ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ

11人兄弟の長男としてジュゼッペ・ロドヴィコ・ラグランジャとして生まれたラグランジュは、イタリアとフランスの血を引いていた。^{[ 7 ]}彼の父方の曽祖父はフランスの騎兵隊長で、その一族はフランスのトゥール地方出身だった。^{[ 7 ]}彼はルイ14世の下で仕えた後、サヴォイア公シャルル・エマヌエーレ2世に仕え、ローマの貴族コンティ家の女性と結婚した。 ^{[ 7 ]}ラグランジュの父、ジュゼッペ・フランチェスコ・ロドヴィコはトリノ大学の法学博士で、母はトリノ郊外のカンビアーノの裕福な医師の一人娘だった。^{[ 7 ] [ 10 ]}彼はローマ・カトリック教徒として育てられた（後に不可知論者になった）。^{[ 11 ]}

国王の軍事資金を管理し、トリノの公共事業・要塞局の財務官を務めていた彼の父は、高い社会的地位と財産を維持していたはずだったが、息子が成長する前に投機で財産のほとんどを失ってしまった。父はラグランジュのために弁護士の道を計画しており、^{[ 7 ]}ラグランジュ自身もそれを喜んで受け入れたようだ。彼はトリノ大学で学び、古典ラテン語が一番好きだった。最初は数学にはあまり熱心ではなく、ギリシャ幾何学は退屈だと感じていた。

彼が数学に興味を示したのは17歳の時で、偶然目にした1693年のエドモンド・ハレーの論文^{[ 12 ]} がきっかけで数学に初めて興味を持った。彼は独力で数学の研究に没頭し、1年間の絶え間ない努力の末、すでに熟練した数学者になっていた。 1755年、シャルル・エマニュエル3世はラグランジュを王立砲兵理論実践軍事アカデミーの「数学助教授」に任命し、そこで彼はベンジャミン・ロビンズとレオンハルト・オイラーの弾道理論をピエモンテ軍が早期に採用するのを支援するために微積分と力学の講義を行った。この職務において、ラグランジュは工学学校で微積分を教えた最初の人物となった。同アカデミーの軍事司令官であり、著名な砲兵理論家であるアレッサンドロ・パパチーノ・ダントーニによれば、ラグランジュは残念ながら、無頓着な指導スタイル、抽象的な推論、そして砲兵や要塞工学の応用に対する忍耐力のなさから、問題のある教授であることが判明した。^{[ 13 ]}このアカデミーで彼の教え子の一人にフランソワ・ダヴィエがいた。^{[ 14 ]}

1756年までに、オイラーとモーペルテュイはラグランジュの数学的才能を見抜き、ベルリンに来るよう説得しようとしたが、彼は内気にもその申し出を断った。1765年、ダランベールはラグランジュのためにプロイセン王フリードリヒに働きかけ、手紙で、トリノを離れてベルリンでより名誉ある地位に就くよう求めた。彼は再びその申し出を断り、次のように答えた^{[ 17 ]： 361}

M.オイラーがベルリンにいる限り、私にとってベルリンは全く適した場所ではないように思える。

1766年、オイラーがベルリンを離れてサンクトペテルブルクへ向かった後、フリードリヒ大王自身がラグランジュに手紙を書き、「ヨーロッパで最も偉大な国王」として「ヨーロッパで最も偉大な数学者」を宮廷に迎え入れたいと願っていることを伝えた。ラグランジュはついに説得され、その後20年間をプロイセンで過ごし、ベルリンとトリノの学術誌に多数の論文を発表し、記念碑的な著作『解析力学』を執筆した。1767年には従妹のヴィットリア・コンティと結婚した。

ラグランジュは国王のお気に入りで、国王はしばしば彼に生活の完全な規則性の利点について講義した。ラグランジュはその教えを受け入れ、まるで機械のように自分の心と体を研究し、疲労困憊する前にどれだけの作業ができるかを正確に突き止める実験を行った。毎晩、彼は翌日の明確な課題を設定し、ある分野の研究を終えるたびに、証明や主題のどの点を改善できるかを短い分析でまとめた。彼は論文を書く前に綿密に計画を立て、通常は一度も消しゴムを使ったり修正したりすることはなかった。

しかしながら、ベルリン滞在中、ラグランジュの健康状態はかなり悪く、妻のヴィットリアの健康状態はさらに悪かった。彼女は長年の闘病の末、1783年に亡くなり、ラグランジュはひどく落ち込んだ。1786年にはフリードリヒ2世が亡くなり、ベルリンの環境はラグランジュにとって困難なものとなった。^{[ 10 ]}

