関数概念の歴史

関数という数学的概念は、微積分の発達と関連して 17 世紀に遡ります。たとえば、ある点におけるグラフの傾きは、その点のx座標の関数であると考えられていました。関数は古代では明確に考慮されていませんでしたが、この概念の先駆者は、おそらくオレームスなどの中世の哲学者や数学者の著作の中に見ることができます。 ${\displaystyle \operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!x}$

18 世紀の数学者は通常、関数を解析的表現によって定義するとみなしていました。19 世紀には、ワイエルシュトラスらによる解析学の厳密な発展、解析学の観点からの幾何学の再定式化、およびカントールによる集合論の発明の要求により、関数は 1 つの集合から別の集合への単一値の写像であるという、より一般的な現代的な概念が生まれました。

12 世紀にはすでに、数学者シャラフ・アルディーン・アル・トゥーシーがx ³ + d = b  ⋅  x ²という方程式をx ²  ⋅ ( b – x ) = dという形式で解析し、方程式が解を持つためには左辺が少なくともdの値に等しくなければならないと述べている。そして、この式の最大値を決定した。この式の分離は、「関数」という概念への初期のアプローチであると言える。d 未満の値は正の解がないことを意味する。dに等しい値は1 つの解に対応し、 dより大きい値は2 つの解に対応する。シャラフ・アルディーンによるこの方程式の解析はイスラム数学の注目すべき発展であったが、彼の研究は当時、イスラム世界でもヨーロッパでもそれ以上追求されなかった。^[1]

^{ディウドネ[2]}とポンテ^[3]によれば、関数の概念は解析幾何学と微分積分の発展の結果として17世紀に出現した。しかし、メドヴェージェフは関数の暗黙の概念は古代の系譜に連なるものだと示唆している。^{[4]ポンテはまた、}中世にはこの概念に対するより明確なアプローチがあったと見ている。

歴史的に、関数の概念の現代的な定式化を予見し、それに近づいた数学者が何人かいると考えられる。その一人がオレーム（1323-1382）である。彼の理論には、独立変数と従属変数の量に関する一般的な考え方がいくつか存在しているようだ。^[5]

1640年頃の解析幾何学の発展により、数学者は曲線に関する幾何学的問題と「変数座標xとy」間の代数的関係を行き来できるようになりました。^[6]微積分学は変数の概念とそれに伴う幾何学的意味を用いて開発され、18世紀まで存続しました。^[7]しかし、「関数」という用語は、17世紀末にライプニッツとベルヌーイのやり取りで使われるようになりました。^[8]

「関数」という用語は、ゴットフリート・ライプニッツが1673年の手紙で、曲線の点に関連する量、たとえば座標や曲線の傾きを説明するために文字通り導入した。^{[9] [10]} ヨハン・ベルヌーイは、単一の変数で構成される式を「関数」と呼び始めた。1698年に、彼はライプニッツの「代数的かつ超越的な方法」で形成された任意の量をxの関数と呼ぶことができるという意見に同意した。^[11] 1718年までに、彼は「変数といくつかの定数で構成される任意の式」を関数と見なすようになった。^[12] アレクシス・クロード・クレロー（およそ1734年）とレオンハルト・オイラーは、関数の値を表すよく知られた表記法を導入した。 ^[13]${\displaystyle {f(x)}}$

当時考えられていた関数は、今日では微分可能関数と呼ばれています。このタイプの関数については、極限と導関数について話すことができます。どちらも、入力または入力の変化に依存する出力または出力の変化の測定値です。このような関数は、微積分学の基礎です。

1748年に出版された基礎テキスト『無限解析入門』第1巻で、オイラーは関数を、変数と定数を含む表現または公式（例）として、師ベルヌーイと本質的に同じ定義を与えました。^[14]オイラー自身の定義は次のとおりです。 ${\displaystyle {x^{2}+3x+2}}$

変数量の関数とは、変数量と数値または定数から何らかの方法で構成された解析表現である。^[15]

オイラーは、暗黙の方程式によって値が決定される多値関数も認めました。

しかし、1755年にオイラーは『微分計算論』の中で、関数のより一般的な概念を提示しました。

ある量が他の量に依存し、後者が変化するとそれに応じて変化するとき、前者は後者の関数と呼ばれます。この名前は非常に広い意味を持ち、ある量が他の量によって決定されるあらゆる方法を包含します。^[16]

メドヴェージェフ^[17]は「本質的にはこれがディリクレの定義として知られるようになった定義である」と考えている。エドワーズ^[18]もまた、関数の一般的な概念をオイラーに帰し、さらに次のように述べている。

これらの量間の関係は公式によって与えられるとは考えられていないが、一方で、現代の数学者が「関数」という言葉を使うときに意味するような、一般的な集合論的な、何でもありの積空間のサブセットの一種であるとは考えられていないことは確かである。

フーリエは『弦の解析理論』^[19] で、任意の関数はフーリエ級数で表せると主張した。^[20]フーリエは関数の一般的な概念を持っていたが、これには連続していない関数や解析表現で定義されていない関数も含まれていた。^{[21]振動する弦の}波動方程式の解から生じる関数の性質と表現に関する関連する問題は、すでにダランベールとオイラーの間で論争の的となっていたが、関数の概念を一般化する上で大きな影響を与えた。ルジンは次のように述べている。

関数とその定義に関する現代の理解は、私たちにとっては正しいように思われますが、フーリエの発見の後にのみ生まれました。彼の発見は、振動する弦についての議論で生じた誤解のほとんどが、一見同一に見えて実際には大きく異なる 2 つの概念、つまり関数とその解析的表現を混同した結果であることを明らかにしました。実際、フーリエの発見以前は、「関数」と「解析的表現」の概念の間に区別は引かれておらず、この発見によってそれらの分離がもたらされました。^[22]

