制御理論

制御理論は、制御工学と応用数学の一分野であり、工学的プロセスおよび機械における動的システムの制御を扱います。その目的は、遅延、オーバーシュート、または定常エラーを最小限に抑え、制御の安定性のレベルを確保しながら、システムを望ましい状態にするためのシステム入力の適用を制御するモデルまたはアルゴリズムを開発することです。多くの場合、ある程度の最適性を達成することを目的としています。

これを行うには、必要な修正動作を備えたコントローラが必要です。このコントローラは、制御されたプロセス変数(PV) を監視し、それを基準または設定点(SP) と比較します。プロセス変数の実際の値と目的の値の差 (エラー信号または SP-PV エラーと呼ばれる) がフィードバックとして適用され、制御されたプロセス変数を設定点と同じ値にするための制御アクションが生成されます。研究されるその他の側面には、 制御可能性と観測可能性があります。制御理論は、製造、航空機、通信などの業界に革命をもたらし、ロボット工学などの新しい分野を生み出した自動化を設計するために、制御システム エンジニアリングで使用されます。

通常、ブロック図と呼ばれる図式的なスタイルが広く使用されています。ブロック図では、伝達関数(システム関数またはネットワーク関数とも呼ばれる) は、システムを記述する微分方程式に基づいた入力と出力の関係の数学的モデルです。

制御理論は、ガバナーの動作の理論的基礎がジェームズ・クラーク・マクスウェルによって初めて説明された19世紀に遡ります。^[1]制御理論は、1874年にエドワード・ラウス、1895年にチャールズ・スターム、1895年にアドルフ・フルヴィッツ によってさらに発展させられ、全員が制御安定性基準の確立に貢献しました。また、1922年以降にはニコラス・ミノルスキーによってPID制御理論が開発されました。^[2]数学的制御理論 の主な応用分野は、産業用プロセス制御システムの設計を扱う制御システム工学ですが、他の応用分野はこれをはるかに超えています。フィードバックシステムの一般理論として、制御理論はフィードバックが発生する場所であればどこでも役立ちます。したがって、制御理論は、生命科学、コンピュータ工学、社会学、オペレーションズリサーチにも応用されています。^[3]

制御システムの様々な種類は古代にまで遡るが、この分野のより正式な分析は、物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルが1868年に「調速機について」と題して行った遠心調速機の動力学分析から始まった。^[4]遠心調速機は、すでに風車の速度を制御するために使用されていた。^{[5]マクスウェルは、システムの遅れが過剰補償と不安定な動作につながる可能性がある}自己振動現象を記述し、分析した。これにより、このトピックに対する関心が高まり、その間に、マクスウェルの同級生であるエドワード・ジョン・ラウスは、マクスウェルの結果を一般的な線形システムのクラスに抽象化した。^[6]アドルフ・フルヴィッツは、1877年に微分方程式を使用してシステムの安定性を独自に分析し、現在ではラウス・フルヴィッツの定理として知られる定理を導き出した。^{[7] [8]}

動的制御の注目すべき応用は、有人飛行の分野です。ライト兄弟は1903 年 12 月 17 日に最初のテスト飛行に成功し、長時間の飛行制御能力 (翼から揚力を生み出す能力は知られていましたが、それ以上に) で際立っていました。数秒以上続く飛行には、飛行機を継続的に、確実に制御することが必要でした。

第二次世界大戦までに、制御理論は重要な研究分野となっていた。イルムガルト・フリューゲ・ロッツは不連続自動制御システムの理論を開発し、バンバン原理を航空機の自動飛行制御装置の開発に応用した。^{[9] [10]不連続制御の他の応用分野には、}射撃管制システム、誘導システム、電子機器などがある。

システムの安定性を向上させるために、機械的な方法が使用されることもあります。たとえば、船舶のスタビライザーは、水面下に取り付けられ、横方向に突出するフィンです。現代の船舶では、ジャイロ制御のアクティブ フィンが使用されることがあります。アクティブ フィンは、船に作用する風や波によって生じる横揺れを相殺するために、迎え角を変えることができます。