1786年、フレデリックの死後、ラグランジュはスペインやナポリなど各国から同様の招待を受け、ルイ16世のパリ移住の申し出を受け入れた。フランスでは、彼はあらゆる名誉をもって迎えられ、ルーブル美術館には彼のために特別な部屋が用意され、フランス科学アカデミーの会員となった。このアカデミーは後にフランス学士院の一部となった（1795年）。パリ滞在当初、彼は憂鬱症に襲われ、四半世紀かけて執筆した『力学』の印刷版さえも、2年以上も机の上に未開封のまま放置されていた。フランス革命の結果に対する好奇心が、まず彼を無気力から目覚めさせたが、革命の展開とともに、その好奇心はすぐに不安へと変わっていった。

ほぼ同時期、1792年頃、彼の人生における説明のつかない悲しみと臆病さが、友人である天文学者ピエール・シャルル・ル・モニエの娘、24歳のルネ＝フランソワーズ＝アデレード・ル・モニエの同情を誘った。彼女は彼との結婚を強く望み、献身的な妻となり、彼も彼女に深く愛情を抱くようになった。

1793年9月、恐怖政治が始まった。当時すでに多くの学者とともにアカデミーから追放されていたアントワーヌ・ラヴォアジエの介入により、ラグランジュは1793年10月の外国人全員のフランスからの退去を命じる法令において、名指しで例外扱いされた。1794年5月4日、ラヴォアジエと他の27人の徴税請負人が逮捕され、死刑を宣告され、裁判の翌日の午後にギロチンで処刑された。ラグランジュはラヴォアジエの死に際して次のように述べた。

この首を落とすのにかかった時間はほんの一瞬で、これに匹敵するものを100年かけても生み出すことはできないだろう。^{[ 10 ]}

ラグランジュはまだ時間があるうちにフランスから脱出する準備をしていたが、危険にさらされることはなかった。様々な革命政府（そして後にはナポレオン）が彼に栄誉と名誉を与えた。この幸運あるいは安全は、彼が何年も前に表明した人生観にある程度起因しているのかもしれない。「一般的に、賢者の第一の原則の一つは、たとえそれが不合理であっても、自分が住んでいる国の法律に厳密に従うことだと私は信じている」^{[ 10 ]} 。彼がいかに尊敬されていたかを示す顕著な証拠は、1796年にイタリア駐在のフランス総督がラグランジュの父に正装で出向き、共和国を代表して息子の業績に対する祝意を伝えるよう命じられたことにある。息子は「その才能によって全人類に名誉をもたらし、ピエモンテが生んだ特別な栄光である」と述べられた。付け加えておくと、ナポレオンは権力を握ると、フランスで科学研究を熱心に奨励し、惜しみなく支援した。 1799年に上院議員に任命された彼は、 1802年に故郷ピエモンテをフランスに併合した上院決議の最初の署名者であった。 ^{[ 7 ]}その結果、彼はフランス市民権を得た。^{[ 7 ]}フランス側は彼をフランスの数学者だと主張したが、イタリア側は彼をイタリア人だと主張し続けた。^{[ 10 ]}

晩年

1810年、ラグランジュは『解析力学』 の徹底的な改訂に着手したが、1813年にパリのフォーブール・サントノーレ通り128番地で亡くなるまでに、その約3分の2しか完成させることができなかった。ナポレオンは、ラグランジュが亡くなるわずか2日前に、彼にレユニオン帝国勲章大十字章を授与した。彼は同年、パリのパンテオンに埋葬された。彼の墓碑銘は、翻訳すると次のようになる。

ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ。元老院議員。帝国伯爵。レジオンドヌール勲章大将校。帝国再統一勲章大十字章。英国天文学会会員、経度局会員。 1736年1月25日、トリノ生まれ。1813年4月10日、パリにて死去 。

1772年から1788年にかけて、ラグランジュは古典力学／ニュートン力学を再定式化し、公式を簡略化して計算を容易にした。この力学はラグランジュ力学と呼ばれている。

