シュルバ・スートラ

シュルヴァ・スートラまたはシュルバスートラ（サンスクリット語：शुल्बसूत्र、śulba：「紐、コード、ロープ」）は、シュラウタ儀式に属する経典であり、火祭壇の建設に関連する幾何学が含まれています。

シュルバ・スートラは、シュラウタ・スートラと呼ばれる、ヴェーダの付録とみなされる、より大規模なテキスト集の一部である。これらは、ヴェーダ時代のインド数学に関する唯一の情報源である。独特のヴェーディ（火の祭壇）の形は、神々からの独特の贈り物と関連していた。例えば、「天国を望む者は、ハヤブサの形をした火の祭壇を造らなければならない」、「ブラフマンの世界を勝ち取りたい者は、カメの形をした火の祭壇を造らなければならない」、「現在および将来の敵を滅ぼしたい者は、菱形の火の祭壇を造らなければならない」などである。^[1]

数学的に最も重要な 4 つの主要なシュルバ スートラは、 バウダヤナ、マナヴァ、アパスタンバ、カティヤヤナに帰せられるものである。^[2]これらのスートラの言語は後期ヴェーダ サンスクリット語で、紀元前1 千年紀頃に書かれたものである。^[2]最も古いのはバウダヤナに帰せられるスートラで、紀元前 800 年から紀元前 500 年頃に編纂されたと考えられる。^[2] ピングリーは、アパスタンバが次に古いとみられると述べ、カティヤヤナとマナヴァを、明らかな借用に基づいて年代順に 3 番目と 4 番目に位置付けている。^{[3]プロフカーによると、カティヤヤナは「おそらく紀元前 4 世紀半ばに}パーニニ がサンスクリットの文法体系を大々的に編纂」した後に編纂されたが、マナヴァはバウダヤナと同じ時期に位置付けている。^[4]

ヴェーダのテキストの構成に関して、プロフカーは次のように書いている。

サンスクリット語を神聖な言葉として崇拝するヴェーダの教えは、その神聖な啓示のテキストが、書面で伝えられるのではなく、朗読され、聞かれ、暗記されることを意図しており、サンスクリット文学全般の形成に貢献しました。...したがって、テキストは、特に古典期には、簡単に暗記できる形式、つまり、簡潔な散文の格言（スートラ、後に一般的な規則やアルゴリズムを意味するようになった言葉）または詩のいずれかで構成されました。当然、暗記のしやすさは、理解のしやすさを妨げることがありました。その結果、ほとんどの論文には、1つまたは複数の散文の注釈が補足されていました..." ^[5]

シュルバ・スートラにはそれぞれ複数の注釈があるが、これらは原典よりずっと後に書かれたものである。例えば、アパスタンバに関するスンダララジャの注釈は15世紀後半のものであり^[6]、バウダヤナに関するドヴァーラカーナータの注釈はスンダララジャから借用したものと思われる。^[7] スタールによれば、シュルバ・スートラに記述されている伝統の特定の側面は「口頭で伝えられた」とされ、南インドでは火祭壇の儀式が今も行われ、口伝の伝統が保存されている場所を指摘している。^[8] しかし、火祭壇の伝統はインドではほとんど消滅しており、プロフカーは、その慣習が残っている地域は、途切れることのない伝統ではなく、後のヴェーダの復興を反映している可能性があると警告している。^[4] シュルバ・スートラに記述されている祭壇構造の考古学的証拠は乏しい。 1957年から^{1959年にかけて}カウサンビで行われたGRシャルマの発掘調査で、紀元前2世紀に遡る大きなハヤブサの形をした火の祭壇（シェナシティ）が発見されましたが、この祭壇はシュルバ・スートラで規定されている寸法には適合していません。^{[3] [10]}

シュルバ・スートラの内容は、作品自体よりも古いと思われます。紀元前2千年紀後半または紀元前1千年紀前半の内容を持つサタパタ・ブラフマナとタイッティリヤ・サンヒターには、バウダヤナ・シュルバ・スートラに記載されている三角形の1つである、15パダと36パダの脚を持つ直角三角形に基づいた寸法の祭壇が記述されています。^{[11] [12]}

