ライプニッツのπの公式

数学において、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツにちなんで名付けられたπのライプニッツ公式は、 $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},}$$

交互のシリーズ。

これは、 14世紀から15世紀にかけてインドの数学者サンガマグラマのマドハヴァとその追随者によって初めて発見されたため、マドハヴァ・ライプニッツ級数と呼ばれることもあります（マドハヴァ級数を参照）^{[1] 。その後、1671年に}ジェームズ・グレゴリー、1673年にライプニッツによって独立に再発見されました^[2]。逆正接関数のテイラー級数は、グレゴリー級数と呼ばれることが多く、 $${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$$

ライプニッツの公式は特別なケースである^[3]${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}$

これはまた、で評価される法4の非主ディリクレ指標のディリクレL級数であり、したがってディリクレベータ関数の値β (1)でもある。 ${\displaystyle s=1,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}$$

最後の項の積分のみを考慮すると、次のようになります。 $${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$$

したがって、スクイーズ定理により、n → ∞のとき、ライプニッツ級数が残ります。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$

のとき、級数は一様収束するので 、${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}}$$${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).}$$

したがって、 が連続かつ一様収束するように に近づく場合、証明は完全であり、ここで、 となる級数はライプニッツのテストによって収束し、また、 はシュトルツ角内から に近づくため、アーベルの定理からこれは正しいです。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1)}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1)}$

ライプニッツの公式は極めてゆっくりと収束します。それは、線形収束未満を示します。級数の直接和を使ってπを10桁まで正確に計算するには、正確に50億項が必要です。なぜなら、4/2k + 1です⁠ < 10 ⁻¹⁰の場合k > 2 × 10 ¹⁰ − ⁠1/2⁠ ( Calabrese の誤差境界を適用する必要があります)。小数点以下 4 桁を正しく計算するには (誤差 0.00005)、5000 項が必要です。 ^[4] Calabrese や Johnsonbaugh の誤差境界よりもさらに優れたものも存在します。 ^[5]

しかし、ライプニッツの公式は、さまざまな収束加速技術を使用することで、 πを高精度（数百桁以上）で計算するために使用できます。たとえば、交代級数の一般的な方法であるシャンクス変換、オイラー変換、またはファン・ヴィンガルデン変換は、ライプニッツ級数の部分和に効果的に適用できます。さらに、項をペアで組み合わせると、非交代級数が得られます。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}$$

これは、リチャードソン外挿法またはオイラー・マクローリン公式を使用して、少数の項から高精度に評価できます。この級数は、アーベル・プラーナ公式によって積分に変換され、数値積分法を使用して評価することもできます。

適切なタイミングで数列を切り捨てれば、孤立した数字や数字のグループを除いて、近似値の小数展開はπのそれとさらに多くの数字で一致する。例えば、500万項を取ると、 $${\displaystyle 3.141592{\underline {4}}5358979323846{\underline {4}}643383279502{\underline {7}}841971693993{\underline {873}}058...}$$

ここで下線部の数字は間違いである。この間違いは実際には予測可能であり、漸近公式 に従ってオイラー数 E _nによって生成される。$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}$$

ここで、N は4 で割り切れる整数です。N を 10 の累乗にすると、右辺の各項は有限小数になります。この式は、交代級数のオイラー・ブール和公式の特殊なケースであり、ライプニッツ級数に適用できる収束加速法のもう 1 つの例を提供します。1992 年、ジョナサン・ボーウェインとマーク・リンバーは、最初の 1000 個のオイラー数を使用して、ライプニッツの公式で 5,263 桁の小数点以下桁数まで π を計算しました。 ^[6]

ライプニッツの公式は、4 を法とする唯一の非主ディリクレ指標を用いたディリクレ級数として解釈できる。他のディリクレ級数と同様に、これにより、無限和を各素数に対して 1 つの項を持つ無限積に変換できる。このような積はオイラー積と呼ばれる。これは次の通りである。 この積では、各項は超特異比、各分子は奇数の素数、各分母は分子に最も近い 4 の倍数である。^{[7]積は条件付き収束する。つまり、項は}p の増加する順に取らなければならない。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}{\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}{\biggr )}\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}$$

• πを含む式の一覧