宇宙開発競争も正確な宇宙船の制御に依存しており、制御理論は経済学や人工知能などの分野でもますます利用されるようになっています。ここでは、目標は良い調整器定理に従う内部モデルを見つけることだと言えるでしょう。したがって、たとえば経済学では、（株式や商品の）取引モデルが市場の行動をより正確に表すほど、その市場をより簡単に制御できます（そしてそこから「有用な作業」（利益）を引き出すことができます）。AI の例としては、人間の会話状態をモデル化するチャットボットが挙げられます。チャットボットが人間の状態（電話の音声サポート ホットラインなど）をより正確にモデル化できるほど、人間をよりうまく操作できます（たとえば、ヘルプラインへの電話の原因となった問題を解決するための是正措置を実行させるなど）。最後の 2 つの例は、運動をモデル化および調整する一連の微分方程式という制御理論の狭い歴史的解釈を取り上げ、それを植物と相互作用する調整器の広大な一般化に広げています。

基本的に、制御ループには、オープンループ制御(フィードフォワード) とクローズドループ制御(フィードバック) の 2 種類があります。

オープンループ制御では、コントローラからの制御アクションは「プロセス出力」（または「制御されたプロセス変数」）とは無関係です。この良い例としては、建物の温度に関係なく、一定時間熱が加えられるようにタイマーのみで制御されるセントラルヒーティングボイラーが挙げられます。制御アクションはボイラーのオン/オフの切り替えですが、制御変数は建物の温度である必要がありますが、これはボイラーのオープンループ制御であり、温度のクローズドループ制御ではないため、そうではありません。

閉ループ制御では、コントローラからの制御動作はプロセス出力に依存します。ボイラーの例えでは、これには建物の温度を監視するサーモスタットが含まれ、それによってコントローラがサーモスタットで設定された温度に建物を維持するように信号をフィードバックします。したがって、閉ループコントローラにはフィードバックループがあり、コントローラが制御動作を実行して「参照入力」または「設定点」と同じプロセス出力を与えることを保証します。このため、閉ループコントローラはフィードバックコントローラとも呼ばれます。^[11]

英国規格協会による閉ループ制御システムの定義は、「監視フィードバックを備えた制御システムであり、このフィードバックの結果として形成された偏差信号は、偏差をゼロに減らす傾向があるように最終制御要素の動作を制御するために使用される。」^[12]

同様に、「フィードバック制御システムとは、あるシステム変数と別のシステム変数の関数を比較し、その差を制御手段として利用することで、あるシステム変数と別のシステム変数の所定の関係を維持するシステムである。」^[13]

閉ループコントローラまたはフィードバックコントローラは、開ループコントローラまたは非フィードバックコントローラとは対照的に、フィードバックを組み込んだ制御ループです。閉ループコントローラは、フィードバックを使用して動的システムの状態または出力を制御します。その名前は、システム内の情報パスに由来しています。プロセス入力（例：電気モーターに適用される電圧）は、センサーで測定され、コントローラによって処理されるプロセス出力（例：モーターの速度またはトルク）に影響を与えます。結果（制御信号）はプロセスへの入力として「フィードバック」され、ループが閉じます。^[14]

線形フィードバックシステムの場合、センサー、制御アルゴリズム、アクチュエーターを含む制御ループが、変数を設定点(SP) で調整するために配置されます。日常的な例としては、道路を走行する車両のクルーズ コントロールがあります。クルーズ コントロールでは、坂道などの外部の影響によって速度が変化しますが、ドライバーは希望の設定速度を変更できます。コントローラーのPID アルゴリズムは、車両のエンジンの出力を制御することで、遅延やオーバーシュートを最小限に抑えながら、実際の速度を最適な方法で希望の速度に戻します。達成しようとしている結果をある程度感知する機能を含む制御システムは、フィードバックを利用しており、変化する状況にある程度適応できます。オープン ループ制御システムはフィードバックを利用せず、事前に設定された方法でのみ実行されます。

クローズドループ コントローラには、オープンループ コントローラに比べて次の利点があります。

• 外乱の排除（上記のクルーズコントロールの例の坂道など）
• モデル構造が実際のプロセスと完全に一致せず、モデルパラメータが正確でない場合でも、モデルの不確実性があってもパフォーマンスが保証されます。
• 不安定なプロセスは安定化できる
• パラメータの変化に対する感度の低下
• 参照追跡パフォーマンスの向上
• ランダム変動の修正の改善^[15]

一部のシステムでは、クローズドループ制御とオープンループ制御が同時に使用されます。このようなシステムでは、オープンループ制御はフィードフォワードと呼ばれ、リファレンス追跡のパフォーマンスをさらに向上させるのに役立ちます。

