円を四角にする

円の正方形化は、ギリシャの数学で初めて提案された幾何学の問題です。これは、コンパスと定規を使用して、限られた数の手順のみを使用して、与えられた円の面積を持つ正方形を作成するという課題です。この問題の難しさから、直線と円の存在に関するユークリッド幾何学の特定の公理が、そのような正方形の存在を意味するかどうかという疑問が生じました。

1882年、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の結果として、この作業は不可能であることが証明されました。この定理は、 π ( ) が超越数であることを証明するものです。つまり、 は有理係数を持つ多項式の根ではありません。 が超越数である場合、この構成は不可能であることは数十年前から知られていましたが、その事実は1882年まで証明されませんでした。任意の不完全な精度での近似構成は存在し、そのような構成は数多く見つかっています。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$

不可能であることが証明されているにもかかわらず、疑似数学（数学の狂信者の作品）では円を二乗しようとする試みは一般的でした。「円を二乗する」という表現は、不可能なことをしようとすることの比喩として使用されることがあります。^[1]

円の求積法という用語は、円を二乗することの同義語として使用されることがあります。また、円の面積を求める近似法または数値法を指す場合もあります。一般に、求積法または二乗法は他の平面図形にも適用されます。

与えられた円のおおよその面積を計算する方法は、円を二乗する問題の前身とも言えるもので、多くの古代文化ですでに知られていました。これらの方法は、それによって得られるπの近似値を述べることで要約できます。紀元前 2000 年頃、バビロニアの数学者は近似値 を使用し、ほぼ同じ時期に古代エジプトの数学者はを使用していました。1000年以上経って、旧約聖書の列王記では、より単純な近似値 が使用されました。^[2]シャタパタ ブラーフマナ スートラとシュルバ スートラに記録されているように、古代インドの数学では、に対していくつかの異なる近似値が使用されていました。^[3]アルキメデスは、 という円の面積の公式を証明しました。^[2]中国の数学では、3世紀に劉徽がアルキメデスと同様の方法を使用してさらに正確な近似値を発見し、5世紀には祖崇志がミルゥとして知られる近似値を発見しました。^[4]${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {25}{8​​}}=3.125}$${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3.16}$ ${\displaystyle \pi \approx 3}$${\displaystyle \pi}$ ${\displaystyle 3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143}$${\displaystyle \pi \approx 355/113\approx 3.141593}$

面積が円の近似値ではなく円とまったく同じである正方形を作図する問題は、ギリシャ数学に由来する。ギリシャの数学者は、コンパスと定規を使って、あらゆる多角形を同等の面積の正方形に変換する作図法を発見した。[ 5 ^]彼らはこの作図法を使って、現代数学でより一般的になっている面積の数値計算ではなく、多角形の面積を幾何学的に比較した。数世紀後にプロクロスが書いたように、これが非多角形と比較できる方法の探求の動機となった。

この問題を研究した最初のギリシャ人はアナクサゴラスで、獄中でこの問題に取り組んだ。キオス島のヒポクラテスは、円弧で囲まれた図形（ヒポクラテスの三日月）を見つけ、その図形を二乗できるという方法に取り組んだ。ソフィストのアンティポンは、正多角形を円に内接させて辺の数を倍にすると、最終的には円の面積が満たされる（これが消尽法である）と信じた。 ^[5]彼は、あらゆる多角形は二乗できるので、円も二乗できると主張した。これとは対照的に、エウデモスは、大きさは際限なく分割できるため、円の面積が尽きることはないと主張した。^[7]アンティポンと同時期に、ヘラクレアのブライソンは、大きい円と小さい円の両方が存在するので、面積の等しい円が存在するはずだと主張した。この原理は、現代の中間値定理の一種と見なすことができる。^[8]コンパスと定規のみを使用してすべての幾何学的作図を実行するというより一般的な目標は、しばしばオイノピデスに起因するとされてきたが、これに対する証拠は状況証拠である。^[9]

任意の曲線の下の面積を求める問題は、現在では微積分学では積分、数値解析学では求積法として知られているが、微積分学が発明される前は二乗法と呼ばれていた。[ ^{10]微積分の技法が知られていなかったため、一般に二乗法は}幾何 学的作図、つまりコンパスと定規によって行われるものとみなされていた。例えば、ニュートンは1676年にオルデンバーグに「私の手紙の冒頭にある曲線を幾何学的に二乗する定理をライプニッツは嫌わないだろうと思う」と書いている。^[11]現代数学ではこれらの用語の意味は多様化しており、求積法は一般に微積分の方法が認められる場合に使用され、曲線の二乗法は制限された幾何学的方法のみを使用するという考えを保持している。

