数学表記法の歴史

数学記法の歴史 [ ^1]には、数学記号の始まり、発展、文化的普及、および記法が普及したり目立たなくなったりする際に直面した記法の衝突が含まれます。数学記法^[2]は、数式や数式を書くために使用される記号で構成されます。記法は一般に、量と記号演算子の明確に定義された一連の表現を意味します。^[3]この歴史には、ヒンドゥー数字、アラビア数字、ローマ数字、ギリシャ文字、ヘブライ文字、ドイツ語のアルファベット、および過去数世紀にわたって数学者によって発明された多数の記号が含まれます。

数学表記法の発展は段階に分けられる：^{[4] [5]}

• 「修辞的」な段階では、計算は言葉で行われ、記号は使用されません。^[6]
• 「シンコペーション」の段階では、頻繁に使用される演算や数量が記号的な構文上の省略形によって表されます。古代および中世の時代には、数学の創造性が爆発的に高まった後に何世紀にもわたる停滞が続くことがよくありました。近世が始まり、知識が世界中に広まり始めると、数学の発展に関する文書化された例が明らかになりました。
• 「記号」の段階は、包括的な表記法が修辞学に取って代わる段階です。16世紀のイタリアで始まり、新しい科学的発見と相互作用しながら、新しい数学の発展が今日まで続くペースで進みました。この記号システムは、中世のインドの数学者によって使用され、17世紀半ばからヨーロッパで使用され、^[7]現代でも発展し続けています。

数学の歴史として知られる研究分野は、主に数学における発見の起源の調査であり、ここでは過去の数学的手法と記法の調査に焦点が当てられています。

数学の歴史はイオニア学派に始まるが、数学に注目した古代ギリシャ人が、古代エジプト人や古代フェニキア人による先行研究に大きく負っていることは間違いない。数値記法の特徴、すなわち記号が局所的値と固有値（算術）を持つということは、それが発明された時代の文明の状態を暗示している。このセクションで取り上げるこれらの初期の人々の数学的達成に関する私たちの知識は不完全であり、以下の短い注釈は最も確からしい結論の要約とみなされ、数学の歴史は記号セクションから始まる。

数学の多くの分野は、基礎となる規則や概念が抽象構造として特定され定義される前に、現実世界の問題の研究から始まりました。たとえば、幾何学は現実世界における距離や面積の計算に起源を持ち、代数学は算数の問題を解く方法から始まりました。

記録に残っているほとんどの古代民族が、数え方や機械工学について多少なりとも知っていたこと、また少数の人々が測量の要素にも精通していたことは疑いようがない。特に、エジプト人は幾何学と数字に注意を払い、フェニキア人は実用的な算術、簿記、航海術、測量に注意を払った。これらの人々が達成した結果は、一定の条件下では旅行者にも利用可能であったと思われる。エジプト人とフェニキア人の知識は、主に観察と測定の結果であり、何世代にもわたる蓄積された経験を反映していた 可能性が高い。

書き言葉による数学は、各タリーマークが単一の単位を表す、数記号で表現された数字から始まりました。数字記号は、おそらく木や石に刻まれた線や刻み目で構成され、すべての国民に同様に理解可能でした。たとえば、骨の刻み目 1 つは、1 匹の動物、人、またはその他のものを表しました。小アジアのギリシア人 (西洋史における記法の始まり) が頻繁に接触していたと思われる民族は、地中海の東海岸に住んでいた人々でした。ギリシアの伝統では、幾何学の特別な発達はエジプト人に、数の科学の発達はエジプト人かフェニキア人に一様に帰せられていました。

古代エジプト人は象形文字による記数法を使用していた。^{[8] [9]}エジプトの数学には、1、10、100、1,000、1万、10万、100万を表す記号があった。小さい数字は、ヒンドゥー教やアラビア数字のように、数字の左側に置かれていた。後に、エジプト人は数字を表すのに象形文字ではなくヒエラティックを使用した。ヒエラティックは筆記体に似ており、いくつかの記号のグループを個別の記号に置き換えた。たとえば、4を表すために使用された4本の縦線は、1本の横線に置き換えられた。これは、リンド数学パピルス（紀元前2000年～1800年頃）とモスクワ数学パピルス（紀元前1890年頃）に見られる。エジプト人が使用したシステムは、地中海の他の多くの文明によって発見され、修正された。エジプト人には基本的な演算を表す記号もありました。足を前に出すと加算を表し、足を後ろに下げると減算を表します。

メソポタミア人は、 10の累乗ごとに記号を持っていました。^[10]その後、彼らは現代とほぼ同じ方法で数字を書きました。10の累乗ごとに記号を持つ代わりに、その数の係数のみを配置しました。各桁はスペースで区切られていましたが、アレクサンダー大王の時代には、ゼロを表し、プレースホルダーとなる記号が作成されていました。メソポタミア人は60進法、つまり60を基数とする60進法も使用しました。これは、現代で時間や角度を測定するときに使用されるシステムです。バビロニアの数学は、1850年代以降に発掘された400枚以上の粘土板に由来しています。^[11]楔形文字で書かれた粘土板は、粘土が湿っている間に刻まれ、オーブンまたは太陽熱で焼かれて硬くなりました。これらのいくつかは、採点された宿題のようです。書かれた数学の最古の証拠は、古代シュメール人と紀元前3000年の計量システムにまでさかのぼります。紀元前2500年頃から、シュメール人は粘土板に掛け算表を書き、幾何学の問題や割り算の問題を扱っていた。バビロニア数字の最も古い痕跡もこの時代に遡る。^[12]

メソポタミアの粘土板の大部分は紀元前1800年から1600年の間に書かれたもので、分数、代数、二次方程式と三次方程式、正則方程式、逆数と対数の計算などの話題を扱っている。^{[13]粘土板には掛け算表や}一次方程式と二次方程式を解く方法も含まれている。バビロニアの粘土板YBC 7289には√2の近似値が示されており、小数点以下6桁の精度である。バビロニアの数学は60進法（基数60）で書かれていた。ここから、1分は60秒、1時間は60分、円周は360度（60×6）という現代の用法や、度の小数部を表すのに分と秒を使用する方法が生まれた。バビロニアの数学の進歩は、60 には多くの約数があるという事実によって促進されました。つまり、60 の約数の倍数である任意の整数の逆数は、60 を底とする有限の展開を持ちます。(10 進法の算術では、2 と 5 の倍数の逆数だけが有限の 10 進法の展開を持ちます。) また、エジプト人、ギリシャ人、ローマ人とは違い、バビロニア人は真の位取りシステムを持っていました。つまり、 10 進法と同じように、左の列に書かれた数字が大きな値を表します。しかし、彼らには小数点に相当するものがなかったため、記号の位取りは文脈から推測しなければならないことが多かったのです。