一般的な閉ループ コントローラ アーキテクチャはPID コントローラです。

制御理論の分野は 2 つの分野に分けられます。

• 線形制御理論– これは重ね合わせの原理に従うデバイスで構成されたシステムに適用されます。重ね合わせの原理とは、おおよそ出力が入力に比例することを意味します。これらは線形微分方程式によって支配されます。主要なサブクラスは、時間とともに変化しないパラメータも持つシステムで、線形時不変(LTI) システムと呼ばれます。これらのシステムは、フーリエ変換、 Z 変換、ボード線図、根軌跡、ナイキスト安定条件など、汎用性の高い強力な周波数領域数学的手法に適しています。これらは、帯域幅、周波数応答、固有値、ゲイン、共振周波数、ゼロと極などの用語を使用してシステムを記述することにつながり、ほとんどの対象システムのシステム応答と設計手法のソリューションを提供します。
• 非線形制御理論– これは重ね合わせ原理に従わないシステムのより広いクラスをカバーし、すべての実際の制御システムが非線形であるため、より現実的なシステムに適用されます。これらのシステムは、多くの場合、非線形微分方程式によって支配されます。それらを扱うために開発された数少ない数学的手法はより困難で、はるかに汎用性が低く、多くの場合、狭いカテゴリのシステムにのみ適用されます。これらには、リミットサイクル理論、ポアンカレマップ、リアプノフの安定性定理、および関数の記述が含まれます。非線形システムは、シミュレーション言語を使用してその動作をシミュレートするなど、コンピューター上の数値的方法を使用して分析されることがよくあります。安定点付近の解のみが関心対象である場合、非線形システムは、摂動論を使用して線形システムで近似することによって線形化できることが多く、線形手法を使用できます。 ^[16]

制御システムを分析および設計するための数学的手法は、次の 2 つのカテゴリに分類されます。

• 周波数領域- このタイプでは、システムの入力、出力、フィードバックを表す数学的変数である状態変数の値が、周波数の関数として表されます。入力信号とシステムの伝達関数は、フーリエ変換、ラプラス変換、 Z 変換などの変換によって、時間関数から周波数の関数に変換されます。この手法の利点は、数学が簡素化されることです。システムを表す微分方程式は、解くのがはるかに簡単な周波数領域の代数方程式に置き換えられます。ただし、周波数領域手法は、前述のように線形システムでのみ使用できます。
• 時間領域の状態空間表現- このタイプでは、状態変数の値は時間の関数として表されます。このモデルでは、分析対象のシステムは 1 つ以上の微分方程式で表されます。周波数領域技術は線形システムに限定されるため、時間領域は現実世界の非線形システムの分析に広く使用されています。これらは解決するのがより困難ですが、シミュレーション言語などの最新のコンピューター シミュレーション技術により、分析が日常的に行われるようになりました。

古典的制御理論の周波数領域解析とは対照的に、現代制御理論は時間領域状態空間表現^[要出典]を利用します。これは、物理システムの数学モデルであり、一次微分方程式によって関連付けられた入力、出力、および状態変数のセットです。入力、出力、および状態の数を抽象化するために、変数はベクトルとして表現され、微分方程式と代数方程式は行列形式で記述されます (後者は動的システムが線形の場合にのみ可能です)。状態空間表現 (「時間領域アプローチ」とも呼ばれます) は、複数の入力と出力を持つシステムをモデル化および分析するための便利でコンパクトな方法を提供します。入力と出力がある場合、システムに関するすべての情報をエンコードするためにラプラス変換を記述する必要があります。周波数領域アプローチとは異なり、状態空間表現の使用は、線形コンポーネントとゼロ初期条件を持つシステムに限定されません。「状態空間」は、軸が状態変数である空間を指します。システムの状態は、その空間内の点として表すことができます。^{[17] [18]}

