丸

丸
円   円周C   直径D   半径R   中心または原点O
タイプ	円錐曲線
対称グループ	オー(2)
エリア	πR2 ...
周囲	C = 2πR

円は、中心という特定の点から特定の距離にある平面上のすべての点で構成される図形です。円上の任意の点と中心の間の距離は、半径と呼ばれます。円上の 2 点を結び、中心を通る線分の長さは、直径と呼ばれます。円は、円盤と呼ばれる平面の領域を囲みます。

円は、有史以前から知られていました。満月や丸い果物のスライスなど、自然の円は一般的です。円は車輪の基礎であり、歯車などの関連する発明とともに、現代の機械の多くを可能にしています。数学では、円の研究が幾何学、天文学、微積分の発展に役立っています。

• 環状領域: リング状の物体、2 つの同心円で囲まれた領域。
• 円弧:円の連結された部分。円弧の 2 つの端点と中心を指定すると、2 つの円弧が一緒になって完全な円を形成するようになります。
• 中心: 円上のすべての点から等距離にある点。
• 弦: 端点が円上にあり、円を 2 つの線分に分割する線分。
• 円周:円に沿った一周の長さ、または円の周りの距離。
• 直径: 端点が円上にあり、中心を通過する線分、またはそのような線分の長さ。これは、円上の任意の 2 点間の最大距離です。これは弦の特殊なケースであり、つまり、特定の円に対する最長弦であり、その長さは半径の長さの 2 倍です。
• ディスク: 円で囲まれた平面の領域。厳密な数学的用法では、円はディスク (または円盤) の境界のみを指しますが、日常的な用法では、「円」という用語はディスクを指すこともあります。
• レンズ: 重なり合った 2 つのディスクの共通領域 (交差領域)。
• 半径: 円の中心と円自体の任意の 1 点を結ぶ線分、またはそのような線分の長さ (直径の長さの半分)。通常、半径は正の数として示され、正の数である必要があります。円は、1 つの点からなる退化したケースです。${\displaystyle r}$${\displaystyle r=0}$
• 扇形: 共通の中心と、この中心と半径の端点によって決定される 2 つの可能な円弧のいずれかを持つ、等しい長さの 2 つの半径によって囲まれた領域。
• セグメント: 弦と弦の端点を結ぶ円弧の 1 つで囲まれた領域。弦の長さによって、可能な円弧の直径の下限が決まります。セグメントという用語は、円弧が属する円の中心を含まない領域に対してのみ使用されることがあります。
• 割線: 延長された弦、同一平面上の直線、円と 2 点で交差する線。
• 半円: 直径の両端点によって決まる 2 つの円弧のうちの 1 つで、中心は直径の中点です。非技術的な一般的な用法では、直径とその円弧の 1 つで囲まれた 2 次元領域の内部を意味します。これは技術的には半円と呼ばれます。半円は、線分の特殊なケース、つまり最大の線分です。
• 接線: 円と共通する 1 つの点を持つ同一平面上の直線 (「この点で円に接する」)。

指定されたすべての領域は、境界を含まない「開いた」領域と見なすことも、それぞれの境界を含む「 閉じた」領域と見なすこともできます。

サークルという言葉は、ギリシア語のκίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos )に由来しており、それ自体はホメロスのギリシア語のκρίκος ( krikos )の転置であり、「輪」または「リング」を意味します。^[1]サーカスとサーキットという言葉の語源は密接に関連しています。

先史時代の人々は石の環状列石や木製の環状列石を作り、円形の要素は岩絵や洞窟壁画によく見られます。^[2]円盤状の先史時代の遺物には、ネブラ天空円盤やビと呼ばれる翡翠の円盤などがあります。

紀元前1700年に書かれたエジプトのリンド・パピルスには、円の面積を求める方法が記されている。結果は次のようになる。256/81⁠ (3.16049...) をπの近似値として用いる。^[3]