修辞代数は古代バビロニア人によって最初に開発され、16 世紀まで支配的でした。このシステムでは、方程式は完全な文で記述されます。たとえば、の修辞形式は「物に 1 を足すと 2 になる」または「物に 1 を足すと 2 になる」となります。 ${\displaystyle x+1=2}$

数学の歴史は、イオニアのギリシャ人以前の学派や時代にまで遡ることは確実にはできない。それでも、その後の歴史はいくつかの時代に分けることができ、それらの区別はかなり明確にされている。幾何学の研究から始まったギリシャの数学は、その始まりから演繹的かつ科学的である傾向があった。紀元後4世紀以来、ピタゴラスはピタゴラスの定理を発見したと一般に考えられている。これは、直角三角形において、斜辺（直角の反対側の辺）上の正方形の面積は、他の2辺の正方形の面積の合計に等しいという幾何学の定理である。^[14]古代の数学書は、前述の古代エジプトの記法と、紀元前1900年頃のバビロニア数学であるプリンプトン322の記法で入手できる。数学を独自の科目として研究するようになったのは紀元前6世紀、ピタゴラス学派が「数学」という用語を古代ギリシャ語の「指導科目」を意味するμάθημα（マセマ）から作ったときである。 ^[15]

プラトンの影響は数学と科学において特に強い。彼は、現在数論と呼ばれる「算術」と現在算術と呼ばれる「論理学」の間の溝を広げることで、純粋数学と応用数学を区別することに貢献した。ギリシャ数学は、 （特に演繹的推論と証明における数学的厳密さの導入を通じて）方法論を大幅に洗練させ、数学の対象を拡大した。^[16]アリストテレスは、後に排中律と呼ばれるようになる法則を考案したとされている。

抽象数学または純粋数学^[17]は、実際の応用や状況を考慮せずに 大きさや量などの概念を扱い、算術や幾何学が含まれます。対照的に、混合数学または応用数学では、数学的な性質と関係が現実世界の物体に適用され、例えば流体静力学、光学、航海などの物理法則をモデル化します。^[17]

アルキメデスは、古代で最も偉大な数学者であり、また全時代を通じて最も偉大な数学者の一人であると一般に考えられています。 ^{[18] [19]}彼は、無限級数の和を用いて放物線の弧の下の面積を計算するために消尽法を使用し、円周率の驚くほど正確な近似値を与えました。^[20]彼はまた、彼の名前を冠した螺旋、回転面の体積の公式、および非常に大きな数を表現する独創的なシステムを 定義しました。

幾何学の歴史的発展において、幾何学の抽象化のステップは古代ギリシャ人によってなされた。ユークリッドの『原論』は平面幾何学の公理に関する現存する最古の文献であるが、プロクロスはキオス島のヒポクラテスによるより初期の公理化について語っている。^[21]ユークリッドの『原論』（紀元前300年頃）は現存する最古のギリシャ数学論文の一つで、アレクサンドリアで書かれた13巻から成り、他の数学者によって証明された定理を集め、独自の研究で補足している。この文書は、定義、公理（公理）、命題（定理と構成）、および命題の数学的証明の優れたコレクションである。ユークリッドの最初の定理は、素数の特性を備えた補題である。影響力のある13巻は、ユークリッド幾何学、幾何代数、および古代ギリシャ版の代数システムと初等数論を扱っている。これは四分法のいたるところに見られ、論理学、数学、科学の発展に役立っています。アウトリュコスの『運動球面について』は、当時の別の古代数学の写本です。^[要出典]

代数の表記法の次の段階はシンコペーション代数であり、シンボリック代数の特徴をすべて備えているわけではありません。たとえば、減算は方程式の片側で 1 回しか使用できないという制限がありますが、これはシンボリック代数には当てはまりません。シンコペーション代数式は、アレクサンドリアのディオファントス(紀元 3 世紀、多くは失われている)によるArithmeticaと呼ばれる一連の書籍で初めて登場し、その後、ブラフマグプタのBrahma Sphuta Siddhanta (7 世紀) が続きました。

ギリシア人はアッティカ記数法^[22]を採用していたが、これはエジプトのシステムを基にしたもので、後にローマ人によって採用され使用された。ギリシア数字の1から4は、ヒエログリフと同様に縦線で表された。5の記号はギリシア文字のΠ（パイ）であり、これはギリシア語の5を意味するペンテの文字である。6から9の数字はペンテの横に縦線が入ったものであった。10は10を意味するデカの文字（Δ）で表され、100は100を意味する単語の文字で表された、という具合である。

イオニアの記数法では、3 つの古風な文字を含むアルファベット全体が使用されました。ギリシャ人の数字表記法は、現在使用されているものよりはるかに不便ではあるものの、完全に規則的で科学的な計画に基づいており、^[23]計算手段としてそれなりの効果で使用できましたが、ローマのシステムではまったく計算に使用できませんでした。ギリシャ人はアルファベットの 24 文字を 3 つのクラスに分け、各クラスに別の記号を追加することで、1、10、100 を表す文字を用意しました。( Jean Baptiste Joseph Delambreの Astronomie Ancienne、t. ii.)

このシステムは紀元前3世紀に登場し、ディガンマ（Ϝ）、コッパ（Ϟ）、サンピ（Ϡ）の文字が廃れる前のものであった。小文字が大文字と区別されるようになると、小文字が表記記号として使用されるようになった。1000の倍数は、9つの数字の前に線を引いて表記された。つまり、1000は「,α」、2000は「,β」などであった。M（μύριοι、つまり「myriad」の略）は、数字を1万倍するのに使用された。たとえば、88,888,888という数字は、M,ηωπη*ηωπηと表記される。^[24]

ギリシャの数学的推論はほぼ完全に幾何学的なものであり（ただし、数論などの非幾何学的な主題について推論するためによく使われた）、したがってギリシャ人は代数記号に興味を持っていなかった。大きな例外は、偉大な代数学者であるアレクサンドリアのディオファントスである。 ^{[25]彼の算術書は、方程式に記号を使用したテキストの1つである。それは完全に記号的ではなかったが、以前の本よりもはるかに記号的であった。未知の数はsと呼ばれていた。[26]} sの2乗は、3乗は、4乗は、5乗は であった。^[27]たとえば、式： ${\displaystyle \Delta ^{y}}$${\displaystyle K^{y}}$${\displaystyle \Delta ^{y}\Delta }$${\displaystyle \Delta K^{y}}$

