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ユークリッド（/ ˈjuːklɪd /、古代ギリシア語: Εὐκλείδης、紀元前300年頃活躍）は、幾何学者および論理学者として活躍した古代ギリシアの数学者である。[ 2 ]「幾何学の父」[ 3 ]とみなされている彼は、主に『原論』で知られており、この著作は19世紀初頭までこの分野をほぼ支配した幾何学の基礎を確立した。現在ユークリッド幾何学と呼ばれる彼の体系は、クニドスのエウドクソス、キオスのヒポクラテス、タレス、テアイテトスなど、以前のギリシアの数学者の理論の統合と組み合わせた革新を含んでいた。アルキメデスやペルガのアポロニウスとともに、ユークリッドは一般的に古代の最も偉大な数学者の一人であり、数学の歴史において最も影響力のある人物の一人とみなされている。
ユークリッドの生涯についてはほとんど知られておらず、その情報のほとんどは、何世紀も後のアレクサンドリアの学者プロクロスとパップスによるものである。中世イスラムの数学者たちは空想的な伝記を創作し、中世ビザンツ帝国や初期ルネサンスの学者たちは彼をメガラの哲学者ユークリッドと混同した。現在では、彼が紀元前300年頃、プラトンの弟子たちの後、アルキメデスの前にアレクサンドリアで生涯を過ごしたというのが一般的な見解である。ユークリッドがプラトン・アカデミーで学び、後にムサイウムで教鞭を執ったという説もあり、彼はアテネの初期のプラトン主義の伝統とアレクサンドリアの後期の伝統をつなぐ存在とみなされている。
ユークリッドは『原論』の中で、少数の公理から定理を導き出した。また、遠近法、円錐曲線、球面幾何学、数論、数学的厳密性に関する著作も残している。『原論』の他に、光学分野における初期の重要な著作である『光学』や、 『データ』や『現象』といったあまり知られていない著作も残している。 『図形の分割について』や『反射光学』の著者については疑問視されている。彼は多くの失われた著作を残したと考えられている。
英語名の「Euclid」は、古代ギリシア語名Eukleídes ( Εὐκλείδης ) の英語化されたものです。[ 4 ] [ a ]これは、「eu- ( εὖ ; 「よく」)、「klês ( -κλῆς ; 「名声」) から派生しており、「有名な、栄光のある」という意味です。[ 6 ]そして接尾辞「-ides ( -ίδης , 「～の息子」)」が付いています。英語では、換喩的に「Euclid」は、彼の最も有名な著作である『Euclid's Elements』、またはその写本を意味することがあり、[ 5 ]時には「geometry」と同義語として使われることもあります。[ 2 ]
多くの古代ギリシャの数学者と同様に、ユークリッドの生涯の詳細はほとんど知られていない。[ 7 ]彼は、現存する4つの論文（原論、光学、データ、現象）の著者であると認められているが、それ以外に彼について確かなことは何も知られていない。[ 8 ] [ b ]伝統的な物語は、主に西暦5世紀のプロクロスによるユークリッド原論第1巻の注釈と、 4世紀初頭のアレクサンドリアのパップスによるいくつかの逸話に基づいている。 [ 4 ] [ c ]
プロクロスによれば、ユークリッドはプラトン（紀元前347年没）の弟子たちの数人の直後、数学者アルキメデス（紀元前287年頃- 紀元前212年頃）の前に生きた。[ d ]特に、プロクロスはユークリッドをプトレマイオス1世（紀元前305/304年 -紀元前282年）の治世中に位置づけている。[ 7 ] [ 8 ] [ e ]ユークリッドの生年月日は不明である。一部の学者は紀元前330年頃[ 11 ] [ 12 ]または紀元前325年頃[ 2 ] [ 13 ]と推定しているが、推測を控える学者もいる。[ 14 ]彼はギリシャ系の血を引いていたと推測されているが[ 11 ]、出生地は不明である。[ 15 ] [ f ]プロクロス（新プラトン主義者）は、ユークリッドがプラトンの伝統に従っていたと主張したが、これを裏付ける決定的な証拠はない。[ 17 ]彼がプラトンと同時代人であった可能性は低いので、アテネのプラトン・アカデミーでプラトンの弟子たちから教育を受けたと推測されることが多い。[ 18 ]歴史家のトーマス・ヒースはこの説を支持し、ユークリッドが業績の基盤とした多くの幾何学者を含め、有能な幾何学者のほとんどがアテネに住んでいたと指摘した。[ 19 ]歴史家のミカリス・シアラロスはこれを単なる推測とみなしている。[ 4 ] [ 20 ]いずれにせよ、ユークリッドの業績の内容は、プラトン幾何学の伝統に精通していることを示している。[ 11 ]