ユークリッドの『原論』第 3 巻では円の性質について扱っています。ユークリッドの円の定義は次のとおりです。

円は 1 本の曲線で囲まれた平面図形で、その内部の特定の点から境界線まで引いたすべての直線は等しくなります。境界線は円周と呼ばれ、点は中心と呼ばれます。

— ユークリッド『原論』第1巻^{[4] ：4}

プラトンの第七の手紙には、円の詳細な定義と説明がある。プラトンは完全な円について、またそれが他のいかなる図、言葉、定義、説明ともどう違うのかを説明している。初期の科学、特に幾何学、占星術、天文学は、中世の学者のほとんどにとって神と結びついており、円には本質的に「神」または「完全」なものが見つかると多くの人が信じていた。^{[5] [6]}

1880年、フェルディナント・フォン・リンデマンはπが超越数であることを証明し、何千年も前からある円の二乗の問題が定規とコンパスでは解けないことを証明した。^[7]

20世紀初頭の抽象芸術の出現により、幾何学的な物体はそれ自体が芸術的主題となった。特にワシリー・カンディンスキーは、円を作品の要素として頻繁に使用した。 ^{[8] [9]}

アッシリア人や古代エジプト人、中国のインダス川流域や黄河流域の文明、古典古代の西洋文明である古代ギリシャやローマなど、知られている最古の文明の時代から、円は視覚芸術において直接的または間接的に使用され、芸術家のメッセージを伝えたり、特定の考えを表現したりしてきました。しかし、世界観（信仰や文化）の違いは芸術家の認識に大きな影響を与えました。ある芸術家は民主的な表現を示すために円の周囲を強調しましたが、他の芸術家は宇宙の統一の概念を象徴するために円の中心に注目しました。神秘主義の教義では、円は主に存在の無限で循環的な性質を象徴しますが、宗教的伝統では天体や神霊を表しています。

円は、統一、無限、完全性、宇宙、神性、バランス、安定、完璧など、多くの神聖で精神的な概念を意味します。このような概念は、コンパス、光輪、魚のうとその派生語（魚、目、光輪、マンドルラなど）、ウロボロス、法輪、虹、マンダラ、バラ窓などのシンボルの使用を通じて、世界中の文化で伝えられてきました。^[10] 魔法陣は、西洋秘教のいくつかの伝統の一部です。

円の円周と直径の比はπ (パイ) で、無理 定数でおよそ 3.141592654 に等しい。円の円周と半径の比は2 πである。^[a]したがって、円周C は半径rおよび直径dと次のように関係している。 $${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.}$$

アルキメデスが『円の測定』で証明したように、円で囲まれた面積は、底辺が円周の長さで高さが円の半径に等しい三角形の面積に等しく、^[11]円周の半径の2乗に πを掛けたものになります。$${\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r^{2}.}$$

同様に、直径をdで表すと、 それは外接する正方形（辺の長さがd ） の約 79% になります。 $${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},}$$

円は、与えられた弧の長さに対して最大面積を囲む平面曲線です。これは、円を変分法の問題、つまり等周不等式に関連付けます。

半径rの円が角の頂点を中心とし、その角が円弧の長さsで円弧と交わる場合、角度のラジアン値𝜃は円弧の長さと半径の比になります。 $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}.}$$

円弧は、円の中心の角度を成すと言われています。完全な円がその中心で成す角度は完全な角度であり、2πラジアン、 360度、または1回転になります。

ラジアンを使用すると、半径rで角度𝜃を測る 円弧の弧長sの式は次のようになります。$${\displaystyle s=\theta r,}$$

半径r、中心角𝜃 の円弧の面積Aの公式は、$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}.}$$

特別な場合𝜃 = 2 πでは、これらの式はそれぞれ完全な円の円周と完全な円盤の面積をもたらします。

x – y 直交座標系では、中心座標が( a , b )で半径rの円は、次の式で表されるすべての点( x , y ) の集合である。$${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.}$$

この方程式は円の方程式として知られ、円上の任意の点に適用されるピタゴラスの定理から導かれます。次の図に示すように、半径は直角三角形の斜辺で、他の辺の長さは | x − a | と | y − b | です。円の中心が原点 (0, 0) にある場合、方程式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$$

