数学的構造

数学において、構造とは、集合に何らかの追加の特徴（演算、関係、距離、位相など）が備わった集合のことです。多くの場合、追加の特徴は集合に付加または関連付けられ、それによって集合に何らかの追加の意味や重要性がもたらされます。

可能な構造の一部は、測度、代数構造（群、体など）、位相、計量構造（幾何学）、順序、グラフ、イベント、同値関係、微分構造、カテゴリです。

時には、集合が同時に複数の特徴を備えていることもあり、数学者は異なる構造間の相互作用をより豊かに研究することができます。たとえば、順序付けは集合に厳密な形式、形状、または位相を課しますが、集合が位相特徴と群特徴の両方を持ち、これら2つの特徴が特定の方法で関連している場合、構造は位相群になります。^[1]

構造を保存する集合間の写像（すなわち、領域内の構造が余領域内の同等の構造に写像される）は、数学の多くの分野で特に興味深い。例としては、代数構造を保存する準同型写像、位相構造を保存する同相写像、^[2]および微分構造を保存する微分同相写像などがある。

1939年、ニコラ・ブルバキという名のフランスのグループは、構造を数学の根源とみなした。彼らは最初に集合論の「小冊子」で構造について言及し、1957年版の第4章でそれを拡張した。^[3]彼らは代数的、位相的、秩序的という3つの母構造を特定した。 ^{[3] [4]}

実数の集合にはいくつかの標準的な構造があります。

• 順序: 各数値は他の数値より小さいか大きいかのいずれかです。
• 代数構造: 加算と乗算の演算があり、最初の演算はグループを形成し、2 つの演算を組み合わせると体を形成します。
• 測度:実数直線の区間は特定の長さを持ち、その部分集合の多く上のルベーグ測度に拡張できます。
• メトリック:ポイント間の距離という概念があります。
• 形状：メトリックを備え、フラットです。
• 位相:開集合の概念があります。

これらの間にはインターフェースがあります:

• その順序と、独立してそのメトリック構造がそのトポロジーを誘導します。
• その順序と代数構造により、順序付き体になります。
• その代数構造と位相により、それは位相群の一種であるリー群になります。

• 抽象構造
• 同型性
• 数学的構造の同等の定義
• 直観主義型理論
• 数学的対象
• 宇宙（数学）

• フォルデス、ステファン (1994)。代数と離散数学の基本構造。ホーボーケン: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 9781118031438。
• ヘゲダス、スティーブン・ジョン; モレノ・アルメラ、ルイス (2011)。「数学的構造の出現」。数学教育研究。77 (2): 369–388。doi : 10.1007 /s10649-010-9297-7。S2CID 119981368  。
• コルマン、バーナード、バスビー、ロバート C.、ロス、シャロン カトラー (2000)。離散数学的構造(第 4 版)。アッパー サドル リバー、ニュージャージー: プレンティス ホール。ISBN 978-0-13-083143-9。
• Malik, DS; Sen, MK (2004)。離散数学的構造：理論と応用。オーストラリア：Thomson/Course Technology。ISBN 978-0-619-21558-3。
• Pudlák, Pavel (2013)。「数学的構造」。数学と計算複雑性の論理的基礎 やさしい入門書。Cham: Springer。pp. 2–24。ISBN 9783319001197。
• Senechal, M. (1993 年 5 月 21 日). 「数学的構造」. Science . 260 (5111): 1170–1173. doi :10.1126/science.260.5111.1170. PMID  17806355.

• 「構造」。PlanetMath 。 (モデル理論的な定義を提供します。)
• コンピュータサイエンスにおける数学的構造（ジャーナル）