論理の歴史

論理学の歴史は、妥当な推論の科学（論理学）の発展に関する研究を扱っています。形式論理学は、古代インド、中国、ギリシャで発展しました。ギリシャの方法、特に『オルガノン』に見られるアリストテレス論理学（または項論理学）は、数千年にわたって西洋の科学と数学で広く応用され、受け入れられてきました。^[1]ストア派、特にクリュシッポスは述語論理学の発展を始めました。

中世には、ボエティウス（524年没）、アヴィセンナ（1037年没）、トマス・アクィナス（1274年没）、ウィリアム・オッカム（1347年没）などのキリスト教哲学者やイスラム教哲学者がアリストテレスの論理学をさらに発展させ、14世紀半ばのジャン・ビュリダンの活躍で頂点に達した。14世紀から19世紀初頭にかけては、論理学は大きく衰退し、無視され、少なくとも1人の論理学史家はこの時代を不毛の時代とみなしている。^[2]フランシス・ベーコン卿の1620年の ノヴム・オルガノンが証明しているように、当時は経験的方法が主流であった。

論理学は、19世紀半ばの革命期の初めに復活しました。この革命期の初めに、論理学は厳密で正式な学問へと発展し、ギリシャの伝統に立ち返り、数学で使用されている正確な証明方法をその典型としました。 ^{[3]この時期に}ブール、フレーゲ、ラッセル、ペアノなどの近代的な「記号的」または「数学的」論理学が発展したことは、2000年の論理学の歴史の中で最も重要なことであり、人類の知的歴史の中で最も重要で注目すべき出来事の1つであると言えます。^[4]

20 世紀最初の数十年間の数理論理学の進歩、特にゲーデルとタルスキの研究から生まれた進歩は、特に 1950 年代以降、様相論理、時相論理、義務論理、関連性論理などの分野で、分析哲学と哲学論理学に大きな影響を与えました。

リグ・ヴェーダのナサディヤ・スークタ（RV 10 .129）には、さまざまな論理的区分に関する存在論的思索が含まれており、後に正式には「A」、「A ではない」、「A かつ 'A ではない' 」、「A ではないかつ A ではない」という 4 つのカトゥスコティの輪として書き直されました。

誰が本当に知っているのか？
誰がここでそれを宣言するのか？
それはどこから生み出されたのか？この創造物はどこから来たのか？
神々は後にこの宇宙の創造とともにやって来た。
それではそれがどこから生じたのか誰が知っているのか？

— ナサディヤ・スークタ、宇宙の起源について、リグ・ヴェーダ、10:129-6 ^{[5] [6] [7]}

論理学は古代インドで独自に始まり、ギリシャ論理学からの影響を受けずに近世まで発展し続けた。^[8]

インドにおける公開討論 ( pariṣad ) は合理的探求の一形態ですが、その起源は明らかではありません。しかし、公開討論は前古典期インドでは一般的であったことはわかっています。さまざまなウパニシャッドや初期の仏教文献で頻繁に言及されているからです。公開討論は前古典期インドにおける公開討論の唯一の形態ではありません。行政、法律、宗教などさまざまな問題を審議するために、関連する専門家で構成されるさまざまな種類の集会 ( pariṣadまたはsabhā ) が定期的に開催されました。

バガヴァタ・プラーナには、ダッタトレーヤという哲学者がアイアルカ、プラフラーダらにアンヴィクシキを教えたと記されている。マルカンデーヤ・プラーナから、彼が説いたアンヴィクシキ・ヴィディヤは、ヨガ哲学に基づく魂についての単なる論説であったことがわかる。ダッタトレーヤはアンヴィクシキの哲学的側面を説いたのであり、論理的側面を説いたのではない。^{[9] [10]}

前述の教師たちはアンヴィクシキの特定のテーマを扱っていましたが、科学としてのアンヴィクシキを創始したのはメダティティ・ゴータマ（紀元前6世紀頃）です。ゴータマはアンヴィクシキ学派の論理学を創始しました。[11] 紀元前5世紀頃のマハーバーラタ（ 12.173.45 ^）では、アンヴィクシキ学派とタルカ学派の論理学について言及されています。

パーニニ（紀元前5世紀頃）は、サンスクリット文法ブール論理学類似点がある）チャーナカヤ（紀元前350年頃-283年）は、その著書『アルタシャーストラ』の中で、論理学を独立した研究分野として説明している^[12]