制御システムは、入力と出力の数に応じてさまざまなカテゴリに分類できます。

• シングル入力シングル出力(SISO) - これは最も単純で最も一般的なタイプで、1 つの出力が 1 つの制御信号によって制御されます。例としては、上記のクルーズ コントロールの例や、制御入力が入力オーディオ信号で出力がスピーカーからの音波であるオーディオ システムなどがあります。
• 複数入力複数出力(MIMO) – これらはより複雑なシステムに見られます。たとえば、ケック望遠鏡やMMTなどの現代の大型望遠鏡には、アクチュエータによってそれぞれ制御される多数の独立したセグメントで構成されたミラーがあります。ミラー全体の形状は、焦点面の複数のセンサーからの入力を使用して MIMOアクティブ光学制御システムによって常に調整され、熱膨張、収縮、回転時の応力、大気の乱流による波面の歪みによるミラー形状の変化を補正します。原子炉や人間の細胞などの複雑なシステムは、大規模な MIMO 制御システムとしてコンピューターでシミュレートされます。

古典的制御理論の適用範囲は、2 番目の入力を使用して外乱除去を解析する場合を除いて、単入力単出力(SISO) システム設計に限定されます。システム解析は、微分方程式を使用して時間領域で、ラプラス変換を使用して複素数領域で、または複素数領域からの変換によって周波数領域で実行されます。多くのシステムは、時間領域で 2 次および 1 変数のシステム応答を持つと想定できます。古典的理論を使用して設計されたコントローラは、設計近似が正しくないため、現場での調整が必要になることがよくあります。しかし、現代制御理論を使用して設計されたシステムと比較して、古典的なコントローラ設計の物理的な実装が容易なため、これらのコントローラはほとんどの産業用アプリケーションで好まれています。古典的制御理論を使用して設計された最も一般的なコントローラはPID コントローラです。あまり一般的ではない実装では、リード フィルタまたはラグ フィルタのいずれかまたは両方が含まれる場合があります。最終的な目標は、通常、ステップ応答と呼ばれる時間領域で提供される要件、またはオープン ループ応答と呼ばれる周波数領域で提供される要件を満たすことです。仕様に適用されるステップ応答特性は、通常、オーバーシュート率、整定時間などです。仕様に適用されるオープンループ応答特性は、通常、ゲインと位相マージン、帯域幅です。これらの特性は、補償モデルと結合された制御下のシステムの動的モデルを含むシミュレーションを通じて評価できます。

現代制御理論は状態空間で実行され、多入力多出力（MIMO）システムを扱うことができる。これは、戦闘機の制御などのより洗練された設計問題における古典的制御理論の限界を克服するが、周波数領域解析は不可能であるという制限がある。現代設計では、システムは、状態変数を使用して定義された一連の分離された一次微分方程式として最大限に表現される。非線形、多変数、適応およびロバスト制御理論はこの分類に含まれる。行列法は、入力と出力の関係において線形独立性を保証できないMIMOシステムに対して大幅に制限される。^{[要出典]現代制御理論はかなり新しいため、まだ探求されていない領域が数多くある。}ルドルフ・E・カルマンやアレクサンドル・リャプノフなどの学者は、現代制御理論を形作った人々の中でよく知られている。

入力のない一般的な動的システムの安定性は、リャプノフの安定性基準で記述できます。

• 線形システムは、任意の制限された入力に対して出力が制限されたままである場合、制限された入力制限された出力 (BIBO) 安定であると呼ばれます。
• 入力を受け取る非線形システムの安定性は、入力対状態安定性(ISS) であり、これは、リャプノフ安定性と BIBO 安定性に似た概念を組み合わせたものです。

簡単にするために、以下の説明では連続時間線形システムと離散時間線形システムに焦点を当てます。

数学的には、因果線形システムが安定であるためには、その伝達関数のすべての極が負の実数値、つまり各極の実部がゼロ未満でなければならないことを意味します。実際的に言えば、安定性には伝達関数の複素極が

• ラプラス変換を使用して伝達関数を取得する場合、連続時間の複素平面の開いた左半分で。
• Z 変換が使用される場合、離散時間の単位円の内側。

2 つのケースの違いは、連続時間と離散時間の伝達関数をプロットする従来の方法によるものです。連続ラプラス変換は、軸が実軸である直交座標で行われ、離散 Z 変換は、軸が実軸で ある円座標で行われます。${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho}$

上記の適切な条件が満たされている場合、システムは漸近的に安定していると言われます。漸近的に安定な制御システムの変数は、常に初期値から減少し、永続的な振動を示しません。永続的な振動は、極の実部が正確にゼロに等しい場合 (連続時間の場合)、または係数が1 に等しい場合 (離散時間の場合) に発生します。単純に安定したシステム応答が時間の経過とともに減少も増加もせず、振動もない場合は、限界的に安定しています。この場合、システム伝達関数は複素平面の原点に非反復極を持ちます (つまり、連続時間の場合、実数部と複素数部はゼロです)。実部がゼロの極の虚部がゼロに等しくない場合、振動が発生します。

