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数学では、負の数は正の実数の反対です。[ 1 ]同様に、負の数はゼロより小さい実数です。負の数は、損失や不足の大きさを表すためによく使用されます。負っている負債は、負の資産と考えることができます。電子の電荷などの量が、2 つの反対の意味のいずれかを持つ可能性がある場合、それらの意味を、おそらく任意に、正と負として区別することを選択できます。負の数は、摂氏と華氏の温度スケールのように、ゼロより小さいスケールの値を表すために使用されます。負の数の算術法則は、反対の常識的な考えが算術に反映されることを保証します。たとえば、− ( −3) = 3 は、反対の反対が元の値であるためです。
負の数は通常、前にマイナス記号を付けて書きます。たとえば、−3 は大きさが 3 の負の数を表し、「マイナス 3」または「マイナス 3」と発音および読みます。逆に、ゼロより大きい数は正と呼ばれます。ゼロは通常 (常にではありませんが) 正でも負でもないと考えられています。[ 2 ]数の正性は、+3 のようにプラス記号を前に付けることで強調できます。一般に、数の負性または正性は、その符号と呼ばれます。
ゼロ以外のすべての実数は、正または負のいずれかです。負でない整数は自然数（0、1、2、3、…）と呼ばれ、正と負の整数（ゼロを含む）は整数と呼ばれます。（自然数の定義によっては、ゼロを除外するものもあります。）
簿記においては、未払い金額はしばしば赤い数字で表され、負の数を表す代替表記法として括弧付きの数字が用いられる。
負の数は、現在の形では中国の漢王朝時代（紀元前202年 - 紀元後220年）に遡る『九章算術』で使用されていましたが、実際にはもっと古い内容が含まれている可能性があります。 [ 3 ]劉徽（紀元前3世紀頃）は、負の数の加算と減算の規則を確立しました。[ 4 ] 7世紀までに、ブラフマグプタなどのインドの数学者は負の数の使用について記述していました。イスラムの数学者は、負の数の減算と乗算の規則をさらに発展させ、負の係数を持つ問題を解決しました。[ 5 ]負の数の概念以前は、ディオファントスなどの数学者は、問題の負の解を「偽」と考え、負の解を必要とする方程式を不合理であると説明していました。[ 6 ]ライプニッツなどの西洋の数学者は、負の数は無効であると考えていましたが、それでも計算で使用していました。[ 7 ] [ 8 ]
負の数、正の数、ゼロの関係は、しばしば数直線の形で表現される。
この線上では、右側の数字ほど大きく、左側の数字ほど小さい値を示します。したがって、中央にはゼロがあり、右側に正の数、左側に負の数が表示されます。
絶対値が大きい負の数の方が小さいとみなされることに注意してください。たとえば、(正の) 8 は(正の) 5より大きいですが、
マイナス8はマイナス5より小さいとみなされる。
負の数の文脈では、ゼロより大きい数は正の数と呼ばれます。したがって、ゼロ以外のすべての実数は正か負のいずれかであり、ゼロ自体には符号がないとみなされます。正の数は、プラス記号を付けて表記されることもあります。例えば、+3は正の 3 を表します。
ゼロは正でも負でもないため、正またはゼロのいずれかの数を指す場合に「非負」という用語が使われることがあり、負またはゼロのいずれかの数を指す場合に「非正」という用語が使われることがあります。ゼロは中立的な数です。
負の数は、小さい数から大きい数を引いた結果として得られると考えることができます。例えば、マイナス3は、0から3を引いた結果です。
一般的に、小さい数から大きい数を引くと負の結果になり、その結果の大きさは2つの数の差になります。たとえば、
8 − 5 = 3なので。
マイナス記号「−」は、二項演算（2つのオペランド）である減算（y − zなど）と、単項演算（1つのオペランド）である否定（ − xなど、または−(− x )のように2回）の両方の演算子を表します。単項否定の特殊なケースとして、正の数に対して演算を行う場合があり、その場合は結果が負の数になります（ −5など）。
演算子「−」の曖昧さは、一般的に算術式において曖昧さを引き起こすことはありません。なぜなら、演算順序によって、それぞれの「−」にはどちらか一方の解釈しか許されないからです。しかし、演算子記号が隣接して現れる場合、混乱を招き、式を理解するのが難しくなることがあります。解決策としては、単項演算子「−」とその被演算子を括弧で囲むことが挙げられます。
例えば、式7 + −5は、形式的には全く同じ意味であっても、7 + (−5)と書いた方が分かりやすいかもしれません。減算式7 − 5は、同じ演算を表す式ではありませんが、同じ結果になります。
小学校では、負の数と正の数を明確に区別するために、数字の前に上付き文字のマイナス記号またはプラス記号を付けることがあります。[ 23 ]
2 つの負の数の加算は、2 つの正の数の加算と非常によく似ています。たとえば、
その考え方は、2つの債務を1つのより大きな債務に統合するというものだ。