インドの6つの学派のうち、ニヤーヤ学派とヴァイシェーシカ学派の2つは論理学を扱っています。アクシャパダ・ゴータマ（紀元2世紀頃）のニヤーヤ・スートラは、ヒンドゥー哲学の6つの正統派の1つであるニヤーヤ学派の中核テキストを構成しています。この現実主義の学派は、最初の前提、理由、例、応用、結論を含む厳格な5要素推論スキームを開発しました。 ^[13]観念論的な仏教哲学は、ナイーヤーイカ派の主な敵となりました。

ジャイナ教は、基本的な認識論的問題、すなわち知識の性質、知識がどのように導き出されるか、そして知識がどのような方法で信頼できると言えるかという問題にも取り組むことで、論理学の主流の発展に独自の貢献を果たしました。

ジャイナ教には、論理と推論に用いられる 相対性の教義があります。

• アネカンタヴァーダ– 相対的多元性または多様性の理論。
• シャドヴァーダ– 条件付きの述語の理論。
• ナヤヴァーダ – 部分的立場の理論。

これらのジャイナ教の哲学的概念は、特に懐疑論と相対性理論の分野で古代インド哲学に最も重要な貢献をしました。[4] ^[14]

中観派（「中道」）の創始者である龍樹（ナガールジュナ、紀元150年頃 - 250年）は、カトゥコティ（サンスクリット語）と呼ばれる分析を考案しました。これは、命題Pの4つの可能性のそれぞれを体系的に検討し、拒否する「四隅の」議論システムです。

1. P ; つまり、存在。
2. Pではない 、つまり存在しない。

3. 

   Pであり、 かつ Pではない。つまり、存在であり、かつ存在しない。
4. ない（Pまたは Pではない）、つまり、存在も非存在もしない。
   命題論理では、ド・モルガンの法則によれば、このケースは 3 番目のケース ( PかつPでない ) と同等であり、したがって不要となり、実際に考慮すべきケースは 3 つだけになります。

しかし、ディグナーガ（紀元480年頃～540年）は形式的な三段論法を開発したと言われることもあり、^[15]仏教論理学は彼とその後継者であるダルマキールティによって最高潮に達した。彼らの分析が実際に形式的な三段論法体系を構成しているかどうかは議論の余地がある。特に、彼らの分析は推論を正当化する関係「ヴィヤプティ」の定義、つまり不変の同時性または浸透性の定義に集中していた。^[16]この目的のために、「アポハ」または差別化として知られる教義が開発された。^[17]これには、定義特性の包含と排除と呼ばれるものが含まれていた。

ディグナーガの有名な「推論の輪」（ヘトゥチャクラ）は、あるもの（煙など）が別のもの（火など）の不変の兆候としてとらえられるかどうかを示す方法であるが、その推論は往々にして帰納的であり、過去の観察に基づいている。マティラルは、ディグナーガの分析は帰納的であるジョン・スチュアート・ミルの一致と相違の共同方法によく似ていると述べている。^[18]

中国では、孔子と同時代の人物である墨子（「墨先生」）が墨学派の創始者とされており、墨学派の規範は、有効な推論と正しい結論の条件に関する問題を扱っていた。特に、墨学派から派生した学派の 1 つである論理学者は、形式論理学の初期の調査で功績があると一部の学者に認められている。その後の秦王朝における法家による厳しい統治のため、この研究分野は、仏教徒によるインド哲学の導入まで中国では姿を消した。

有効な推論は人類の歴史のあらゆる時期に用いられてきた。しかし、論理学は有効な推論、推論、および証明の原理を研究する。結論を証明するという考えは、おそらく、もともと「土地の測定」と同じ意味であった幾何学に関連して最初に生まれた。 ^[19]古代エジプト人は、切頂ピラミッドの体積の公式を含む幾何学を発見した。^[20]古代バビロニア人も数学に長けていた。紀元前11世紀のエサギルキンアプリの医学診断ハンドブックは、一連の論理的な公理と仮定に基づいていた。^[21]一方、紀元前8世紀と7世紀のバビロニアの天文学者は、予測惑星システム内で内部論理を採用し、科学哲学への重要な貢献を果たした。^[22]

古代エジプト人が経験的に幾何学のいくつかの真理を発見したのに対し、古代ギリシャ人の偉大な功績は経験的手法を実証的証明に置き換えたことでした。ソクラテス以前の哲学者であるタレスとピタゴラスはどちらも幾何学的手法を認識していたようです。

