連続体仮説

数学、特に集合論において、連続体仮説（略称CH ）は、無限集合の可能なサイズに関する仮説である。それは次のように述べている。

整数と実数の濃度の中間に厳密に濃度を持つ集合は存在しない。

この仮説の名前は、実数を表す「連続体」という用語に由来する。選択公理を持つツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）では、これはアレフ数における次の式と同等である。$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$または、ベス番号を使えばさらに短くなります。${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$。

連続体仮説は、1878 年にゲオルク・カントールによって提唱されました。 ^{[ 1 ]}これは集合論で最も研究されている問題の一つとなり、その真偽を立証することは、 1900 年にヒルベルトが提示した 23 の 問題の最初の問題でした。この問題の答えはZFC とは独立しています。これは、ZFC の公理では連続体仮説を証明することも反証することもできないことを意味し、連続体仮説またはその否定を ZFC 集合論の公理として追加することができ、結果として得られる理論はZFC が無矛盾である場合に限り無矛盾になります。この独立性は、1963 年にポール・コーエンによって証明され、 1940 年のクルト・ゲーデルによる以前の研究を補完しました。 ^{[ 2 ]}

一般化連続体仮説は次のように述べている。$\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$すべての序数${\displaystyle \alpha }$。

連続体仮説は、ゲオルク・カントールが1878年の論文「Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre」で初めて提唱したもので、当時未発達だった選択公理の下での標準的な定式化と同等の、現在では弱い連続体仮説と呼ばれる形をとっている。カントールは当初、弱い連続体仮説を定理として提示したが、証明は与えず、後にその正しさに確信が持てなくなった。1882年10月25日、カントールは通信相手のゴスタ・ミッタク＝レフラーに手紙を書き、連続体仮説（CH）を現代の形で定式化し、それを証明できるという確信を示した。1890年代までには、ドイツとフランスの多くの数学者がこの問題に気づいていた。カントールは長年CHの証明を試みたが、成功することはなかった。^{[ 3 ]}

これは、1900年にパリで開催された国際数学者会議（ICM）で発表された、デイヴィッド・ヒルベルトの重要な未解決問題リストの第一位となった。当時、公理的集合論はまだ定式化されていなかった。

CH の証明や反証は数多くなされてきた。早くも 1884 年にポール・タンネリーがCH を証明したと主張したが、その証明は誤りであった。1890 年にベッポ・レヴィは、実数のすべての部分集合がベール性質を持つと仮定して証明を得たと主張したが、証明は公表されなかった。^{[ 3 ]} 1904 年にハイデルベルクで開催された ICM で、ジュラ・ケーニヒはCH を反証したと発表し、フェリックス・クラインを通じてバーデン大公フリードリヒ 1 世にまで届くほどの大きな注目を集めたが、翌日には証明の欠陥が発見された。^{[ 4 ]}フェリックス・ベルンシュタインも 1904 年に CH の証明を試みたが、それは誤りであり、ほとんど反応を得られなかった。1926 年にヒルベルトは連続体仮説を解決したと主張し、証明の概略を示したが、これも誤りであった。ただし、これは後の再帰理論の考え方に影響を与えた。^{[ 5 ]}

1906年、ケーニッヒはCH反証の試みの一部を修正し、ケーニッヒの定理を確立した。この定理は、1908年にフェリックス・ハウスドルフによって導入された共終結性の概念を用いて、次の結果を示す。${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$等しくできません$\displaystyle \aleph _{\alpha }}$のために${\displaystyle \alpha }$共終結性を持つ${\displaystyle \omega }$。 例えば、$2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }}$ハウスドルフは、$\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$すべての序数について${\displaystyle \alpha }$これは、1925年にアルフレッド・タルスキによって一般化連続体仮説と名付けられることになる。1923年、トーラルフ・スコレムは、CHはツェルメロ集合論の公理では解決できないと推測した。^{[ 6 ]}