19 世紀、数学者たちは数学のさまざまな分野すべてを形式化し始めた。最初に形式化を行った者の 1 人はコーシーだった。コーシーのいくぶん不正確な結果は、後にワイエルシュトラスによって完全に厳密なものとなった。ワイエルシュトラスは、幾何学ではなく算術に基づいて微積分を構築することを提唱し、ライプニッツよりもオイラーの定義を支持した (解析学の算術化を参照)。スミシーズによると、コーシーは関数は実数または複素数を含む方程式によって定義されると考え、暗黙のうちに関数が連続していると仮定していた。

コーシーは、その著書『代数分析』 （1821年）の第1章第1節で、関数について一般的な見解を述べている。そこでの彼の発言から、関数は解析的表現（明示的である場合）または方程式または方程式系（暗黙的である場合）によって定義されるものと通常考えていたことが明らかである。彼が先人たちと異なるのは、関数が独立変数の限られた範囲に対してのみ定義される可能性を考慮する用意がある点である。^[23]

ニコライ・ロバチェフスキー^[24]とピーター・グスタフ・ルジュン・ディリクレ^{[25]は、伝統的に、すべての最初の要素が一意の2番目の要素を持つ}関係として関数の現代的な「正式な」定義を独立して与えたとされています。

ロバチェフスキー（1834）は次のように書いている。

関数の一般的な概念では、 xの関数は各xに対して与えられ、 xとともに徐々に変化する数として定義される必要がある。関数の値は、解析式によって与えられるか、すべての数を調べてそのうちの1つを選択する手段を提供する条件によって与えられる。または、最終的には依存関係が存在するが不明なままである可​​能性がある。^[26]

ディリクレ（1837）は次のように書いている。

ここで、各xに対応する唯一の有限y があり、さらにx がaからbまでの区間にわたって連続的に変化するとき、 yも連続的に変化するとすると、yはこの区間のxの連続関数と呼ばれる。ここでは、 y が区間全体にわたってxに関して単一の同じ法則によって与えられる必要はまったくなく、数学的演算を使用して表現された依存関係として見なされる必要もない。^[27]${\displaystyle {y=f(x)}}$

イブスは、「数学の学生は通常、微積分の入門コースでディリクレ関数の定義に出会う」と主張している。^[28]

ディリクレのこの形式化の主張は、イムレ・ラカトシュによって異議を唱えられている。

ディリクレの著作にはそのような定義は全くありません。しかし、彼がこの概念を知らなかったことを示す十分な証拠があります。例えば、彼の[1837]の論文では、区分連続関数について論じているとき、不連続点では関数は2つの値を持つと述べています。... ^[29]

しかし、ガーディナーは「ラカトシュは『ディリクレは[現代関数]の概念を全く知らなかったという十分な証拠がある』と主張するなど、行き過ぎているように私には思える」と述べている。^[30] さらに、上で述べたように、ディリクレの論文には、（ロバチェフスキーのように）実変数の連続関数についてのみ述べているにもかかわらず、通常彼に帰せられる定義に沿ったものが含まれているように見える。

同様に、ラヴィンは次のように述べています。

ディリクレが関数の現代的な定義に対してどれほどの功績をあげたかは議論の余地があるが、その理由の1つは彼が定義を連続関数に限定したからである。...ディリクレが連続関数の概念を定義したのは、一般論に限らないが、連続関数の場合でも規則や法則は必要ないことを明確にするためだったと私は信じている。オイラーは連続関数を単一の式、つまり法則によって与えられる関数と定義したため、この点は特に強調されてしかるべきだっただろう。しかし、この議論を解決するのに十分な証拠があるかどうかも疑問である。^[31]

ロバチェフスキーとディリクレは、任意対応の概念を最初に導入した人物の一人とみなされているため、この概念は関数のディリクレ定義またはロバチェフスキー-ディリクレ定義と呼ばれることもあります。^[32]この定義の一般版は後にブルバキ(1939) によって使用され、教育界ではこれを「ディリクレ-ブルバキ」関数定義と呼ぶ人もいます。

ブルバキグループの創設メンバーの一人であるディウドネは、関数の正確で一般的な現代的な定義を、1878年に すでに草稿が書かれていたが1888年に発表された著書『何であるか、そして何であるか^』[33]の中で、デデキントに帰している。ディウドネは、デデキントは、以前の概念のように実数（または複素数）関数に限定するのではなく、関数を任意の2つの集合間の単一値写像として定義したと指摘している。

数学全体にとって新しく、本質的なものとなったのは、関数の完全に一般的な概念であった。 [ ^34]

ハーディ (1908、pp. 26-28) は、関数を 2 つの変数xとyの関係として定義し、 「 xのいくつかの値は、少なくともyの値に対応する」としています。ハーディは、関数がxのすべての値に対して定義されている必要はなく、またxの各値がyの単一の値に 関連付けられていることも要求しませんでした。この関数の広範な定義には、現代数学で通常関数と見なされるよりも多くの関係が含まれています。たとえば、ハーディの定義には、多値関数や、計算可能性理論で部分関数と呼ばれるものが含まれます。

この時代の論理学者は、主に三段論法（2000年前のアリストテレス式やその他の形式）の分析に携わっていた。オーガスタス・ド・モルガン（1847）はこれを「推論の形成方法に依存する推論の部分の検討、および議論を構築するための一般的な格言と規則の調査」と表現した。^[35]この時点では（論理的な）「関数」という概念は明示されていないが、少なくともド・モルガンとジョージ・ブールの著作ではそれが暗示されている。議論形式の抽象化、変数の導入、これらの変数に関する記号代数の導入、および集合論の概念の一部が見られる。