${\displaystyle 2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}+5x-6}$

次のように記述される: ^{[引用が必要]}

SS2 C3 x5 M S4 u6

中国ではタリーシステムによく似た数字が使われていました。^[28] 1から4までの数字は横線でした。5は2本の横線の間にXが描かれており、ローマ数字の10とほとんど同じに見えました。現在、華媽システムは中国の市場での価格表示や伝統的な手書きの請求書にのみ使用されています。

中国の歴史には、算術、幾何学、力学、光学、航海術、天文学などの科学に精通した人々がいた。中国における数学は紀元前11世紀までに独自に出現した。^[29]中国人は天文周期、定規、コンパス、下げ振りなどの幾何学的な道具、車輪や車軸などの機械に精通していた。中国人は、非常に大きな数や負の数、小数、位取り十進法、二進法、代数、幾何学、三角法 を独自に開発した。

中国の数学は、位取り記数法など、初期の貢献を果たした。^{[30] [31]}古代中国人が知っていた幾何学定理は、辺の比など、特定のケースには適用可能だった。重ね合わせという準実験的な方法で実証できる幾何学定理も、中国人には知られていた。算術では、彼らの知識は、数盤による計算の技術と、その結果を文章で表現する力に限られていたようだ。中国人の初期の業績に関する私たちの知識は、わずかではあるが、同時代のほとんどの人々の場合よりも完全である。したがって、これは有益であり、ある国民が応用芸術にかなりのスキルを持っていたとしても、それらの芸術の基礎となった後の数学に関する私たちの知識が乏しい場合があるという事実を例証するのに役立つ。紀元前254年以前の中国の数学に関する知識はいくぶん断片的であり、この日付以降でさえ、写本の伝統は不明瞭である。古典時代より何世紀も前の年代は、検証された考古学的証拠が伴わない限り、中国の学者によって一般的に推測の域を出ないと考えられています。

他の古代社会と同様に、焦点は農耕暦やその他の実用的な課題を完成させるための天文学にあり、正式な制度を確立することではありませんでした。中国数学委員会の任務は、暦の年次作成、日付と予測の規定に限定されていました。古代中国の数学者は公理的なアプローチを開発しませんでしたが、アルゴリズムの開発と代数学の進歩を遂げました。中国の代数学の成果は、朱世傑が四未数法を発明した 13世紀に頂点に達しました。

言語的、地理的な障壁、そして内容の違いにより、中国の数学と古代地中海世界の数学は、『九章算術』が最終形態に達するまで、多かれ少なかれ独立して発展したと推定されている。一方、『数論』と『淮南子』は、古典ギリシャ数学とほぼ同時期のものである。少なくともローマ時代からの既知の文化交流を通じて、アジア全域で何らかの思想の交換があった可能性が高い。初期の社会の数学の要素は、幾何学や数論など、現代数学の分野で後に発見される基本的な結果と一致することがよくある。例えば、ピタゴラスの定理は『周壁算経』で証明されている。パスカルの三角形に関する知識も、ブレーズ・パスカルより何世紀も前に中国に存在していたことが示されており、^[32]博学者の沈括（1031–1095）などの数学者によって明確に述べられている。

三角法の状態は宋代（960–1279）に進歩し、中国の数学者は暦学と天文学の計算における球面三角法の必要性をより強調し始めました。^[33]沈括は三角関数を使用して弦と弧の数学的問題を解きました。^[33]サル・レスティボは、円弧の長さに関する沈の研究が、13世紀に数学者で天文学者の郭守敬（1231–1316）によって開発された球面三角法の基礎となったと書いています。 ^[34]歴史家のL.ゴーシェとジョセフ・ニーダムは、郭守敬は球面三角法を計算に使用して暦法と中国の天文学を改良したと述べています。^{[33] [35]}中国の数学は、13世紀に中国に渡ったアラブ宣教師たちの仕事と教え、そして球面三角法の知識を取り入れたものであった。

現在の数値表記法の起源は古代に遡るが、2000年以上前にヒンズー教徒の間で使用されていたことは間違いない。インドの数学者ブラフマグプタの代数表記法はシンコペーション式だった。加算は数字を並べて示し、減算は減数（減算される数）の上に点を置き、除算は除数を被除数の下に置き、私たちの表記法と似ているがバーがない。乗算、進化、未知数は適切な用語の省略形で表した。^[36]現在世界中で使用されているヒンズー教-アラビア数字システムとその演算の使用規則は、おそらく紀元後1千年紀の間にインドで発展し、イスラム数学を介して西洋に伝わった。^{[37] [38]}

その名前にもかかわらず、アラビア数字の起源はインドにあります。この誤った名称の理由は、ヨーロッパ人がムハンマド・イブン・ムーサ・アル・フワーリズミーによるアラビア語の本『ヒンドゥー教の計算術について』で使用されている数字を見たためです。アル・フワーリズミーは、ヒンドゥー・アラビア数字と方程式を解く方法に関する重要な本を数冊書いています。825年頃に書かれた彼の本『ヒンドゥー数字による計算について』は、アル・キンディーの著作とともに、インドの数学とインドの数字を西洋に広めるのに役立ちました。アル・フワーリズミーは数字がアラビア数字であると主張しませんでしたが、いくつかのラテン語訳によって、数字がインド起源であるという事実は失われました。アルゴリズムという言葉は、アル・フワーリズミーの名前であるアルゴリツミのラテン語表記に由来し、代数という言葉は彼の著作の一つである『アル・キターブ・アル・ムクタサル・フィー・ヒサーブ・アル・ガブル・ワル・ムカバラ（完成と均衡による計算に関する簡潔な書）』の題名に由来しています。

イスラムの数学は、中央アジア文明で知られていた数学を発展させ、拡張した。 ^{[39]これには、}アラビア数字に小数点表記を追加することが含まれる。^[矛盾]

世界中で使用されている現代のアラビア数字は、10世紀にイスラム教の北アフリカで初めて登場しました。東方アラビア数字の独特な西方アラビア変種は、 10世紀頃にマグリブとアルアンダルスで出現し始めました（グバール数字と呼ばれることもありますが、この用語は常に受け入れられているわけではありません）。これが世界中で使用されている現代のアラビア数字の直接の祖先です。^[40]

その後、数学に関する多くのギリシャ語とアラビア語のテキストがラテン語に翻訳され、中世ヨーロッパで数学がさらに発展することになった。12世紀には、学者たちが科学的なアラビア語のテキストを求めてスペインやシチリア島を旅し、アル・フワーリズミーの『原論』（ロバート・オブ・チェスターがラテン語に翻訳）やユークリッドの『原論』全文（アデラード・オブ・バース、ヘルマン・オブ・ケルンテン、ジェラルド・オブ・クレモナにより様々なバージョンが翻訳）などを探した。^{[41] [42]}数字の使用を提唱したヨーロッパの本の1つに、フィボナッチとしてよく知られている、レオナルド・ディ・ピサの『算盤の書』がある。『算盤の書』は、フィボナッチが書いたウサギの個体数に関する数学の問題でよく知られている。個体数の増加は、フィボナッチ数列となり、各項は直前の2つの項の和になった。