1647 年にグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンが円を二乗する試み「Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum」を行ったが、これはヴァンサン・レオトーによって厳しく批判された。^{[12]しかし、サン＝ヴァンサンは}双曲線の求積法に成功し、その過程で自然対数を開発した最も早い人物の一人となった。^{[13]サン＝ヴァンサンに続いて}ジェームズ・グレゴリーは1667 年にVera Circuli et Hyperbolae Quadratura (円と双曲線の真の二乗)で円を二乗することの不可能性を証明する別の試みを行った。彼の証明には誤りがあったが、 の代数的性質を用いて問題を解こうとした最初の論文となった。^{[14] [15]}ヨハン・ハインリヒ・ランベルトは1761年に が無理数であることを証明した。^{[16] [17]}フェルディナント・フォン・リンデマンは1882年になってようやくπが超越数であることをより明確に証明することに成功し、その際にコンパスと定規で円を二乗することが不可能であることも証明した。^{[18] [19]} ${\displaystyle \pi}$ ${\displaystyle \pi}$

リンデマンの不可能性証明の後、この問題は専門の数学者によって解決されたとみなされ、その後の数学史は主にアマチュアによる円二乗作図の疑似数学的試みと、これらの試みの誤りを暴くことに支配されている。^[20]また、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンを含む数人の後代の数学者は、数ステップで問題を正確に近似するコンパスと定規作図を開発した。^{[21] [22]}

古代の古典的問題で、不可能とされる問題として有名なのは、立方体を2倍にすることと、角を3等分することである。円の二乗問題と同様に、これらはコンパスと定規では解くことができない。しかし、これらの問題は円の二乗問題とは異なり、超越方程式の根を求めるのではなく、解法が3次方程式の根を必要とする。そのため、ニューシス作図や数学的な折り紙など、コンパスと定規を使った作図よりも強力な方法を使って、これらの問題の解を作図することができる。^{[23] [24]}

コンパスと定規で円を二乗する問題を解くには、面積が単位円の面積に等しい正方形の辺の長さである数 を構成する必要があります。 が構成可能な数であれば、標準的なコンパスと定規の構成も構成可能であることが分かります。 1837 年に、ピエール・ヴァンツェルは、コンパスと定規で構成できる長さは、有理係数を持つ特定の多項式方程式の解でなければならないことを示しまし た。^{[25] [26]}したがって、構成可能な長さは代数的数でなければなりません。 コンパスと定規のみを使用して円を二乗できる場合、 は代数的数でなければなりません。 1882 年になって初めて、フェルディナント・フォン・リンデマンがの超越性を証明し、この構成の不可能性を示しました。リンデマンのアイデアは、 1873年にシャルル・エルミートが示したオイラー数の超越性の証明とオイラーの恒等式 を組み合わせることだった。この恒等式は、 が無理数である ことを直ちに示す。なぜなら、超越数の有理数べきは超越数のままだからである。リンデマンは、の代数的べきの線型独立性に関するリンデマン・ワイエルシュトラスの定理を通じてこの議論を拡張し、 が超越数であり、したがって円周率が不可能であることを示した。 ^{[18] [19]}${\displaystyle {\sqrt {\pi}}}$${\displaystyle {\sqrt {\pi}}}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle e^{i\pi}=-1.}$$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \pi}$

補助的なツールを導入して規則を曲げたり、コンパスと定規による無限の操作を許可したり、特定の非ユークリッド幾何学で操作を実行したりすることで、円を正方形にすることは、ある意味では可能になります。たとえば、ディノストラトスの定理では、ヒッピアスの四角形を使用して円を正方形にしていますが、これは、この曲線が何らかの方法ですでに与えられている場合、そこから面積の等しい正方形と円を構成できることを意味します。アルキメデスの螺旋は、別の同様の構成に使用できます。^[27]ユークリッド空間では円を正方形にすることはできませんが、用語を適切に解釈すると、双曲幾何学では正方形にできる場合があります。双曲平面には正方形（4 つの直角と 4 つの等しい辺を持つ四辺形）は含まれませんが、代わりに正四辺形、つまり 4 つの辺が等しく、直角よりも鋭い 4 つの等しい角度を持つ図形が含まれます。双曲平面には、作図可能な円と作図可能な等面積の正四辺形のペアが（可算に）無限に存在するが、それらは同時に作図される。任意の正四辺形から始めて等面積の円を作図する方法はない。対称的に、任意の円から始めて等面積の正四辺形を作図する方法はなく、十分に大きな円に対してはそのような四辺形は存在しない。^{[28] [29]}

