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幾何学において、平行線公準はユークリッドの『原論』における第5公準であり、ユークリッド幾何学における特徴的な公理である。それは、2次元幾何学において、次のことを述べている。
ある直線が他の2本の直線と交わり、同じ側に2つの内角を形成し、それらの内角の合計が2直角未満である場合、その2本の直線を無限に延長すると、内角の合計が2直角未満となる側で交わる。
これは次のように表現することもできます。
ある直線が他の2本の直線と交わる場合、同じ側にある2つの内角の合計が2直角未満になるのは、その2本の直線を無限に延長した場合に、その2本の直線が同じ側で交わる場合に限る。
この2つの定式化の違いは、最初の定式化の逆にある。
ある直線が他の2本の直線と交わり、その2本の直線が最初の直線の片側で交わる場合、その片側にある2つの内角の合計は2直角未満となる。
後者の主張は、ユークリッドの『原論』において、2つの異なる直線は最大で1つの交点しか持たないという事実を用いて証明されている。逆に、この主張は、2つの異なる直線は2つの交点を持つことはできないことを意味する（2つの交点の間を通る直線を描き、その直線の両側にこの主張を適用すればよい）。
この公準の元の定式化は、平行線について具体的に言及していません。[ 1 ]しかし、その逆と2番目の定式化は平行線の存在を暗示しています。なぜなら、内角の合計が2つの直角であれば、2つの直線は交わらないからです。ユークリッドは、5つの公準の直前の第1巻、定義23で平行線の定義を与えました。[ 2 ] [ 3 ]
ユークリッド幾何学とは、平行線公準とその逆を含む、ユークリッドのすべての公理を満たす幾何学です。非ユークリッド幾何学とは、平行線公準の2番目の形式を満たさない幾何学です。双曲幾何学とは、最初の公準を満たさない幾何学です。楕円幾何学とは、平行線公準の逆を満たさない幾何学です。特に、球面幾何学では、2つの直線はちょうど2点で交わります。
この公準は長い間自明または必然的なものと考えられていましたが、証明は困難でした。最終的に、この公準を反転させると、異なるものの有効な幾何学が得られることが発見されました。平行線公準またはその逆が成り立たない幾何学は、非ユークリッド幾何学として知られています。ユークリッドの第5公準に依存せず、2つの異なる直線が最大で1つの交点を持つと仮定する幾何学（つまり、最初の4つの公準の現代版のみを仮定する幾何学）は、絶対幾何学（または「中立幾何学」と呼ばれることもあります）として知られています。
おそらく、ユークリッドの平行線公準に相当する最もよく知られた公準は、彼の他の公準に依存するプレイフェアの公理であり、スコットランドの数学者ジョン・プレイフェアにちなんで名付けられ、次のように述べられている。
平面において、直線とそれにない点が与えられた場合、その点を通る直線に平行な直線は最大で１本しか引くことができない。[ 4 ]
この公理は、一方が真で他方が真でない幾何学が存在するため、それ自体ではユークリッド平行線公準と論理的に同値ではありません。しかし、ユークリッド幾何学を与える残りの公理が存在する場合、一方を使用して他方を証明することができるため、絶対幾何学の文脈では両者は同値です。[ 5 ]
平行線公準と同等の命題は他にも多数提案されており、中には一見平行線とは無関係に見えるものや、あまりにも自明なため、ユークリッドの他の公準から平行線公準を証明したと主張する人々が無意識のうちに前提としていたものもある。これらの同等の命題には以下のようなものがある。