ド・モルガンの 1847 年の著書「形式論理学、あるいは推論の計算、必然的かつ蓋然的」では、「論理的真実は、文の構造に依存し、特定の話題には依存しない」と述べており、彼は時間を無駄にすることなく (序文、ページ i)、「命題の形式では、コピュラは用語と同様に抽象化される」と抽象化しています。彼はすぐに (ページ 1)、「命題」(現在の命題関数または関係) を「X は Y である」などの形式に変換します。ここで、記号 X、「である」、および Y は、それぞれ主語、コピュラ、および述語を表します。「関数」という言葉は出てこないが、「抽象」という概念があり、「変数」があり、彼の記号表現における包含の概念「Δ はすべて О の中にある」(p. 9) があり、最後に「関係」という概念の論理的分析のための新しい記号表現(彼はこの例に関して「X)Y」(p. 75) という言葉を使用している) がある。

「A ₁ X)Y Xを取るにはYを取る必要がある」[またはXになるためにはYになる必要がある]

「A ¹ Y)X Yを取るには、Xを取るだけで十分です」[またはYであるためには、Xであるだけで十分です]など。

1848年の著書『論理の性質』でブールは「論理とは…より特別な意味では記号による推論の科学である」と主張し、「所属」と「クラス」という概念について簡単に論じている。「個人は多種多様な属性を持ち、したがって多種多様なクラスに属する可能性がある」。^[36]ド・モルガンと同様に、ブールは分析から導き出された「変数」という概念を使用し、「牛のクラスをxで表し、馬のクラスをyと接続詞andを記号+で表す…牛と馬の集合クラスをx  +  yで表すことができる」という例を挙げている。^[37]

ブールは「微分積分」の文脈で関数の概念を次のように定義しました (1849 年頃)。

「変化が均一な量は独立変数と呼ばれる。変化が前者の変化に関係する量は、その関数であると言われる。微分積分は、あらゆる場合に関数から極限まで進むことを可能にする。これは、ある演算によって行われる。しかし、演算という概念そのものには、逆演算という概念がある。この場合、その逆演算を実行するのが積分学の仕事である。」[38 ^]

イヴズは「論理学者は数学の定義的発展の出発点をさらに押し下げ、命題論理と命題関数の論理を基礎として集合理論やクラス理論を導き出そうと努めてきた」と述べている。 ^[39]しかし19世紀後半までに、論理学者による数学の基礎研究は大きな分裂を起こしていた。最初のグループである論理学者の方向性は、バートランド・ラッセルの1903年の「2つの目的を達成すること、第一に、すべての数学は記号論理に従うことを示すこと、第二に、記号論理自体の原理が何であるかを可能な限り発見すること」に最もよく要約されているだろう。

2番目のグループの論理学者、集合論者は、ゲオルク・カントールの「集合論」（1870-1890）とともに登場したが、彼らが前進した一因は、フレーゲの「関数」の概念から導かれるパラドックスをラッセルが発見したことだが、ラッセルが提案した解決策に対する反発でもあった。^[40] ツェルメロの集合論的な反応は、1908年の『集合論の基礎研究I』であり、これは最初の公理的集合論であり、ここでも「命題関数」の概念が役割を果たしている。

ブールは著書『思考の法則の研究』の中で、記号xを用いて関数を次のように定義しました。

「8. 定義。記号xを含む任意の代数式はxの関数と呼ばれ、省略形f ( x )で表すことができます。」^[41]

ブールは代数式を使って代数的概念と論理的概念の両方を定義した。例えば、1 −  xは論理NOT( x )、xyは論理AND( x , y )、x  +  yは論理OR( x , y )、x ( x  +  y ) はxx  +  xy、そして「特別な法則」xx = x ² = xである。^[42]

1881 年の『記号論理学』で、ヴェンは「論理関数」という言葉と当時の記号表現 ( x = f ( y )、y = f ⁻¹ ( x )、 xxi ページ参照)、そして歴史的にヴェンと関連づけられていた円グラフを使って「クラス関係」を記述し、^[43]「述語を「量化する」」、「拡張に関する命題」、「2 つのクラスが互いに包含および排除される関係」、「命題関数」(すべて 10 ページ)、変数の上にあるバーでxでないことを示す(43 ページ) などの概念も使用しました。実際、彼は「論理関数」という概念を「クラス」(現代の「集合」) と明確に同一視しました。「... この本で採用されている見解では、f ( x ) は論理クラス以外のものを表すことはありません。これは、多数の単純なクラスを集約した複合クラスである可能性があります。これは、特定の逆論理演算によって示されるクラスである可能性があります。これは、互いに等しい 2 つのクラスのグループで構成される可能性があります。事物、それらの差はゼロであると宣言され、つまり論理方程式である。しかし、どのように構成され、導出されたとしても、私たちにとってのf（x）は、通常の論理で十分に位置付けられる可能性のある論理クラスの事物に対する一般的な表現以外の何物でもないだろう。" ^[44]

ゴットロープ・フレーゲの『論説』 (1879)はジュゼッペ・ペアノの『意味論』(1889)に先行していたが、ペアノは1889年の『論説』を出版するまでフレーゲの1879年については知らなかった。 ^{[45]両著者はラッセル(1903)に強い影響を与えた。ラッセルは}アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドと共著した『数学原理』 (1913)を通じて20世紀の数学と論理学に多大な影響を与えた。