人気の導入日によるシンボル

記号のみが使用される記号代数への移行は、イブン・アル＝バンナ・アル＝マラクシ（1256–1321）とアブー・アル＝ハサン・イブン・アリー・アル＝カラーサディー（1412–1482）の著作に初めて見られます。^{[43] [44]アル＝カラーサディーは中世}アラブ最後の主要な代数学者であり、マグリブで以前にイブン・アル＝バンナによって使用されていた代数記法を改良しました。^{[45]彼らの先駆者である}ディオファントスとブラフマグプタのシンコペーション記法には数学演算用の記号がありませんでした。^[46]アル＝カラーサディーの代数記法はこれらの関数用の記号を備えた最初のものであり、したがって「代数記号導入への第一歩」でした。彼はアラビア語のアルファベットの文字を使って数学記号を表現した。^[45]

14世紀には、幅広い問題を調査するための新しい数学的概念が開発されました。^[47]広く使用されている2つの算術記号は、加算と減算、つまり+と-です。プラス記号は、ニコル・オレームによって1351年頃に使用され始め^[48]、1360年に彼の著書「比例法則」で公表されました。^[49]これは、ラテン語で「and」を意味する「et」の略語であると考えられており、アンパサンド記号も「et」から始まりました。パリ大学のオレームとイタリアのジョヴァンニ・ディ・カザーリはそれぞれ独立して、等加速度運動をしている物体が移動する距離のグラフによるデモンストレーションを提供し、一定の加速度を示す線の下の面積が移動した総距離を表すと主張しました。^[50]マイナス記号は1489年にヨハネス・ヴィトマンの著書『商人算術』で使われた。^[51]ヴィトマンはマイナス記号をプラス記号と一緒に使って、それぞれ赤字と黒字を示した。^[52] 『算術、幾何学、比例、比例法の大全』^[53]では、プラス記号とマイナス記号に記号を使い、代数も扱ったが、その著作の多くはピエロ・デラ・フランチェスカの著作を流用・盗用したものである。^[要出典]

平方根を表す根号記号(√) は、1500 年代初頭にクリストフ ルドルフによって導入されました。ミヒャエル シュティフェルの重要な著作Arithmetica integra ^[54]には、数学表記法における重要な革新が含まれていました。1556 年、ニッコロ タルタリアは、優先順位のグループ化に括弧を使用しました。1557 年、ロバート レコーデは、英語圏の読者のために、等号 (=) とプラス記号およびマイナス記号を導入したThe Whetstone of Witte を出版しました。1564 年、ジェロラモ カルダーノは、確率論の初期段階の始まりとして、偶然のゲームを分析しました。1572 年、ラファエル ボンベッリはL'Algebraを出版し、3 次方程式を解くカルダーノの公式に現れる虚数の取り扱い方を示しました。 1585年にオランダ語で出版されたシモン・ステヴィンの著書『De Thiende（10分の1の技術）』には、十進法の体系的な扱いが含まれており、実数体系に関するその後のすべての研究に影響を与えました。フランソワ・ヴィエトの『新代数』（1591年）は、代数式の現代的な表記法の操作を導入しました。

ジョン・ネイピアは対数の発明者として最もよく知られており（ Description of the Marvelous Canon of Logarithmsに掲載）^[55] 、算術や数学における小数点の使用を一般化しました。 ^{[56] [57]}ネイピアの後、エドマンド・ガンターが計算尺のベースとなる対数目盛り（線、またはルール）を作成しました。ウィリアム・オートレッドは、互いにスライドする2つの目盛りを使用して直接乗算と除算を実行し、1622年に計算尺を発明したとされています。1631年にオートレッドは乗算記号（×）、比例記号（∷）、および正弦関数と余弦関数の略語 sin と cos を導入しました。[ 58 ]アルバート^・ジラールも論文の中で 三角関数の略語として「sin」 、 「 cos」、「tan」を使用しました。

ルネ・デカルトは、代数学と幾何学の架け橋であり、微積分と解析の発見に不可欠な解析幾何学の父とされています。17世紀、デカルトは直交座標を導入し、解析幾何学の発展を可能にし、方程式の表記を幾何学に持ち込みました。ブレーズ・パスカルは生涯を通じて数学に影響を与えました。1653年の「算術三角形に関する論文」では、現在パスカルの三角形と呼ばれる二項係数の便利な表形式の表現について説明しました。ジョン・ウォリスは無限大記号(∞)を導入し、この表記法を無限小にも使用しました。たとえば、1/∞⁠ .

ヨハン・ラーンは1659年に除算記号（÷、オベルスの変形を再利用したもの）としたがって記号を導入した。ウィリアム・ジョーンズは1706年にSynopsis palmariorum mathesios ^[59]でπを使用したが、これはギリシャ語で周囲を意味するPerimetron（περιμετρον）の頭文字だからである。この用法は1737年にオイラーによって普及した。1734年にピエール・ブーゲは不等号の下に二重の水平バーを使用した。^[60]

線型代数の研究は、連立一次方程式を解くのに使われる行列式の研究から生まれました。微積分には 2 つの主要な表記法があり、それぞれ考案者の 1 人によって作成されました。1 つはアイザック ニュートンが開発した表記法、もう 1 つはゴットフリート ライプニッツが開発した表記法です。今日最もよく使われているのはライプニッツの表記法です。ニュートンの表記法は、関数の上に点またはダッシュを置いただけのものでした。たとえば、関数xの導関数は と書きます。xの 2 次導関数は と書きます。現代の用法では、この表記法は一般に物理量の時間に関する導関数を表し、力学の分野で頻繁に使用されています。一方、ライプニッツは微分を表す接頭辞として文字d を使用し、導関数を特別な種類の分数であるかのように表す表記法を導入しました。たとえば、ライプニッツの表記法では、関数xのtに関する導関数は と書きます。この表記法は、関数の導関数がとられる変数を明示的に示します。ライプニッツは積分記号 ( ∫ ) も作成しました。例:曲線の下の面積を求める場合、積分は、その面積を無限に多くの細長い長方形に分割し、それらの面積を加算することによって示されることがよくあります。したがって、積分記号は細長い Sで、ラテン語のsumma (「合計」を意味する) を表します。 ${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle {\ddot {x}}}$${\displaystyle {dx \over dt}}$${\displaystyle \int _{-N}^{N}f(x)\,dx}$