クルト・ゲーデルは1940年に、連続体仮説の否定、すなわち中間的な濃度を持つ集合の存在は、標準的な集合論では証明できないことを証明した。^{[ 2 ]}連続体仮説の独立性の後半部分、すなわち中間サイズの集合の非存在の証明不可能性は、1963年にポール・コーエンによって証明された。^{[ 7 ]}

2 つの集合は、それらの間に全単射（1 対 1 の対応）が存在する場合に、同じ濃度または濃度数を持つと言われます。直感的には、2 つの集合に対して、${\displaystyle S}$そして${\displaystyle T}$同じカーディナリティを持つということは、要素を「ペアにする」ことが可能であることを意味します。${\displaystyle S}$要素を含む${\displaystyle T}$あらゆる要素が${\displaystyle S}$ちょうど１つの要素とペアになっている${\displaystyle T}$そしてその逆もまた然り。したがって、集合は${\displaystyle \{{\text{バナナ}},{\text{リンゴ}},{\text{梨}}\}}$と同じカーディナリティを持つ${\displaystyle \{{\text{黄色}},{\text{赤}},{\text{緑}}\}}$セット自体に含まれる要素は異なっていても。

整数や有理数の集合のような無限集合の場合、2つの集合間の全単射の存在を証明することはより困難になります。有理数${\displaystyle \mathbb {Q} }$連続体仮説に対する反例のように見えるのは、整数が有理数の真部分集合を形成し、有理数自体が実数の真部分集合を形成するため、直感的には有理数は整数より多く、実数は有理数より多いということになる。しかし、この直感的な分析は、3つの集合すべてが無限であるという事実を考慮していないため、欠陥がある。おそらくさらに重要なのは、実際には集合の「大きさ」という概念を混同している点である。${\displaystyle \mathbb {Q} }$順序や位相構造が付けられている。実際、有理数は整数と一対一に対応させることができ、したがって有理数の集合は整数の集合と同じサイズ（濃度）である。つまり、どちらも可算集合である。^{[ 8 ]}

カントールは、整数の集合の濃度が実数の集合の濃度よりも厳密に小さいことを示す2つの証明を与えた（カントールの第一非可算性証明とカントールの対角線論法を参照）。しかし、彼の証明は、整数の濃度が実数の濃度よりもどの程度小さいかについては何も示していない。カントールはこの問題に対する解決策として連続体仮説を提唱した。

簡単に言うと、連続体仮説（CH）は、実​​数の集合の最小濃度が整数の集合の濃度よりも大きいことを述べています。つまり、すべての無限集合は${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$実数の は整数に 1 対 1 でマッピングできるか、実数は 1 対 1 でマッピングできます${\displaystyle S}$実数は整数の冪集合と同数であるため、${\displaystyle |\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}}$CHは次のように言い換えることができる。

選択公理を仮定すると、最小の基数は一意に定まる。$\displaystyle \aleph _{1}}$より大きい$\displaystyle \aleph _{0}}$連続体仮説は、次の等式と同等である。$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$[ ^{9 ] [ 10 ]​}

連続体仮説（CH）がツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）から独立していることは、クルト・ゲーデル とポール・コーエンの共同研究から導かれる。

ゲーデル^{[ 11 ] [ 2 ]}は、選択公理（AC）を採用した 場合、すなわちZFCからであっても、CHはZFから反証できないことを示した。ゲーデルの証明は、構成可能な宇宙においてCHとACの両方が成り立つことを示している。${\displaystyle L}$ZF集合論の内部モデルは、ZFの公理のみを仮定する。追加の公理が成り立つZFの内部モデルの存在は、ZF自体が無矛盾である限り、追加の公理が（相対的に） ZFと無矛盾であることを示している。後者の条件は、ゲーデルの不完全性定理のためにZF自体では証明できないが、広く真であると信じられており、より強力な集合論では証明できる。