この方程式は、三角関数の正弦と余弦 を使用して、次のようにパラメトリック形式で表すことができます 。ここで、tは 0 から 2 π の範囲のパラメトリック変数であり、幾何学的には( a、  b ) から ( x、  y ) への光線が正のx軸となす角度として解釈されます 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\sin t,\end{aligned}}}$$

円の別のパラメータ化は $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\y&=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$$

このパラメータ化では、 tとrの比は、中心を通りx 軸に平行な直線の立体投影として幾何学的に解釈できます(接線半角置換を参照)。ただし、このパラメータ化は、 t がすべての実数だけでなく無限遠点ま​​での範囲に設定されている場合にのみ機能します。そうでない場合、円の左端の点は省略されます。

直線上にない3点によって決まる円の方程式は、円方程式の3点形式を変換することによって得られます。 ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$$${\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

同次座標では、円の方程式を持つ 各円錐曲線は次の形式を持つ。$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}$$

円錐曲線が円であることは、複素射影平面に延長されたときに点I (1: i : 0) と点J (1: − i : 0) を含むときに証明できます。これらの点は無限遠点と呼ばれます。

極座標では、円の方程式は $${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},}$$

ここで、aは円の半径、は円上の一般的な点の極座標、は円の中心の極座標です (つまり、r ₀は原点から円の中心までの距離、φ は正のx 軸から原点と円の中心を結ぶ線までの反時計回りの角度です)。原点を中心とする円、つまりr ₀ = 0の場合、これはr = aに簡略化されます。r ₀ = aの場合、つまり原点が円上にある場合、方程式は次のようになります 。${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle (r_{0},\phi )}$$${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).}$$

一般的なケースでは、方程式はrについて解くことができ、次 のようになります。± 符号がない場合、方程式は半円のみを表す場合があります。 $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.}$$

複素平面において、中心がcで半径がrの円は、次の式で表される。 $${\displaystyle |z-c|=r.}$$

パラメトリック形式では、次のように記述できます。 $${\displaystyle z=re^{it}+c.}$$

少し一般化した方程式 $${\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}$$

実数p、q、複素数gに対して、一般化円と呼ばれることがあります。 これは、 であるため、 の円に対して上記の式になります。 すべての一般化円が実際に円であるわけではありません。一般化円は、(真の) 円または直線のいずれかです。 ${\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}$${\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}$

円上の点Pを通る接線は、 Pを通る直径に垂直です。P = ( x ₁ , y ₁ )で円の中心が ( a , b )、半径がrの場合、接線は ( a , b ) から ( x ₁ , y _{1 ) への線に垂直なので、} ( x ₁ − a ) x + ( y ₁ – b ) y = cという形式になります。 ( x ₁ , y _{1 ) で評価すると}cの値が決まり、その結果、接線の方程式は 次のように なります。$${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$$${\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}$$

y ₁ ≠ bの場合、この直線の傾きは $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

これは暗黙の微分法を使って求めることもできます。

円の中心が原点にあるとき、接線の方程式はとなり 、その傾きは $${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

• 円は、与えられた周囲の長さに対して面積が最大となる図形です (等周不等式を参照)。
• 円は対称性が非常に高い形状です。中心を通るすべての直線は鏡映対称線を形成し、すべての角度で中心の周りを回転対称です。その対称群は直交群O(2, R )です。回転のみの群は円群 Tです。
• すべての円は類似している。^[12]
  • 円周と半径は比例します。
  • 囲まれた面積とその半径の二乗は比例します。
  • 比例定数はそれぞれ 2 πとπです。
• 原点を中心とし半径 1 の円を単位円と呼びます。
  • 単位球面の大円として考えると、リーマン円になります。
• 同じ直線上にない任意の 3 点を通る唯一の円が存在します。直交座標では、指定された 3 点の座標に基づいて、円の中心の座標と半径の明示的な式を与えることができます。外接円を参照してください。