正の数と負の数が混在する数を足し合わせる場合、負の数は正の数が引かれるものと考えることができます。例えば：
最初の例では、8の貸付金と3の借入金が組み合わさって、合計で5の貸付金となります。負の数の絶対値が大きい場合、結果は負になります。
ここでは貸方が借方よりも少ないため、最終的な結果は借方となります。
前述のように、2つの非負の数の引き算の結果が負になる場合があります。
一般に、正の数の減算は、同じ大きさの負の数の加算と同じ結果になる。したがって
そして
一方、負の数を引くことは、同じ大きさの正の数を加えることと同じ結果になる。（つまり、借金を失うことは、信用を得ることと同じである。）したがって
そして
数を掛け合わせる場合、積の大きさは常に2つの数の積になります。積の符号は、次の規則によって決定されます。
したがって
そして
最初の例の理由は単純です。−2を3つ足すと−6になります。
2つ目の例の根拠はより複雑です。ここでも、借金をなくすことは信用を得ることと同じであるという考え方です。この場合、それぞれ3の借金を2つなくすことは、6の信用を得ることと同じです。
2つの負の数の積が正であるという慣習は、乗法が分配法則に従うためにも必要です。この場合、次のことがわかります。
2 × (−3) = −6なので、積(−2) × (−3)は6に等しくなければなりません。
これらの規則は、別の（同等の）規則につながります。任意の積a × bの符号は、aの符号によって次のように決まります。
2つの負の数の積が正の数になる理由については、複素数の解析において考察することができる。
除算の符号規則は乗算と同じです。たとえば、
そして
被除数と除数の符号が同じであれば結果は正となり、符号が異なる場合は結果は負となる。
正の数の負の数をその負の数と呼びます。例えば、−3は正の数3の負の数です。ある数とその負の数の和はゼロになります。
つまり、正の数の否定は、その数の加法逆数である。
代数を用いると、この原理を代数的な恒等式として表すことができる。
この恒等式は任意の正の数xに対して成り立ちます。否定の定義をゼロと負の数を含むように拡張することで、すべての実数に対して成り立つようにすることができます。具体的には次のようになります。
例えば、−3の否定は+3です。一般に、
数の絶対値とは、同じ大きさを持つ非負の数のことです。例えば、−3の絶対値と3の絶対値はどちらも3であり、 0の絶対値は0です。
有理数と同様に、自然数も拡張することができる。整数へ整数を自然数の順序対( a , b )として定義します。加算と乗算をこれらのペアに拡張するには、次の規則を使用します。
これらのペアに対して、以下の規則に従って同値関係~を定義します。
この同値関係は、上記で定義した加算と乗算と互換性があり、次のように定義できます。商集合となるつまり、上記の意味で同等である場合、 2つのペア（ a、b）と（c、d ）を識別します。加算と乗算の演算を備えた は環であり、実際、環の典型的な例である。
また、全順序を定義することもできます。書くことによって
これにより、( a , a )の形式の加法ゼロ、 ( a , b ) の形式の加法逆元( b , a )、( a + 1, a )の形式の乗法単位、および減法の定義が得られます。
この構成は、グロタンディーク構成の特殊なケースである。
数の加法逆元は一意に定まります。これは以下の証明で示されます。前述のとおり、数の加法逆元とは、その数に加えるとゼロになる値のことです。
x を数とし、yをその加法逆元とする。y ′をxの別の加法逆元とする。定義により、
したがって、x + y′ = x + yとなります。加算の消去法則を用いると、y′ = yであることがわかります。つまり、yはxの他の任意の加法逆元と等しくなります。すなわち、yはxの唯一の加法逆元です。
長い間、負の数の理解は、「マイナス3個のリンゴ」のように物理的な物体の量が負の数になることが不可能であること、そして問題に対する負の解が「偽」であると考えられていたことによって遅れていました。
ヘレニズム時代のエジプトでは、紀元3世紀のギリシャの数学者ディオファントスが、次の式に相当した方程式について言及した。（負の解を持つ）算術では、その方程式は不合理であると述べている。[ 24 ]このため、ギリシャの幾何学者は正の根を与える二次方程式のすべての形式を幾何学的に解くことができたが、それ以外の形式は考慮に入れることができなかった。[ 25 ]
負の数は、歴史上初めて『九章算術』（Jiǔ zhāng suàn-shù）に登場します。現在の形は漢代に遡りますが、実際にはもっと古い内容が含まれている可能性もあります。[ 3 ]数学者の劉徽（3世紀頃）は、負の数の加算と減算の規則を確立しました。歴史家のジャン＝クロード・マルツロフは、中国の自然哲学における双対性の重要性が、中国人が負の数の概念を受け入れやすくしたと理論づけています。[ 4 ]中国人は負の数を含む連立方程式を解くことができました。『九章算術』では、正の係数を表すのに赤い計算棒、負の係数を表すのに黒い計算棒が使われています。[ 4 ] [ 26 ]このシステムは、銀行、会計、商業の分野で現在用いられている正負の数の表示方法とは正反対です。これらの分野では、赤い数字が負の値を表し、黒い数字が正の値を表します。劉徽は次のように書いています。