初期の証明の断片はプラトンとアリストテレスの著作の中に保存されており^[23]、演繹体系の考え方はおそらくピタゴラス学派とプラトンアカデミーで知られていた。^[20]アレクサンドリアのユークリッドの証明はギリシャ幾何学の典型である。幾何学の3つの基本原理は以下のとおりである。

• 特定の命題は、証明なしに真実として受け入れられなければなりません。そのような命題は幾何学の公理として知られています。
• 幾何学の公理ではないすべての命題は、幾何学の公理から導かれるものとして証明されなければなりません。このような証明は、命題の証明または「導出」として知られています。
• 証明は形式的でなければならない。つまり、命題の導出は問題となっている特定の主題から独立していなければならない。^[20]

古代ギリシャの思想家たちが推論の原理に関心を持っていたことを示すさらなる証拠は、おそらく紀元前4世紀初頭に書かれた「ディッソイ・ロゴイ」^{と呼ばれる断片に見られる。これは真実と虚偽についての長引く論争の一部である。 [24]}古代ギリシャの都市国家の場合、弁論家やソフィストの活動によっても議論への関心が刺激され、彼らは法的および政治的な文脈の両方で論点を擁護または攻撃するために議論を使用した。^[25]

ギリシア神話における最初の哲学者として最も広く知られているタレスは、ピラミッドの高さを影で測ったと言われている。 ^{[26] [27]}彼は自分の影が自分の身長と同じになった瞬間にピラミッドの高さを測った。タレスは、ピタゴラスがピタゴラスの定理を発見したのと同じように、タレスの定理を発見したことを祝って犠牲を捧げたと言われている。^[28]

タレスは、演繹的推論を幾何学に応用し、定理の4つの系を導き出した最初の人物として知られ、数学的発見の功績が認められた最初の人物としても知られている。 ^[29] インドとバビロニアの数学者は、タレスが証明する前から、特殊なケースについてはその定理を知っていました。^{[30]タレスは}バビロンへの旅の途中で、半円に内接する角度が直角であることを学んだと考えられています。^[31]

紀元前520年より前、エジプトかギリシャを訪れた際に、ピタゴラスは54歳ほど年上のタレスに会った可能性がある。^[32]証明の体系的な研究は、紀元前6世紀後半のピタゴラス学派（ピタゴラス派）から始まったようだ。^[20]実際、すべてのものは数であると信じていたピタゴラス派は、物質よりも形を重視した最初の哲学者である。^[33]

ヘラクレイトス（紀元前535年頃-紀元前475年頃）の著作は、古代ギリシャ哲学においてロゴスという^{言葉が特別な注目を集めた最初の箇所である。 [34]}ヘラクレイトスは、万物は変化し、すべては火であり、対立する相反するもので、このロゴスによってのみ統一されていると考えた。彼は難解な格言で知られている。

このロゴスは常に成り立つが、人間はそれを聞く前も、初めて聞いた後も、常にそれを理解することができない。というのは、すべてのものはこのロゴスに従って存在するが、人間は私が述べたような言葉や行為を経験するとき、未熟な者のようであり、それぞれをその性質に従って区別し、それがどうであるかを言う。しかし他の人々は、眠っている間に何をしたかを忘れるのと同じように、目覚めているときに何をしたかに気づかない。

— ディールス・クランツ、22B1

ヘラクレイトスとは対照的に、パルメニデスは、すべては一つであり、何も変わらないと主張した。彼は、一（数）が多数を生み出すという考えに反対し、異論を唱えたピタゴラス派だったのかもしれない。^[35]「X は存在しない」は、常に偽りであるか、無意味である。存在するものは、決して存在しないことはできない。生成と破壊に気づく私たちの感覚知覚は、重大な誤りである。パルメニデスは、感覚知覚の代わりに、真理への手段としてのロゴスを提唱した。彼は論理の発見者と呼ばれている。^{[36] [37]}

なぜなら、存在しないものというこの見解は、決​​して優位に立つことはできないからです。あなたは、この探求の方法から思考を遠ざけなければなりません。また、さまざまな日常の経験によって、この方法、つまり、目は見えず、耳は音に満ち、舌は支配するという方法に強制されてはいけません。しかし、あなたは、私が解説する、論争の多い証明を、理性（ロゴス）によって判断しなければなりません。