コーエン^{[ 7 ] [ 12 ]}は、CHがZFC公理から証明できないことを示し、全体の独立性の証明を完成させた。この結果を証明するために、コーエンは強制法を開発した。これは集合論における標準的な手法となっている。この方法は基本的に、CHが成り立つZFのモデルから始め、元のモデルよりも多くの集合を含む別のモデルを構築するが、その新しいモデルではCHは成り立たない。コーエンはこの証明により1966年にフィールズ賞を受賞した。

コーエンの独立性証明は、CHがZFCから独立であることを示している。さらに研究が進み、CHはZFCの文脈において既知のすべての大きな基数公理から独立であることが示されている。 ^{[ 13 ]}さらに、連続体の基数性は、${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$は、ケーニッヒの定理と矛盾しない任意の基数になり得る。連続体仮説の独立性に関するコーエンの結果の直後に証明されたソロヴェイの結果は、ZFC の任意のモデルにおいて、もし${\displaystyle \kappa }$が不可算共終性の基数である場合、強制拡張が存在し、${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\kappa }$しかし、ケーニッヒの定理によれば、仮定することは矛盾している。${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$は${\displaystyle \aleph _{\omega }}$または${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}+\omega }}$または共終点を持つ任意の基数${\displaystyle \omega }$。

連続体仮説は、解析学、点集合位相幾何学、測度論における多くの命題と密接に関連している。そして、その独立性ゆえに、これらの分野における多くの重要な予想もまた、後に独立であることが示された。

ZFCからの独立性は、ZFC内でCHを証明または反証することが不可能であることを意味する。しかし、ゲーデルとコーエンの否定的な結果は、連続体仮説への関心を完全に払拭するものとして普遍的に受け入れられているわけではない。連続体仮説は依然として活発な研究テーマであり、現在の研究状況の概要については、 Woodin ^{[ 14 ] [ 15 ]}とKoellner ^{[ 16 ]}を参照のこと。

連続体仮説と選択公理は、 ZF集合論から独立していることが示された最初の真に数学的な命題の一つであった。ZFCから独立している命題の存在は、20年以上前からすでに知られていた。例えば、 ZFCの健全性と無矛盾性を仮定すれば、 1931年に発表されたゲーデルの不完全性定理は、ZFCの無矛盾性を表す形式的な命題Con(ZFC)（適切なゲーデル番号付けスキームごとに1つ）が存在し、それがZFCから独立していることを示している。後者の独立性の結果は、多くの理論において実際に成り立つ。

ゲーデルはCHが偽であると信じており、CHがZFCと矛盾しないという彼の証明は、ツェルメロ＝フレンケル公理​​が集合の宇宙を適切に特徴づけていないことを示しているにすぎない。ゲーデルはプラトン主義者であった ため、命題の真偽を証明可能性とは無関係に主張することに何の問題も感じていなかった。形式主義者であるコーエン[ ^{17 ]もまた、} CHを否定する傾向にあった。

歴史的に、「豊かで」「大きな」集合の宇宙を支持する数学者はCHに反対し、「整然とした」「制御可能な」宇宙を支持する数学者はCHを支持した。CHを含意する構成可能性の公理についても、同様の議論が賛否両論で行われた。最近では、マシュー・フォーマンが、存在論的最大主義は実際にはCHを支持する議論に利用できると指摘している。なぜなら、同じ実数を持つモデルの中で、「より多くの」実数の集合を持つモデルの方がCHを満たす可能性が高いからである。^{[ 18 ]}

別の見解としては、集合の概念はCHが真か偽かを判断するには十分具体的ではないというものがある。この見解は、ゲーデルの第一不完全性定理よりも前の1923年にスコレムによって提唱された。スコレムは現在スコレムのパラドックスとして知られるものに基づいて議論し、後にZFCの公理からCHが独立しているという証拠によって支持された。なぜなら、これらの公理は集合と濃度の基本的な性質を確立するのに十分だからである。この見解に反論するには、直観によって支持され、CHをいずれかの方向に解決する新しい公理を示すだけで十分である。構成可能性の公理はCHを解決するが、CHが一般的に偽であると考えられていないのと同様に、一般的に直観的に真であると考えられていない。^{[ 19 ]}