問題のシステムがインパルス応答を 持つ場合

${\displaystyle \ x[n]=0.5^{n}u[n]}$

Z変換（この例を参照）は次のように表される。

${\displaystyle \ X(z)={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}}$

これは（虚数部がゼロ）に極を持ちます。このシステムは、極が単位円 の内側にあるため、BIBO（漸近的）に安定です。${\displaystyle z=0.5}$

しかし、インパルス応答が

${\displaystyle \ x[n]=1.5^{n}u[n]}$

Z変換は

${\displaystyle \ X(z)={\frac {1}{1-1.5z^{-1}}}}$

には極があり、極の係数が 1 より大きいため BIBO 安定ではありません。 ${\displaystyle z=1.5}$

システムの極を分析するためのツールは数多くあります。これには、根軌跡、ボード線図、ナイキスト線図などのグラフィカル システムが含まれます。

機械的な変更により、機器 (および制御システム) の安定性を高めることができます。船員は船の安定性を高めるためにバラストを追加します。クルーズ船は、船の側面から横方向に約 30 フィート (10 メートル) 伸び、軸を中心に連続的に回転してロールに対抗する力を発生させるアンチロール フィンを使用します。

制御可能性と観測可能性は、適用すべき最善の制御戦略を決定する前、あるいはシステムを制御または安定化することが可能かどうかを判断する前のシステム分析における主要な問題です。制御可能性は、適切な制御信号を使用してシステムを特定の状態に強制する可能性に関係しています。状態が制御可能でない場合、どの信号もその状態を制御することはできません。状態は制御可能ではないがそのダイナミクスが安定している場合、その状態は安定化可能と呼ばれます。一方、観測可能性は、出力測定を通じてシステムの状態を観測する可能性に関係しています。状態が観測可能でない場合、コントローラは観測不可能な状態の動作を決して判断できず、したがってその状態を使用してシステムを安定化することはできません。ただし、上記の安定化可能性条件と同様に、状態を観測できない場合でも、検出可能である可能性があります。

幾何学的な観点から、制御対象システムの各変数の状態を見ると、閉ループ システムで良好な動作を保証するには、これらの変数のすべての「悪い」状態が制御可能かつ観測可能でなければなりません。つまり、システムの固有値の 1 つが制御可能かつ観測可能でない場合、ダイナミクスのこの部分は閉ループ システムでそのまま残ります。このような固有値が安定していない場合、この固有値のダイナミクスは閉ループ システムに存在するため、不安定になります。観測不可能な極は状態空間表現の伝達関数実現には存在しないため、動的システム分析では後者が好まれることがあります。

制御不能または観測不能なシステムの問題の解決策には、アクチュエータとセンサーの追加が含まれます。

過去数年にわたり、さまざまな制御戦略が考案されてきました。これらは、非常に一般的なもの (PID コントローラー) から、非常に特殊なクラスのシステム (特にロボット工学や航空機のクルーズ コントロール) に特化したものまで多岐にわたります。

制御問題には、複数の仕様があります。もちろん、安定性は常に存在します。コントローラは、開ループの安定性に関係なく、閉ループ システムが安定していることを保証する必要があります。コントローラの選択を誤ると、開ループ システムの安定性が悪化することさえあります。これは通常回避する必要があります。閉ループで特定のダイナミクスを取得することが望まれる場合があります。つまり、極が を持ち、 が0 より確実に大きい固定値であるということです。単に を求めるのではなく。 ${\displaystyle Re[\lambda ]<-{\overline {\lambda }}}$${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$${\displaystyle Re[\lambda ]<0}$

もう 1 つの一般的な仕様は、ステップ外乱の除去です。これは、オープン ループ チェーン (つまり、制御対象のシステムの直前) に積分器を含めることで簡単に実現できます。他の種類の外乱には、異なるタイプのサブシステムを含める必要があります。

その他の「古典的な」制御理論の仕様は、閉ループシステムの時間応答に関するものです。これには、立ち上がり時間(制御システムが摂動後に目的の値に到達するのに必要な時間)、ピークオーバーシュート(目的の値に到達する前に応答が到達する最高値)、その他 (整定時間、1/4 減衰) が含まれます。周波数領域の仕様は通常、堅牢性と関連しています(後述)。

