ツェルメロ・フレンケル集合論

2つの集合は、同じ要素を持つ場合、等しい（同じ集合である）という。

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

この公理の逆は、等号の置換性質から導かれる。ZFCは一階述語論理で構築される。一階述語論理の定式化の中には同一性を含むものもあれば、含まないものもある。集合論を構築している一階述語論理の多様体に等号が含まれていない場合、${\displaystyle =}$「、${\displaystyle x=y}$次の式の略語として定義できます。^{[ 8 ]}${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

この場合、外延性の公理は次のように再定式化できる。

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}$

それは、もし${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$同じ要素を持つならば、それらは同じ集合に属する。^{[ 9 ]}

空でないすべての集合${\displaystyle x}$メンバーを含む${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$互いに素な集合である。

${\displaystyle \forall x[(\exists a(a\in x))\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$^{[ 10 ]}

または現代的な表記法では： ${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}$

ペアリング公理と和集合公理を用いると、どの集合もそれ自身を要素として持つことはない。無限公理、置換公理、和集合公理を用いると、すべての集合には順序数がある。

部分集合は、一般的に集合構成記法を用いて構築されます。たとえば、偶数は整数の部分集合として構築できます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$述語を法とする合同条件を満たす${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$:

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}$

一般に、集合の部分集合は${\displaystyle z}$公式に従う${\displaystyle \varphi (x)}$自由変数が1つ${\displaystyle x}$次のように表記することもできます。

${\displaystyle \{x\in z:\varphi (x)\}.}$

仕様の公理図式は、この部分集合が常に存在することを述べている（各要素に1つの公理があるため、これは公理図式である）。${\displaystyle \varphi }$) 正式には、${\displaystyle \varphi }$すべての自由変数がZFC言語の任意の式である。${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}}$（${\displaystyle y}$無料では${\displaystyle \varphi }$）。 それから：

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].}$

仕様の公理スキーマは部分集合しか構築できず、より一般的な形式のエンティティの構築は許可しないことに注意してください。

${\displaystyle \{x:\varphi (x)\}.}$

この制約はラッセルのパラドックスを避けるために必要である（${\displaystyle y=\{x:x\notin x\}}$それから${\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y}$）および、無制限の理解を伴う素朴な集合論に伴うその変種（この制約の下では${\displaystyle y}$内部の集合のみを参照します${\displaystyle z}$自分自身のものではないもの、そして${\displaystyle y\in z}$確立されていないが、 ${\displaystyle y\subseteq z}$そういうことなので${\displaystyle y}$は、それ自体を参照したり理解したりできない別の位置にある。したがって、ある意味で、この公理図式は、${\displaystyle y}$数式に基づいて${\displaystyle \varphi (x)}$事前に集合を制限する必要があります${\displaystyle y}$セット内で考慮する${\displaystyle z}$残り${\displaystyle y}$外では${\displaystyle y}$集合は自身を参照することはできない。言い換えれば、集合は自身を参照すべきではない。

ZFの他のいくつかの公理化では、この公理は置換の公理図式と空集合の公理から導かれるため冗長である。

一方、仕様の公理図式は、空集合の存在を証明するために使用できる。${\displaystyle \varnothing }$少なくとも1つのセットが存在することがわかっている場合。これを行う1つの方法はプロパティを使用することです。${\displaystyle \varphi }$どの集合にも存在しない。例えば、${\displaystyle w}$は任意の既存の集合であり、空集合は次のように構成できる。

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\notin w)\}.}$

したがって、ここで提示された 9 つの公理から空集合の公理が導かれる。外延性の公理は空集合が一意であること（${\displaystyle w}$)定義拡張として「${\displaystyle \varnothing }$ZFCの言語へ。

もし${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$集合であるならば、 を含む集合が存在する。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$要素として。たとえば、${\displaystyle x=\{1,2\}}$そして${\displaystyle y=\{2,3\}}$、 それから${\displaystyle z}$かもしれない${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$。

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}$

これを、まさにこの2つの要素を持つ集合に還元するためには、仕様の公理図式を用いる必要がある。

集合の要素の和集合は存在する。例えば、集合の要素の和集合は${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$は${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

