還元（数学）

数学において、簡約とは、式をより単純な形に書き換えることを指します。例えば、分数を可能な限り最小の整数分母を持つ式に書き換える（分子は整数のままにする）過程を「分数の簡約」といいます。根号（または「ルート」）を含む式を、根号の中に可能な限り最小の整数を入れて書き換えることを「根号の簡約」といいます。式の中で他の根号の下に現れる根号の数を最小にすることを「根号のネスト解除」といいます。

線形代数において、簡約とは、一連の方程式や行列に単純な規則を適用して、より単純な形式に変換することを指します。行列の場合、このプロセスは行列の行または列を操作するため、それぞれ行簡約または列簡約と呼ばれます。簡約の目的は、行列を「行簡約階段形」または「行階段形」に変換することである場合が多く、これはガウス消去法の目的でもあります。

微積分学において、簡約とは、部分積分法を用いて積分をより単純な形に簡約することで積分を計算することを指す。

動的解析において、静的縮小とは自由度数を減らすことを指します。静的縮小は有限要素解析においても、線形代数問題を簡略化するために用いられます。静的縮小には複数の逆行列計算ステップが必要となるため、計算コストが高く、解に誤差が生じる可能性があります。有限要素解析問題における以下の線形方程式系を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}\\K_{21}&K_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix}}}$

ここで 、KとFは既知であり、K、x、Fは上記のように部分行列に分割されます。F2がゼロのみを含み、x1_のみが必要な場合、Kを簡略化して次の連立方程式を得ることができます_。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11,{\text{reduced}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\end{bmatrix}}}$

$\displaystyle K_{11,{\text{reduced}}}}$次のような方程式系を書き出すことで得られます。

式（2）は次のように解くことができる。${\displaystyle x_{2}}$（可逆性を仮定して）${\displaystyle K_{22}}$):

${\displaystyle -K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=x_{2}.}$

そして（１）に代入すると

${\displaystyle K_{11}x_{1}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=F_{1}.}$

したがって

${\displaystyle K_{11,{\text{reduced}}}=K_{11}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}.}$

同様に、Fの行または列iで値がゼロのものは、対応するx _iの値が不要な場合は削除できます。縮小されたKはさらに縮小できます。なお、各縮小には逆行列が必要であり、各逆行列の計算コストは​​ O ( n ³ )であるため、ほとんどの大きな行列は計算時間を短縮するために前処理されます。

9世紀、ペルシャの数学者アル・フワーリズミーの『アル・ジャブル』は、「還元」と「均衡」の基本概念を導入しました。これは、引き算された項を等式の反対側に移し替えることと、等式の反対側の同類項を消去することを指します。これが、アル・フワーリズミーが元々「アル・ジャブル」と呼んだ操作です。^{[ 1 ]} 「代数」という名前は、彼の著書のタイトルにある「アル・ジャブル」に由来しています。