最新のパフォーマンス評価では、統合追跡誤差 (IAE、ISA、CQI) のいくつかのバリエーションが使用されます。

制御システムには、常に何らかの堅牢性プロパティが必要です。堅牢なコントローラとは、合成に使用された数学的システムとわずかに異なるシステムに適用されても、そのプロパティがあまり変化しないコントローラです。この要件は重要です。実際の物理システムは、数学的に表現するために使用される一連の微分方程式のようには動作しないからです。通常、計算を簡素化するために、より単純な数学モデルが選択されます。そうしないと、実際のシステム ダイナミクスが複雑になりすぎて、完全なモデルが不可能になる可能性があります。

システム識別

モデルのダイナミクスを制御する方程式を決定するプロセスは、システム同定と呼ばれます。これは、たとえば、一連の測定を実行して、その測定から近似数学モデル (通常はその伝達関数またはマトリックス) を計算するなど、オフラインで実行できます。ただし、出力からのこのような同定では、観測できないダイナミクスを考慮することはできません。モデルは、既知の物理方程式から直接構築されることがあります。たとえば、質量スプリングダンパーシステムの場合、 であることがわかっています。コントローラーの設計に「完全な」モデルが使用されていると仮定しても、これらの方程式に含まれるすべてのパラメーター (「公称パラメーター」と呼ばれる) が絶対的な精度でわかることはありません。制御システムは、公称値から離れた実際のパラメーター値を持つ物理システムに接続した場合でも、正しく動作する必要があります。 ${\displaystyle m{\ddot {x}}(t)=-Kx(t)-\mathrm {B} {\dot {x}}(t)}$

一部の高度な制御技術には、「オンライン」識別プロセスが含まれます (後述)。モデルのパラメータは、コントローラ自体の実行中に計算 (「識別」) されます。この方法では、パラメータの大幅な変化 (たとえば、ロボットのアームが重量物を解放した場合) が発生した場合、コントローラはそれに応じて調整し、正しいパフォーマンスを確保します。

分析

SISO (単入力単出力) 制御システムの堅牢性の分析は、システムの伝達関数を考慮し、ナイキスト線図とボード線図を使用して、周波数領域で実行できます。トピックには、ゲインと位相マージン、振幅マージンが含まれます。MIMO (多入力多出力) および一般に、より複雑な制御システムの場合、各制御技術用に考案された理論的な結果を考慮する必要があります (次のセクションを参照)。つまり、特定の堅牢性品質が必要な場合、エンジニアは、これらの品質を制御技術のプロパティに含めることで、制御技術に注意を向ける必要があります。

制約

堅牢性の具体的な問題は、入力と状態の制約がある状況で制御システムが適切に機能する必要があることです。物理世界では、すべての信号には制限があります。コントローラが物理システムが追従できない制御信号を送信することがあり、たとえば、バルブを過度の速度で回転させようとすることがあります。これにより、閉ループ システムの望ましくない動作が発生したり、アクチュエータやその他のサブシステムが損傷したり、壊れたりすることがあります。この問題を解決するために、モデル予測制御(後述) やアンチワインドアップ システムなどの特定の制御手法が利用できます。後者は、制御信号が特定のしきい値を超えないようにする追加の制御ブロックで構成されています。

MIMO システムの場合、極配置は、オープン ループ システムの状態空間表現を使用して数学的に実行し、フィードバック マトリックスを計算して極を目的の位置に割り当てることができます。複雑なシステムでは、コンピューターによる計算機能が必要になる場合があり、堅牢性が常に保証されるわけではありません。さらに、すべてのシステム状態が一般に測定されるわけではないため、オブザーバーを極配置設計に含めて組み込む必要があります。

ロボット工学や航空宇宙産業などの産業におけるプロセスは、通常、強い非線形ダイナミクスを持っています。制御理論では、このようなクラスのシステムを線形化して線形手法を適用できる場合もありますが、多くの場合、非線形システムの制御を可能にする理論をゼロから考案する必要があります。たとえば、フィードバック線形化、バックステッピング、スライディングモード制御、軌道線形化制御は、通常、リャプノフの理論に基づく結果を活用します。微分幾何学は、よく知られている線形制御の概念を非線形の場合に一般化するツールとして広く使用されており、また、より困難な問題となる微妙な点を示すツールとしても使用されています。制御理論は、認知状態を指示する神経メカニズムを解読するためにも使用されています。^[19]

