De quinque corporibus 定期バス

『デ・クインケ・コーポリバス・レギュラリバス』 （ Libellus de quinque corporibusregularibusとも呼ばれる）は、1480年代または1490年代初頭にイタリアの画家で数学者のピエロ・デッラ・フランチェスカによって書かれた多面体の幾何学に関する本である。これはラテン語で書かれた写本であり、その題名は「5つの正多面体に関する小冊子」を意味する。これはデッラ・フランチェスカによって書かれたことが知られている3冊の本の1つである。

『デ・クインケ・コルポリブス・レギュラリバス』には、プラトンの立体のほか、 13のアルキメデスの立体のうち5つと、建築に応用された他の不規則多面体もいくつか説明されている。これは、ルカ・パチョーリの1509年の『ディヴィナ・プロポーション』（デッラ・フランチェスカの作品のイタリア語訳を無断で取り入れている）など、多面体の構築と透視図法を通じて数学と芸術を結びつける多くの書籍の最初のものであった。 ^[1]

長年行方不明となっていた『De quinque corporibus regularlyibus』は19世紀にバチカン図書館で再発見され^[2]、その後バチカンのコピーが複製版で再出版されました^{[3] 。}

デッラ・フランチェスカは、5つのプラトン立体（正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体）を2つの古典的な文献を通じて知っていた。1つは『ティマイオス』で、プラトンは5つの立体のうち4つが世界を構成する古典的な要素に対応し（5つ目である正十二面体は天空に対応する）、もう1つは『ユークリッド原論』で、プラトン立体は数学的対象として構築されている。デッラ・フランチェスカの時代には、『原論』の外典2冊も『原論』の一部であると一般に考えられていた。デッラ・フランチェスカの主なインスピレーションは、『ティマイオス』ではなく『原論』と『擬ユークリッド』の内容である。 ^{[4] [5]}

13個のアルキメデス立体、すなわち面は対称ではなく頂点は互いに対称である凸多面体は、アルキメデスによって長い間失われている本で分類されました。アルキメデスの分類は、後にアレクサンドリアのパップスによって、これらの多面体の種類ごとに面がいくつあるかという観点から簡単に説明されました。^[6]デラ・フランチェスカは以前にアルキメデスの著作を研究して書き写しており、De quinque corporibus regularibusにはアルキメデスの引用が含まれています。^[7]しかし、彼は自分の本の中でアルキメデスの立体のうち6つ（De quinque corporibus regularibusでは5つ）について説明していますが、これは独立した再発見であると思われます。彼はこれらの形状をアルキメデスの功績とはしておらず、彼がアルキメデスのこれらの形状に関する研究を知っていたという証拠はありません。^[6]同様に、アルキメデスとデラ・フランチェスカはともに回廊のヴォールトの容積の公式を発見したが（下記参照）、アルキメデスの容積公式は20世紀初頭まで知られていなかったため、この研究は独立して行われたものと思われる。^[8]

『五つの物体の規則的計算』はデッラ・フランチェスカが書いたことで知られる3冊の本のうちの1冊である。他の2冊、『遠近法の考察』と『アバカへの道』は、それぞれフィボナッチの『算盤の書』の流れを汲む透視図法と算術に関するものである。^{[9] [4]}もう1冊の数学書『アバカへの道』は、アバカスの著作の長い系譜の一部であり、フィボナッチの『算盤の書』 （1202年）に始まる、算術、会計、基本的な幾何学計算を多くの実践的な演習を通して教えている。[ 10 ^] 『五つの物体の規則的計算』の初期の部分もこの系譜から借用しており、『アバカへの道』と広範囲に重複しているが、フィボナッチとその追随者はそれ以前には計算方法を2次元幾何学にのみ適用していた。『De quinque corporibus regularlyibus』の後半部分は、三次元形状の幾何学に算術を応用した点でより独創的です。^{[11] [12]}

献呈後、『De quinque corporibus Regularibus 』のタイトル ページは、Petri pictoris Burgensis De quinque corporibus Regularibusで始まります。^[13]最初の 3 つの単語は「ボルゴ出身の画家ペテロの」を意味し、この本の著者ピエロ デラ フランチェスカ (ボルゴ サント セポルクロより^[7] ) を指します。正式なタイトルはその後から始まります。装飾的なイニシャルが本の本文の始まりです。