フレーゲは、最初に伝統的な「主語と述語という概念」を放棄し、それぞれを論証と機能に置き換えた。彼は、これが「時の試練に耐えるだろう。内容を論証の機能と見なすことが概念の形成につながることは容易に理解できる。さらに、もし、そして、ない、または、ある、いくつか、すべてなどの単語の意味のつながりの実証は注目に値する」と信じている。^[46]

フレーゲは「機能」についての議論を例から始める。^[47]「水素は二酸化炭素より軽い」という表現から始める。ここで、水素の記号（つまり「水素」という単語）を削除し、酸素の記号（つまり「酸素」という単語）に置き換える。これで 2 番目の文ができる。これをもう一度（どちらかの文を使って）行い、窒素の記号（つまり「窒素」という単語）を置き換えると、「これにより、酸素または窒素が、以前「水素」が関係していた関係に入るというように意味が変わる」ことに注意する。^[48] 3 つの文がある。

• 「水素は二酸化炭素よりも軽い。」
• 「酸素は二酸化炭素より軽い。」
• 「窒素は二酸化炭素より軽い。」

ここで、3つすべてにおいて「関係の全体を表す安定した要素」に注目してください。^[49]これを関数と呼びます。つまり、

「…は二酸化炭素より軽い」というのがその機能です。

フレーゲは関数の引数を「他の記号と置き換え可能とみなされ、これらの関係にあるオブジェクトを示す記号（たとえば水素、酸素、窒素）」と呼んでいます。^{[50]彼は、引数の位置を}右側にして「水素は...より軽い」という関数も導出できることを指摘しています。正確な観察はペアノによって行われています（詳細は下記を参照）。最後に、フレーゲは引数が2つ（またはそれ以上）の場合を考慮しています。たとえば、「二酸化炭素」を削除すると、不変部分（関数）は次のようになります。

• 「...は...よりも軽いです」

フレーゲは、1 引数関数を Φ(A) という形式に一般化します。ここで、A は引数、Φ( ) は関数を表します。一方、2 引数関数は、A と B が引数、Ψ( , ) が関数である Ψ(A, B) と表記し、「一般に Ψ(A, B) は Ψ(B, A) とは異なる」と警告しています。フレーゲは独自の記号を使用して、読者のために次の記号を翻訳しています。

「|--- Φ(A) は「A は特性 Φ を持つ」と読むことができる。|--- Ψ(A, B) は「B は A に対して Ψ の関係にある」または「B はオブジェクト A に手順 Ψ を適用した結果である」と翻訳することができる。」^[51]

ペアノは「関数」の概念を、フレーゲと多少似た方法で定義したが、正確さは欠けていた。^[52]最初にペアノは記号「K はクラス、つまりオブジェクトの集合を意味する」を定義し、^[53]そのオブジェクトは 3 つの簡単な等式条件^[54] a = a、 ( a = b ) = ( b = a )、IF (( a = b ) AND ( b = c )) THEN ( a = c ) を満たす。次に彼は φ を導入する。これは「 xがクラスsのオブジェクトである場合、式 φ x が新しいオブジェクトを表すような記号または記号の集合」である。ペアノはこれらの新しいオブジェクトに 2 つの条件を追加する。第 1 に、3 つの等式条件がオブジェクト φ xに当てはまること。第 2 に、「xとy がクラスsのオブジェクトであり、x = yである場合、 φ x = φ yを演繹できると仮定する」ことである。^[55]これらの条件がすべて満たされている場合、 φ は「関数の前置記号」である。同様に彼は「関数後置符号」も特定している。例えば、φが関数前置符号a +であれば、φ xはa + xを生じ、φが関数後置符号+ aであれば、 x φは x + aを生じる。^[54]

カントルとペアノの影響は極めて大きかったが、^[56] 『数学原理』の付録A「フレーゲの論理的・算術的教義」で、ラッセルはフレーゲの関数の概念について議論しており、「...この点においてフレーゲの研究は非常に重要であり、慎重な検討が必要である」と述べている。^{[57] 1902年にフレーゲの}「Begriffsschrift」で発見した矛盾についてフレーゲと手紙を交わしたラッセルは、このセクションを土壇場で付け加えた。

ラッセルにとって、変数の概念は厄介な概念である。「6. 数学的命題は、含意を主張するという事実だけでなく、変数を含むという事実によっても特徴付けられる。変数の概念は、論理が扱わなければならない最も難しい概念の 1 つである。今のところ、すべての数学的命題には、一見すると変数が存在しないように見える場合でも、変数が存在することを公然と明らかにしたい。すべての数学的命題には、anyまたはsomeという単語が常に出現することがわかる。これらの単語は、変数と形式的含意のマークである。」^[58]

ラッセルは「命題の定数を変数に変換するプロセスは、いわゆる一般化につながり、いわば命題の形式的な本質を与える...命題の任意の項を変数に変換できる限り、命題を一般化できる。そして、これが可能である限り、それを行うのが数学の仕事である」と述べた。^[59]これらの一般化をラッセルは命題関数と名付けた。^{[60]実際、彼はフレーゲの}Begriffsschriftを引用し、フレーゲの 1891 年のFunction und Begriffから鮮明な例を示している。「算術関数 2 x ³  +  xの本質は、 x を取り除いたときに残るもの、つまり上記の例では 2( ) ³  + ( ) である。引数x は関数に属していないが、2 つを合わせると全体が構成される」。^[57]ラッセルはある意味ではフレーゲの「機能」の概念に同意した。「彼は機能を述語や関係よりも基本的なものとみなしており、この点では私も同意する」が、ラッセルはフレーゲの「主語と主張の理論」、特に「彼は、命題の中に項aが現れた場合、その命題は常にaとaについての主張に分析できると考えている」という点を否定した。^[57]