パップスは『コレクション』の中で、アポロニウスがアレクサンドリアでユークリッドの弟子たちと学んだと述べており、これはユークリッドがそこで数学の伝統を築き、研究していたことを示唆していると解釈されている。[ 8 ] [ 21 ] [ 19 ]この都市は紀元前331年にアレクサンドロス大王によって建設され、 [ 22 ]紀元前306年以降のプトレマイオス1世の統治により、アレクサンドロスの帝国の分割をめぐる混沌とした戦争の中で比較的に独特な安定をもたらした。[ 23 ]プトレマイオスはヘレニズム化の過程を開始し、数多くの建設を命じ、教育の中心地であった巨大なムサエウムを建設した。 [ 15 ] [ g ]ユークリッドはムサエウムの最初の学者の一人であったと推測されている。[ 22 ]ユークリッドの没年は不明であるが、紀元前270年頃に亡くなったと推測されている。[ 22 ]
ユークリッドは、プラトンの対話篇に登場するソクラテスの弟子で、歴史的に混同されてきたメガラのユークリッドと区別するために、「アレクサンドリアのユークリッド」と呼ばれることが多い。 [ 4 ] [ 14 ]紀元1世紀のローマの逸話集編纂者ヴァレリウス・マクシムスは、プラトンが立方体の倍増の方法を尋ねる者を送った数学者として、誤ってユークリッドの名前をエウドクソス（紀元前4世紀）に置き換えた。[ 26 ]おそらく、およそ1世紀前の数学者ユークリッドについてのこの言及に基づいて、中世ビザンツの文献（現在は失われている）でユークリッドはメガラのユークリッドと混同され、 [ 27 ]最終的に数学者ユークリッドは両者の伝記の詳細を帰属させられ、メガレンシス（文字通り「メガラの」）と呼ばれるようになった。[ 4 ] [ 28 ]ビザンツの学者テオドロス・メトヒテス（1300年頃）は、印刷業者エルハルト・ラトドルトによる 1482 年のカンパヌス・オブ・ノヴァラの『原論』のラテン語訳の初版と同様に、2 人のユークリッドを明確に混同していた。[ 27 ]数学者バルトロメオ・ザンベルティが、 1505 年の『原論』の翻訳の序文に、現存するユークリッドに関する伝記の断片のほとんどを付記した後、その後の出版物ではこの同一視が引き継がれた。[ 27 ]メガラのユークリッドがゲラで生まれたと言われることがあるため、ユークリッドの出生地がシチリア島のゲラであるとするさらなる混乱が生じている。 [ 29 ]後のルネサンス期の学者、特にペーター・ラムスは、年代の問題や初期の資料の矛盾によってこの主張が誤りであることを証明し、再評価した。[ 27 ]
中世アラビア語の資料にはユークリッドの生涯に関する膨大な情報が記載されているが、完全に検証不可能である。[ 4 ]ティルス生まれでダマスカスに住んでいたとされるギリシャ人ユークリッドは、ナウクラテスの息子であったとされている。[ 29 ]ほとんどの学者は、これらの資料の信憑性に疑問を抱いている。[ 8 ]特にヒースは、この作り話は尊敬される数学者とアラブ世界とのつながりを強化するために行われたと主張している。[ 17 ]また、ユークリッドに関する逸話も数多くあるが、いずれも史実性は不明であり、「彼を親切で穏やかな老人として描いている」。[ 30 ]これらのうち最もよく知られているのは、プトレマイオスがユークリッドに、彼の『原論』を読むよりも早く幾何学を学ぶ方法はないかと尋ねたところ、ユークリッドは「幾何学に王道はない」と答えたというプロクロスの話である。 [ 30 ] [ 31 ]この逸話は、ストバイオスがメナエクモスとアレクサンドロス大王の非常によく似たやり取りを記録しているため、疑わしい。[ 32 ]どちらの記述も西暦5世紀に書かれたもので、出典は示されておらず、古代ギリシア文学にも見られない。[ 33 ]
ユークリッドの活動が紀元前300年頃であったという確固たる年代特定は、同時代の文献の欠如によって疑問視されている。[ 4 ]ユークリッドに関する最も古い原典は、アポロニウスの『円錐曲線論』の序文（紀元前2世紀初頭）にある。「『円錐曲線論』の第3巻には、立体軌跡の合成と解の数の決定の両方に役立つ驚くべき定理が多数含まれている。これらのほとんど、そして最も優れたものは、新しいものである。そして、それらを発見したとき、ユークリッドは3本と4本の線による軌跡の合成を行ったのではなく、その偶然の断片を行っただけであり、それさえも適切に行われたものではなかったことに気づいた。」[ 26 ]『原論』は、アルキメデスとアポロニウスがいくつかの命題を当然のこととして受け入れていることから、少なくとも部分的には紀元前3世紀までに流通していたと推測されている。[ 4 ]しかし、アルキメデスは『原論』に見られるものよりも古い比例の理論を採用している。