数学表記

数学表記法は、演算、不特定の数値、関係、およびその他の数学的オブジェクトを表す記号を使用し、それらを式や公式に組み立てることから構成されます。数学表記法は、複雑な概念や特性を簡潔で明確かつ正確に表現するために、数学、科学、工学の分野で広く使用されています。

例えば、物理学者アルバート・アインシュタインの公式は、質量とエネルギーの等価性を数学的表記で定量的に表現したものである。^[1]${\displaystyle E=mc^{2}}$

数学の記法は、16 世紀末にフランソワ・ビエトによって初めて導入され、17 世紀から 18 世紀にかけて、ルネ・デカルト、アイザック・ニュートン、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ、そしてレオンハルト・オイラーによって大幅に拡張されました。

多くの記号の使用は数学表記の基礎です。記号は自然言語の単語と同様の役割を果たします。動詞、形容詞、名詞が文中で異なる役割を果たすのと同様に、数学表記では記号がさまざまな役割を果たすことがあります。

文字は典型的には数学的対象に名前を付ける（数学用語では、数学的対象を表す）ために使用される。ラテン文字とギリシャ文字は広く使用されているが、ヘブライ文字の、キリル文字の、ひらがなのよなど、他のアルファベットの文字も散発的に使用される。大文字と小文字は異なる記号とみなされる。ラテン文字の場合、異なる書体によって異なる記号も提供される。たとえば、と は、理論的には同じ数学テキストに6つの異なる意味で現れる可能性がある。通常、ローマンアップライト書体は、正弦関数の記号「 」などの標準関数を表す記号を除いて、記号には使用されない。^[2] ${\displaystyle \aleph}$ ${\displaystyle r,R,\mathbb {R} ,{\mathcal {R}},{\mathfrak {r}},}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle \sin}$

より多くの記号を持ち、関連する数学的対象を関連する記号で表すために、分音記号、下付き文字、上付き文字がよく使用されます。たとえば、は、と呼ばれる関数の導関数のフーリエ変換を表すことができます。${\displaystyle {\hat {f'_{1}}}}$${\displaystyle f_{1}.}$

シンボルは数学的なオブジェクトに名前を付けるために使用されるだけではありません。関係、論理接続、量指定子、およびその他の目的の 演算 にも使用できます。${\displaystyle (+,-,/,\oplus ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (\implies ,\land ,\lor ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (\forall ,\exists ),}$

いくつかの記号はラテン文字やギリシャ文字に似ており、いくつかは文字を変形して得られ、いくつかは伝統的な印刷記号ですが、多くは数学のために特別に設計されています。

式は、文脈に依存する規則に従って適切に形成された記号の有限の組み合わせです。一般に、式は数学的対象を表したり名前を付けたりするため、数学の言語では自然言語の名詞句の役割を果たします。

式には演算子が含まれることが多く、その式は式内の演算子の作用によって評価されることがあります。たとえば、は演算子を評価すると結果が返される式です。したがって、とは同じ数を表す2つの異なる式です。これが等式の意味です。${\displaystyle 3+2}$${\displaystyle +}$${\displaystyle 5.}$${\displaystyle 3+2}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle 3+2=5.}$

より複雑な例として、次のように評価できる式が挙げられます。結果の式には除算、減算、累乗の演算子が含まれていますが、 aとb は未指定の数値を表すため、それ以上評価することはできません。 ${\textstyle \int _{a}^{b}xdx}$${\textstyle {\frac {b^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}.}$

数字を表す記法は少なくとも5万年前に開発されたと考えられています^[3]。指で数える^[4]などの初期の数学的アイデアも、岩、棒、骨、粘土、石、木彫り、結び目のあるロープのコレクションによって表現されてきました。数え棒は、上部旧石器時代にまで遡る数え方です。おそらく最も古い数学テキストは、古代シュメールのものです。アンデスのセンサス・キプとアフリカのイシャンゴ骨はどちらも、数値概念を説明するために 数え棒法を使用していました。

ゼロの概念とその表記法の導入は、数としてのゼロの概念より何世紀も前に遡る初期の数学における重要な発展である。ゼロはバビロニア人やギリシャ系エジプト人によって仮置き場所として使用され、その後マヤ人、インド人、アラブ人によって整数として使用された（ゼロの歴史を参照）。