ラッセルは、1908年の『数理論理学』で、型理論に基づいてこの考えを推し進め、ホワイトヘッドと1910年から1913年にかけて共著した『プリンキピア・マテマティカ』へと発展させた。『プリンキピア・マテマティカ』の頃、ラッセルはフレーゲと同様に命題関数を基本的なものとみなしていた。「命題関数は、より一般的な種類の関数、例えば「sin x」や「log x」や「 xの父」が派生する基本的な種類である。これらの派生関数は「記述関数」と呼ばれる。命題の関数は命題関数の特殊なケースである」^[61]

命題関数: 彼の用語は当時の用語と異なるため、読者はラッセルの「命題関数」に混乱するかもしれません。例を挙げると分かりやすいでしょう。ラッセルは命題関数をそのままの形で、たとえばφŷ : 「 ŷは傷ついている」と書きます (変数yの上にあるサーカムフレックスまたは「帽子」に注目してください)。この例では、変数ŷに「ボブ」、「この鳥」、「ウサギのエミリー」、および「 y」という 4 つの値を割り当てます。これらの値の 1 つを変数ŷに代入すると命題が生成されます。この命題は命題関数の「値」と呼ばれます。この例では、命題関数の値が 4 つあります。たとえば、「ボブは傷ついている」、「この鳥は傷ついている」、「ウサギのエミリーは傷ついている」、および「 yは傷ついている」です。命題が重要である場合、つまりその真理が確定的である場合、命題には真または偽の真理値があります。命題の真理値が「真」である場合、変数の値は命題関数を満たすと言われます。最後に、ラッセルの定義によると、「クラス[セット] は、何らかの命題関数を満たすすべてのオブジェクトです」(p. 23)。「すべて」という言葉に注意してください。これは、現代の「すべての ∀ に対して」および「少なくとも 1 つのインスタンス ∃ が存在する」という概念が扱われる方法です (p. 15)。

例を続けると、(数学/論理の外側から) 命題「ボブは傷ついている」の真理値は「偽」、命題「この鳥は傷ついている」の真理値は「真」、命題「ウサギのエミリーは傷ついている」の真理値は「ウサギのエミリー」が存在しないために不確定、そして「y は傷ついている」の真理値は、引数y自体が曖昧であるため曖昧であると決定したとします。命題「ボブは傷ついている」と「この鳥は傷ついている」は重要ですが(どちらも真理値を持っています)、命題関数φŷ :「ŷは傷ついている」を満たすのは変数 ŷ の値「この鳥」のみです。クラス α: φŷ : 「ŷは怪我をしている」を形成する場合、変数ŷの 4 つの値「ボブ」、「この鳥」、「ウサギのエミリー」、および「 y 」と、それぞれの真理値 (偽、真、不確定、曖昧) が与えられると、「この鳥」のみが含まれます。

ラッセルは、引数付き命題関数と真理関数 f ( p)を定義している。^[62]たとえば、「引数付き命題関数」p ₁ : "NOT( p ) AND q " を作成し、その変数にp : "Bob is hurt" とq : "This bird is broken"の値を割り当てるとします。(論理結合は NOT、AND、OR、および IMPLIES に制限されており、変数pとqには「重要な」命題しか割り当てることができません。) この場合、「引数付き命題関数」はp ₁ : NOT("Bob is broken") AND "This bird is broken" です。 この「引数付き命題関数」の真理値を決定するには、これを「真理関数」、たとえばf ( p ₁ ): f ( NOT("Bob is broken") AND "This bird is broken" ) に渡します。これにより、真理値として "truth" が返されます。

「多対一」の機能的関係の概念：ラッセルは最初に「同一性」の概念について議論し、次に記述関数（30ページ以降）を（2変数）命題関数（すなわち「関係」）φŷを満たす一意の値ιxとして定義します。

注意：変数の順序が逆になっていることに注意して下さい。yは独立変数でxは従属変数です。例えば、x = sin( y )です。^[63]

ラッセルは記述関数を「 yとの関係にあるオブジェクト」として記号化している: R'y = _DEF ( ιx )( x R y )。ラッセルは「R'yはyの関数だが、命題関数ではない。我々はこれを記述関数と呼ぶことにする。数学の通常の関数はすべてこの種類のものである。したがって、我々の表記法では「sin  y 」は「sin  'y 」と書かれ、「sin」は sin  'y がyに対して持つ関係を表す」と繰り返す。^[64]

デイヴィト・ヒルベルトは、古典数学を「形式的な公理理論として形式化し、この理論が一貫していること、つまり矛盾がないことが証明される」という目標を自らに設定した。 ^[65]ヒルベルトは1927年の『数学の基礎』で、関数の概念を「オブジェクト」の存在の観点から組み立てている。

13. A(a) --> A(ε(A)) ここでε(A)は、命題A(a)がどんなオブジェクトにも当てはまるなら必ず当てはまるオブジェクトを表します。εを論理ε関数と呼びます。^[66] [矢印は「意味する」を示します。]

次にヒルベルトは、ε 関数が使用される 3 つの方法、つまり、最初は「すべてに対して」および「存在する」概念として、次に「[命題] が成り立つオブジェクト」を表すために、そして最後にそれを選択関数にキャストする方法を説明します。