しかし、この時期の彼の論文の大部分はプロイセン科学アカデミーに寄稿されたものであり、そのうちのいくつかは代数学の問題を扱っている。

• 彼は、整数を二次形式（1769年）およびより一般的な代数形式（1770年）で表現することについて論じた。
• 彼の論文「消去法の理論」（1770年）。
• ラグランジュの定理によれば、群Gの部分群Hの位数は、群Gの位数を割り切る。
• 1770年と1771年の彼の論文は、ラグランジュのレゾルベントを用いて任意の次数の代数方程式を解く一般的な手順について述べている。この方法は、関連する補助方程式が元の方程式よりも高次のため、5次以上の方程式の解の一般的な公式を与えることができない。この方法の重要な点は、すでに知られている2次、3次、4次の方程式を解く公式を単一の原理の現れとして示し、ガロア理論の基礎となったことである。二項方程式（すなわち、次の形式の方程式）の完全な解${\displaystyle ax^{n}}$±${\displaystyle b=0}$）もこれらの論文で扱われています。
• 1773年、ラグランジュはヤコビ行列の特殊な場合である3次の関数行列式を考察した。また、彼は、1つの頂点が原点にある正四面体の体積が、他の3つの頂点の座標によって形成される行列式の絶対値の6分の1に等しいという式を証明した。

彼の初期の論文のいくつかは、数論の問題も扱っている。

• ラグランジュ（1766年～1769年）は、ペル方程式x ² − ny ² = 1が、任意の非平方自然数nに対して整数の中に非自明な解を持つことを証明した最初のヨーロッパ人である。^{[ 22 ]}
• 彼は、バシェが根拠なく述べた「すべての正の整数は4つの平方数の和である」という定理を証明した（1770年）。
• 彼は、 (任意の整数n > 1に対して) nが素数であるのは( n − 1)! + 1がnの倍数である場合のみである、というウィルソンの定理を1771 年に証明した。
• 彼が1773年、1775年、1777年に発表した論文は、フェルマーが提唱したものの、それまで証明されていなかったいくつかの結果の証明を示した。
• 彼の1775年の『算術の研究』は、^整数がax² + by² + cxyの形で表せるかどうかという一般的な問題を扱うために、二進二次形式の一般理論を発展させ^た。
• 彼は連分数の理論に貢献した。

解析幾何学の様々な点に関する論文も数多く存在する。そのうちの2つは、やや後の1792年と1793年に書かれたもので、彼は二次曲面（または円錐曲線）の方程式を標準形に還元した。

1772年から1785年にかけて、彼は偏微分方程式の学問を確立する一連の論文を発表した。これらの成果の大部分は、1794年に出版されたオイラーの積分学の第2版にまとめられている。

最後に、天文学における諸問題に関する論文は数多く存在する。その中でも特に重要なものは以下の通りである。

• 1772年、一般三体問題の解決を試み、その結果として、共線解と正三角形解という2つの定常パターン解が発見された。これらの解は後に、現在ラグランジュ点として知られるものを説明することがわかった。
• 楕円体の引力について、1773年：これはマクローリンの研究に基づいている。
• 月の永年方程式について、1773年。また、ポテンシャルの概念を最も早く導入した論文としても注目に値する。物体の任意の点におけるポテンシャルは、物体の各要素の質量をその点からの距離で割った値の合計である。ラグランジュは、物体の外部点におけるポテンシャルが分かれば、あらゆる方向への引力を即座に求めることができることを示した。ポテンシャル理論は、1777年にベルリンに送られた論文で詳細に論じられた。
• 惑星軌道の昇交点の運動について、1774年。
• 惑星軌道の安定性について、1776年。
• 1778年と1783年に発表された2つの論文では、3つの観測から彗星の軌道を決定する方法が完全に解明されている。この方法は実際には実用化されなかったが、機械式積分器を用いて摂動を計算する彼のシステムは、この主題に関するその後のほとんどの研究の基礎となった。
• 彼による惑星の要素の永年変動と周期変動の決定、1781年～1784年：これらの上限値は後にル・ヴェリエによって得られた値とよく一致しており、ラグランジュは当時入手可能だった惑星の質量に関する知識の範囲内で研究を進めた。
• 補間法に関する3つの論文（1783年、1792年、1793年）：有限差分法のうち、この方法を扱う部分は、ラグランジュが残した段階と現在でも同じ段階にある。

これらの様々な論文に加えて、彼は基礎的な論文である『解析力学』を著した。

本書において、彼は仮想仕事の法則を提示し、その一つの基本原理から、変分法を用いて、固体と流体の両方の力学全体を導き出している。

本書の目的は、主題が暗黙のうちに単一の原理に含まれていることを示し、任意の特定の結果が得られる一般的な公式を与えることである。彼がこの結果を得た一般化座標法は、おそらく彼の分析の中で最も優れた成果である。ダランベールやオイラーが行ったように、物質系の個々の部分の動きを追跡する代わりに、彼は、一般化座標と呼ばれる十分な数の変数xによってその構成を決定すれば、その変数の数（その数は系の自由度と同じ）から系の運動エネルギーと位置エネルギーを表せ、そこから簡単な微分によって運動の微分方程式を導出できることを示した。例えば、剛体の動力学において、彼は特定の問題を考察する代わりに、現在では通常次の形式で記述される一般方程式を用いる。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}=0,}$

