エリア

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この正方形とこの円盤の面積は同じです。
一般的な記号	AまたはS
SI単位	平方メートル[m 2 ]
SI基本単位では	1 平方メートル
寸法	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{2}}$

面積は、表面上の領域の大きさの尺度です。平面領域の面積または平面領域は、形状または平面の層の面積を指し、表面積は、開いた表面または3次元オブジェクトの境界の面積を指します。面積は、形状のモデルを作成するために必要な、特定の厚さの材料の量、または1回の塗装で表面を覆うために必要な塗料の量として理解できます。 ^{[1]これは、}曲線の長さ（1次元の概念）または立体の体積（3次元の概念）の2次元版です。2つの異なる領域が同じ面積を持つ場合があります（円を四角にする場合など）。提喩により、「面積」は「多角形の面積」のように、領域を指すために使用されることがあります。

図形の面積は、その図形を一定の大きさの正方形と比較することで測定できます。 ^[2]国際単位系(SI)では、面積の標準単位は平方メートル(m ²と表記) で、これは辺が1メートルの正方形の面積です。^[3] 面積が3平方メートルの図形は、そのような正方形3つと同じ面積になります。数学では、単位正方形の面積は1と定義され、他の図形や面の面積は無次元の 実数です。

三角形、長方形、円などの単純な図形の面積を求める公式はいくつか知られています。これらの公式を使えば、多角形を三角形に分割することで、あらゆる多角形の面積を求めることができます。^[4] 曲線の境界を持つ図形の場合、面積を計算するには通常、微積分が必要です。実際、平面図形の面積を求める問題は、微積分の歴史的発展の大きな動機でした。^[5]

球、円錐、円柱などの立体の場合、その境界面の面積は表面積と呼ばれます。^{[1] [6] [7]}単純な形状の表面積の計算式は古代ギリシャ人によって行われましたが、より複雑な形状の表面積を計算するには通常、多変数微積分が必要です。

面積は現代数学において重要な役割を果たしている。幾何学や微積分学における明らかな重要性に加え、面積は線型代数の行列式の定義に関係し、微分幾何学における曲面の基本的な性質である。^[8]解析学では、平面の部分集合の面積はルベーグ測度を用いて定義されるが、^[9]選択公理を仮定すると、すべての部分集合が測定可能であるわけではない。^[10] 一般に、高等数学における面積は、2次元領域の体積の特殊なケースと見なされている。^[1]

面積は、公理を使用して、実数の集合に対する特定の平面図形の集合の関数として定義できます。そのような関数が存在することが証明できます。

「面積」が何を意味するかを定義するアプローチは公理を通してである。「面積」は、特別な種類の平面図形（測定可能な集合と呼ばれる）の集合Mから実数の集合への関数として定義することができ、それは以下の性質を満たす：^[11]

• M内のすべてのSについて、a ( S ) ≥ 0です。
• SとT がMに含まれる場合、 S ∪ TとS ∩ Tも M に含まれ、またa ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T )です。
• SとT がM に含まれ、 S ⊆ Tである場合、T − S はMに含まれ、a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S )です。
• 集合S がMに含まれ、S がTと合同である場合、TもMに含まれ、a ( S ) = a ( T )です。
• すべての長方形R はMに含まれます。長方形の長さがh、幅がkの場合、a ( R ) = hkです。
• Q を2 つのステップ領域SとTに囲まれた集合とします。ステップ領域は、共通の底辺上にある隣接する長方形の有限の和集合、つまりS ⊆ Q ⊆ Tから形成されます。このようなすべてのステップ領域SとTに対して、 a ( S ) ≤ c ≤ a ( T )となる一意の数c が存在する場合、a ( Q ) = cです。

そのような面積関数が実際に存在することは証明できる。^[12]

長さの単位にはそれぞれ対応する面積の単位があり、それは所定の辺の長さを持つ正方形の面積です。したがって、面積は平方メートル(m ² )、平方センチメートル (cm ² )、平方ミリメートル (mm ² )、平方キロメートル(km ² )、平方フィート(ft ² )、平方ヤード(yd ² )、平方マイル(mi ² ) などで測定できます。^[13]代数的には、これらの単位は対応する長さの単位の 平方 と考えることができます。