[ 8 ] 『原論』に含まれる資料の最古の現存する物理的な写本は、紀元100年頃のもので、ローマ領エジプトのオキシリンコスの古代のゴミ捨て場から発掘されたパピルスの断片に見られる。年代が確実に分かっている著作の中で、 『原論』への現存する最古の直接的な引用は、紀元2世紀のガレノスとアフロディシアスのアレクサンドロスによるもので、この頃には標準的な学校の教科書になっていた。[ 26 ]古代ギリシャの数学者の中にはユークリッドの名前を挙げる者もいるが、通常は「ὁ στοιχειώτης」（「原論の著者」）と呼ばれている。[ 34 ]中世には、ユークリッドは歴史上の人物ではなく、その名前はギリシャの数学用語の訛りから生じたものだと主張する学者もいた。[ 35 ]
ユークリッドは、彼の代表作とされる13巻からなる論文『原論』（古代ギリシア語: Στοιχεῖα ; Stoicheia）で最もよく知られています。[ 3 ] [ 37 ]その内容の多くは、エウドクソス、キオスのヒポクラテス、タレス、テアイテトスといった以前の数学者たちに由来し、他の定理はプラトンやアリストテレスによって言及されています。[ 38 ]特に『原論』が、はるか以前の、そして今では失われてしまったギリシア数学を実質的に置き換えたため、ユークリッドの業績を彼の先人たちの業績と区別することは困難です。 [ 39 ] [ h ]古典学者のマルクス・アスペルは、「明らかにユークリッドの業績は、受け入れられていた数学的知識を説得力のある順序にまとめ、ギャップを埋めるために新しい証明を追加したことにある」と結論付けており、歴史家のセラフィナ・クオモはそれを「成果の宝庫」と表現しています。[ 40 ] [ 38 ]それにもかかわらず、シアラロスはさらに、「『エレメンツ』の驚くほど緻密な構造は、単なる編集者の限界を超えた著者の統制を明らかにしている」と述べている。[ 9 ]
『原論』は、時折信じられているように、幾何学だけを扱っているわけではありません。[ 39 ]伝統的に、平面幾何学（第1～6巻）、基本的な数論（第7～10巻）、立体幾何学（第11～13巻）の3つのトピックに分けられていますが、第5巻（比例について）と第10巻（無理線について）は、この構成に厳密には当てはまりません。[ 41 ] [ 42 ]本文の中心は、全体に散りばめられた定理です。[ 37 ]アリストテレスの用語を用いると、これらは一般的に「第一原理」と「第二原理」の2つのカテゴリーに分けられます。[ 43 ]最初のグループには、「定義」（古代ギリシア語：ὅροςまたはὁρισμός）、「公準」（αἴτημα）、または「共通概念」（κοινὴ ἔννοια）とラベル付けされた記述が含まれます。[ 43 ] [ 44 ]最初の巻にのみ、公理（後に公理として知られる）と共通概念が含まれています。[ 39 ] [ i ] 2 番目のグループは、数学的証明と図とともに提示される命題で構成されています。[ 43 ]ユークリッドが『原論』を教科書として意図していたかどうかは不明ですが、その提示方法は教科書として自然に適合します。[ 9 ]全体として、著者の声は一般的で非個人的なままです。[ 38 ]
『原論』第1巻は、全テキストの基礎となるものです。[ 39 ]直線、角度、さまざまな正多角形などの基本的な幾何学的概念に関する20の定義から始まります。[ 46 ]ユークリッドは次に、5つの公準（公理）と5つの共通概念に分類される10の仮定（右の表を参照）を提示します。[ 47 ] [ k ]これらの仮定は、後続のすべての定理の論理的基礎を提供することを意図しており、つまり公理系として機能します。[ 48 ] [ l ]共通概念は、大きさの比較のみに関係します。[ 50 ]公準1から4は比較的単純ですが、[ m ] 5番目は平行線公準として知られ、特に有名です。[ 50 ] [ n ]第1巻には48の命題も含まれており、これらは大まかに平面幾何学と三角形の合同の基本定理と作図に関するもの（1～26）に分類できます。平行線（27～34）、三角形と平行四辺形の面積（35～45）、ピタゴラスの定理（46～48） [ 50 ]。最後の項目には、シアラロスが「驚くほど繊細」と評した、現存する最古のピタゴラスの定理の証明が含まれている[ 43 ] 。