ここで、T は運動エネルギー、V はシステムのポテンシャルエネルギーを表します。彼は次に、この方程式を解く手段として、現在ではラグランジュ乗数法として知られている方法を提示しました（ただし、この方法が発表されたのはこれが初めてではありません）。^{[ 23 ]} ここで与えられた他の小さな定理の中で、与えられた制約の下で物質システムに与えられたインパルスによって与えられる運動エネルギーは最大であるという命題と、最小作用の原理に言及するだけで十分かもしれません。すべての分析は非常に優雅なので、サー・ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、この仕事は科学的な詩としか表現できないと言いました。ラグランジュは、力学は実際には、時間と空間内の点の 3 つの座標という 4 次元の幾何学に類似した純粋数学の一分野であると指摘しました。また、彼は、この仕事の最初から最後まで、図が 1 つもないことを誇りに思っていたと言われています。最初は、この本を出版してくれる印刷業者が見つかりませんでした。しかし、ルジャンドルはついにパリの出版社を説得して出版を引き受けてもらい、1788年にラプラス、クーザン、ルジャンドル（編集者）、コンドルセの監督のもとで出版された。^{[ 10 ]}

ラグランジュがエコール・ポリテクニークで行った微分積分に関する講義は、1797年に出版された彼の論文『解析関数の理論』の基礎となっている。この著作は、彼が1772年にベルリンの論文集に送った論文に含まれるアイデアを拡張したものであり、その目的は、代数関数の級数展開に基づく一連の定理を微分積分に代用することであり、特に代数の一般性の原理に依拠している。

やや似た方法は、 1758年にロンドンで出版されたジョン・ランデンの『残差解析』ですでに用いられていた。ラグランジュは、微分積分の通常の扱いにおいて哲学者たちが反対していた、無限大と無限小の量の使用に関連する困難を、このようにして取り除くことができると信じていた。本書は3つの部分に分かれており、そのうち最初の部分は関数の一般理論を扱い、テイラーの定理の代数的証明を与えているが、その妥当性には疑問が残る。2番目の部分は幾何学への応用を扱い、3番目の部分は力学への応用を扱っている。

同様の趣旨の論文として、1804年に初版が刊行され、1806年に第2版が出版された『関数計算の講義』がある。ラグランジュはこの著書の中で、積分制約付き変分法の問題に関連して、有名なラグランジュ乗数法を定式化した。微分法と変分法に関するこれらの著作は、コーシー、ヤコビ、ワイエルシュトラスらの研究の出発点とみなすことができる。

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  1813 年の「関数分析理論」のコピー
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  「理論分析」のタイトルページ
• 
  「機能分析理論」の紹介
• 
  「関数分析理論」の最​​初のページ

後年、ラグランジュは微分積分学の基礎を代数形式の研究に委ねるよりも、無限小を用いることを全面的に受け入れた。そして、1811年に出版された『解析力学』第2版の序文で、彼は無限小の使用を正当化し、次のように結論づけている。

微小法の本質を理解し、素数比と極限比の幾何学的方法、あるいは導関数の解析的方法のいずれかによってその結果の正確さを検証すれば、無限に小さな量を、証明を短縮し簡略化するための確実で貴重な手段として用いることができる。

1798年に出版された彼の著書『数値方程式の解法』もまた、エコール・ポリテクニークでの講義の成果である。そこで彼は、連分数を用いて方程式の実根を近似する方法を示し、他のいくつかの定理を述べている。巻末の注釈では、フェルマーの小定理、す​​なわち

${\displaystyle a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}}$

pが素数でaがpと素数である場合、任意の二項方程式の完全な代数解を与えるために適用できます。また、彼はここで、元の方程式の根の差の二乗を根とする方程式を使用して、それらの根の位置と性質に関するかなりの情報を得る方法についても説明しています。

惑星運動の理論は、ラグランジュのベルリン論文の中でも特に注目すべき論文のいくつかで取り上げられていた。1806年、ポアソンはこのテーマを再び取り上げ、フランス学士院で発表した論文の中で、ラグランジュの公式が軌道の安定性に一定の限界をもたらすことを示した。その場に居合わせたラグランジュは、このテーマ全体を改めて議論し、1808年に学士院に送った手紙の中で、任意の定数を変化させることによって、相互作用するあらゆる物体の系の周期的および永年的な不等式を決定できる方法を説明した。