この本の4部構成の最初の部分は平面幾何学の問題で、主に多角形の面積、周囲、辺の長さを、これらの量の異なる1つから計算するなど、多角形の測定に関するものです。^[14] 2番目の部分はプラトンの立体の外接球面に関するもので、これらの立体の長さ、面積、体積を、それらを囲む球面の測定値と比較した同様の質問をしています。^{[15]また、辺の長さが与えられた場合の不規則な四面体の高さの（おそらく新しい）導出も含まれています。これは、（四面体の高さと体積を関連付ける標準的な公式を使用して）}ヘロンの四面体の公式の一種に相当します。^[16]

第三部では、外接球面に関する追加の演習が含まれ、次に、互いに内接するプラトン立体のペアを考察し、再びそれらの相対的な寸法に焦点を当てます。この部分は、 原論の第 15 巻 (外典) ^[17]に最も直接的に触発されており、そこでは、特定の内接する多面体ペア (たとえば、立方体に内接し、その 4 つの頂点を立方体の 4 つと共有する正四面体) が構築されています。De quinque corporibus regularibus は、これらの構築を算術化し、一方の多面体の寸法がわかればもう一方の多面体の寸法を計算できるようにすることを目指しています。^[12]

本書の第4部と最終部は、プラトン立体以外の形状について扱っている。^[18]これらには、6つのアルキメデス立体、すなわち切頂四面体（ 『アバコ論』の演習にも登場）と、他の4つのプラトン立体の切頂が含まれる。^[19]別のアルキメデス立体である立方八面体は『アバコ論』に記載されているが、 『正多面体について』には記載されていない。 『正多面体について』は『アバコ論』よりも後の著作と思われるため、この省略は意図的なものと思われ、デッラ・フランチェスカがこれらの多面体の完全な一覧を目指していなかったことを示している。^[20] 『規則的な五つの体について』の第4部には、ローマのパンテオンや、（当時は新築だった）ミラノのサンタ・マリア・プレッソ・サン・サティーロ教会のドームのような、三角形の輪の周囲を不規則な四辺形の同心円で囲んだドーム型の形状や、建築に応用されるその他の形状も含まれる。[ ^21]ピーターソン（1997）がデッラ・フランチェスカの「最も洗練されている」と評する成果は、デッラ・フランチェスカが遠近法に関する著書で示したシュタインメッツ立体（2つの円筒の交差部分、回廊のヴォールトの形状）の体積の導出である。 ^[22]この形状は曲線であるにもかかわらず、体積を求める式は単純だが自明ではない。それは、それを囲む立方体の体積の2/3である。この結果はアルキメデスと、古代中国の祖崇志の両者に知られていたが^[23]、デッラ・フランチェスカはどちらの先行発見も知らなかった。^[24]

『五つの体は通常の図形』はデッラ・フランチェスカによって様々なスタイルで図解されているが、その全てが正しい数学的遠近法で描かれているわけではない。^{[6]多くの練習問題が含まれており、そのおよそ半分はデッラ・フランチェスカの}『アバコ論』の幾何学的部分と重なっている。アバコ論はイタリア語の『アバコ論』からラテン語の『五つの体は通常の図形』に翻訳されている。^[18]

デッラ・フランチェスカは『五つの体から成る規則的な書』をウルビーノ公グイドバルド・ダ・モンテフェルトロに献呈した。^[25]本書には日付が記されていないが、この献呈文によって完成時期は10歳のグイドバルドが公爵となった1482年からデッラ・フランチェスカが死去した1492年までと絞り込まれている。^{[13] [26]}しかし、デッラ・フランチェスカはおそらく最初にイタリア語で本書を書き、その後自らまたは友人のマッテオ・ダル・ボルゴの助けを借りてラテン語に翻訳したと思われるため^{[27] 、原案はグイドバルドが公爵に即位する前のものだった可能性がある。 [28]}いずれにせよ、本書は公爵の図書館に加えられ、デッラ・フランチェスカが前公爵に献呈した遠近法に関する本とともにそこに保管された。^[29]

「おそらく数学史上初の本格的な盗作」と呼ばれるものの中で、^[30] ルカ・パチョーリは1494 年の著書『算数大全』に『アバコの法則』の練習問題をコピーし、その後 1509 年の著書『神の比例』に『五体規則体について』全編のイタリア語訳を組み込んだが、この資料の出典をデッラ・フランチェスカに一切記していない。デッラ・フランチェスカの作品の多くはパチョーリを通じて広く知られるようになった。^[31]ジョルジョ・ヴァザーリは1568 年の著書『画家列伝』でパチョーリの盗作を非難したが、この主張を裏付ける十分な詳細は提供しなかった。^{[2] [32]}デッラ・フランチェスカの原作品は失われていたが、1851年と1880年にスコットランドの考古学者ジェームズ・デニストンとドイツの美術史家マックス・ジョーダン によってそれぞれバチカン図書館のウルビーノコレクションで再発見され、ヴァザーリの告発の正確さが検証された。^{[13] [33]}