面積のSI単位は平方メートルであり、これはSI組立単位とみなされる。^[3]

長さと幅が 1 メートルの正方形の面積の計算は次のようになります。

1メートル×1メートル= ^1m2

したがって、異なる辺を持つ長方形（長さ 3 メートル、幅 2 メートルなど）の面積は、平方単位で次のように計算できます。

3 メートル × 2 メートル = 6 m ²。これは 600 万平方ミリメートルに相当します。その他の便利な変換は次のとおりです。

• 1平方キロメートル = 1,000,000平方メートル
• 1平方メートル = 10,000平方センチメートル = 1,000,000平方ミリメートル
• 1平方センチメートル = 100平方ミリメートル。

メートル法以外の単位では、2 つの平方単位間の変換は、対応する長さの単位間の変換の 2 乗になります。

1フィート= 12インチ、

平方フィートと平方インチの関係は

1平方フィート = 144平方インチ、

ここで144 = 12 ² = 12 × 12です。同様に:

• 1平方ヤード = 9平方フィート
• 1平方マイル = 3,097,600平方ヤード = 27,878,400平方フィート

さらに、変換係数には以下が含まれます。

• 1平方インチ = 6.4516平方センチメートル
• 1平方フィート = 0.092 903 04平方メートル
• 1平方ヤード = 0.836 127 36平方メートル
• 1平方マイル = 2.589 988 110 336平方キロメートル

面積を表す一般的な単位は他にもいくつかあります。 面積はメートル法における元の単位であり、次のようになります。

• 1アール = 100平方メートル

アールは使われなくなったが、ヘクタールは今でも土地を測る単位としてよく使われている。^[13]

• 1ヘクタール = 100アール = 10,000平方メートル = 0.01平方キロメートル

その他のあまり一般的ではないメートル法の面積の単位には、テトラッド、ヘクタッド、およびミリアドがあります。

エーカーは土地の面積を測るのにもよく使われます。

• 1エーカー = 4,840平方ヤード = 43,560平方フィート。

1エーカーは1ヘクタールの約40%です。

原子スケールでは、面積はバーンという単位で測定されます。^[13]

• 1納屋 = 10 ⁻²⁸平方メートル。

バーンは原子核物理学における相互作用の断面積を説明する際によく使われる。^[13]

南アジア（主にインド）では、国はSI単位系を公式に使用しているものの、多くの南アジア人は依然として伝統的な単位を使用しています。各行政区分には独自の面積単位があり、そのいくつかは同じ名前ですが、値は異なります。伝統的な単位の値については公式のコンセンサスはありません。したがって、SI単位系と伝統的な単位系間の変換は、使用されている基準に応じて異なる結果になる可能性があります。^{[14] [15] [16] [17]}

固定値を持つ南アジアの伝統的な単位には次のようなものがあります。

• 1キラ = 1エーカー
• 1グマオン = 1エーカー
• 1 カナル = 0.125 エーカー (1 エーカー = 8 カナル)
• 1小数点 = 48.4平方ヤード
• 1 チャタク = 180 平方フィート

紀元前5世紀、キオス島のヒポクラテスは、ヒポクラテスの月求積法の一部として、円盤（円で囲まれた領域）の面積はその直径の2乗に比例することを初めて示しましたが、比例定数は特定しませんでした。同じく紀元前5世紀のクニドスのエウドクソスも、円盤の面積はその半径の2乗に比例することを発見しました。^{[ 19]}

その後、ユークリッドの『原論』第 1 巻では、2 次元図形の面積の等式を扱っています。数学者アルキメデスはユークリッド幾何学の手法を用いて、著書『円の測量』で、円の面積は、底辺が円の円周と同じで高さが円の半径と同じである直角三角形の面積に等しいことを示しまし た。(円周は 2 π rであり、三角形の面積は底辺の半分に高さをかけたもので、円板の面積はπ r ^{2 となります。) アルキメデスは、} πの値(つまり単位半径の円の面積) を倍増法で近似しました。倍増法では、正三角形を円に内接させて面積を記録し、次に辺の数を 2 倍にして正六角形を作成し、次に多角形の面積が円の面積に近づくにつれて辺の数を繰り返し 2 倍にしました (外接多角形でも同じことを行いました)。