この時代のアルファベットの文字は量の記号として使われることになっていた。文字の選択に関しては多様性があったが、その後の歴史の中で普遍的に認められた規則がいくつかあることになっていた。 ^[23]このように方程式の歴史において、アルファベットの最初の文字は係数、最後の文字は未知の項（ 不確定な項）として指示的に知られていた。代数幾何学でも同様の規則が守られ、アルファベットの最後の文字は変数または現在の座標を表すことになっていた。 、、などの特定の文字は、頻繁に出現する数3.14159 ...、2.7182818 ....の記号として普遍的な合意によって採用され、他の用途は可能な限り避けることになっていた。^[23]文字は演算の記号としても使用され、それらとともに前述の他の任意の演算文字が使用された。細長い文字は、微分積分学や積分学における演算記号として、また差分法におけるΣとして用いられることになっていた。^[23]関数記法では、演算記号としての文字は、量を表す記号とみなされる別の文字と組み合わされる。^[23]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta }$

したがって、 は、対象に対する操作の実行の数学的結果を表します。この結果に対して同じ操作を繰り返すと、新しい結果は、またはより簡潔には、などによって表されます。 量自体は、他の関数に対する同じ操作の結果と見なされます。類推により、その適切な記号は です。したがって、 と は逆​​操作の記号であり、前者は対象 に対する後者の効果を打ち消します。およびも同様に逆関数と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f[f(x)]}$${\displaystyle f^{2}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f^{-1}(x)}$

1718 年初頭、トーマス・トゥイニンは、それ以前のアラビア語の水平分数線に由来する除算スラッシュ(ソリダス) を使用しました。ピエール・シモン・ラプラス侯爵は、広く使用されているラプラス微分演算子(例) を開発しました。1750 年、ガブリエル・クラメールは、線形システムを解くための「クラメールの規則」を開発しました。 ${\displaystyle \Delta f(p)}$

レオンハルト・オイラーは歴史上最も多作な数学者の一人であり、また、標準記法の発明者でもありました。彼の貢献には、自然対数の底を表すためにeを使用したことが含まれます。 が選ばれた理由は正確にはわかっていませんが、おそらく、アルファベットの 4 文字が変数やその他の定数を表すためにすでに一般的に使用されていたためでしょう。オイラーは一貫して円周率を表していました。の使用は、周囲の省略形として使用したウィリアム・ジョーンズによって提案されました。オイラーは、以前は無限数として使用していましたが、負の 1 の平方根 ( ) を表すために使用していました。今日では、ジョン・ウォリスによって作成された記号 が、例えば のように無限大を表すために使用されます。合計については、オイラーは直立した大文字のギリシャ文字シグマ(Σ)を拡大した形式、大文字シグマ記法を使用しました。これは次のように定義されます 。${\displaystyle e}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

ここで、i は合計のインデックスを表します。a _{i は}、一連の各項を表すインデックス付き変数です。mは合計の下限、n は合計の上限です。合計記号の下の「i = m」は、インデックスi がmに等しいことを意味します。インデックスiは、各項ごとに 1 ずつ増加し、i = nで停止します。

関数の場合、オイラーはの関数を表すために という表記法を使用しました。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

数学者ウィリアム・エマーソン^[61]は比例記号（∝）を考案した。比例とは、ある量と別の量の比であり、この記号は2つの変数の比が一定であることを示すために用いられる。 ^{[62] [63]}後になって、さまざまな比例現象の値の抽象的な表現において、parts-per表記法は、さまざまな無次元量の小さな値を表す疑似単位として役立つようになった。1768年、コンドルセ侯爵は、カーリーdまたはヤコビのデルタとして知られる偏微分記号を提唱した。導関数のプライム記号もジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって作られた。

しかし、私たちの意見では、この種の 真実は、表記からではなく概念から引き出されるべきです。

— カール・フリードリヒ・ガウス、ウィルソンの定理の証明について書いたもの^[64]

19世紀初頭、カール・フリードリヒ・ガウスは合同関係の恒等式と、二次方程式の相互法則における積分部分を発見した。ガウスは複素変数関数、幾何学、級数の収束について貢献した。彼は代数の基本定理と二次方程式の相互法則の満足のいく証明を与えた。ガウスはガウスの消去法を使って線形システムを解く理論を開発したが、これは当初測地学の進歩として挙げられていた。^[65]彼は積分記号も開発した。

1800年代以降、クリスチャン・クランプは、非整数に適用される一般化階乗関数の研究中に階乗記法を推進しました。 ^[66] ジョセフ・ディアス・ジェルゴンヌは、後にエルンスト・シュレーダーによって再開発された集合包含記号 (⊆, ⊇) を導入しました。ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは、等差数列に関するディリクレの定理を証明すべくディリクレのL関数を開発し、解析的整数論を開始しました。1829年、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビは、楕円シータ関数とともにFundamenta nova theoriae functionum ellipticarum を出版しました。

行列記法は、ラグランジュの解析力学^[67]やラプラスの著作を読んで示唆された主題について、アーサー・ケイリーの 3 つの論文でさらに発展させられました。ケイリーは行列の乗算と逆行列を定義しました。ケイリーは行列を表すのに 1 つの文字を使用し、^[68]行列を集合体として扱いました。彼はまた、行列と行列式のつながりに気づき、^[69] 「行列の理論については、行列式の理論に先立って語るべきことがたくさんあるように思われます」と書いています。 ^[70]

ウィリアム・ローワン・ハミルトンはベクトル微分を表すナブラ記号（または後にデル、∇と呼ばれる）を導入した。^{[71] [72]}これは以前、ハミルトンが汎用演算子記号として使用していた。^[73]、、は量子力学のハミルトン演算子に使用され、ℋは古典ハミルトン力学のハミルトン関数に使用される。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\check {H}}}$

数学において、ハミルトンはおそらく四元数表記法と双四元数の発明者として最もよく知られています。

1864年、ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、当時の電磁気学の知識のすべてを、20の変数を持つ20の方程式を持つ連結された微分方程式のセットにまとめ、著書『電磁場の動的理論』にまとめた。^[75]（マクスウェルの方程式を参照）。採用する必要のある計算方法はラグランジュによって示され、その後、多少の修正を加えてハミルトンの方程式によって発展させた。これは通常、ハミルトンの原理と呼ばれ、元の形式の方程式が使用される場合はラグランジュの方程式として知られている。1871年、リチャード・デデキントは、四則演算で閉じている実数または複素数の集合を体と呼んだ。 1873年、マクスウェルは『電気と磁気に関する論文』を発表した。

1878年、ウィリアム・キングドン・クリフォードは「Elements of Dynamic」を出版した。^{[76]クリフォードは}分割双四元数（例：）を開発し、これを代数モーターと呼んだ。クリフォードは、2つのベクトルのドット積とクロス積を完全な四元数表記から分離することで、四元数の研究を不要にした。 ${\displaystyle q=w+xi+yj+zk}$