シュルバ・スートラの数学の起源は不明である。グプタが提唱したように、幾何学は儀式の必要性を満たすために開発された可能性がある。^[13] 一部の学者はさらに踏み込んでいる。スタールは、インドとギリシャの幾何学には共通の儀式的起源があると仮定し、倍数化やその他の幾何学的変換問題に対する同様の関心とアプローチを挙げている。^[14] ザイデンバーグとそれに続くファン・デル・ワールデンは、数学の儀式的起源をより広く捉え、ピタゴラスの定理の発見などの主要な進歩は一か所でのみ発生し、そこから世界中に広まったと仮定している。^{[15] [16]} ファン・デル・ワールデンは、シュルバ・スートラの著者は紀元前600年以前に存在しており、ギリシャ幾何学の影響を受けなかったと述べている。^{[17] [18]}ボイヤーは古バビロニアの数学（紀元前2000年頃～紀元前1600年頃）を起源として挙げているが、紀元前1800年頃のプリンプトン322の粘土板には三つ組の表があり、シュルバ・スートラにはバビロンの文献にはない公式が含まれているとも記されている。^{[19] [1]} KSクリシュナンは、シュルバ・スートラはメソポタミアのピタゴラス三つ組よりも古いと主張している。^[20] ザイデンバーグは、「古バビロニアはピタゴラスの定理をインドから得たか、古バビロニアとインドが第三の文献から得たかのどちらかだ」と主張している。ザイデンバーグは、この文献はシュメール語で紀元前1700年以前のものである可能性を示唆している。^[21] 対照的に、ピングリーは「[祭壇建築者の]作品に幾何学の独自の起源を見るのは間違いだろう。インドや他の場所では、実際的または理論的な問題に応えて、その解決策が記憶に残されたり、最終的に写本に書き写されたりすることなく、他の幾何学者がここまで進歩した可能性がある」と警告している。 ^[22] プロフカーはまた、「既存の幾何学の知識が[意識的に]儀式の実践に組み込まれた」可能性を提起している。^[23]

1. アパスタンバ
2. バウダヤナ
3. マナバ
4. カティアヤナ
5. Maitrayaniya (マナヴァのテキストにやや似ています)
6. ヴァラハ（原稿）
7. ヴァドゥラ（原稿）
8. ヒランヤケシン (アパスタバ シュルバ スートラに似ています)

スートラには、ピタゴラスの定理（直角二等辺三角形の 場合と一般の場合の両方）の記述と、ピタゴラスの三つ組のリストが含まれています。^[24] たとえば、バウダヤナでは、規則は次のように示されています。

1.9. 正方形の対角線は、面積の 2 倍になります。
[...]
1.12. 長方形の横の長さによって個別に生成される [正方形の] 面積を合わせると、対角線によって生成される [正方形の] 面積に等しくなります
。1.13. このことは、辺の長さが 3 と 4、12 と 5、15 と 8、7 と 24、12 と 35、15 と 36 の長方形で見られます。^[25]

同様に、アパスタンバの火祭壇の直角構築のルールでは、次のピタゴラスの三つ組が使用されています。^{[26] [27]}

• ${\displaystyle (3,4,5)}$
• ${\displaystyle (5,12,13)​​}$
• ${\displaystyle (8,15,17)}$
• ${\displaystyle (12,35,37)}$

さらに、経典には、与えられた 2 つの正方形の和または差に等しい面積を持つ正方形を作成する手順が説明されています。どちらの作成も、最大の正方形を長方形の対角線上の正方形とし、2 つの小さい正方形をその長方形の辺上の正方形とすることで行われます。各手順で目的の面積の正方形が作成されるという主張は、ピタゴラスの定理の記述と同等です。別の作成では、与えられた長方形の面積に等しい面積を持つ正方形が作成されます。手順は、長方形の端から長方形の部分を切り取り、それを辺に貼り付けて、元の長方形に等しい面積の目盛りを形成することです。目盛りは 2 つの正方形の差であるため、問題は前述の作成のいずれかを使用して完了できます。^[28]

ボーダヤーナのシュルバ・スートラは、正方形や長方形などの幾何学的図形の構築を示しています。^[29]また、ある幾何学的図形から別の幾何学的図形への、時には近似的な面積保存変換も示しています。これには、正方形を長方形、二等辺台形、二等辺三角形、菱形、円に変換することや、円を正方形に変換することが含まれます。[ 29 ]これらのテキストでは、円を正方形^に 変換するなどの近似は、より正確な記述と並んで現れます。一例として、正方形を円で囲むという記述は、ボーダヤーナでは次のように示されています。

2.9. 正方形を円に変形したい場合は、正方形の対角線の半分の長さの紐を中心から東に伸ばし（その一部は正方形の東側の外側に伸びます）、残りの半分の対角線に外側の3分の1を加えて円を描きます。^[30]

円を二乗する式は次のように表されます。

2.10. 円を正方形にするには、直径を8つの部分に分けます。1つの部分を29の部分に分けた後、28の部分に減らし、さらに6分の1から8分の1を引いたものを減らします。2.11
. あるいは、直径を15の部分に分け、2分の1を減らします。これで正方形のおおよその辺が得られます。^[30]

2.9と2.10の構成ではπの値は3.088となるが、2.11の構成ではπは3.004となる。^[31]

祭壇の建設は、3 つの経典に見られるように、 2 の平方根の推定にもつながりました。Baudhayana 経典では、次のように記載されています。

2.12. 測定値は、その3分の1だけ増加し、さらにその4分の1から34分の1を引いた値だけ増加します。これが正方形の対角線の値です。^[30]

2の平方根の値は次のようになります。

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}=1.4142...}$^{[32] [33]}

実際、平方根を計算する初期の方法はいくつかのスートラ^[要出典]に見ることができますが、その方法には再帰式が含まれています。これは、 x の大きな値に対して、 aに比べて非常に小さいrの値に対する非再帰的な恒等式に基づいています。 ${\displaystyle {\sqrt {x}}\approx {\sqrt {x-1}}+{\frac {1}{2\cdot {\sqrt {x-1}}}}}$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2\cdot a}}}$