和集合の公理は、任意の集合の集合に対して、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$セットがあります${\displaystyle A}$の何らかのメンバーであるすべての要素を含む${\displaystyle {\mathcal {F}}}$:

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

この式は直接存在を主張するものではないが、${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$セット${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$から構築できます${\displaystyle A}$上記において、仕様の公理図式を用いると次のようになる。

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}$

置換の公理図式は、任意の定義可能な関数による集合の像もまた集合内に含まれると主張する。

正式には、${\displaystyle \varphi }$ZFC言語の任意の式で、その自由変数は以下のいずれかである。${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$特に${\displaystyle B}$無料では${\displaystyle \varphi }$。 それから：

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.}$

（唯一の存在量化子）${\displaystyle \exists$ !} は、 与えられた文の後に続く要素がちょうど 1 つ存在することを示す。）

言い換えれば、関係が${\displaystyle \varphi }$定義可能な関数を表す${\displaystyle f}$、${\displaystyle A}$そのドメインを表し、${\displaystyle f(x)}$すべてのセット${\displaystyle x\in A,}$すると範囲​${\displaystyle f}$ある集合の部分集合である${\displaystyle B}$ここに示された形式は、${\displaystyle B}$厳密には必要以上に大きい場合があり、コレクションの公理図式と呼ばれることもあります。

させて${\displaystyle S(w)}$略す${\displaystyle w\cup \{w\},}$どこ${\displaystyle w}$ある集合である。(${\displaystyle \{w\}}$は、ペアリングの公理を適用することで有効なセットです。${\displaystyle x=y=w}$したがって、集合zは${\displaystyle \{w\}}$) すると、空集合が${\displaystyle \varnothing }$は公理的に定義され、 Xの要素であり、集合yがXの要素であるときはいつでも、${\displaystyle S(y)}$Xのメンバーでもある。

${\displaystyle \exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e)\land e\in X)\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

または現代的な表記法では： ${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

より口語的に言えば、無限個の要素を持つ集合Xが存在する。これらの要素は、演算を繰り返し適用することによって構築される。${\displaystyle S}$空集合から始める。この構成の各結果は以前の結果とは異なるため、プロセスはループしたり繰り返されたりしない。無限公理を満たす最小の集合X はフォン・ノイマン順序数ωであり、これは自然数の集合と考えることもできる。${\displaystyle \mathbb {N} }$（注：${\displaystyle \mathbb {N} }$（規則性の公理は必要なく、構成の構造から自然に導かれる。）

定義により、集合${\displaystyle z}$集合の部分集合である${\displaystyle x}$すべての要素が${\displaystyle z}$また、${\displaystyle x}$:

${\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).}$

冪集合の公理は、任意の集合に対して次のことを述べている。${\displaystyle x}$セットがあります${\displaystyle y}$すべての部分集合を含む${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y).}$

次に、仕様の公理図式を使用して冪集合を定義します。${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$そのようなサブセットとして${\displaystyle y}$サブセットを含む${\displaystyle x}$その通り：

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}$

公理1～8はZFを定義する。これらの公理の代替形式はしばしば見られ、その一部はJech（2003）に記載されている。ZFの公理化の中には、空集合が存在すると主張する公理を含むものもある。ペアリング、和集合、置換、冪集合の公理は、集合の要素が${\displaystyle x}$その存在が主張されているのは、まさにその公理が主張する集合である。${\displaystyle x}$必ず含まなければならない。

ZFをZFCに変換するために、以下の公理が追加されます。

最後の公理は一般に選択公理として知られており、ここではKunen (1980)と同様に整列順序に関する性質として提示される。任意の集合に対して${\displaystyle X}$二項関係が存在する${\displaystyle R}$どの整列${\displaystyle X}$。 これはつまり${\displaystyle R}$は線形順序である${\displaystyle X}$空でないすべての部分集合${\displaystyle X}$順序の下で最小の要素を持つ${\displaystyle R}$。