—  B 7.1–8.2

パルメニデスの弟子であったエレアのゼノンは、証明方法に見られる標準的な議論のパターンを、不合理な帰結として考えていた。これは、仮定から明らかに誤った（つまり「不合理な」）結論を導き出し、その仮定が誤りであることを示す手法である。^[38]したがって、ゼノンと彼の師は論理の術を適用した最初の人物と見なされている。^[39]プラトンの対話篇『パルメニデス』では、ゼノンが、多元性があると仮定することの不合理な帰結を示すことでパルメニデスの一元論を擁護する本を書いたと主張しているように描かれている。ゼノンは、運動に反対する議論の中で、この方法を使ってパラドックスを展開したことで有名である。このような弁証法的な推論は、後に人気を博した。この学派のメンバーは「弁証家」（ギリシャ語で「議論する」を意味する）と呼ばれた。

幾何学を知ら​​ない者はここに立ち入ってはいけません。

— プラトンのアカデミーの入り口に刻まれている。

4世紀の偉大な哲学者プラトン（紀元前428-347年）の現存する著作には形式論理学は含まれていませんが、^[40]哲学的論理学の分野への重要な貢献が含まれています。プラトンは3つの疑問を提起しています。

• 正しく真実または偽りと呼べるものは何でしょうか?
• 有効な議論の前提とその結論との間のつながりの性質は何ですか?
• 定義の性質は何ですか?

最初の疑問は対話篇『テアイテトス』で生じ、プラトンは思考や意見を会話や談話（ロゴス）と同一視している。^{[41] 2番目の疑問はプラトンの}イデア論の結果である。イデアは通常の意味での事物ではなく、厳密に言えば心の中の観念でも​​なく、後に哲学者が普遍と呼んだもの、すなわち同じ名前を持つ事物の集合それぞれに共通する抽象的な実体に対応する。プラトンは『国家』と『ソフィスト』の両方で、有効な議論の前提とその結論との間の必然的な関係は、「イデア」間の必然的な関係に対応すると示唆している。^[42] 3番目の疑問は定義に関するものである。プラトンの対話篇の多くは、重要な概念（正義、真実、善）の定義の探求に関するものであり、プラトンは数学における定義の重要性に感銘を受けていた可能性が高い。^[43]すべての定義の根底にあるのはプラトンのイデア、つまりさまざまな特定の事物に存在する共通の性質である。このように、定義は理解の究極の対象を反映し、すべての有効な推論の基礎となります。これはプラトンの弟子アリストテレス、特にアリストテレスの物事の本質の概念に大きな影響を与えました。 ^[44]

アリストテレスの論理学、特に三段論法は、西洋思想に多大な影響を与えてきた。^{[45]アリストテレスは、}論理的統語論、名詞（または項）、動詞の体系的な分析を試みた最初の論理学者である。彼は、議論の根底にある論理形式を示すために変数を使用することで推論の原理を実証した点で、最初の形式論理学者であった。 ^[46]彼は必然的推論を特徴付ける依存関係を探し、これらの関係の妥当性を前提の真実性と区別した。彼は、体系的に背理法と排中律の原理を扱った最初の人物であった。 ^[47]

彼の論理学の著作『オルガノン』は、現代に伝わる最も古い正式な論理学の研究である。日付を特定することは難しいが、アリストテレスの論理学の著作の執筆順序はおそらく次の通りである。

• カテゴリー、10種類の原始用語の研究。
• 弁証法についての議論である「トピックス」 （ 「詭弁的反論について」という付録付き
• 解釈について、単純な定言命題を単純な用語、否定、量の記号に分析します。
• 事前分析学、三段論法（アリストテレスによれば有効な議論）を構成する要素の正式な分析
• 『後分析学』は、アリストテレスの論理学に関する成熟した見解を含む科学的証明の研究です。

これらの著作は論理学の歴史において極めて重要なものです。『範疇』において、彼は用語が指し示す可能性のあるすべての事柄を識別しようと試みました。この考えは彼の哲学著作『形而上学』の基盤となっており、それ自体が西洋思想に大きな影響を与えました。

彼はまた、非形式論理（すなわち誤謬理論）の理論を展開し、それは『トピックスと詭弁的反駁』で紹介されている。^[47]