一般的なベクトル表記は、空間的またはベクトル空間のより抽象的なメンバーであるベクトルを扱うときに使用されますが、角度表記(または位相器表記) は電子工学で使用される表記です。

ケルビン卿のエーテル 原子理論（1860年代）を受けて、ピーター・ガスリー・テイトは1885年に、最大10の交差を持つ結び目の位相表を発表した。これはテイト予想として知られる。 テンソル計算は1887年から1896年にかけてグレゴリオ・リッチ＝クルバストロによって開発され、1892年に絶対微分計算というタイトルで発表された。^[77] 「テンソル」の現代的な用法は、 1898年にウォルデマール・フォークトによって確立された。^[78] 1895年、アンリ・ポアンカレはAnalysis Situsを出版した。^[79] 1897年、チャールズ・プロテウス・シュタインメッツはエルンスト・J・バーグの協力を得てTheory and Calculation of Alternating Current Phenomenaを出版した。^[80]

1895年、ジュゼッペ・ペアノは数学を特別な記号に基づいた簡潔な文章にまとめ上げる努力の一環として『数学公式』 [ ^81]を出版した。彼はベクトル空間と線型写像の定義を与えた。また、交差記号、和集合記号、帰属記号（は の要素である）、存在量指定子（存在する）を導入した。ペアノは1900年のパリの会議でバートランド・ラッセルに自分の研究を手渡した。それはラッセルに非常に感銘を与え、ラッセルも数学をより簡潔に表現しようとする意欲に取り憑かれた。その結果がアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとの共著『数学原理』である。この論文は記号が支配的になった近代文学の分岐点を示している。ペアノの『数学公式』はラッセルの作品ほど人気はなかったものの、5版まで出版された。5版目は1908年に出版され、4200の公式と定理を収録した。

リッチ＝クルバストロとトゥリオ・レヴィ＝チヴィタは1900年頃にテンソル指数表記法を普及させた。 ^[82]

集合論の発明者であるゲオルク・カントールは、アレフ数を導入しました。これは、無限集合の濃度を表すためにアレフ記号 (א) と自然数の添え字を使用するため、このように名付けられました。序数にはギリシャ文字の ω (オメガ) を使用しました。この表記法は、言語に意味を与える何らかの方式に従って 序数を命名する、有限のアルファベットからの有限の記号列の序数表記法として今日でも使用されています。

20世紀に入ると、ジョサイア・ウィラード・ギブスは物理化学において、内積を表す中点と外積を表す乗算記号を導入した。また、ベクトル解析で導入されたスカラー積とベクトル積の表記法も提供した。その後まもなく、バートランド・ラッセルが1906年に論理和( OR ) を導入した。ゲルハルト・コワレフスキーとカスバート・エドマンド・カリス^{[83] [84] [85] は}それぞれ行列表記法、括弧付き行列表記法、ボックス行列表記法を次々と導入した。

アルバート・アインシュタインは1916 年に、式内のインデックス付き項の集合を合計して表記を簡潔にするアインシュタイン表記法を導入しました。たとえば、インデックスは集合{1, 2, 3 } にわたっています。

${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}}$

慣例により次のように短縮されます。

${\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,.}$

上位のインデックスは指数ではなく、座標、係数、または基底ベクトルのインデックスです。

1917年、アルノルド・ゾンマーフェルトが輪郭積分記号を作成した。また1917年、ディミトリ・ミリマノフが正則性公理を提案した。 1919年、テオドール・カルツァが5次元を使用して一般相対性方程式を解き、その結果として電磁気方程式が出現した。^[86]これは1921年に「物理学の単位問題」で発表された。^[87] 1922年、アブラハム・フランケルとトラルフ・スコーレムは独立に、指定の公理スキームを置換の公理スキームに置き換えることを提案した。また1922年には、ツェルメロ-フランケル集合論が開発された。1923年、シュタインメッツは相対性と空間に関する4つの講義を出版した。 1924年頃、ヤン・アーノルドゥス・スハウテンは、 20世紀初頭の一般相対性理論と微分幾何学への絶対微分積分の応用の中で、リッチ計算の枠組みのための現代的な表記法と形式論を開発した。リッチ計算は、テンソルとテンソル場に対する指数表記法と操作法の規則を構成する。^{[88] [89] [90] [91]} 1925年、エンリコ・フェルミは、パウリの排他原理に従う多数の同一粒子からなる系を記述し、その後、拡散方程式（フェルミ年齢方程式）を展開した。1926年、オスカー・クラインは、カルツァ＝クラインの理論を展開した。1928年、エミール・アルティンは、アルティン環によって環理論を抽象化した。1933年、アンドレイ・コルモゴロフは、コルモゴロフの公理を導入した。 1937年、ブルーノ・デ・フィネッティは「操作的主観」の概念を導き出しました。

数学的抽象化は、数学的概念の根底にある本質を抽出し、 ^{[92] [93]}元々関連していたかもしれない現実世界のオブジェクトへの依存を取り除き、^{[94]それを一般化してより広い用途を持たせたり、同等の}現象の他の抽象的な記述と一致させたりするプロセスとして始まった。現代数学の 2 つの抽象領域は、カテゴリ理論とモデル理論である。バートランド ラッセルは、^[95]「日常生活の言葉は十分に抽象的ではないため、通常の言語は物理学が実際に主張していることを表現するのにまったく適していない。数学と数学的論理だけが、物理学者が言いたいことをほとんど言うことができる」と述べた。しかし、現実世界のオブジェクトを数学に置き換え、方程式を次から次へと展開し、現実とは何の関係もない概念構造を構築することができる。^[96]

この時期に導入された数学的論理表記法には、ブール代数で使用される記号のセットも含まれていました。これは、1854 年にジョージ ブールによって作成されました。ブール自身は論理を数学の分野とは見なしていませんでしたが、いずれにせよ数学に含まれるようになりました。ブール代数で使用される記号には、 (AND)、(OR)、( not ) などがあります。これらの記号と、さまざまな真理値を表す文字を使用して、 、つまり「( aは真であるか、またはaは真ではない) は真である」という論理ステートメントを作成できます。これは、 aが真であるか、真でない (つまり偽) のいずれかであることを意味します。ブール代数はそのままでも多くの実用的な用途がありますが、論理で使用される大規模な記号セットの始まりでもありました。これらの記号のほとんどは、 と記述される形式システムである命題計算で見つけることができます。 は、上記のブール 代数の例の aなどの要素の集合です。 は、またはなどの演算を含むサブセットを含む集合です。 には、推論を論理的に行う方法を規定する規則である推論規則と、公理が含まれています。述語論理は、もともと述語計算と呼ばれていましたが、命題論理を、変数（通常はx、y、z 、またはその他の小文字で表記）と、述語と呼ばれる変数を含む文の導入によって拡張したものです。これらは通常、 P( x ) や Q( y、z )のように、大文字の文字に続いて変数のリストで表記されます。述語論理では、量指定子に特別な記号を使用します。 ∃ は「存在する」、 ∀ は「すべてに対して」です。 ${\displaystyle \land }$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle a\lor \lnot a=1}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\ (\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} )}$${\displaystyle \mathrm {A} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \land }$${\displaystyle \mathrm {Z} }$${\displaystyle \mathrm {I} }$