紀元7世紀、ブラフマグプタは、現在ブラフマグプタの公式として知られる、円周四辺形（円に内接する四辺形）の面積を辺の数で表す公式を考案しました。1842年、ドイツの数学者 カール・アントン・ブレッチュナイダーとカール・ゲオルク・クリスティアン・フォン・シュタウトは、それぞれ独立して、ブレッチュナイダーの公式として知られる、四辺形の面積を表す 公式を発見しました。

17 世紀にルネ・デカルトが直交座標を開発したことにより、19 世紀に ガウスが頂点の位置がわかっている任意の多角形の面積を求める測量公式を開発することができました。

17 世紀後半の積分学の発展により、楕円の面積やさまざまな曲面三次元物体の 表面積など、より複雑な面積を計算するために使用できるツールが提供されました。

交差しない（単純な）多角形の場合、そのn頂点の直交座標 （i =0, 1, ..., n -1）が分かっていると、面積は測量士の公式で与えられる：^[25]${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }}$

ここで、i = n -1 の場合、i +1 は係数 nとして表され、0 を参照します。

最も基本的な面積の公式は長方形の面積の公式です。長さlと幅wの長方形が与えられた場合、面積の公式は次のようになります: ^[2]

A = lw  （長方形）。

つまり、長方形の面積は長さ×幅である。特別なケースとして、正方形の場合はl = wなので、辺の長さがsの正方形の面積は次の式で与えられる：^{[1] [2]}

A = s ²  （平方）。

長方形の面積の公式は、面積の基本的な性質から直接導かれ、​​定義や公理として扱われることがあります。一方、幾何学が算術よりも先に開発された場合には、この公式を使用して実数の乗算を定義することができます。

面積に関するその他の簡単な公式のほとんどは、分割法から得られます。これは、図形を複数の部分に分割し、その面積の合計が元の図形の面積と同じになるようにすることです。たとえば、図の左に示すように、任意の平行四辺形は台形と直角三角形に分割できます。三角形を台形の反対側に移動すると、結果として得られる図形は長方形になります。したがって、平行四辺形の面積は長方形の面積と同じになります。^[2]

A = bh  （平行四辺形）。

しかし、同じ平行四辺形を対角線に沿って切断すると、右の図に示すように、 2つの合同な三角形に分割される。各三角形の面積は、平行四辺形の面積の半分になる。^[2]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$  （三角形）。

同様の議論は、台形^[26]やより複雑な多角形^[27]の面積公式を求める際にも使用できる。

円の面積（より正確には円で囲まれた面積または円板の面積と呼ばれる）の公式も同様の方法に基づいています。半径rの円を考えると、右の図に示すように、円を扇形に分割することができます。各扇形はほぼ三角形で、扇形を並べ替えるとほぼ平行四辺形を形成できます。この平行四辺形の高さはrで、幅は円の円周の半分、つまりπ rです。したがって、円の総面積はπ r ²です。^[2]

A = π r ²  （円）。

この式で使用されている分割は近似値に過ぎませんが、円をより多くのセクターに分割するにつれて誤差は小さくなります。近似平行四辺形の面積の限界は、円の面積π r ²とまったく同じです。^[28]

この議論は、実際には微積分学の考え方を単純に応用したものです。古代では、円の面積を求めるために同様に消尽法が使われていましたが、この方法は現在では積分学の前身として認識されています。現代の方法を使用すると、円の面積は定積分を使用して計算できます。

${\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}$

楕円で囲まれた面積の公式は円の公式と関連しており、長軸xと短軸yを持つ楕円の場合、公式は次のようになる。^[2]

${\displaystyle A=\pi xy.}$

表面積の最も基本的な公式は、面を切断して平らにすることで得られます (展開可能な面を参照)。たとえば、円柱(または任意の角柱)の側面を縦に切断すると、その面を長方形に平らにすることができます。同様に、円錐の側面に沿って切断すると、側面を扇形に平らにすることができ、結果として得られる面積を計算できます。