• 弦の長さが等しい場合にのみ、弦は円の中心から等距離にあります。
• 弦の垂直二等分線は円の中心を通ります。垂直二等分線の一意性から生じる同等の記述は次のようになります。
  • 円の中心から垂直に引いた線は弦を二等分します。
  • 弦を二等分する中心を通る線分は弦に対して垂直です。
• 円の中心角と円周角が同じ弦によって囲まれ、弦の同じ側にある場合、中心角は円周角の 2 倍になります。
• 2 つの角度が同じ弦上に、かつ弦の同じ側に内接する場合、それらの角度は等しくなります。
• 2 つの角度が同じ弦上にあり、弦の反対側に内接する場合、それらの角度は補角度です。
  • 円周四辺形の場合、外角は内対角に等しくなります。
• 直径によって囲まれる円周角は直角です（タレスの定理を参照）。
• 直径は円の最も長い弦の長さです。
  • 弦 AB を共有するすべての円の中で、半径が最小の円は直径 AB の円です。
• 任意の 2 本の弦の交点が、一方の弦を長さaとbに分割し、もう一方の弦を長さcとdに分割する場合、ab = cdです。
• 任意の2本の直交する弦の交点が、一方の弦を長さaとbに分割し、もう一方の弦を長さcとdに分割する場合、a ² + b ² + c ² + d ^2は直径の2乗に等しくなります。^[13]
• ある点で直角に交差する任意の2本の弦の長さの二乗の合計は、同じ点で交差する他の任意の2本の垂直弦の長さの二乗の合計と同じであり、8 r ² − 4 p ²で表されます。ここで、rは円の半径、pは中心点から交差点までの距離です。^[14]
• 円上の点から特定の弦までの距離に円の直径を掛けたものは、その点から弦の端までの距離の積に等しい。^{[15] : p.71}

• 円上にある半径の終点を通って半径に垂直に引かれた線は、円の接線です。
• 円との接点を通る接線に垂直に引いた線は、円の中心を通ります。
• 円の外側の任意の点から円に 2 本の接線を引くことができ、これらの接線の長さは等しくなります。
• Aにおける接線とBにおける接線が外点Pで交差し、中心をOとすると、角 ∠ BOAと角 ∠ BPAは補角となります。
• ADがAで円に接し、AQが円の弦である場合、 ∠DAQ = ⁠1/2⁠アーク( AQ )。

• 弦定理によれば、 2 つの弦CDとEB がAで交差する場合、AC × AD = AB × AEとなります。
• 2 つの割線AEとADもそれぞれ円をBとCで切る場合、AC × AD = AB × AE となります(弦定理の系)。
• 接線は、両端が一致する割線の極限ケースと考えることができます。外部点Aからの接線が円とFで交わり、外部点Aからの割線が円とCおよびDでそれぞれ交わる場合、AF ² = AC × AD (接線-割線定理) となります。
• 弦とその端点の 1 つにおける接線との間の角度は、弦の反対側にある円の中心を成す角度の半分に等しくなります (接線弦角度)。
• 中心の弦の角度が 90 °の場合、ℓ = r √2となります。ここで、ℓ は弦の長さ、r は円の半径です。
• 右図のように円に 2 つの割線が内接している場合、角度Aの値は、囲まれた円弧 (および)の差の半分に等しくなります。つまり、となり、O は円の中心です (割線-割線定理)。${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$

内接角 (図の青と緑の角度が例) は、対応する中心角(赤) のちょうど半分です。したがって、同じ円弧 (ピンク) を囲む内接角はすべて等しくなります。円弧 (茶色) に内接する角は補角です。特に、直径を囲む内接角はすべて直角です(中心角が 180° であるため)。

サジッタ（正弦とも呼ばれる）は、弦の中点と円弧の間に弦に垂直に引かれた線分です。

弦の長さyと矢状線の長さxが与えられれば、ピタゴラスの定理を使用して、2 つの直線の周りに収まる唯一の円の半径を計算できます。 $${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

この結果の別の証明は、上記の 2 つの弦特性のみに依存しており、次のようになります。長さyの弦と長さxの矢状線がある場合、矢状線は弦の中点と交差するため、矢状線は円の直径の一部であることがわかります。直径は半径の 2 倍であるため、直径の「欠けている」部分の長さは ( 2 r − x ) です。1 つの弦の一部と他の部分を掛け合わせたものが、最初の弦と交差する弦に沿って取られた同じ積に等しいという事実を使用して、 ( 2 r − x ) x = ( y / 2) ^{2 で}あることがわかります。rについて解くと、必要な結果が得られます。