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}$

公理1～8が与えられた場合、多くの命題は公理9と証明可能な同値である。その中で最も一般的なものは次の通りである。${\displaystyle X}$要素がすべて空でない集合とする。このとき、関数が存在する。${\displaystyle f}$から${\displaystyle X}$組合員の${\displaystyle X}$これは「選択関数」と呼ばれ、すべてのに対して${\displaystyle Y\in X}$1つは${\displaystyle f(Y)\in Y}$ 正式には、これは次のように表現できます。

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\left[f\colon X\to \bigcup X\land \forall Y\in X\,(f(Y)\in Y)\right]\right].}$

この公理の3つ目のバージョンで、これも同等なのがゾルンの補題である。

選択関数が存在する場合${\displaystyle X}$有限集合であることは公理1～8から容易に証明できるが、ACは特定の無限集合に対してのみ重要である。ACは選択関数の存在を主張するものの、この選択関数がどのように「構成される」かについては何も述べていないため、非構成的であると特徴づけられる。

適切なクラス (メンバー間で共有されるプロパティによって定義される数学的オブジェクトの集合で、集合としては大きすぎるもの) は、ZF (したがって ZFC) では間接的にしか扱うことができません。ZF と ZFC の範囲内にとどまりながら適切なクラスに代わるものとして、 Quine (1969)によって導入された仮想クラスの表記法があります。これは、構成y ∈ { x | F x }全体を単に F yと定義するものです。^{[ 14 ]}これにより、集合を含むことができるが、それ自体が集合である必要のないクラスに対して、単純な表記法が提供されます。同時に、クラスのオントロジーに拘束されることもありません (表記法は、集合のみを使用する表記法に構文的に変換できるため)。Quine のアプローチは、Bernays & Fraenkel (1958)の以前のアプローチに基づいています。仮想クラスは、Levy (2002)、Takeuti & Zaring (1982)、およびZFC のMetamath実装でも使用されています。

置換と分離の公理図式はそれぞれ無限に多くのインスタンスを含んでいます。モンタギュー（1961）は、1957年の博士論文で最初に証明された結果を含めました。ZFCが無矛盾であれば、有限個の公理のみを使用してZFCを公理化することは不可能です。一方、フォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論（NBG）は有限個の公理で公理化できます。NBGの存在論には、集合だけでなく適切なクラスも含まれます。集合とは、他のクラスのメンバーになり得る任意のクラスのことです。NBGとZFCは、クラスに言及せず、一方の理論で証明可能な定理は他方の理論でも証明できるという意味で、同等の集合論です。

ゲーデルの第二不完全性定理によれば、ロビンソン算術を解釈できる再帰的に公理化可能な体系は、それが矛盾している場合に限り、自身の無矛盾性を証明できる。さらに、ロビンソン算術は、ZFCの小さな断片である一般集合論で解釈できる。したがって、ZFCの無矛盾性は、ZFC自体の中では証明できない（実際に矛盾していない限り）。つまり、ZFCが通常の数学と同一視される限り、ZFCの無矛盾性は通常の数学では証明できない。ZFCの無矛盾性は、弱く到達不可能な基数の存在から導かれるが、ZFCが無矛盾であれば、ZFCでは証明できない。しかしながら、ZFCに予期せぬ矛盾が存在する可能性は低いと考えられている。ZFCが矛盾しているならば、その事実は既に明らかになっているはずだと広く信じられている。 ZFCには、素朴な集合論の古典的なパラドックス、すなわちラッセルのパラドックス、ブラリ＝フォルティのパラドックス、カントールのパラドックスは含まれていない。

アビアンとラマッキア（1978）は、外延性、和集合、冪集合、置換、選択の公理からなるZFCのサブ理論を研究した。彼らはモデルを用いて、このサブ理論が無矛盾であることを証明し、外延性、置換、冪集合の公理は、このサブ理論の残りの4つの公理とは独立であることを証明した。このサブ理論に無限公理を追加すると、和集合、選択、無限の公理は、残りの5つの公理とは独立である。正則性の公理を除くZFCの各公理を満たす非整礎モデルが存在するため、その公理は他のZFC公理とは独立である。