球の表面積の公式を導くのはより困難です。球は非ゼロのガウス曲率を持つため、平らにすることはできません。球の表面積の公式は、アルキメデスの著書『球と円柱について』で初めて得られました。公式は次のとおりです。^[6]

A = 4 πr ²  （球面）

ここで、r は球の半径です。円の面積の公式と同様に、この公式の導出には本質的に微積分に似た方法が使用されます。

• 三角形: (ここでBは任意の辺、hはBがある線から三角形の他の頂点までの距離)。高さhがわかっている場合、この公式を使用できます。3 辺の長さがわかっている場合は、ヘロンの公式を使用できます。ここで、a、b、cは三角形の辺、は周囲の半分です。^[2]角度とその 2 つの介在辺が与えられている場合、面積はここで、Cは与えられた角度、aとbは介在辺です。^[2]三角形を座標平面上にグラフ化する場合、行列を使用でき、絶対値に簡略化されます。この公式は靴ひも公式としても知られ、 3 点(x ₁、y ₁ )、(x ₂、y ₂ )、( x ₃ 、 y ₃ )を代入することで座標三角形の面積を簡単に求めることができます。靴ひもの公式は、頂点がわかっている他の多角形の面積を求めるときにも使用できます。座標三角形の場合、面積を求める別の方法として、微積分法を使用する方法があります。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}$${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$
• 等距離の点（つまり整数座標を持つ点）のグリッド上に構築された単純な多角形。多角形の頂点はすべてグリッドポイントです。ここで、iは多角形内のグリッドポイントの数、bは境界ポイントの数です。この結果はピックの定理として知られています。^[29]${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$

• 正の値の曲線と水平軸の間の面積は、水平軸上の2つの値aとb （bは2つの値のうち大きい方として定義される）の間で測定され、曲線を表す関数のaからbまでの積分によって与えられる： ^[1]

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

• 2つの関数のグラフ間の面積は、一方の関数の積分f ( x )からもう一方の関数の積分g ( x )を引いた値に等しくなります。

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}$y 値が大きい曲線はどこでしょうか。${\displaystyle f(x)}$

• 極座標で表現された関数によって囲まれた領域は次のようになる: ^[1]${\displaystyle r=r(\theta )}$

${\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}$

• 端点を持つパラメトリック曲線 で囲まれた面積は、線積分によって与えられます。${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$

${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$

またはz成分

${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}$

（詳細はグリーンの定理§面積計算を参照）これがプラニメータ機械装置の原理です。

2つの二次関数の間の境界面積を求めるには、まず一方を他方から引き、その差を次のように書きます 。 ここで、f ( x )は二次関数の上限、g ( x )は二次関数の下限です。上記の面積積分公式とVietaの公式により、 ^{[30] [31]}を得ることができます。 境界関数の1つが二次関数でなく線形の場合でも、上記は有効です。 $${\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}$$ $${\displaystyle A={\frac {(b^{2}-4ac)^{3/2}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.}$$

• 円錐：^[32] 、ここでrは円底の半径、hは高さです。これは次のように書き直すこともできます。^[32]またはここでrは半径、lは円錐の斜高です。は底面積で、は円錐の側面積です。^[32]${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$${\displaystyle \pi r^{2}}$${\displaystyle \pi rl}$
• 立方体：sは辺の長さです。[ ^6]${\displaystyle 6s^{2}}$
• 円柱: 、ここでrは底辺の半径、h は高さです。は、ここでdは直径と書き直すこともできます。${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$${\displaystyle 2\pi r}$${\displaystyle \pi d}$
• プリズム:ここで、Bは底面積、Pは底辺の周囲、h はプリズムの高さです。${\displaystyle 2B+Ph}$
• ピラミッド:ここで、Bは底面積、Pは底辺の周囲、L は斜面の長さです。${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$
• 直方体: 、長さ、wは幅、hは高さです。${\displaystyle 2(\ell w+\ell h+wh)}$${\displaystyle \ell }$

連続的に微分可能な関数のグラフの表面積の一般的な公式は、xy平面上の滑らかな境界を持つ領域です。 ${\displaystyle z=f(x,y),}$${\displaystyle (x,y)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle A=\iint _{D}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy.}$