コンパスと定規を使って円を描く作図は数多くあります。

最も単純で基本的な方法は、円の中心と円上の点が与えられた場合の構築です。コンパスの固定脚を中心点に置き、可動脚を円上の点に置き、コンパスを回転させます。

• 直径の中点 Mを作成します。
• 直径の端点の 1 つを通過する中心Mを持つ円を作成します(もう一方の端点も通過します)。

• 点P、Q、Rに名前を付けます。
• 線分PQの垂直二等分線を作成します。
• 線分PRの垂直二等分線を作成します。
• これら 2 つの垂直二等分線の交点をMとします。(これらの点は同一直線上にないため、交わります)。
• 点P、Q、またはRのいずれかを通る中心Mを持つ円を作図します(他の 2 つの点も通ります)。

ペルガのアポロニウスは、円は、2つの固定された焦点AとBまでの距離の比が一定（1以外）である平面上の点の集合としても定義できることを示しました。^{[16] [17]}（距離が等しい点の集合は、線分ABの垂直二等分線、つまり線分です。）その円は、 2つの点 の周りに描かれていると言われることもあります。

証明は 2 つの部分に分かれています。まず、2 つの焦点AとBと距離の比が与えられた場合、距離の比を満たす任意の点P は特定の円上に必ずあることを証明する必要があります。Cは、同様に比を満たし、線分AB上にある別の点とします。角の二等分線定理により、線分PC は、線分が相似であるため、 内角 APB を二等分します。$${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}$$

同様に、延長されたAB上の点D を通る線分PD は、延長されたAP上にあるQの対応する外角BPQ を二等分します。内角と外角の合計は 180 度なので、角CPDはちょうど 90 度、つまり直角です。角CPDが直角である点Pの集合は円を形成し、その円の直径は CDです。

次に、示された円上のすべての点が与えられた比を満たすことの証明については ^{[18] ：15 を参照。}

円の密接に関連する性質として、複素平面上の点の複比の幾何学があります。 A、B、Cが上記のとおりであれば、これら 3 つの点に対するアポロニウスの円は、複比の絶対値が 1 に等しい点 Pの集合です。$${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

言い換えると、複素平面上の単位円上にある 場合のみ、 P はアポロニウスの円上の点となります。

C が線分ABの中点である場合、アポロニウスの条件を満たす点 の集合Pは 円ではなく線分になります。 $${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$

したがって、A、B、Cが平面上の異なる点である場合、上記の式を満たす点Pの軌跡は「一般化された円」と呼ばれます。これは、真円または直線のいずれかです。この意味で、直線は無限半径の一般化された円です。

すべての三角形には、内接円と呼ばれる固有の円が内接しており、三角形の3辺のそれぞれに接しています。^[19]

ほぼすべての三角形には、三角形の3つの頂点のそれぞれを通る外接円と呼ばれる固有の円が外接します。^[20]

接線多角形（接線四辺形など）は、多角形の各辺に接する円を内接させることができる凸多角形です。[ 21 ]すべて^の正多角形とすべての三角形は接線多角形です。

環状多角形は、各頂点を通る円が外接できる凸多角形です。よく研究されている例として、環状四辺形があります。すべての正多角形とすべての三角形は、環状多角形です。環状かつ接線方向である多角形は、二心多角形と呼ばれます。

内サイクロイドは、与えられた円の内側を転がり、その円に接する小さな円上の固定点をトレースすることによって、与えられた円に内接する曲線です。

円は、他のさまざまな図形の極限ケースとして考えることができます。

• n辺の正多角形の列は、 n が無限大に近づくにつれて円がその極限になります。この事実はアルキメデスによってπ を近似するために適用されました。
• デカルト楕円は、その点のいずれかから 2 つの固定点 (焦点) までの距離の加重合計が定数である点の集合です。重みが等しいのは楕円です。円は離心率がゼロの楕円で、2 つの焦点が円の中心として互いに一致します。円は、重みの 1 つがゼロであるデカルト楕円の別の特殊なケースでもあります。
• 超楕円は、正のa、b、nに対して、の形の方程式を持ちます。超円は、b = aです。円は、 n = 2である超円の特殊なケースです。${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$
• カシニの楕円は、そのいずれかの点から 2 つの固定点までの距離の積が定数となる点の集合です。2 つの固定点が一致すると、円になります。
• 一定幅の曲線とは、2 本の平行線の方向に関係なく、その幅が 1 点で交差する 2 本の平行線の間の垂直距離として定義される図形です。円は、このタイプの図形の最も単純な例です。

