パプスグラフ

パプスグラフ
パップスグラフ。
名前の由来	アレクサンドリアのパプス
頂点	18
エッジ	27
半径	4
直径	4
胴回り	6
自己同型	216
彩度数	2
色指数	3
本の厚さ	3
キュー番号	2
プロパティ	二部対称距離推移 距離正則三次ハミルトニアン
グラフとパラメータの表

数学のグラフ理論の分野において、パップスグラフは、18の頂点と27の辺を持つ2部3正則無向グラフであり、パップス配置のレヴィグラフとして形成される。^[1]これは、パップス配置を説明する「六角形定理」を発見したと考えられている古代ギリシャの数学者、アレクサンドリアのパップスにちなんで名付けられている。すべての立方体の距離正則グラフが知られており、パップスグラフはそのような13のグラフの1つである。^[2]

パップスグラフは直線交差数が5で、その交差数を持つ最小の立方体グラフである（OEISのシーケンスA110507）。このグラフは、内周6、直径4、半径4、彩度数2、彩度指数3を持ち、3頂点連結かつ3辺連結である。本の厚さは3、待ち行列数は2である。 ^[3]

パップスグラフの彩色多項式は次のようになります。 $${\displaystyle (x-1)x(x^{16}-26x^{15}+325x^{14}-2600x^{13}+14950x^{12}-65762x^{11}+229852x^{10}-653966x^{9}+1537363x^{8}-3008720x^{7}+4904386x^{6}-6609926x^{5}+7238770x^{4}-6236975x^{3}+3989074x^{2}-1690406x+356509)}$$

「パップスグラフ」という名前は、関連する9頂点グラフを指すためにも使われてきた。^[4]このグラフは、パップス配置の各点に頂点があり、同じ直線上のすべての点のペアに辺がある。この9頂点グラフは6正則で、 3つの互いに素な三角形グラフの和集合の補グラフであり、完全な三部グラフ K _3,3,3である。最初のパップスグラフはトーラスに埋め込むことができ、9つの六角形面を持つ自己ペトリー双対正則写像を形成することができる。2つ目は、18の三角形面を持つ正則写像を形成することができる。2つの正則トーラス写像は互いに双対である。

パップスグラフの自己同型群は、位数 216 の群である。これはグラフの頂点、辺、弧に対して推移的に作用する。したがって、パップスグラフは対称グラフである。任意の頂点を任意の頂点に、任意の辺を任意の辺につなぐ自己同型を持つ。フォスター調査によると、F018A と呼ばれるパップスグラフは、18 頂点の唯一の立方対称グラフである。^{[5] [6]}

パップスグラフの特性多項式は です。この特性多項式を持つ唯一のグラフであり、スペクトルによって決定されるグラフになります。 ${\displaystyle (x-3)x^{4}(x+3)(x^{2}-3)^{6}}$

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  さまざまなサイクルを強調するために色分けされた Pappus グラフ。
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  パップスグラフの色指数は3 です。
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  パップスグラフの彩色数は2 です。
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  トーラスに埋め込まれたパップス グラフ。9 つの六角形の面を持つ正則マップです。
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  トーラスに埋め込まれたパップス グラフと関連マップ。