システムが複数のコントローラによって制御されている場合、問題は分散制御にあります。分散化は多くの点で役立ちます。たとえば、制御システムがより広い地理的領域で動作するのに役立ちます。分散制御システムのエージェントは、通信チャネルを使用して対話し、アクションを調整できます。

確率的制御問題とは、状態変数の変化がシステム外部からのランダム ショックの影響を受ける問題です。決定論的制御問題は、外部ランダム ショックの影響を受けません。

すべての制御システムは、まず閉ループ動作の安定性を保証する必要があります。線形システムの場合、これは極を直接配置することで実現できます。非線形制御システムでは、システムの内部ダイナミクスに関係なく安定性を確保するために、特定の理論 (通常はアレクサンドル・リャプノフの理論に基づく) を使用します。さまざまな仕様を満たす可能性は、検討するモデルと選択した制御戦略によって異なります。

主な制御技術のリスト

• 最適制御は、制御信号が特定の「コスト インデックス」を最適化する特定の制御手法です。たとえば、衛星の場合、燃料消費量が最小となる目的の軌道に衛星を導くために必要なジェット推力です。 2 つの最適制御設計手法は、閉ループ安定性を保証できることが実証されているため、産業用途で広く使用されています。これらは、モデル予測制御(MPC) と線形二次ガウス制御(LQG) です。 前者は、システム内の信号に対する制約をより明示的に考慮に入れることができます。これは、多くの産業プロセスで重要な機能です。 ただし、MPC の「最適制御」構造は、このような結果を達成するための手段にすぎず、閉ループ制御システムの真のパフォーマンス インデックスを最適化するものではありません。 PID コントローラーとともに、MPC システムはプロセス制御で最も広く使用されている制御手法です。
• ロバスト制御は、コントローラ設計へのアプローチにおいて不確実性を明確に扱います。ロバスト制御法を使用して設計されたコントローラは、真のシステムと設計に使用された公称モデルとの間の小さな差異に対処できる傾向があります。 ^[20] Bodeらの初期の手法はかなりロバストでしたが、1960 年代と 1970 年代に発明された状態空間法は、ロバスト性に欠けることが判明することがありました。現代のロバスト制御技術の例には、Duncan McFarlane とKeith Gloverによって開発されたH 無限大ループシェーピング、Vadim Utkinによって開発されたスライディングモード制御(SMC) 、および Smart Power Grid アプリケーションにおける大規模で異質な電気負荷の制御用に設計された安全なプロトコルなどがあります。^[21]ロバストな手法は、小さなモデリング誤差がある場合でも ロバストなパフォーマンスや安定性を実現することを目的としています。
• 確率制御は、モデルに不確実性がある制御設計を扱います。典型的な確率制御問題では、モデルとコントローラにランダムなノイズと外乱が存在すると想定され、制御設計ではこれらのランダムな偏差を考慮する必要があります。
• 適応制御は、プロセス パラメータのオンライン識別、またはコントローラ ゲインの修正を使用して、強力な堅牢性を実現します。適応制御は 1950 年代に航空宇宙産業で初めて適用され、この分野で特に成功を収めました。
• 階層制御システムは、一連のデバイスと制御ソフトウェアが階層ツリーに配置されている制御システムの一種です。ツリー内のリンクがコンピュータネットワークによって実装されている場合、その階層制御システムもネットワーク制御システムの一種です。
• インテリジェント制御は、人工ニューラルネットワーク、ベイズ確率、ファジー論理、^[22] 機械学習、進化的計算、遺伝的アルゴリズムなどのさまざまなAIコンピューティング手法、またはニューロファジーアルゴリズムなどのこれらの方法の組み合わせを使用して、動的システムを制御します。
• 自己組織化臨界制御は、自己組織化システムがエネルギーを消散するプロセスに干渉する試みとして定義できます。

