嘘の理論

数学 において、数学者ソフス・リー（/ liː / LEE）は、微分方程式の積分、自己同型群、球の接触に関する一連の研究を開始し、それらはリー理論と呼ばれるようになった。^{[ 1 ]} 例えば、後者の主題はリー球面幾何学である。この記事では、数学の分野の一つである変換群に対する彼のアプローチを取り上げ、それはヴィルヘルム・キリングとエリー・カルタンによって研究された。

リー理論の基礎は、リー代数とリー群を関連付ける指数写像であり、これはリー群－リー代数対応と呼ばれます。リー群は微分可能な多様体であるため、この分野は微分幾何学の一部です。リー群は恒等式（1）から発展し、1パラメータ部分群への接ベクトルがリー代数を生成します。リー群の構造はその代数に暗黙的に含まれており、リー代数の構造はルート系とルートデータによって表現されます。

リー理論は、ガリレオ群、ローレンツ群、ポアンカレ群、時空の共形群といった標準的な変換群を記述するため、数理物理学において特に有用である。

1パラメータ群はリー理論の最初の例である。コンパクトなケースは複素平面上のオイラーの公式から生じる。他の1パラメータ群は、分割複素数平面上の単位双曲線として現れる。

${\displaystyle \lbrace \exp(jt)=\cosh(t)+j\sinh(t):t\in R\rbrace ,\quad j^{2}=+1}$

そして双対数平面では線として${\displaystyle \lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace \quad \varepsilon ^{2}=0.}$ これらの場合、リー代数のパラメータには、角度、双曲線角度、傾斜という名前が付けられています。^{[ 2 ]}これらの角度の種類は、2 x 2 実数行列の平面部分代数を記述する極分解を提供するのに役立ちます。

古典的な3パラメータのリー群と代数のペアとして、3次元球面と同一視できる単位長の四元数が存在する。そのリー代数は四元数ベクトルの部分空間である。交換子ij − ji = 2kであるため、この代数におけるリー括弧は、通常のベクトル解析における外積の2倍となる。

もう一つの基本的な3パラメータの例は、ハイゼンベルク群とそのリー代数によって与えられます。リー理論の標準的な解説は、しばしば古典的な群から始まります。

リー理論の初期の表現は、 1888年から1896年にかけてソフス・リーがフリードリヒ・エンゲル、ゲオルク・シェファースと共著した書籍に見られる。

リーの初期の研究における構想は、フェリックス・クラインとアンリ・ポアンカレによってモジュラー形式の理論の中で発展した離散群の理論を補完する、連続群の理論を構築することであった。リーが最初に念頭に置いていた応用分野は微分方程式の理論であった。ガロア理論と多項式方程式をモデルとして、対称性の研究によって常微分方程式の全領域を統一できる理論を構築するという構想が中心にあった。

トーマス・W・ホーキンス・ジュニアによれば、リー理論を現在の形にしたのはエリー・カルタンだった。

リーは多くの優れたアイデアを持っていたが、彼の理論を現代数学の基本要素にしたのは、主にカルタンによる拡張と応用である。ワイルの助けを借りて、キリングの本質的に代数的なアイデアを、今日のリー理論で非常に重要な役割を果たす半単純リー代数の構造と表現の理論へと発展させたのはカルタンである。また、リーは自身の理論を幾何学に応用することを構想していたが、実際にそれを実現したのはカルタンであり、例えば、対称空間や一般化空間の理論、およびそれに付随するすべての装置（移動フレーム、外部微分形式など）を通じて実現した^{[ 3 ]。}

変換群に関する研究において、ソフス・リーは、自身の名を冠する群と代数を関連付ける3つの定理を証明した。第1の定理は、無限小変換を通して代数の基底を示した。^{[ 4 ] : 96}第2の定理は、代数における交換子積の結果として代数の構造定数を示した。 ^{[ 4 ] : 100}第3の定理は、これらの定数が反対称であり、ヤコビ恒等式を満たすことを示した。^{[ 4 ] : 106}ロバート・ギルモアは次のように書いている。

リーの3つの定理は、任意のリー群に関連付けられたリー代数を構成するためのメカニズムを提供する。また、リー代数の性質も特徴づける。¶ リーの3つの定理の逆は、その逆を行う。すなわち、任意の有限次元リー代数にリー群を関連付けるためのメカニズムを提供する。テイラーの定理は、リー代数から標準的な解析的構造関数φ ( β , α )を構成することを可能にする。¶ これら7つの定理、すなわちリーの3つの定理とその逆、およびテイラーの定理は、リー群と代数の間に本質的な等価性を提供する。^{[ 4 ]}

リー理論は、古典的な線形代数群の研究に基づいて構築されることが多い。特殊な分野としては、ワイル群、コクセター群、ビルディングなどが挙げられる。古典的な研究対象は、リー型群へと拡張されている。

1900年、ダフィット・ヒルベルトはパリで開催された国際数学者会議で発表した第5問題によって、リー理論家たちに挑戦状を叩きつけた。

• ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式
• リー群とリー代数の用語集
• 嘘のグループのトピック一覧
• リー群積分器

• ジョン・A・コールマン（1989）「史上最高の数学論文」、ザ・マセマティカル・インテリジェンサー11（3）： 29-38。

• MA Akivis & BA Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869 – 1951)、VV Goldbergによるロシア語原著からの翻訳、第2章：リー群とリー代数、アメリカ数学会ISBN 0-8218-4587-X。
• PM Cohn (1957)リー群、ケンブリッジ数学物理学論文集。
  • Nijenhuis, Albert ( 1959). 「レビュー: P.M. Cohn 著『リー群』 」アメリカ数学会報65 (6): 338–341 . doi : 10.1090/s0002-9904-1959-10358-x .
• JL クーリッジ(1940) 『幾何学的方法の歴史』、304–17頁、オックスフォード大学出版局 (ドーバー出版 2003)。
• ロバート・ギルモア (2008)リー群、物理学、幾何学：物理学者、エンジニア、化学者のための入門書、ケンブリッジ大学出版局ISBN 9780521884006。
• F. リース・ハーベイ (1990)スピノルと較正、アカデミック・プレス、ISBN 0-12-329650-1。
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol.  222 (2nd  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666。
• ホーキンス、トーマス（2000）。リー群理論の出現：数学史における一考察、1869年～1926年。シュプリンガー。ISBN 0-387-98963-3。
• Sattinger, David H.; Weaver, OL (1986).物理学、幾何学、力学への応用を伴うリー群とリー代数. Springer-Verlag. ISBN 3-540-96240-9。
• スティルウェル、ジョン（2008）。素朴な嘘の理論。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-98289-2。
• Heldermann Verlag嘘理論ジャーナル