再帰理論と計算可能性: しかし、ヒルベルトと彼の弟子ベルナイスの努力は予想外の結果として失敗に終わった。1931年のゲーデルの不完全性定理を参照。ほぼ同じ頃、ヒルベルトのEntscheidungsproblemを解決しようと、数学者たちは「効果的に計算可能な関数」( Alonzo Church 1936)、つまり「効果的な方法」または「アルゴリズム」、つまり関数の計算に成功する明示的なステップバイステップの手順の定義に着手した。チャーチのラムダ計算(1936)、スティーブン クリーネのμ-再帰関数(1936)、アラン チューリング(1936-1937) の「人間のコンピューター」を完全に機械的な「計算マシン」に置き換えるという概念 (チューリング マシンを参照) など、さまざまなアルゴリズム モデルが次々に登場した。これらのモデルはすべて、同じクラスの計算可能関数を計算できることが示された。チャーチのテーゼは、このクラスの関数は、アルゴリズムによって計算できるすべての数論的関数を網羅していると主張している。これらの努力の結果は、チューリングの言葉を借りれば、「関数計算K [プリンキピア・マテマティカ]の与えられた式Uが証明可能かどうかを判断するための一般的なプロセスは存在しない」ことを鮮明に実証した。^{[67]詳細については、}独立性（数理論理学）と計算可能性理論を参照。

集合論は、ド・モルガン (1847)、ジェヴォンズ(1880)、ベン (1881)、フレーゲ (1879)、ペアノ (1889)などの論理学者による「クラス」(現代の「集合」) の概念の研究から始まりました。これを後押ししたのは、ゲオルク・カントールが集合論的処理で無限を定義しようとした試み（1870-1890年）と、この処理における二律背反（矛盾、パラドックス）のその後の発見（カントールのパラドックス）、ラッセルがフレーゲの1879年の二律背反（ラッセルのパラドックス）を発見した（1902年）、20世紀初頭のさらなる二律背反の発見（例えば、1897年のブラーリ・フォルティのパラドックスや1905年のリチャードのパラドックス）、そしてラッセルの複雑な論理の処理に対する抵抗^[68]と、二律背反を回避する手段としてラッセルが提案した還元公理^[69]（1908年、1910-1913年）に対する嫌悪であった。

1902年にラッセルはフレーゲに手紙を送り、フレーゲの1879年の『Begriffsschrift』では関数がそれ自体の議論となることを認めていると指摘した。「一方で、議論が決定的で関数が不確定である可能性もある...」^[70]この制約のない状況から、ラッセルはパラドックスを形成することができた。

「あなたは、関数も不確定要素として作用できると述べています。私は以前はこれを信じていましたが、今ではこの見解は次のような矛盾があるため疑わしいように思えます。wを述語とします。wはそれ自体で述語化できない述語です。wはそれ自体で述語化できますか？」^[71]

フレーゲは即座にこう返答した。「あなたの矛盾の発見は私に大きな驚きと、ほとんど仰天を与えました。なぜなら、それは私が算術を構築しようとしていた基礎を揺るがしたからです」^[72]

この時点から、数学の基礎の発展は、「集合と要素の単純な[集合論的]概念」で表現された「ラッセルのパラドックス」をいかに回避するかという演習となった。^[73]

「関数」という概念は、ツェルメロの公理 III、つまり分離公理 (Axiom der Aussonderung) として現れます。この公理は、命題関数 Φ( x )を使用して、以前に形成された集合Mから部分集合 M _{Φ を}「分離」することを強制します。

「公理III.（分離公理）。命題関数Φ（x ）が集合Mのすべての要素に対して定まるとき、Mは、 Φ（x ）が真となるMの要素xだけを要素として含む部分集合MΦ_を持つ。」^[74]

普遍集合は存在しないため、集合は公理IIによって（非集合）領域Bの要素から発生するため、「…これにより、我々に関する限り、ラッセルの二律背反は解消される」。^[75]しかし、ツェルメロの「明確な基準」は不正確であり、ワイル、フランケル、スコーレム、フォン・ノイマンによって固定されている。^[76]

実際、スコーレムは 1922 年にこの「明確な基準」または「特性」を「明確な命題」と呼んでいます。

「 a ε bまたはa = bの形式の基本命題から5つの演算[論理積、論理和、否定、全称量化、存在量化]によって構成される有限表現。」 ^[77]

van Heijenoort 氏は次のように要約しています。

「ある性質がスコーレムの意味で明確であるとは、それが ε と、おそらく = のみを述語定数とする単純な一階述語計算の適切な式によって表現される場合である。…今日、集合論の公理化は通常、論理計算に組み込まれており、分離公理の定式化に対するワイルとスコーレムのアプローチが一般的に採用されている。」^[78]

この引用文では、用語の変化に読者は気づくでしょう。「命題関数」という概念はどこにも言及されておらず、代わりに「公式」、「述語計算」、「述語」、「論理計算」という言葉が使われています。この用語の変化については、現代の集合論における「関数」を扱うセクションでさらに詳しく説明します。

「順序付きペア」という概念の歴史は明らかではない。前述のように、フレーゲ（1879）は2引数関数Ψ(A, B)の定義において直感的な順序付けを提案した。ノーバート・ウィーナーは1914年（下記参照）の論文で、自身の扱いは本質的に「シュレーダーの順序付きペアのクラスとしての関係の扱いに戻る」と述べている。^[79]ラッセル（1903）は、関係（Ψ(A, B)など）を「ペアのクラス」として定義することを検討したが、それを却下した。

「関係を、カップルのクラスとして拡張的に定義できると見なす誘惑がある。これは、すべてのカップルは他のどの項のペアとも関係が成立しないという基本命題の必要性を回避するという形式的な利点である。しかし、カップルに意味を与え、指示対象 [ドメイン] を関係 [逆ドメイン] と区別する必要がある。したがって、カップルは 2 つの項のクラスとは本質的に異なるものとなり、それ自体が基本概念として導入されなければならない。...したがって、関係を内包的に捉え、クラスではなくクラス概念と同一視する方が正しいと思われる。」^[80]