制御理論には、多くの現役および歴史上の人物が多大な貢献を果たした。

• ピエール＝シモン・ラプラスは確率論の研究の中でZ 変換を発明しました。これは現在、離散時間制御理論の問題を解くために使用されています。Z 変換は、彼にちなんで名付けられたラプラス変換の離散時間版です。
• イルムガルト・フルッゲ・ロッツは不連続自動制御の理論を開発し、それを航空機の自動制御システムに適用しました。
• 1890 年代のアレクサンダー・リャプノフが安定性理論の始まりを示した。
• Harold S. Black は1927 年に負帰還増幅器の概念を発明しました。彼は 1930 年代に安定した負帰還増幅器の開発に成功しました。
• ハリー・ナイキストは1930 年代にフィードバック システムのナイキスト安定基準を開発しました。
• リチャード・ベルマンは1940年代に動的計画法を開発した。 ^[23]
• ウォーレン・E・ディクソン、制御理論家、教授
• Kyriakos G. Vamvoudakisは、最適制御とゲーム理論の問題を解決するための同期強化学習アルゴリズムを開発しました。
• アンドレイ・コルモゴロフは1941 年にウィーナー・コルモゴロフ フィルタを共同開発しました。
• ノーバート・ウィーナーはウィーナー・コルモゴロフ フィルタを共同開発し、1940 年代にサイバネティクスという用語を作り出した。
• ジョン・R・ラガッツィーニは、 1950 年代にデジタル制御と制御理論におけるZ 変換(ラプラスによって発明)の使用を導入しました。
• レフ・ポンチャギンは最大原理とバンバン原理を提唱した。
• ピエール・ルイ・リオンは、粘性ソリューションを確率制御と最適制御の方法に 発展させました。
• ルドルフ・E・カルマンは、システムと制御に対する状態空間アプローチ の先駆者でした。制御可能性と観測可能性の概念を導入しました。線形推定のためのカルマン フィルターを開発しました。
• 非線形制御理論の主要な貢献者の一人であり、摂動法に関する多くの本を出版したアリ・H・ネイフェ
• Jan C. Willems は、入力/状態/出力システムへのリャプノフ関数の一般化として、散逸性の概念を導入しました。リャプノフ関数の類似物と呼ばれるストレージ関数の構築は、制御理論における線形行列不等式(LMI)の研究につながりました。彼は、数学的システム理論への行動的アプローチの先駆者です。

制御システムの例

制御理論のトピック

その他の関連トピック

• レヴィン、ウィリアム S. 編 (1996)。コントロール ハンドブック。ニューヨーク: CRC プレス。ISBN 978-0-8493-8570-4。
• Karl J. Åström、Richard M. Murray (2008)。フィードバックシステム：科学者とエンジニアのための入門書(PDF)。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-13576-2。
• クリストファー・キリアン (2005)。『現代の制御技術』。トンプソン・デルマー・ラーニング。ISBN 978-1-4018-5806-3。
• ヴァネヴァー・ブッシュ (1929)。『演算回路解析』、John Wiley and Sons, Inc.
• ロバート・F・ステンゲル（1994年）。最適制御と推定。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-68200-6。
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• Joseph L. Hellerstein、Dawn M. Tilbury、Sujay Parekh (2004)。『コンピューティングシステムのフィードバック制御』。John Wiley and Sons。ISBN 978-0-471-26637-2。
• Diederich Hinrichsenと Anthony J. Pritchard (2005)。『数学システム理論 I – モデリング、状態空間解析、安定性と堅牢性』。Springer。ISBN 978-3-540-44125-0。
• ソンタグ、エドゥアルド(1998)。『数理制御理論：決定論的有限次元システム』第 2 版( PDF)。Springer。ISBN 978-0-387-98489-6。
• グッドウィン、グラハム (2001)。制御システム設計。プレンティス ホール。ISBN 978-0-13-958653-8。
• Christophe Basso (2012)。リニアおよびスイッチング電源の制御ループの設計:チュートリアル ガイド。Artech House。ISBN 978-1608075577。
• Boris J. Lurie、Paul J. Enright (2019)。非線形マルチループシステムによる古典的フィードバック制御（第3版）。CRC Press。ISBN 978-1-1385-4114-6。

化学工学向け

• ルイベン、ウィリアム (1989)。化学エンジニアのためのプロセスモデリング、シミュレーション、および制御。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-039159-8。

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Wikibooksには制御システムに関する書籍があります。

• Matlab 用の制御チュートリアル。さまざまな方法で解決された、実践的な制御例のセットです。
• 制御のチューニングとベストプラクティス
• 高度な制御構造、制御理論を説明する無料のオンラインシミュレータ