しかし、「平行」という言葉を用いる代替案は、4 つの一般的な「平行」の定義 （一定の距離、決して交わらない、第三の線と交差する角度が同じ、または任意の第三の線と交差する角度が同じ）のうちどれが意味されているかを説明する必要が生じると、それほど単純 には見えなくなります。なぜなら、これら 4 つの等価性自体が、ユークリッドの第 5 公準と等価な、無意識のうちに明白な仮定の 1 つだからです。上記のリストでは、常に交わらない線を指すものとされています。たとえば、プレイフェアの公理の「平行」という言葉が「一定の距離」または「任意の第三の線と交差する角度が同じ」を意味すると解釈される場合、それはもはやユークリッドの第 5 公準と等価ではなく、最初の 4 つの公準から証明できます（公理は「線は最大で 1 つである」と言っていますが、これはそのような線が存在しないという仮定と一致します）。しかし、平行線を交わらない線、または同じ角度で交わる線と定義すると、プレイフェアの公理は文脈上ユークリッドの第5公準と等価であり、したがって最初の4つの公準とは論理的に独立している。なお、後者の2つの定義は等価ではない。双曲幾何学では、2番目の定義は超平行線にのみ当てはまるからである。
当初から、この公準は証明可能であるため公準ではないとして攻撃を受け、2000年以上にわたり、ユークリッドの最初の4つの公準を用いて平行線公準を証明（導出）しようとする試みが数多く行われた。[ 10 ]このような証明が切望された主な理由は、最初の4つの公準とは異なり、平行線公準は自明ではないからである。原論で公準が列挙されている順序が重要であれば、ユークリッドは、この公準を証明できない、あるいはこの公準なしでは先に進めないことに気づいたときにのみ、この公準を含めたことを示している。[ 11 ] 他の4つの公準から5番目の公準を証明しようとする試みが数多く行われ、その多くは間違いが発見されるまで長期間証明として受け入れられていた。間違いは決まって、5番目の公準と同等であることが判明した「明白な」性質を仮定していたことであった（プレイフェアの公理）。プロクロスの時代から知られていたこの公理は、1795年にジョン・プレイフェアがユークリッド幾何学に関する有名な注釈書を著し、その中でユークリッドの第5公準を自身の公理に置き換えることを提案したことから、プレイフェアの公理として知られるようになった。それから2200年以上経った今日でも、ユークリッドの第5公準は公準として残っている。
プロクロス（410年頃～485年）は『原論』の注釈書の中で、他の4つの公準から第5の公準を導き出そうとする試みについて論評している。特に、プトレマイオスが誤った「証明」を提示したことを指摘している。そしてプロクロス自身も誤った証明を提示している。しかしながら、彼は第5の公準と同等の公準を提示した。
アラビアの数学者イブン・アル＝ハイサム（アルハゼン）（965年 - 1039年）は、背理法を用いて平行線公準の証明を試みた[ 12 ] 。その過程で、彼は幾何学に運動と変換の概念を導入した[ 13 ] 。彼はランベルト四角形を定式化し、ボリス・アブラモヴィッチ・ローゼンフェルドはこれを「イブン・アル＝ハイサム＝ランベルト四角形」と名付けた[ 14 ]。彼の証明の試みには、ランベルト四角形やプレイフェアの公理に見られる要素と同様の要素が含まれている[ 15 ]。
ペルシャの数学者、天文学者、哲学者、詩人であるオマル・ハイヤーム（1050年 - 1123年）は、哲学者（アリストテレス）による5つの原理のうち4番目の原理、すなわち「2つの収束する直線は交わり、2つの収束する直線が収束する方向に発散することは不可能である」に基づく別の明示的に与えられた公準から、第5公準を証明しようと試みた。[ 16 ]彼は楕円幾何学と双曲幾何学に属する初期の結果のいくつかを導き出したが、彼の公準は後者の可能性を排除していた。[ 17 ]サッケリ四角形もまた、11世紀後半にオマル・ハイヤームによって『ユークリッドの公準の難問の説明』第1巻で初めて考察された。[ 14 ]彼以前および彼以降の多くのユークリッド注釈者（ジョヴァンニ・ジローラモ・サッケリを含む）とは異なり、ハイヤームは平行線公準そのものとしてではなく、彼自身の等価公準からそれを導き出すために。彼は、ユークリッドの第 5 公準を省略すると 3 つの可能性が生じることを認識した。1 つの直線に 2 つの垂線が別の直線と交わる場合、後者の直線を適切に選択することで、2 つの垂線と交わる点の内角を等しくすることができる (その場合、その直線は最初の直線に平行になる)。これらの等しい内角が直角であれば、ユークリッドの第 5 公準が得られるが、そうでなければ、鋭角か鈍角でなければならない。彼は、鋭角と鈍角の場合、彼の公準を用いると矛盾が生じることを示したが、彼の公準は現在、第 5 公準と等価であることが知られている。