第 2 巻は伝統的に「幾何代数」に関するものと理解されていますが、この解釈は 1970 年代以降激しく議論されてきました。批評家は、初期の代数の基礎でさえ何世紀も後にできたため、この特徴づけは時代錯誤であると述べています。[ 43 ]第 2 巻はより焦点を絞った範囲を持ち、主にさまざまな幾何学的形状に伴う代数定理を提供します。[ 39 ] [ 50 ]長方形と正方形の面積に焦点を当て(求積を参照)、余弦定理の幾何学的前身へとつながります。[ 52 ]第 3 巻は円に焦点を当て、第 4 巻は正多角形、特に五角形について論じています。[ 39 ] [ 53 ]第 5 巻は、この著作の中で最も重要なセクションの 1 つであり、通常「比例の一般理論」と呼ばれるものを提示しています。[ 54 ] [ o ]第 6 巻は、平面幾何学の文脈で「比率の理論」を利用しています。 [ 39 ]それはほぼ完全にその最初の命題から成り立っています。[ 55 ]「同じ高さの下にある三角形と平行四辺形は、互いに底辺に等しい」。[ 56 ]
第 7 巻以降、数学者のベンノ・アートマンは「ユークリッドは新たに始める。前の巻の内容は何も使われていない」と述べている。[ 57 ]数論は第 7 巻から第 10 巻で扱われ、第 7 巻は偶奇性、素数、その他の算術関連概念に関する 22 個の定義から始まる。 [ 39 ]第 7 巻には、2 つの数の最大公約数を求める方法であるユークリッドの互除法が含まれている。[ 57 ]第 8 巻では等比数列について論じ、第 9 巻には、現在ユークリッドの定理と呼ばれる、素数は無限に存在するという命題が含まれている。[ 39 ] 『原論』の中で、第 10 巻は群を抜いて最大かつ最も複雑で、大きさの文脈で無理数を扱っている。[ 43 ]
最後の３巻（11～13巻）は主に立体幾何学について論じている。[ 41 ]第１１巻は３７の定義のリストを紹介することで、次の２巻の文脈付けを行っている。[ 58 ]その基礎的な性格は第１巻に似ているが、後者とは異なり、公理系や公準は含まれていない。[ 58 ]第１１巻の３つのセクションには、立体幾何学（1～19）、立体角（20～23）、平行六面体（24～37）に関する内容が含まれている。[ 58 ]
『原論』に加えて、ユークリッドの著作は少なくとも5つが現代まで残っている。それらは『原論』と同じ論理構造を持ち、定義と証明された命題で構成されている。
他に4つの作品がユークリッドの作品であると信頼できるが、失われている。[ 9 ]
ユークリッドは一般的に、アルキメデスやペルガのアポロニウスと並んで古代の最も偉大な数学者の一人と考えられています。[ 11 ]多くの評論家は、彼を数学史において最も影響力のある人物の一人として挙げています。[ 2 ] 『原論』で確立された幾何学体系は長い間この分野を支配していましたが、今日では、19 世紀初頭に発見された他の非ユークリッド幾何学と区別するために、しばしば「ユークリッド幾何学」と呼ばれています。 [ 63 ]ユークリッドにちなんで名付けられたものの中には、欧州宇宙機関(ESA) のユークリッド宇宙望遠鏡、[ 64 ]月のクレーターEuclides、[ 65 ]小惑星4354 Euclidesなどがあります。[ 66 ]
『原論』は、聖書に次いで西洋世界の歴史上最も頻繁に翻訳、出版、研究された書物とみなされることが多い。 [ 63 ]アリストテレスの『形而上学』と並んで、『原論』はおそらく最も成功した古代ギリシア語の文献であり、中世のアラブ世界とラテン世界では支配的な数学の教科書であった。[ 63 ]
『原論』の最初の英語版は、 1570 年にヘンリー・ビリングスリーとジョン・ディーによって出版された。[ 27 ]数学者のオリバー・バーンは、 1847 年に『ユークリッド原論の最初の 6 巻、学習者の理解を深めるために文字の代わりに色付きの図と記号を使用』という有名な版を出版した。この版には、教育効果を高めることを目的とした色付きの図が含まれていた。[ 67 ]デイヴィッド・ヒルベルトは、『原論』の現代的な公理化を著した。[ 68 ]エドナ・セント・ヴィンセント・ミレーは、「ユークリッドだけが美をありのままに見た」と書いた。[ 69 ]
γέγονε δὲ οὗτος ὁ ἀνὴρ ἐπὶ τοῦ πρώτου Πτολεμαίου· καὶ γὰρ ὁ Ἀρχιμήδης ἐπιβαλὼν καὶ τῷ πρώτῳ μνημονεύει τοῦ Εὐκλείδου, καὶ μέντοι καὶ φασιν ὅτι Πτολεμαῖος ἢρετό ποτε αὐτόν, εἴ τίς ἐστιν περὶ γεωμετρίαν ὁδὸς συντομωτέρα τῆς στοιχειώσεως· ὁ δὲ ἀπεκρίνατο, μὴ εῖναι βασιλικὴν ἀτραπὸν ἐπὶ γεωμετρίαν。
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