連続体仮説に影響を与える少なくとも他の2つの公理が提案されているが、これらの公理は現在、数学界で広く受け入れられていない。1986年、クリス・フライリング^{[ 20 ]}は、連続体仮説の否定が、確率に関する特定の直観から導き出されたフライリングの対称性の公理と同等であることを示すことで、連続体仮説に反対する議論を提示した。フライリングはこの公理が「直観的に明確」であると考えている^{[ 20 ]}が、他の人は反対している^{[ 21 ] [ 22 ] 。}

W. ヒュー・ウッディンが展開したCHに対する難解な議論は、2000年以降、かなりの注目を集めている。^{[ 14 ] [ 15 ]}フォーマンはウッディンの議論を真っ向から否定するのではなく、慎重を期すよう促している。^{[ 23 ]}ウッディンは「(*)-公理」または「スター公理」と名付けた新しい仮説を提案した。スター公理は、${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$は$\displaystyle \aleph _{2}}$それによって CH は反証された。スター公理は、マーティンの最大値の変形からスター公理を導出できることを示す 2021 年 5 月に独立した証明によって強化された。しかし、ウッディンは 2010 年代に、自身の新しい「究極の L」予想に対する信念に基づいて、現在は CH が真であると信じていると述べた。^{[ 24 ] [ 25 ]}

ソロモン・フェファーマンは、CHは明確な数学的問題ではないと主張した。^{[ 26 ]}彼は、有界量化子には古典論理を、無界量化子には直観主義論理 を用いるZFの半直観主義的サブシステムを用いて「明確性」の理論を提案し、命題が${\displaystyle \phi }$半直観主義理論が証明できるならば、数学的に「確定的」である。${\displaystyle (\phi \lor \neg \phi )}$彼は、この概念によればCHは確定的ではないと推測し、したがってCHは真理値を持たないとみなされるべきだと提案した。ピーター・ケルナーはフェファーマンの論文に対する批判的な解説を書いた。^{[ 27 ]}

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンスは集合論にマルチバースのアプローチを提案し、「連続体仮説は、マルチバースにおけるその振る舞いに関する我々の広範な知識によってマルチバースの観点で解決され、その結果、以前期待されていた方法で解決することはもはや不可能になった」と主張している。^{[ 28 ]}同様に、サハロン・シェラは、「集合論における興味深い問題は解決可能であり、追加の公理を発見するだけでよいという純粋なプラトン的見解には同意しない。私のイメージでは、ZFCに準拠する多くの可能な集合論が存在する」と書いている。^{[ 29 ]}

一般化連続体仮説（GCH）は、無限集合の濃度が無限集合Sの濃度と冪集合の濃度の間にある場合、$\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$Sの場合、 Sまたはと同じ濃度を持ちます。$\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$つまり、任意の無限基数に対して${\displaystyle \lambda }$基数は存在しない${\displaystyle \kappa }$そのため$\displaystyle \lambda <\kappa <2^{\lambda }}$GCHは以下と同等です。

$\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$すべての序数${\displaystyle \alpha }$^{[ 9 ]}

（時折、カントールのアレフ仮説と呼ばれる）

ベス数は、この条件に対する別の表記法を提供する。${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$すべての序数${\displaystyle \alpha }$連続体仮説は順序尺度の特殊なケースである。${\displaystyle \alpha =1}$GCHはフィリップ・ジュールダンによって最初に提唱された。^{[ 30 ]} GCHの初期の歴史については、ムーアを参照のこと。^{[ 31 ]}