が連続的に微分可能なベクトル関数であるベクトル形式のパラメトリック曲面のグラフの面積のさらに一般的な式は次の通りである: ^[8]${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}$

上記の計算は、多くの一般的な図形の面積を求める方法を示しています。

不規則な（したがって任意の）多角形の面積は、「測量士の公式」（靴ひもの公式）を使用して計算できます。^[28]

等周不等式は、長さLの閉曲線（つまり、その曲線が囲む領域の周囲の長さは L ）と、その曲線が囲む領域の 面積Aについて、

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

そして、等式は曲線が円である場合にのみ成立します。したがって、円は、与えられた周囲長を持つ任意の閉じた図形の中で最大の面積を持ちます。

反対に極端な場合、与えられた周囲長L を持つ図形の面積が任意に小さくなることがあります。これは、任意の角度に「傾いた」菱形で示され、その 2 つの角度が任意に 0° に近くなり、他の 2 つの角度が任意に 180° に近くなることがあります。

円の場合、面積と円周（円の周囲の長さを表す用語）の比は、半径 r の半分に等しくなります。これは、面積の公式πr ²と円周の公式 2 πrからわかります。

正多角形の面積は、その周囲の半分に、外接線（外接線とは、中心から各辺の最も近い点までの距離）を掛けたものです。

多角形の辺の長さを2倍にすると、その面積は4倍になります。これは、2（新しい辺の長さと古い辺の長さの比）の2乗（多角形が存在する空間の次元）です。しかし、 2次元で描かれたフラクタルの1次元の長さがすべて2倍になると、フラクタルの空間内容は2の累乗で拡大しますが、これは必ずしも整数ではありません。この累乗はフラクタルの フラクタル次元と呼ばれます。 ^[33]

三角形の面積を二等分する線は無数にあります。そのうち 3 本は三角形の中線(各辺の中点を反対の頂点と結ぶ線) で、三角形の重心で交わります。実際、重心を通る面積の二等分線はこれらだけです。三角形の面積と周囲を半分に分ける線はどれも、三角形の内心 (内接円の中心) を通ります。どの三角形にも、このような線が 1 本、2 本、または 3 本あります。

平行四辺形の中心を通る線は、その面積を二等分します。

円やその他の楕円の面積の二等分線はすべて中心を通り、中心を通る弦は面積を二等分します。円の場合、それらは円の直径です。

ワイヤーの輪郭が与えられた場合、それを覆う（「充填する」）面積が最小の表面は極小面です。よく知られている例としては、石鹸の泡などがあります。

リーマン円の充填領域の問題は未解決のままである。^[34]

円は、同じ周囲長を持つ 2 次元の物体の中で面積が最大です。

環状多角形（円に内接する多角形）は、同じ長さの辺が指定された数だけある多角形の中で面積が最大になります。

三角形の等周不等式の一種は、与えられた周囲長を持つ三角形の中で面積が最大となる三角形は正三角形であるというものである。^[35]

与えられた円に内接する三角形の中で面積が最大となる三角形は正三角形であり、与えられた円に外接する三角形の中で面積が最小となる三角形も正三角形である。^[36]

正三角形の面積に対する内接円の面積の比は、正三角形以外のどの三角形よりも大きい。^[37]${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

正三角形の面積と周囲の二乗の比は、他のどの三角形よりも大きい。^[35]${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

• ブラフマグプタ四辺形。辺、対角線の長さ、面積が整数の円四辺形。
• 等面積図
• ヘロン三角形、つまり整数の辺と整数の面積を持つ三角形。
• 三角不等式の一覧
• 面積が 7 分の 1 の三角形。基準三角形の面積の 7 分の 1 の内部三角形。

• ラウスの定理、面積が 7 分の 1 の三角形の一般化。

• 桁数- 面積をサイズ順に並べたリスト。
• 五角形の公式の導出
• プラニメーターは、地図上など小さな領域を測定するための機器です。
• 凸四辺形の面積
• ロビンスの五角形は、辺の長さと面積がすべて有理数である円状の五角形です。