平面上の有限の点集合を考えます。与えられた点までの距離の二乗の合計が一定であるような点の軌跡は、その中心が与えられた点の重心にある円です。^[22]距離の高次の累乗に対する一般化は、点の下で正多角形の頂点を取る ことで得られます。 ^[23]円周半径が である与えられた正多角形の頂点までの距離の - 累乗の合計が一定であるような点の軌跡は、 その中心が の重心にある場合、円です 。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle 2m}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m},\quad {\text{ where }}~m=1,2,\dots ,n-1;}$$${\displaystyle P_{n}}$

正三角形の場合、2 乗と 4 乗の定数和の軌跡は円ですが、正方形の場合は、2 乗、4 乗、6 乗の定数和の軌跡は円です。正五角形の場合は、距離の 8 乗の定数和が追加され、以下同様になります。

円の正方形化は、古代の 幾何学者によって提唱された問題であり、コンパスと定規を使用して有限数の手順のみを使用して、与えられた円と同じ面積の正方形を構築するという問題です。

1882年、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理により、この課題は不可能であることが証明されました。この定理は、円周率πが代数的無理数ではなく超越数であること、つまり、有理係数を持つ多項式の根ではないことを証明しています。不可能であるにもかかわらず、このトピックは疑似数学愛好家にとって引き続き興味深いものです。

円を、ある点から一定の距離にある点の集合と定義すると、距離の定義が異なると、異なる形状を円とみなすことができます。pノルムでは、距離は次のように決定されます 。 ユークリッド幾何学では、p = 2なので、おなじみの $${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$$${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

タクシー幾何学では、p = 1 です。タクシー円は、座標軸に対して 45° の角度をなす辺を持つ正方形です。ユークリッド距離を使用すると各辺の長さは r となり、円の半径はrですが、タクシー幾何学ではその長さは 2 rです。したがって、円の円周は 8 rです。したがって、この幾何学における の幾何学的類似物の値は4 です。タクシー幾何学における単位円の式は、直交座標と 極座標で表されます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle |x|+|y|=1}$$${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$

半径 1 の円 (この距離を使用) は、その中心のフォン ノイマン近傍です。

平面上のチェビシェフ距離( L _∞メトリック)の半径rの円は、座標軸に平行な辺の長さが 2 rの正方形でもあるため、平面チェビシェフ距離は、回転とスケーリングによって平面タクシー距離と同等と見なすことができます。ただし、 L ₁メトリックとL _∞メトリック間のこの同等性は、高次元には一般化されません。

円は1 次元の 超球面(1 球面) です。

位相幾何学では、円は幾何学的概念に限定されず、その同相写像すべてに当てはまります。2つの位相的な円は、 R ³をそれ自身に変形することで他の円に変換できる場合、同値です（アンビエント同位体と呼ばれます）。^[24]

• アフィン球
• アペイロゴン
• 円フィッティング
• ガウス円問題
• 円内の反転
• 直線と円の交差
• サークルトピック一覧
• 球
• 3つの点が円を決定します
• 軸の翻訳

• ペドー、ダン（1988）。幾何学：総合コース。ドーバー。ISBN 9780486658124。

• 「円」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
• PlanetMathの Circle 。
• Weisstein、Eric W.「Circle」。MathWorld。
• 「インタラクティブJavaアプレット」。円の特性と円を含む基本的な構成について
• 「インタラクティブな円の標準形方程式」。ポイントをクリックしてドラッグすると、標準形方程式の動作を確認できます。
• 「円をむしゃむしゃ食べる」。カット・ザ・ノット。