CHと同様に、GCHもZFCとは独立していますが、SierpińskiはZF + GCHが選択公理（AC）（したがって決定公理ADの否定）を意味することを証明したため、ZFでは選択とGCHは独立ではありません。GCHが成り立ち、ACが成り立たないZFモデルは存在しません。これを証明するために、SierpińskiはGCHがすべての濃度nが何らかのアレフ数より小さいことを意味し、したがって順序付け可能であることを示しました。これはnがより小さいことを示すことによって行われます。$2^{\aleph _{0}+n}}$これは自身のハートッグス数よりも小さい。これは等式を使用している。$\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}\,=\,2\cdot \,2^{\aleph _{0}+n}}$完全な証明については、ギルマンを参照してください。^{[ 32 ]}

クルト・ゲーデルは、GCHがZF + V=L（すべての集合は順序数に関して構成可能であるという公理）の帰結であり、したがってZFCと整合することを示した。GCHはCHを含意するため、CHが成り立たないコーエンのモデルはGCHが成り立たないモデルであり、したがってGCHはZFCから証明できない。W.  B. イーストンは、コーエンが開発した強制法を用いてイーストンの定理を証明し、それが任意の大きな基数に対してZFCと整合することを示した。$\displaystyle \aleph _{\alpha }}$満足させることができない$\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$ずっと後になって、フォーマンとウッディンは、（非常に大きな基数の一貫性を仮定すると）次のことが一貫していることを証明した。${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$すべての無限基数に対して成り立つ${\displaystyle \kappa }$後にウッディンはこれを拡張し、${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{++}}$すべての${\displaystyle \kappa }$カルミ・メリモヴィッチ^{[ 33 ]}は、n  ≥  1のそれぞれについて、無限基数κに対して2κ^がκのn番目の後継者であること (いくつかの大きな基数公理の一貫性を仮定) は ZFC と矛盾しないことを示した。一方、ラースロー・パタイ^{[ 34 ]}は、γ が順序数であり、無限基数κに対して2κ^がκのγ番目の後継者である場合、γは有限であることを証明した。

任意の無限集合AとBに対して、 AからBへの単射が存在するならば、 Aの部分集合からBの部分集合への単射が存在する。したがって、任意の無限基数AとBに対して、$\displaystyle A<B\to 2^{A}\leq 2^{B}}$AとBが有限の場合、より強い不等式${\displaystyle A<B\to 2^{A}<2^{B}}$成り立つ。GCHは、この厳密でより強い不等式が有限基数だけでなく無限基数に対しても成り立つことを示唆している。

• 絶対無限
• ベス番号
• 基数
• Ωロジック
• 第二の連続体仮説
• ウェッツェルの問題

• マディ、ペネロペ（1988年6月）。「公理を信じる、[パート I]」。記号論理学ジャーナル。53（ 2）。記号論理学会：481–511。doi：10.2307 / 2274520。JSTOR 2274520。 

• この記事は、 PlanetMathの Generalized continuum hypothesis の資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。 2017年2月8日にWayback Machineにアーカイブされました。

• コーエン、ポール・ジョセフ（2008）[1966]。集合論と連続体仮説。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-46921-8。
• Dales, HG; Woodin, WH (1987).アナリストのための独立性入門. ケンブリッジ.
• エンダートン、ハーバート（1977）。集合論の基礎。アカデミック・プレス。
• ゲーデル、K.:カントールの連続体問題とは何か?、ベナセラフとパトナム編『数学の哲学』第2版、ケンブリッジ大学出版局、1983年に再録。CHに対するゲーデルの議論の概要。
• Martin, D. (1976). 「ヒルベルトの第一問題：連続体仮説」、『ヒルベルトの問題から生じる数学的発展』、純粋数学シンポジウム第28回論文集、F. Browder編、アメリカ数学会、1976年、 81-92頁。ISBN 0-8218-1428-1
• マクガフ、ナンシー。「連続体仮説」。
• ウォルチョーバー、ナタリー（2021年7月15日）「数はいくつ存在するのか？無限の証明が数学を答えに近づける」

ウィキクォートにある連続体仮説に関する引用

• Szudzik、Matthew & Weisstein、Eric W. 「連続体仮説」。マスワールド。