ナスィール・アルディン・アルトゥースィー（1201年 - 1274年）は、著書『アル・リサーラ・アル・シャフィヤーアン・アル・シャック・フィ・ル・フトゥート・アル・ムタワズィーヤ』（平行線に関する疑念を晴らす議論）（1250年）の中で、平行線公準と、1世紀前にハイヤームが試みた証明について詳細な批判を記した。ナスィール・アルディンは、平行線公準の背理法による証明を試みた。[ 18 ]また、現在楕円幾何学や双曲幾何学として知られているものについても検討したが、どちらも否定した。[ 17 ]
ナスィール・アルディンの息子、サドル・アルディンは、父の後期の考えに基づいて、1298年にこの主題に関する本を著し、平行線公準と同等の非ユークリッド仮説の最も初期の議論の1つを提示した。「彼は基本的に、ユークリッドの公理と公準の体系と、『原論』からの多くの命題の証明の両方を改訂した。」[ 18 ] [ 19 ]彼の著作は1594年にローマで出版され、ヨーロッパの幾何学者によって研究された。この著作は、サドル・アルディンの著作とウォリスの著作に対する批判から始まったサッケリのこの主題に関する著作の出発点となった[ 18 ] [ 20 ] 。
ジョルダーノ・ヴィターレ（1633年～1711年）は、著書『ユークリッド復元』（1680年、1686年）の中で、ハイヤーム＝サッケリ四角形を用いて、底辺ABと頂点CD上の3点が等距離であれば、ABとCDはどこでも等距離であることを証明した。ジローラモ・サッケリ（1667年～1733年）は、同じ推論をより徹底的に追求し、鈍角の場合については正しく不合理性を導き出した（ユークリッドと同様に、線は無限に延長でき、無限の長さを持つという暗黙の仮定から出発した）が、鋭角の場合については反駁できなかった（もっとも、彼は反駁したと誤って思い込んでいた）。
1766年、ヨハン・ランベルトは『平行線理論』を執筆したが出版はせず、その中でサッケリと同様に第5公準の証明を試みた。彼は今日ランベルト四角形と呼ばれる図形、すなわち3つの直角を持つ四角形（サッケリ四角形の半分と考えることができる）を用いて研究を行った。サッケリやハイヤームと同様に、第4の角が鈍角である可能性をすぐに排除し、鋭角を仮定して多くの定理を証明した。サッケリとは異なり、彼はこの仮定との矛盾に陥ったとは感じなかった。彼は三角形の面積が減少するにつれて三角形の内角の和が増加するという非ユークリッド的な結果を証明しており、このことから彼は仮想半径の球面上に鋭角の場合のモデルが存在する可能性について考察した。彼はこの考えをそれ以上発展させることはなかった。[ 21 ]
ハイヤームとサッケリは、唯一可能な代替案を否定することでユークリッドの第5法則を証明しようと試みたが、19世紀になってようやく数学者たちはそれらの代替案を探求し、論理的に矛盾のない幾何学を発見した。1829年、ニコライ・イヴァノヴィチ・ロバチェフスキーは、ロシアの無名の雑誌に鋭角幾何学に関する記述を発表した（後に1840年にドイツ語で再出版された）。1831年、ヤーノシュ・ボヤイは、父の著書に鋭角幾何学を記述した付録を収録したが、これは間違いなくロバチェフスキーとは独立して彼が発展させたものであった。カール・フリードリヒ・ガウスもこの問題を研究していたが、結果を公表することはなかった。ボヤイの父ファルカス・ボヤイからの手紙でボヤイの結果を知ったガウスは、次のように述べている。