式のすべてのω-無矛盾な再帰的クラス κには、再帰的クラス符号 r が対応しており、v Gen rも Neg ( v Gen r ) も Flg (κ) に属しません (ここで、vはrの自由変数)。

— クルト・ゲーデル^[97]

クルト・ゲーデルは不完全性定理を証明する際に、論理学で通常使用される記号に代わるものを考案した。彼はゲーデル数を使用した。これは、集合数の演算と10より大きい素数の変数を表す数である。ゲーデル数を使用すると、論理ステートメントを数列に分解できる。ゲーデルはこれをさらに一歩進め、n個の素数を数列の数で累乗した。これらの数を掛け合わせて最終的な積を算出し、すべての論理ステートメントに独自の番号を付与した。^[98]

例えば、「yではない数xが存在する」という文を考えてみましょう。命題論理の記号を使うと、これは次のようになります。

${\displaystyle (\exists x)(x=\lnot y)}$。

記号をゲーデル数に置き換えると次のようになります。

${\displaystyle \{8,4,11,9,8,11,5,1,13,9\}}$。

数字は 10 個あるので、10 個の素数が見つかります。これらは次のとおりです。

${\displaystyle \{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}}$。

次に、ゲーデル数をそれぞれの素数の累乗にして掛け合わせると、次のようになります。

${\displaystyle 2^{8}\times 3^{4}\times 5^{11}\times 7^{9}\times 11^{8}\times 13^{11}\times 17^{5}\times 19^{1}\times 23^{13}\times 29^{9}}$。

結果の数値はおよそ です。 ${\displaystyle 3.096262735\times 10^{78}}$

表記法の抽象化は進行中のプロセスであり、多くの数学的トピックの歴史的発展は、具体的なものから抽象的なものへの進歩を示している。基本的なオブジェクトセットに対して、さまざまなセット表記法が開発されるだろう。1924年頃、デイヴィッド・ヒルベルトとリチャード・クーラントは「数理物理学の方法。偏微分方程式」を出版した。^[99] 1926年、オスカー・クラインとウォルター・ゴードンは、相対論的粒子を記述するために クライン・ゴードン方程式を提案した。

放射線と物質の相互作用を記述する量子論の最初の定式化は、1920年に初めて原子の自然放出係数を計算することに成功したポール・アドリアン・モーリス・ディラックによるものです。^[100] 1928年に、相対論的に運動する電子の挙動を説明するために、相対論的なディラック方程式がディラックによって定式化されました。ディラックによって最初に提案された形のディラック方程式は次のとおりです。

ここで、ψ = ψ( x , t )は電子の波動関数、xとtは空間と時間の座標、mは電子の静止質量、 p は運動量で、シュレーディンガー理論の運動量演算子として理解されています、cは光速、ħ = h /2 π は換算プランク定数です。ディラックは、粒子の生成消滅演算子の概念を導入し、電磁場を調和振動子の集合として定量化しました。その後の数年間で、ヴォルフガング・パウリ、オイゲン・ウィグナー、パスクアル・ジョーダン、ヴェルナー・ハイゼンベルクの貢献と、エンリコ・フェルミによる量子電磁力学のエレガントな定式化により、^[101]物理学者は、原理的には、光子と荷電粒子を含むあらゆる物理プロセスに対して任意の計算を実行できると信じるようになりました。

1931年、アレクサンドル・プロカは、核力のベクトル中間子理論と相対論的な量子場方程式に対するプロカ方程式（オイラー・ラグランジュ方程式）を開発した。ジョン・アーチボルド・ウィーラーは1937年にS行列を開発した。 1937年と1939年のフェリックス・ブロッホとアーノルド・ノルドシック^[102]、ヴィクター・ワイスコフ[ ^103]による研究では、そのような計算は摂動論の一次でのみ信頼できることが明らかになったが、この問題はロバート・オッペンハイマー^[104]によってすでに指摘されていた。級数のより高い次数では無限大が現れ、そのような計算を無意味にし、理論自体の内部一貫性に重大な疑問を投げかけた。 当時この問題の解決策は知られていなかったため、特殊相対論と量子力学の間には根本的な非互換性が存在すると思われた。

1930年代に、整数集合を表す二重大文字Zがエドモンド・ランドーによって考案されました。有理数集合を表す二重大文字Qはニコラ・ブルバキによって考案されました。1935年には、ゲルハルト・ゲンツェンが全称量指定子を作成しました。アンドレ・ヴェイユとニコラ・ブルバキは1939年に空集合記号を開発しました。同年、ネイサン・ジェイコブソンが複素数集合を表す二重大文字Cを考案しました。

1930年代頃、多重線型代数において対称テンソルの次数を減らすことでそのテンソルを表現する方法として、フォークト記法（フォークトの1898年の研究に敬意を表して名付けられた）が開発された。シェーンフリース記法は点群を記述する2つの慣例のうちの1つとなった（もう1つはヘルマン・モーガン記法）。またこの頃、4次元時空における2成分スピノル（ワイルスピノル）の使用法としてファンデルワールデン記法^{[105] [106]が普及した。}アーレント・ヘイティングはヘイティング代数とヘイティング算術を導入した。

矢印、例えば → は、1936年にØystein Oreによって関数表記法のために開発され、特定の要素の像を表し、ガロア接続を表すために使用されました。その後、1940年にWitold Hurewiczの研究により、現在の形式、例えばf: X → Yになりました。ヴェルナー・ハイゼンベルクは、1941年に粒子相互作用のS 行列理論を提唱しました。

ブラケット記法（ディラック記法）は、量子状態を記述するための標準的な記法で、山括弧と縦棒で構成されています。抽象ベクトルや線形関数の表記にも使用できます。2つの状態の内積（または複素ベクトル空間上のドット積）が⟨ブラケット⟩で表されるため、このように呼ばれています。この記法は1939年にポール・ディラックによって導入されましたが、^[107]グラスマンが内積に[ φ | ψ ]という記法を使用したのが約100年前の先駆けです。^[108]${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$