また、例えばビュルク^[34]は、√2のこの近似は√2が無理数であるという知識を意味すると示唆している。ヒースはユークリッドの『原論』の翻訳で、無理数が発見されたと見なされるために必要ないくつかのマイルストーンを概説し、シュルバ・スートラの時代にインドの数学がそれらのマイルストーンを達成したという証拠がないことを指摘している。^[35]

Wikiquote にShulba Sutrasに関する引用があります。

• カルパ（ヴェーダンガ）

• Boyer, Carl B. (1991).数学の歴史(第 2 版). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-54397-7。
• アルバート・ビュルク（1901年）。 「Das Āpastamba-Śulba-Sōtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen」。Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (ドイツ語)。55 : 543–591。
• Delire, Jean Michele (2009)。「異なるŚulbasūtrasの注釈の比較による年代順の推論」。Wujastyk, Dominik (編)。サンスクリットの数学と医学。pp. 37–62。
• ブライアント、エドウィン（2001）。『ヴェーダ文化の起源の探求：インド・アーリア人の移住論争』オックスフォード大学出版局。ISBN 9780195137774。
• クック、ロジャー（2005）[初版1997年]。数学の歴史：簡単なコース。ワイリー・インターサイエンス。ISBN 0-471-44459-6。
• ダッタ、ビブティブシャン（1932）。『スルバの科学。初期ヒンドゥー幾何学の研究』カルカッタ大学。
• Gupta, RC (1997)。「Baudhāyana」。Selin , Helaine (編)。非西洋文化における科学、技術、医学の歴史百科事典。Springer。ISBN 978-0-7923-4066-9。
• ヒース、サー・トーマス・L. (1925) [1908]。ユークリッドの原論13巻、ハイバーグのテキストからの翻訳、序文と解説付き。第1巻（第2版）。ニューヨーク：ドーバー。
• ピングリー、デイビッド（1981）、ゴンダ、ジャン（編）、ジョティシャストラ：アストラルと数学の文学、インド文学の歴史、第6巻、科学技術文学
• プロフカー、キム(2007)。「インドの数学」。カッツ、ビクター J (編)。エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学: 資料集。プリンストン大学出版。ISBN 978-0-691-11485-9。
• プロフカー、キム（2009年）。インドの数学。プリンストン大学出版局。ISBN 9780691120676。
• Sarma, KV (1997)。「Sulbasutras」。Selin , Helaine (編)。非西洋文化における科学、技術、医学の歴史百科事典。Springer。ISBN 978-0-7923-4066-9。
• Seidenberg, A. (1978). 「数学の起源」.正確な科学の歴史のアーカイブ. 18 (4): 301–342. doi :10.1007/BF00348435. S2CID  118671661.
• Seidenberg, A. (1983)。「ヴェーダの儀式の幾何学」。Staal, Frits (編)。『アグニ: ヴェーダの火の祭壇の儀式』。バークレー: アジア人文科学出版。
• スタール、フリッツ(1999)。「ギリシャとヴェーダの幾何学」。インド哲学ジャーナル。27 :105–127。doi : 10.1023 /A:1004364417713。S2CID 16466375  。
• ティボー、ジョージ(1875)。「シュルヴァストラについて」ベンガルアジア協会誌44 : 227–275。
• ファン・デル・ワールデン、バーテル・レンダート（1983）。古代文明における幾何学と代数。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 9783642617812。

• ジョージ・ティボー著「Dvárakánáthayajvan による解説付きの Baudháyana の Śulvasútra」は、サンスクリット文学を専門とするベナレス大学の月刊誌「The Pandit」のシリーズに掲載されました。解説は翻訳されていないことに注意してください。
  • （1875）9（108）：292–298
  • (1875–1876) 10 (109): 17–22、(110): 44–50、(111): 72–74、(114): 139–146、(115): 166–170、(116): 186–194、(117): 209–218
  • （新シリーズ）（1876–1877）1（5）：316–322、（9）：556–578、（10）：626–642、（11）：692–706、（12）：761–770
• ジョージ・ティボー著「カティヤーナのシュルバパリシシュタとスーリヤダーサの息子ラーマの解説」は、サンスクリット文学を専門とするベナレス大学の月刊誌「ザ・パンディット」のシリーズに掲載されました。解説は翻訳されていないことに注意してください。
  • （新シリーズ）（1882）4（1–4）：94–103、（5–8）：328–339、（9–10）：382–389、（9–10）：487–491
• アルバート・ビュルク（1902年）。 「Das Āpastamba-Śulba-Sōtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen」。Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (ドイツ語)。56 : 327–391。 Bürk (1901) による転写と分析。
• Sen, SN; Bag, AK (1983). The Śulba Sūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava with Text, English translation and Commentary . New Delhi: Indian National Science Academy.