一貫性がある場合、ZFC は圏論が要求する到達不可能な基数の存在を証明することができません。このような巨大な集合は、ZF にTarski の公理を追加することで可能になります。^{[ 15 ]}この公理が無限、冪集合、選択の公理(上記 7〜9) を定理に変えるという仮定です。

多くの重要な命題はZFC とは独立して います。独立性は通常、強制法によって証明されます。強制法では、ZFC の可算推移モデル(時には大きな基数公理で拡張される) は、問題の命題を満たすように拡張できることが示されます。次に、別の拡張によって命題の否定を満たすことが示されます。強制法による独立性の証明は、算術命題、その他の具体的な命題、および大きな基数公理からの独立性を自動的に証明します。ZFC とは独立している命題の中には、構成可能宇宙などの特定の内部モデルで成り立つことが証明できるものもあります。しかし、構成可能集合について真である命題の中には、仮定された大きな基数公理と矛盾するものもあります。

強制法を用いると、以下の命題はZFCとは無関係であることが証明される。

• 構成可能性の公理（V=L）（これもZFCの公理ではない）
• 連続体仮説
• ダイヤモンドの原則
• マーティンの公理（ZFCの公理ではない）
• ススリン仮説

備考：

• V=L の一貫性は内部モデルによって証明できますが、強制力によって証明できるわけではありません。ZF のすべてのモデルは、ZFC + V=L のモデルになるようにトリミングできます。
• ダイヤモンド原理は連続体仮説を意味し、サスリン仮説の否定を意味する。
• マーティンの公理と連続体仮説の否定を組み合わせると、ススリン仮説が導かれる。
• 構築可能な宇宙は、一般化連続体仮説、ダイヤモンド原理、マーティンの公理、およびクレパ仮説を満たす。
• クレパ仮説の失敗は、強く到達不可能な基数の存在と矛盾しない。

強制法の変形は、選択公理の無矛盾性と証明不可能性、すなわち選択公理が ZF とは独立であることを示すためにも使用できます。選択の無矛盾性は、内部モデル L が選択を満たすことを証明することで（比較的）容易に検証できます。（したがって、ZF のすべてのモデルは ZFC のサブモデルを含み、Con(ZF) は Con(ZFC) を意味します。）強制法は選択を保持するため、選択を満たすモデルから選択に矛盾するモデルを直接生成することはできません。しかし、強制法を使用して、適切なサブモデル、つまり ZF を満たすが C を満たさないサブモデルを含むモデルを作成できます。

独立性の証明方法の一つとして、強制的な方法を用いないゲーデルの第二不完全性定理に基づく方法がある。この方法では、独立性が検証されている命題を用いて、ZFC の集合モデルの存在を証明する。この場合、Con(ZFC) は真となる。ZFC はゲーデルの第二定理の条件を満たすため、ZFC の無矛盾性は ZFC では証明できない（ただし、ZFC が実際に無矛盾であると仮定した場合）。したがって、そのような証明を可能にする命題は ZFC では証明できない。この方法では、大きな基数の存在がZFC では証明できないことを証明できるが、ZFC が与えられた場合にそのような基数を仮定することが矛盾しないことを証明できない。

連続体仮説やその他のメタ数学的な曖昧さを解決するために追加の公理によって集合論者を統一するプロジェクトは、「ゲーデルのプログラム」として知られることがある。^{[ 16 ]}数学者たちは現在、どの公理が最ももっともらしいか、あるいは「自明」か、どの公理がさまざまな領域で最も有用か、そして有用性と妥当性をどの程度トレードオフすべきかについて議論している。一部の「マルチバース」集合論者は、公理を慣習的に採用する際の唯一の究極的な基準は有用性であるべきだと主張している。ある学派は、強制公理を採用することによって、集合の「反復的」概念を拡張し、興味深く複雑だが合理的に扱いやすい構造を持つ集合論的宇宙を生み出すことに重点を置いている。別の学派は、おそらく「コア」内部モデルに焦点を当てた、より整然として雑然としていない宇宙を提唱している。^{[ 17 ]}