デッラ・フランチェスカの作品とパチョーリによるその伝承に基づいて、同様の方法で正多面体とその透視図法を研究したその後の作品には、アルブレヒト・デューラーの『物体の透視図法』（1525年）がある。これは、正多面体と不規則多面体の透視図法と、それらの物理的モデルとしての構築の両方の技法に焦点を当てている。 ^[34]ヴェンツェル・ヤムニッツァーの『物体の透視図法』（1568年）は、正多面体から派生した多くの多面体の画像を提示しているが、数学的分析は行われていない。^[35]

16世紀にジョン・ディーの個人図書館に同じタイトルの本が存在したことが記録されているが、^[36]バチカンの『デ・クインケ・コルポリバス・レギュラリバス』 （バチカン・コデックス・ウルビナス632）が現存する唯一の写本である。^[3] 1895年のバチカンコレクションのカタログでは、この本はユークリッドとアルキメデスの巻の間に収蔵されている。^{[37]この本は1916年に}アカデミア・デイ・リンチェイによって、1995年にはジュンティによって複製が出版されている。 ^[3]

• 多面体に関する書籍一覧

ウィキメディア・コモンズには、 Libellus De Quinque Corporibus Regularibus de Piero della Francescaに関連するメディアがあります。

• バンカー、ジェームズ R. (2005 年 3 月)、「ピエロ デラ フランチェスカの手によるアルキメデスの著作の原稿」、バーリントン マガジン、147 (1224): 165–169、JSTOR  20073883、S2CID  190211171
• Davis、Margaret Daly (1977)、Piero Della Francesca の数学論文: The Trattato D'abaco および Libellus de Quinque Corporibus Regularibus (英語およびイタリア語)、Longo Editore
• ディー、ジョン（2006）、ハリウェル・フィリップス、JO（編）、ジョン・ディー博士の私的日記と彼の写本図書館の目録、プロジェクト・グーテンベルク、p. 77
• デニストン、ジェームズ（1851）、「ウルビーノ公爵の回想録、1440年から1630年までのイタリアの武器、芸術、文学を描いたもの」、ロングマン、ブラウン、グリーン、ロングマンズ、pp. 195-197
• フィールド、JV (1997)、「アルキメデスの多面体の再発見：ピエロ・デラ・フランチェスカ、ルカ・パチョーリ、レオナルド・ダ・ヴィンチ、アルブレヒト・デューラー、ダニエレ・バルバロ、ヨハネス・ケプラー」、Archive for History of Exact Sciences、50 (3–4): 241–289、doi :10.1007/BF00374595、JSTOR  41134110、MR  1457069、S2CID  118516740
• Jordan, M. (1880)、「Der vermisste Traktat des Piero della Francesca über die fünf regelmässigen Körper」、Jahrbuch der Königlich Preussischen Kunstsammlungen (ドイツ語)、1 (2–4): 112–119、JSTOR  4301707
• Montebelli、Vico (2015)、「Luca Pacioli と視点 (パート I)」、Lettera Matematica、3 (3): 135–141、doi :10.1007/s40329-015-0090-4、MR  3402538、S2CID  193533200
• Mungello、David E. (1985)、Curious Land: Jesuit Accommodation and the Origins of Sinology、Studia Leibnitiana Supplementa、vol. 25、フランツ・シュタイナー・フェルラーク
• ピーターソン、マーク A. (1997)、「ピエロ・デッラ・フランチェスカの幾何学」、数学インテリジェンサー、19 (3​​): 33–40、doi :10.1007/BF03025346、MR  1475147、S2CID  120720532
• Stornajalo、Cosimo (1895)、Codices urbinates graeci Bibliothecae Vaticanae、descripti praeside Alfonso Cardinali Capecelatro、バチカン図書館、p. 97
• スウェッツ、フランク J. (1995 年 2 月)、「球の体積: 中国による導出」、数学教師、88 (2): 142–145、doi :10.5951/MT.88.2.0142、JSTOR  27969235