もし私がこの作品を褒めることができないと言って始めたら、あなたはきっと一瞬驚くでしょう。しかし、私はそうは言えません。この作品を褒めることは、自分自身を褒めることになってしまうからです。実際、作品の全内容、あなたの息子が辿った道、彼がたどり着いた結果は、過去30年から35年の間、私の心を占めてきた私の瞑想とほぼ完全に一致しています。[ 22 ]
結果として得られた幾何学は、後にロバチェフスキー、リーマン、ポアンカレによって双曲幾何学（鋭角の場合）と楕円幾何学（鈍角の場合）へと発展した。平行線公準がユークリッドの他の公理から独立していることは、1868年にエウジェニオ・ベルトラーミによって最終的に証明された。
ユークリッドは第5公準の逆を仮定しなかったが、これはユークリッド幾何学と楕円幾何学を区別する一つの方法である。『原論』には、同等の命題の証明が含まれている（第1巻、命題27）：2本の直線に交わる直線が錯角を等しくするならば、2本の直線は互いに平行である。ド・モルガン[ 23 ]が指摘した ように、これは（第1巻、命題16）と論理的に同等である。これらの結果は第5公準に依存しないが、第2公準[ 24 ]を必要とするが、これは楕円幾何学では破られている。
ユークリッドの共通概念4（互いに一致する図形は互いに等しい）ではなく、平行線公準を論理的に証明しようとする試みは、アルトゥール・ショーペンハウアーによって『意志と理念としての世界』の中で批判された。しかし、ショーペンハウアーが用いた議論は、平行線公準は知覚によって明らかであるということであり、他の公理の論理的帰結ではないということではなかった。[ 25 ]
平行線公準は、ロッチュニットタクシオムとアリストテレスの公理の結合に等しい。[ 26 ] [ 27 ] 前者は直角の辺に垂線が交わることを述べており、後者は角の脚から他の脚までの距離の長さに上限がないことを述べている。[ 28 ]に示されているように、平行線公準は、ロッチュニットタクシオムとアリストテレスの公理の次の接続幾何学形式の結合に等しい。
3本の平行線が与えられた場合、それら3本すべてと交わる直線が存在する。
直線aと、 aとは異なる 2 つの交差する直線mとnが与えられたとき、 aとmと交差するがnとは交差しない直線gが存在する。
平行な直線とは、同一平面上にあり、両方向に無限に延長しても、どちらの方向にも交わらない直線のことである。
平行線公準は、
等距離公準
、
プレイフェアの公理
、
プロクロスの公理
、
三角形公準
、
ピタゴラスの定理
と同等である。
ピタゴラスの定理を他の公理の中に含めて平行線公準を導出することもできます。
{{cite book}}ISBN/日付の不一致（ヘルプ） CS1メンテナンス：複数の名前：著者リスト（リンク）実際、この方法は平行線を常に互いに等距離にある線として特徴づけ、また幾何学に運動の概念を導入した。
「ハイヤームの仮説は双曲幾何学の場合を除外していたのに対し、アル・トゥースィーの仮説は双曲幾何学と楕円幾何学の両方を除外していた。」
「しかし、おそらく彼の息子サドル・アルディンが1298年に書いたと思われる写本には、ナスィール・アルディンの後年のこの主題に関する考えに基づいて、ユークリッドの仮説と同等の別の仮説に基づく新たな議論が記されている。[...] この後者の著作の重要性は、1594年にローマで出版され、ヨーロッパの幾何学者たちによって研究されたことにある。特に、それはサッケリの研究の出発点となり、最終的には非ユークリッド幾何学の発見につながった。」
「偽トゥーシの『ユークリッド解説』では、公準の代わりに別の命題が用いられている。それはユークリッドの公準Vとは独立しており、証明も容易であった。[…] 彼は本質的に、ユークリッドの公理と公準の体系、そして『原論』における多くの命題の証明の両方を改訂した。」
エダー、ミシェル（2000）、『古代ギリシャと中世イスラムにおけるユークリッドの平行線公準の見解』、ラトガース大学、 2008年1月23日取得