さて、利益と損失を表す2種類の計数棒があり、それぞれを正と負と呼ぶことにしよう。赤い計数棒は正、黒い計数棒は負である。[ 4 ]
古代インドのバクシャリ写本は、負の数の計算を負の記号として「+」を用いて行っていた。[ 27 ]この写本の年代は不確かである。LV グルジャールは4世紀以前としているが、[ 28 ]ホーンレは3世紀から4世紀の間としており、アヤンガーとピングリーは8世紀または9世紀としているが、[ 29 ]ジョージ・ゲヴェルゲーゼ・ジョセフは西暦400年頃、遅くとも7世紀初頭としている。[ 30 ]
西暦7世紀、インドでは負の数が負債を表すために使われていました。インドの数学者ブラフマグプタは、ブラフマ・スプタ・シッダーンタ（西暦630年頃執筆）の中で、負の数を使って今日使われているものと同様の一般的な二次方程式を導き出す方法について論じています。 [ 24 ]
9世紀、イスラムの数学者たちはインドの数学者の著作を通して負の数に馴染みがあったが、この時期の負の数の認識と使用は控えめだった。[ 5 ]アル＝フワーリズミーは著書『アル＝ジャブル・ワ・アル＝ムカバラ』（「代数」という言葉の語源）の中で負の数や負の係数を使用していない。[ 5 ]しかし50年以内に、アブー・カーミルは乗法展開のための符号の規則を図示した。[ 31 ]また、アル＝カラジは著書『アル＝ファクリ』の中で「負の数量は項として数えなければならない」と述べている。[ 5 ] 10世紀には、アブー・アル＝ワファー・アル＝ブズジャーニーが著書『書記と商人のための算術の科学から必要なものについての書』の中で、負債を負の数として扱っている。[ 31 ]
12世紀までに、アル＝カラジの後継者たちは符号の一般規則を述べ、それを用いて多項式の除算を解くようになった。[ 5 ]アル＝サマーウアルは次のように記している。
負の数（ al-nāqiṣ（損失））と正の数（al-zāʾid （利益））の積は負であり、負の数による積は正である。より大きな負の数から負の数を引くと、その差は負である。より小さな負の数から負の数を引くと、差は正のままである。正の数から負の数を引くと、その和は正である。空のべき乗（martaba khāliyya）から正の数を引くと、その差は同じ負の数であり、空のべき乗から負の数を引くと、その差は同じ正の数である。[ 5 ]
12世紀のインドにおいて、バースカラ2世は二次方程式に負の解を与えたものの、問題の文脈にそぐわないとしてそれを却下した。彼は「この場合、負の値は不適切であるため採用すべきではない。人々は負の解を認めない」と述べた。
フィボナッチは、財政問題において負の解を認めており、それは借方（ 『算盤の書』第13章、1202年）として解釈され、後に損失（『フロス』、1225年）として解釈された。
15世紀、フランス人のニコラ・シュケは負の数を指数として使用したが[ 32 ]、それらを「不条理な数」と呼んだ[ 33 ] 。
ミヒャエル・シュティーフェルは、 1544年に著した『算術統合論』の中で負の数を取り上げており、それらを「numeri absurdi」（不条理な数）と呼んでいた。
1545年、ジェロラモ・カルダーノは著書『アルス・マグナ』の中で、ヨーロッパで初めて負の数を満足のいく形で扱った。[ 24 ]彼は三次方程式の考察において負の数を許容しなかったため、例えば、別々に（といずれの場合も）。結局、カルダーノは13種類の三次方程式の研究に没頭し、それぞれの方程式で負の項をすべて等号の反対側に移して正の項にする作業を行った。（カルダーノは複素数も扱ったが、当然ながら複素数はさらに苦手だった。）
劉氏はこれについて明確に述べており、
九章
では詳細で役立つ「符号規則」が示されています。
マーク・マッコール率いるチームはその後、プレミアシップで3位から最下位に転落し、勝ち点-22となった。
しかし、アディショナルタイム3分目に、ストライカーがルーク・マーフィーのクロスを8ヤードから押し込み、ヒル監督率いるチームにリーグワン3連勝をもたらした。チームは5月に経営破綻した後、シーズン開始時点で勝ち点-12だった。
デルタタイム：2つの異なるラップまたは2つの異なる車のタイム差を表す用語。たとえば、ドライバーが燃料搭載量が少なく、新しいタイヤを使用しているため、ドライバーのベストプラクティスラップタイムとベスト予選ラップタイムの間には通常マイナスのデルタがあります。
正の値は風がランナーを助けていることを意味し、負の値はランナーが風に逆らって走らなければならなかったことを意味します。したがって、たとえば、-2.2 m/s と +1.9 m/s の風は合法ですが、+2.1 m/s の風は補助が大きすぎて違法とみなされます。「追い風」と「向かい風」という用語もよく使用されます。追い風はランナーを前（+）に押し、向かい風はランナーを後ろ（−）に押します。
