greater than ${\displaystyle -a \over 2}$.

Using this root the term ${\displaystyle {\sqrt {a+2y}}}$ in (6) is always real, which ensures that the two quadratic equations (6) have real coefficients.^[5]

It could happen that one only obtained one solution through the formulae above, because not all four sign patterns are tried for four solutions, and the solution obtained is complex. It may also be the case that one is only looking for a real solution. Let ${\displaystyle x}$₁ denote the complex solution. If all the original coefficients ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ and ${\displaystyle E}$ are real—which should be the case when one desires only real solutions – then there is another complex solution ${\displaystyle x}$₂ which is the complex conjugate of ${\displaystyle x}$₁. If the other two roots are denoted as ${\displaystyle x}$₃ and ${\displaystyle x}$₄ then the quartic equation can be expressed as

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,\,}$

but this quartic equation is equivalent to the product of two quadratic equations:

and

Since

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

then

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\\&=x^{2}-2\operatorname {Re} (x_{1})x+[\operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[\operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.\end{aligned}}}$

Let

${\displaystyle a=-2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}}$

so that equation (9) becomes

Also let there be (unknown) variables w and v such that equation (10) becomes

Multiplying equations (11) and (12) produces

Comparing equation (13) to the original quartic equation, it can be seen that

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

and

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

Therefore

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={\frac {E}{A\left(\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}\right)}}.}$

Equation (12) can be solved for x yielding

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

One of these two solutions should be the desired real solution.

Resolvent cubic shows how a resolvent cubic equation may be used to find the roots of a monic depressed quartic equation by finding the roots of two quadratic equations. Particularly simple is the Third Definition. Let

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+c\,x^{2}+d\,x+e&=(x^{2}+p\,x+q)\,(x^{2}-p\,x+s)\\&=x^{4}+(s+q-p^{2})\,x^{2}+p\,(s-q)\,x+q\,s\quad \Rightarrow \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle p^{2}+c=s+q\quad \quad {\frac {d}{p}}=s-q\quad \quad e=q\,s\quad \Rightarrow }$$

$${\displaystyle (p^{2}+c)^{2}-\left({\frac {d}{p}}\right)^{2}=4\,e}$$

This cubic equation in ${\displaystyle p^{2}}$これはデカルトのレゾルベント として知られています^{[ 6 ] [ 7 ]} 。4次方程式の4つの根を2組の根に分割する方法は3つあり、次に、それぞれについて2次式を順序付ける方法は2つあります(${\displaystyle \pm p}$最初の 2 つの係数方程式を足し引きして q と s を求めます。

適切なメビウス変換を選択すれば、4次方程式を新しい変数の2乗に関する2次方程式に変換できる。これは既知の方法である。^{[ 8 ]}

このようなメビウス変換を見つけるには、三次方程式を解く必要があり、問題が単純化されます。たとえば、先頭係数が 1 で、どちらも ない、縮小された四次方程式から始めます。${\displaystyle a_{1}}$または${\displaystyle a_{0}}$ゼロに等しい:

$${\displaystyle x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$$

そしてメビウス変換を行う。

$${\displaystyle x={\frac {A+By}{1+y}}}$$

結果として得られる4次方程式の1次および3次係数を${\displaystyle y}$ゼロに。代数計算の後、次のことがわかります。${\displaystyle A+B}$3次方程式から得られる

$${\displaystyle a_{1}(A+B)^{3}+(4a_{0}-2a_{1}a_{2}-{a_{2}}^{2})(A+B)^{2}-2a_{1}a_{2}(A+B)-{a_{1}}^{2}=0}$$

そして、${\displaystyle A+B}$周知のとおり、${\displaystyle A}$二次方程式から得られる

$${\displaystyle 2(A+B)A^{2}-2(A+B)^{2}A-a_{2}(A+B)-a_{1}=0}$$

結果として得られる二次方程式を解くと、${\displaystyle y^{2}}$2 つの値を与えます${\displaystyle y^{2}}$そして各平方根${\displaystyle y^{2}}$値は2つあり、予想通り合計4つの解が得られます。

3次方程式${\displaystyle {\textbf {A}}+{\textbf {B}}}$先に述べたものは、${\displaystyle P^{2}-Q(A+B)^{2}=0}$、 どこ

$${\displaystyle P\equiv {\frac {b_{1}-b_{3}}{2(A-B)}}=2\,A\,B\,(A+B)+a_{2}(A+B)+a_{1}}$$

$${\displaystyle Q\equiv {\frac {B\,b_{1}-A\,b_{3}}{A-B}}=4A^{2}B^{2}-a_{1}(A+B)-4a_{0}=0}$$

ここで、b _iは y に関する 4 次多項式の係数です。これは、この方程式がどのように得られたかを示しています。

4つの要素上の対称群 S 4_は、クライン4群を正規部分群として持つ。これは、根が離散フーリエ変換または根のアダマール行列変換として様々に記述できるレゾルベントを使用することを示唆している。iが0から3までの場合、r iが以下の根であると仮定する_。

${\displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad (1)}$

ここで設定すると

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\\s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\\s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\\s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),\end{aligned}}}$

変換は対合であるため、4 つの s _iを用いて根を全く同じ方法で表すことができます。s ₀ = − b /2 の値がわかっているので、実際には s ₁、s ₂、s ₃の値だけが必要です。これらは多項式を展開することで求めることができます。

${\displaystyle \left(z^{2}-s_{1}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{2}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{3}^{2}\right)\qquad (2)}$

b  =  0という単純化の仮定をすると、

${\displaystyle z^{6}+2cz^{4}+\left(c^{2}-4e\right)z^{2}-d^{2}\qquad (3)}$

この多項式は6次ですが、z ²に関しては3次なので、対応する方程式は解くことができます。試行錯誤によって、どの3つの根が正しいかを判断し、それによって4次方程式の解を求めることができます。

因数分解に同じレゾルベント多項式の根を使用することで、試行の要件をすべて取り除くことができます。w が (3) の任意の根である場合、そして

${\displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}-{\frac {cw^{3}}{d}}+2{\frac {ew}{d}}}$

${\displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}+{\frac {cw^{3}}{d}}-2{\frac {ew}{d}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}}$

それから

${\displaystyle F_{1}F_{2}=x^{4}+cx^{2}+dx+e\qquad \qquad (4)}$

したがって、w について解き、次に二次方程式の解の公式を用いて 2 つの因数の根を求めることで、4 次方程式を解くことができます。

上記の方法は、原理的には厳密な根探索法である。また、デュラン・ケルナー法のように、根に向かって反復的に収束する逐次近似法を用いることも可能である。