16 世紀まで、数学は本質的に修辞的なもので、明示的な数字以外はすべて言葉で表現されていました。しかし、ディオファントスなどの一部の著者は、いくつかの記号を略語として使用していました。

数式、特に不特定の数値を表す記号（変数）を初めて体系的に使用したのは、一般的にフランソワ・ヴィエト（16 世紀）とされています。しかし、彼が使用した記号は現在標準となっているものとは異なるものでした。

その後、ルネ・デカルト(17 世紀) が変数と方程式の現代的な表記法、特に未知の量にはを、既知の量 (定数) には を使用する方法を導入しました。また、虚数単位を表す表記法としてiと「虚数」という用語も導入しました。 ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle a,b,c}$

18世紀と19世紀には、今日使用されている数学表記法の標準化が見られました。レオンハルト・オイラーは、自然対数の底を表す関数表記 eや、和を表す関数表記など、現在使用されている表記法の多くを考案しました。 ^[5]また、アルキメデスの定数にπを使用することも普及させました（これは、ウィリアム・ジョーンズがウィリアム・オートレッドの以前の表記法に基づいて提案しました）。^[6]${\displaystyle f(x),}$ ${\textstyle \sum }$

それ以来、多くの新しい表記法が導入されてきましたが、その多くは数学の特定の分野に特有のものです。ライプニッツの表記法、ルジャンドル記号、アインシュタインの和の規則など、 一部の表記法は発明者にちなんで名付けられています。

一般的な組版システムは、一般的に数学表記には適していません。その理由の 1 つは、数学表記では、記号が次のように 2 次元の図形に配置されることが多いためです。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.}$

TeX は、1978 年にDonald Knuthによって作成された数学指向の組版システムです。数学では、その拡張機能であるLaTeXを通じて広く使用されており、事実上の標準となっています。(上記の式は LaTeX で書かれています。)

最近では、数学的な組版のための別のアプローチとしてMathMLが提供されています。ただし、主なターゲットである Web ブラウザーでは十分にサポートされていません。

国際標準ISO 80000-2 (旧ISO 31-11 ) は、数式で使用する記号を規定しています。この標準では、変数には斜体フォント (例: E = mc ² ) を使用し、数学定数にはローマン体 (直立) フォント (例: e または π) を使用する必要があります。

現代アラビア語の数学表記法は、主にアラビア文字に基づいており、アラブ世界、特に高等教育前の教育で広く使用されています。（西洋の表記法ではアラビア数字を使用しますが、アラビア表記法ではラテン文字と関連記号もアラビア文字に置き換えます。）

数学では、アラビア文字に加えて、ギリシャ文字を使用してさまざまな数学的オブジェクトと変数を表します。場合によっては、特定のヘブライ文字も使用されます (無限基数のコンテキストなど)。

いくつかの数学表記法は主に図式的なので、スクリプトからほぼ完全に独立しています。例としては、ペンローズ グラフィカル表記法やコクセター・ディンキン図があります。

視覚障害者が使用する点字ベースの数学表記法には、Nemeth BrailleやGS8 Brailleなどがあります。

• 表記の乱用
• 用語集
• 数学記号の用語集
  • ブルバキの危険な曲がりのシンボル
• 数学表記法の歴史
• 国際標準化機構 31-11
• ISO80000-2 認証
• クヌースの上矢印記法
• 数学の英数字記号
• 数式
• 確率と統計の表記
• 数学の言語
• 科学的記数法
• セマシオグラフィ
• 数学記号表
• ベクトル表記
• 現代アラビア語の数学表記

• フロリアン・カジョリ『数学表記法の歴史』（1929年）、全2巻。ISBN 0-486-67766-4 
• マズール、ジョセフ（2014）「啓発的な記号：数学表記法の短い歴史とその隠れた力」プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-15463-3 

ウィキメディア・コモンズには、数学表記法に関連するメディアがあります。

• さまざまな数学記号の初期の使用
• 数学的な ASCII 表記法、任意のテキスト エディターで数学表記法を入力する方法。
• Cut-the-Knotにおける言語としての数学
• Stephen Wolfram : 数学表記法: 過去と未来。2000 年 10 月。MathMLおよび Math on the Web: MathML 国際会議で行われた基調講演の記録。