コンパスと定規で円を正確に二乗することは不可能ですが、 に近い長さを作図することで円を二乗する近似値を得ることができます。 の任意の有理近似値を対応するコンパスと定規による作図に変換するには初等幾何学のみが必要ですが、そのような作図は、達成される精度に比べて非常に冗長になる傾向があります。この問題が正確に解けないことが証明された後、一部の数学者は創意工夫を凝らし、同様の精度を与える考えられる他の作図の中でも特に単純な円を二乗する近似値を見つけました。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$

初期の歴史的なコンパスと定規の近似構築の1つは、ポーランドのイエズス会士アダム・アダマンディ・コハンスキによる1685年の論文にあり、 から小数点第5位で乖離する近似値を生成しています。 へのはるかに正確な数値近似値は既に知られていましたが、コハンスキの構築は非常に単純であるという利点があります。^[30]左の図では 、 同じ研究で、コハンスキはに対する 精度が増す一連の有理近似値も導出しています。^[31]${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$$${\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3.141\,5{\color {red}33\,338}\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}$$${\displaystyle \pi }$

ヤコブ・デ・ゲルダーは1849年に近似値に基づく構築法を発表しました。 この値は小数点以下6桁まで正確で、中国では5世紀からミルとして知られ、ヨーロッパでは17世紀から知られています。^[32]$${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }}$$

ゲルダーは正方形の辺を作図しませんでした。値を見つけるだけで十分でした 。図はゲルダーによる作図を示しています。 $${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$$

1914年、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、同じ近似に対して別の幾何学的構成を与えた。^{[21] [22]}

1913年にEWホブソンが行った近似的な構成^[32]は小数点第3位までの精度がある。ホブソンの構成は、黄金比、の近似 値 に対応する。$${\displaystyle {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)=3.141\;{\color {red}640\;\ldots },}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

同じ近似値は、1991年のロバート・ディクソンによる構成にも現れている。^[33] 2022年にフレデリック・ベアトリクスは13ステップの幾何学的構成を提示した。 ^[34]

1914年にラマヌジャンは、の近似値を8桁の小数点以下で表すこと と同等の構成を与えた。^{[21] [22]} 彼は線分OSの構成を次のように説明している。^[21]${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }}$$${\displaystyle \pi }$

晩年、イギリスの哲学者トーマス・ホッブズは円を二乗することに成功したと確信していたが、この主張はホッブズ・ウォリス論争の一環としてジョン・ウォリスによって反駁された。^[35] 18世紀から19世紀にかけて、円を二乗する問題は経度問題と何らかの関連があり、解決すれば多額の報酬が与えられるという誤った考えが、円を二乗しようとする人々の間で広まった。^{[36] [37] 1851年、ジョン・パーカーは}『円の求積法』という本を出版し、円を二乗したと主張した。彼の方法は実際には6桁の精度の近似値を出した。^{[38] [39] [40]}${\displaystyle \pi }$

ヴィクトリア朝時代の数学者、論理学者、作家で、ルイス・キャロルという筆名でよく知られているチャールズ・ラトウィッジ・ドジソンも、非論理的な円二乗理論を暴くことに関心を示した。1855年の日記の1つに、ドジソンは執筆を希望する本を列挙しており、その中には「円二乗者のための明白な事実」という本もあった。「平行線の新理論」の序文で、ドジソンは円二乗者数名に論理的誤りを証明しようとした試みについて次のように述べている。^[41]

円二乗法を揶揄する記述は、オーガスタス・ド・モルガンの著書『パラドックスの予算』に見られる。同書は彼の死後、1872年に未亡人によって出版された。同書はもともと『アテネウム』誌に連載記事として発表されていたが、死去時には出版に向けて改訂中だった。円二乗法は19世紀以降人気が衰え、ド・モルガンの著作がその一因となったと考えられている。^[20]

不可能だと証明された後も、1894年にアマチュア数学者のエドウィン・J・グッドウィンは円を二乗する方法を開発したと主張した。彼が開発した手法では円を正確に二乗することはできず、円の面積が不正確で、実質的に3.2と再定義されていた。グッドウィンはその後、インディアナ州議会にインディアナ円周率法案を提案し、州が教育に彼の手法をロイヤリティなしで使用できるようにした。この法案は州議会で反対なく可決されたが、マスコミの嘲笑が強まる中、上院では議題に上らず投票には至らなかった。^[42]${\displaystyle \pi }$