1910年から1913年、そしてプリンキピア・マテマティカまでに、ラッセルは関係の内包的定義の必要性を諦め、「数学は常に内包よりも外延に関係している」と述べ、「関係はクラスと同様に外延でとらえられるべきである」と述べた。^[81]外延における関係の概念を示すために、ラッセルは順序付きカップルの概念を採用した。「関係をカップルのクラスと見なすことができる... φ( x,y )によって決定される関係は、φ ( x, y) が真であるカップル ( x,y ) のクラスである」。^[82] 脚注で彼は自分の概念を明確にし、次の定義に到達した。

「このようなカップルには意味がある。つまり、カップル（x、y ）は、 x  =  yでない限り、カップル（y、x）とは異なる。これを「意味のあるカップル」と呼ぶことにする。…これは秩序だったカップルとも呼ばれる。^[82]

しかし彼は続けて、順序付けられたカップルを彼の「象徴的扱い」にさらに導入するつもりはない、と述べ、その代わりに彼の「マトリックス」と彼の不評な還元公理を提案している。

二律背反の問題を解決しようとしたラッセルは、1903 年の著書『数学原理』の付録 B で「型の教義」を提唱した。^[83]数年後、彼はこの概念を洗練し、1908 年の著書『型の理論』で2 つの還元公理を提案した。その目的は、(1 変数の) 命題関数と (2 変数の) 関係を「より低い」形式 (最終的には完全に外延的な形式) に還元することであった。ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、この処理を「マトリックス」と呼ばれるさらなる改良を加えて『プリンキピア・マテマティカ』1910-1913に引き継いだ。 ^[84]最初の公理は *12.1、2 番目は *12.11 である。ウィーナーの言葉を借りれば、2 番目の公理 *12.11 は「関係の理論にのみ関係する」。^[85]しかし、どちらの公理も懐疑と抵抗に遭った。詳しくは還元公理を参照。1914年までに、ノーバート・ウィーナーはホワイトヘッドとラッセルの記号法を用いて、関係を空集合を用いた順序付きペアとして表現することで公理*12.11（還元公理の「2変数」（関係）バージョン）を排除した。ほぼ同時期に、ハウスドルフ（1914、p.32）は、順序付きペア（a、b）を{{ a、1}、{ b、2}}と定義した。数年後、クラトフスキー（1921）は、それ以来広く使用されている定義、すなわち{{ a、b }、{ a }}を提示した。^[86]サッペス（1960）が指摘しているように、「この定義は、関係理論を集合理論に還元する上で歴史的に重要であった。^[87]

ウィーナーは還元公理の関係形式*12.11を「還元」したが、命題関数形式*12.1を還元したり変更したりしなかったことに注意されたい。実際、彼はこれを「同一性、記述、クラス、関係の扱いに不可欠」であると宣言した。^[88]

多対一対応としての「関数」という一般的な概念が正確にどこから来ているのかは不明である。ラッセルは1920年の著書『数学哲学入門』で「すべての数学関数は一対多（原文のままでは多対一）の関係から生じることに注意すべきである。この意味での関数は記述関数である」と述べている。^[89]妥当な可能性は、プリンキピア・マテマティカの「記述関数」の概念である – R 'y = _DEF (ι x )( x R y )：「 yに対してRの関係を持つ特異なオブジェクト」。いずれにせよ、1924年までにモーゼス・シェーンフィンケルはこの概念を表現し、「よく知られている」と主張した。

「よく知られているように、関数とは、最も単純な場合、ある量の領域、引数領域、および関数値の領域の要素間の対応を意味します...各引数値には最大で1つの関数値が対応します。」^[90]

ウィラード・クワインによれば、シェーンフィンケル 1924 は「抽象集合論の全容を提供している。問題の核心は、シェーンフィンケルが関数を引数として扱っている点である。シェーンフィンケルにとって、実質的にはフレーゲにとって、クラスは特別な種類の関数である。それらは命題関数であり、その値が真理値である関数である。命題関数であろうとなかろうと、すべての関数はシェーンフィンケルにとって一元関数である」。^[91]驚くべきことに、シェーンフィンケルはすべての数学を、不変性、融合 (つまり合成)、相互排他性の 3 つの関数のみで構成される極めてコンパクトな関数計算に還元している。クワインは、ハスケル・カリー(1958) がこの研究を「組み合わせ論理の頭文字の下で」進めたと述べている。^[92]

1925年までにアブラハム・フランケル（1922年）とトラルフ・スコーレム（1922年）はツェルメロの1908年の集合論を修正した。しかしフォン・ノイマンは、この公理化が二律背反に至らないとは確信できなかった。^{[93]そこで彼は、1925年に独自の理論「}集合論の公理化」を提唱した。^[94]この理論には、「関数」という概念の「現代的な」集合論的バージョンが明示的に含まれている。

「[ツェルメロの集合論とは異なり] [我々は]「集合」ではなく「関数」を公理化することを好む。後者の概念は確かに前者を含む。（より正確には、関数はペアの集合と見なすことができ、集合は2つの値を取ることができる関数と見なすことができるため、2つの概念は完全に同等である。）」^[95]