ブラケット記法は量子力学で広く用いられている。量子力学で説明されるほぼすべての現象（現代物理学の大部分を含む）は、通常ブラケット記法の助けを借りて説明される。この記法は、符号化された抽象的な表現独立性を確立し、関係する線形空間の性質にあまり手間をかけたり過度に依存したりすることなく、汎用性の高い特定の表現（たとえば、 x、またはp、または固有関数の基底）を生成する。重なり合う表現 ⟨ φ | ψ ⟩ は通常、状態ψ が状態ϕに崩壊する確率振幅として解釈される。ファインマンスラッシュ記法（ディラックスラッシュ記法^{[109] ）は、}量子場の理論におけるディラック場の研究のためにリチャード・ファインマンによって開発された。

ジェフリー・チューは、他の研究者とともに、1960年に素粒子物理学における強い相互作用の行列表記法と、関連するブートストラップ原理を推進し​​た。1960年代には、集合の構成員が満たさなければならない特性を述べることで集合を記述する集合構築記法が開発された。また、1960年代には、モノイドカテゴリの概念によって、圏論の中でテンソルが抽象化された。後に、マルチインデックス記法によって、整数インデックスの概念がインデックスの順序付きタプルに抽象化され、多変数微分積分、偏微分方程式、超関数の理論で使われる従来の概念が排除された。

特殊相対性理論、電磁気学、波動論の現代数学において、ダランベール演算子( ) はミンコフスキー空間のラプラス演算子です。レヴィ・チヴィタ記号は置換記号としても知られ、テンソル計算で使用されます。 ${\displaystyle \scriptstyle \Box }$

ファインマン図は素粒子物理学で使用され、朝永振一郎とジュリアン・シュウィンガーの演算子ベースのアプローチに相当する。ウィリアム・サーストンによって発明されたオービフォールド記法システムは、定曲率の2次元空間における 対称群のタイプを表すために開発された。

テトラッド形式（テトラッドインデックス表記）は、座標基底の選択を、接線束（テトラッドと呼ばれる4つの線形独立なベクトル場の局所的に定義されたセット）の局所基底のより制限の少ない選択に置き換える一般相対性理論へのアプローチとして導入される。^[110]

1990年代に、ロジャー・ペンローズは、通常は手書きで、多線型関数またはテンソルを視覚的に表現するペンローズグラフィカル表記法（テンソル図表記法）を提案した。^{[111]ペンローズは}抽象指数表記法も導入した。彼がアインシュタイン和を使用したのは、現代の抽象テンソル表記法で縮約と共変微分を記述する際の不便さを補い、関連する式の明示的な共変性を維持するためであった。 ^[要出典]

ジョン・コンウェイは、コンウェイ連鎖矢印表記法、結び目理論のコンウェイ表記法、コンウェイ多面体表記法など、さまざまな表記法を開発しました。コクセター表記法は、コクセター群の基本的な反射間の角度を記述して、対称群を分類します。括弧表記法を使用し、修飾子を使用して特定のサブグループを示します。この表記法は、HSMコクセターにちなんで名付けられ、ノーマン・ジョンソンがより包括的に定義しました。

ジョシュア・レーダーバーグによって考案され、ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターとロバート・フルクトによって拡張された組み合わせLCF表記法は、ハミルトンである立方グラフの表現のために開発された。^{[112] [113]}サイクル表記法は、順列をその構成サイクルで記述するための慣例である。^[114]これは循環表記法とも呼ばれ、順列は巡回順列または循環順列と呼ばれる。^[115]

1931年、IBMはIBM 601乗算パンチを製造しました。これは、カードから最大8桁の2つの数字を読み取り、その積を同じカードに打ち込むことができる電気機械でした。^[116] 1934年、ウォレス・エッカートは改造したIBM 601乗算パンチを使用して、微分方程式の積分を自動化しました。^[117]

1962年、ケネス・E・アイバーソンは積分部表記法を開発しました。これはアイバーソン表記法として知られるようになり、APLに発展しました。^[118] 1970年代には、コンピュータアーキテクチャーの分野で、有理数の表記法としてQuote表記法が開発されました。また、この10年間で、Z表記法は（それよりずっと前のAPL言語と同様に）多くの非ASCII記号を使用し、仕様にはZ表記法の記号をASCIIおよびLaTeXでレンダリングするための提案が含まれています。現在、さまざまなC数学関数（Math.h）と数値ライブラリがあります。これらは、数値計算を実行するためにソフトウェア開発で使用されるライブラリです。これらの計算は、シンボリック実行によって処理できます。つまり、プログラムを分析して、どの入力がプログラムの各部分を実行するかを決定します。MathematicaとSymPyは、シンボリック数学に基づく計算ソフトウェアプログラムの例です。

一般的な

• フロリアン・カジョリ（1929）『数学表記法の歴史』、全2巻。1993年にドーバーから1巻で再版。ISBN 0-486-67766-4 。

引用

一般的な

• 数学の歴史の短い説明。ウォルター・ウィリアム・ラウス・ボール著。
• 数学史入門。ウォルター・ウィリアム・ラウス・ボール著。
• 初等数学の歴史: 教授法のヒント付き。著者: フロリアン・カジョリ。
• 初等数学の歴史。フロリアン・カジョリ著。
• 数学の歴史。フロリアン・カジョリ著。
• ギリシャ数学の短い歴史。ジェームズ・ガウ著。
• 19 世紀における数学的思考の発展について。ジョン・セオドア・メルツ著。
• 新しい数学と哲学の辞典。ピーター・バーロウ著。
• 数学文献の歴史的入門。ジョージ・エイブラム・ミラー著
• 数学の簡潔な歴史。カール・フィンク、ウースター・ウッドラフ・ビーマン、デイビッド・ユージン・スミス著
• 現代数学の歴史。デイビッド・ユージン・スミス著。
• 現代数学の歴史。デイビッド・ユージン・スミス著、マンスフィールド・メリマン社。

他の

• プリンキピア・マセマティカ、第 1 巻および第 2 巻。アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド、バートランド・ラッセル著。
• 自然哲学の数学的原理、第 1 巻、第 1 号。著者: アイザック・ニュートン卿、アンドリュー・モット、ウィリアム・デイビス、ジョン・マシン、ウィリアム・エマーソン。
• 1827 年と 1825 年の曲面の一般的な調査。カール・フリードリヒ・ガウス著。

• 数学表記法：過去と未来
• 数学表記法の歴史
• 数学表記法の初期の使用
• 指で数える。files.chem.vt.edu。
• 一般的な数学記号と略語（歴史付き）。Isaiah Lankham、Bruno Nachtergaele、Anne Schilling。