数学の奇人カール・セオドア・ハイゼルも1934年の著書「見よ！：大問題はもはや未解決ではない：円は反駁できないほど二乗された」の中で円を二乗したと主張した。^[43] ポール・ハルモスはこの本を「古典的な奇人本」と呼んだ。^[44]

円を四角にする問題は、さまざまな比喩的な意味を伴って、幅広い文学の時代にわたって言及されてきました。 ^[45]文学的な使用は、少なくとも紀元前414年にアリストパネスの戯曲『鳥』が初演されたときにまで遡ります。その中で、アテネのメトンという人物が円を四角にすることについて言及していますが、これはおそらく彼の理想郷の都市の逆説的な性質を示すためでしょう。^[46]

ダンテの『楽園』第33歌、133行目から135行目に次の詩がある。

ダンテにとって、円を正方形にすることは人知を超えた課題を表し、彼はそれを天国を理解できない自分自身の無力さに例えている。^{[47]ダンテのイメージはまた、}ウィトルウィウスの一節を思い起こさせる。これは後にレオナルド・ダ・ヴィンチの『ウィトルウィウス的人体図』で有名なイラストとなった、円と正方形に同時に刻まれた人物である。^[48]ダンテは円を神の象徴として用いており、この形の組み合わせについて言及したのは、イエスの神性と人間性が同時に備わっていることを示しているのかもしれない。^{[45] [48]}以前、第13歌で、ダンテはギリシャの円正方形作者ブライソンを、知恵ではなく知識を求めたと非難している。^[45]

17世紀の詩人マーガレット・キャベンディッシュのいくつかの作品は、円の四角化問題とその比喩的な意味について詳しく述べており、真実の統一と派閥主義の対比や、「空想と女性の性質」を合理化することの不可能性などが含まれている。^[45] 1742年にアレクサンダー・ポープが『ドゥンシアド』の第4巻を出版した頃には、円の四角化の試みは「無謀で無益」と見なされるようになった。^[39]

同様に、ギルバート・アンド・サリバンの喜劇オペラ「プリンセス・アイダ」には、永久機関の発見など、タイトルの登場人物が運営する女子大学の不可能と思われる目標を風刺的に列挙した歌がある。これらの目標の1つは「そして円は、いつか晴れた日に、四角くなるだろう」である。^[49]

セスティーナは、12世紀にアルノー・ダニエルによって初めて使用された詩の形式で、6つの単語を繰り返す円形の図式で、正方形の数の行（6行のスタンザが6つ）を使用することで、比喩的に円を正方形にすると言われてきました。スパノス（1978）は、この形式は、円が天を表し、正方形が地を表すという象徴的な意味を呼び起こすと書いています。^{[50]同様の比喩が、長年続く家族の確執を描いた}O・ヘンリーの1908年の短編小説「円を正方形にする」でも使用されています。この物語のタイトルでは、円は自然界を表し、正方形は都市、つまり人間の世界を表しています。^[51]

後の作品では、ジェイムズ・ジョイスの小説『ユリシーズ』のレオポルド・ブルームやトーマス・マンの『魔の山』の弁護士パラヴァントのような円・四角主義者は、数学的に不可能であることを知らず、決して達成できない結果のために壮大な計画を立てる、悲しいほど妄想に陥った、あるいは世間知らずの夢想家として描かれている。^{[52] [53]}

• ミニバー夫人の問題 – 交差する円の面積に関する問題
• 円形四角形コピュラ – 矛盾語法の哲学的扱いPages displaying short descriptions of redirect targets
• スクエアクル – 正方形と円の中間の形
• タルスキの円の正方形化問題 – 円板を正方形に切り取り、組み立て直す問題

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円を四角にする

• ボゴモーリニー、アレクサンダー。「円を四角にする」。cut -the-knot。
• グライム、ジェイムス。「Squaring the Circle」。Numberphile。ブレイディ・ハラン– YouTube 経由。
• Harper, Suzanne、Driskell, Shannon (2010 年 8 月)。「歴史的幾何学構成の調査」。コンバージェンス。アメリカ数学協会。
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (1999 年 4 月)。「円の四角化」。MacTutor数学史アーカイブ。
• オテロ、ダニエル E. (2010 年 7 月)。「円の求積法とヒポクラテスの月」。収束。アメリカ数学協会。
• Polster, Burkard . 「2000年間未解決：なぜ立方体を倍にしたり円を二乗したりできないのか？」Mathologer – YouTube経由。