最初に彼は、I-オブジェクトとII-オブジェクト、I-オブジェクトである2つのオブジェクトAとB （最初の公理）、および結果として得られるオブジェクト[ x、y ]と( x、y )から得られる構造的特性^[96]として順序付けを想定する2種類の「操作」から始めます。2つの「オブジェクトのドメイン」は、「引数」（I-オブジェクト）と「関数」（II-オブジェクト）と呼ばれ、それらが重なり合う部分が「引数関数」（彼はこれをI-IIオブジェクトと呼んでいます）です。彼は 2 つの「普遍的な 2 変数演算」を導入しています。(i) 演算 [ x , y ]: 「... 関数xの引数yに対する値と読みます...それ自体がタイプ I オブジェクトです」、および (ii) 演算 ( x , y ): 「... (「順序付きペアx、y 」と読みます)。このペアの変数xとy は両方とも引数でなければならず、それ自体が引数 ( x、y ) を生成します。最も重要な特性は、x ₁ = x ₂およびy ₁ = y ₂が( x ₁ = y ₂ ) = ( x ₂ = y _{2 ) から得られることです」。関数ペアを明確にするために、彼は「} f ( x )の代わりに[ f,x ] と書き、この手順ではfがxと同様に変数と見なされることを示します」と述べています。 「素朴な集合論の二律背反を避けるために、ラッセルはまず第一に、特定の関数を引数として扱うことを控えなければならない」^[97]。彼はこれらの「特定の関数」を制限するためにツェルメロの概念を採用した^{[98] 。}

サッペス^[99]は、フォン・ノイマンの公理化はベルナイスによって「元のツェルメロ体系に近づくために...彼は2つの帰属関係を導入した。1つは集合間、もう1つは集合とクラス間である」と指摘している。その後、ゲーデル[1940] ^[100]はさらに理論を修正し、「彼の基本的な概念は、集合、クラス、帰属関係である（ただし、帰属関係だけでも十分である）」と述べた。^{[101]この公理化は現在、}フォン・ノイマン・ベルナイス・ゲーデル集合論として知られている。

1939年、ブルバキは、関数を直積 E × Fの特定の部分集合として表すよく知られた順序対定義に加えて、次の定義を与えた。

「EとF を、異なる場合もそうでない場合もある 2 つの集合とします。Eの可変要素xとFの可変要素yの関係は、すべてのx ∈ Eに対して、 xと所定の関係にある唯一のy ∈ Fが存在する場合、 yにおける関数関係と呼ばれます。このようにして、 xと所定の関係にある要素y ∈ Fをすべての要素x ∈ Eに関連付ける操作を関数と呼び、関数は所定の関数関係によって決定されるといいます。2 つの同等な関数関係は、同じ関数を決定します。」

フランケル (1922) とスコーレム (1922) によって修正されたツェルメロの集合論の公理形式と素朴形式の両方で、「関数」が関係として定義され、関係が順序付きペアの集合として定義され、順序付きペアが 2 つの「非対称」集合の集合として 定義されます。

Suppes (1960) の公理的集合論や Halmos (1970)の素朴集合論の読者は、分離公理における関数記号の使用、たとえば φ( x ) (Suppes) や S( x ) (Halmos) に気付くが、「命題」や「一階述語計算」についてはまったく触れられていない。代わりに、「オブジェクト言語の表現」、「原子式」、「基本式」、および「原子文」が使われている。

クリーネ（1952）は、言葉を次のように定義している。「言葉の言語では、命題は文で表現される。そして、「述語」は、不完全な文または空白を含む文の骨組みで表現される。例えば、「___は男である」は述語を表す。述語は、1つの変数の命題関数である。述語はしばしば「プロパティ」と呼ばれる。述語計算は、この一般的な意味での「述語」、すなわち命題関数としての述語の論理を扱う。」^[102]

1954年、ブルバキは『集合論』第2章76ページで、関数を3つの組f = ( F , A , B )として定義しました。^[103] ここで、Fは関数グラフであり、2つのペアの最初の要素が同じにならないペアの集合を意味します。ブルバキは77ページ（同上）で次のように述べています（直訳）： 「この論文の残りの部分では、関数グラフの代わりに関数という言葉を頻繁に使用します。」

Suppes (1960) は『公理的集合論』の中で、関係(p. 57) をペアの集合として正式に定義し、関数( p. 86) を、2 つのペアの最初のメンバーが同じにならない関係として定義しています。

例えば、Suppes (1960) や Halmos (1970) で「命題関数」という語が消えた理由は、Tarski (1946) によって、用語のさらなる説明とともに次のように説明されている。

「 x は整数であるような式は変数を含み、これらの変数を定数に置き換えると文になるので、文関数（すなわち命題関数、インデックス参照）と呼ばれます。しかし、数学者はこの表現をあまり好みません。なぜなら、彼らは「関数」という用語を別の意味で使用しているからです。... 数学者は通常、 x  +  y = 5 のような数学記号のみで構成された文関数と文を式と呼びます。「文関数」の代わりに、誤解の恐れがない場合に限り、単に「文」と言うこともあります。」^[104]

タルスキは関数の関係形式を「機能的関係、あるいは単に機能」と呼んでいる。^[105]この「機能的関係」について議論した後、彼は次のように主張する。

「私たちが今考えている関数の概念は、文的関数（命題的関数）や指示的関数の概念とは本質的に異なります。厳密に言えば、これらは論理や数学の領域には属しません。論理的および数学的なステートメントを構成するのに役立つ表現の特定のカテゴリを示しますが、それらのステートメントで扱われるものを示すものではありません。一方、新しい意味での「関数」という用語は、純粋に論理的な性質の表現であり、論理と数学で扱われる特定の種類のものを示します。」^[106]

「解釈による真理」の詳細については、Alfred Tarskiを参照してください。

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