『解釈について』には、対立と転換の概念に関する包括的な説明が含まれています。第 7 章では、対立の正方形(または論理正方形) の起源について説明されています。第 9 章では、様相論理の始まりについて説明しています。

『分析学の先例』には「三段論法」の解説が含まれており、変数の使用、純粋に形式的な処理、公理系の使用という 3 つの重要な原則が歴史上初めて適用されています。

ギリシャ論理学のもう一つの偉大な学派はストア派である。^{[48]ストア派論理学は、}ソクラテスの弟子でプラトンより少し年上の同時代人であった紀元前5世紀後半の哲学者メガラのエウクレイデスにその起源を遡ることができ、パルメニデスやゼノンの伝統を受け継いでいたと考えられる。彼の弟子や後継者は「メガラ派」または「エリスティックス派」と呼ばれ、後に「弁証法学者」と呼ばれるようになった。メガラ派の最も重要な2人の弁証法学者は、紀元前4世紀後半に活躍した ディオドロス・クロノスとフィロンである。

ストア派はメガラ論理学を採用し体系化した。この学派の最も重要な人物は第3代学長で、ストア派の教義の多くを形式化したクリュシッポス（紀元前278年頃 - 紀元前206年頃）である。彼は700以上の著作を書いたとされ、そのうち少なくとも300は論理学に関するものだが、現存するものはほとんどない。^{[49] [50]}アリストテレスとは異なり、メガラ派や初期ストア派の完全な著作はなく、主に後代の情報源による（時には敵対的な）記述に頼らざるを得ない。その代表的なものとしては、ディオゲネス・ラエルティオス、セクストゥス・エンピリクス、ガレノス、アウルス・ゲッリウス、アレクサンドロス・アフロディシアス、キケロが挙げられる。^[51]

ストア派の3つの重要な貢献は、(i)様相の説明、(ii)質料条件の理論、(iii)意味と真実の説明である。^[52]

• 様相。アリストテレスによれば、当時のメガラ派は潜在性と現実性の区別はないと主張した。^[53]ディオドロス・クロノスは、可能とは現在または将来起こるもの、不可能とは現在ではないもの、偶然とはすでに偽であるか将来偽であるものと定義した。^{[54]ディオドロスは、}マスター論証として知られるもので有名で、以下の3つの命題の各ペアは3番目の命題と矛盾すると述べています。

• 過去にあったことはすべて真実であり、必要なものです。
• 不可能なことは可能なことからは生じない。
• 存在しないものも、存在し得ないものも、可能である。

ディオドロスは最初の2つの妥当性を利用して、真実でもなく将来も真実でなければ何も不可能であることを証明した。^[55]対照的に、クリュシッポスは2番目の前提を否定し、不可能は可能なことから生じる可能性があると述べた。^[56]

• 条件文。条件文について議論した最初の論理学者は、ディオドロスと彼の弟子メガラのフィロンでした。セクストゥス・エンピリコスは、ディオドロスとフィロンの議論を3回言及しています。フィロンは、条件文が真の前提と偽の帰結の両方を持たない限り、条件文は真であるとみなしました。正確には、T ₀とT _{1 を}真の文とし、F ₀とF _{1 を}偽の文とします。すると、フィロンによれば、次の各条件文は真の文です。な​​ぜなら、帰結が偽で、前提が真であるということはあり得ないからです (偽の文が真の文から続くと主張されるということはあり得ません)。

• T ₀ならばT ₁​
• F ₀ならばT ₀​
• F ₀ならばF ₁​

次の条件文はこの要件を満たしていないため、フィロによれば誤った記述となります。

• T ₀ならF ₀​

実際、セクストスは「[フィロン]によれば、条件文が真となる方法は3つあり、偽となる方法は1つある」と述べている。^{[57]フィロンの真理の基準は、現在では「もし…ならば」という}真理機能的定義と呼ばれるものであり、現代の論理学で使用されている定義である。

対照的に、ディオドロスは、先行節が決して誤った結論に至らない場合にのみ条件文の有効性を認めた。^{[57] [58] [59]} 1世紀後、ストア派の哲学者クリュシッポスは、フィロンとディオドロスの両者の仮定を攻撃した。

• 意味と真実。メガラ・ストア派の論理とアリストテレス派の論理の最も重要で顕著な違いは、メガラ・ストア派の論理は命題に関係し、用語には関係しないという点であり、したがって現代の命題論理に近い。^[60]ストア派は、雑音である可能性のある発話（ phone ） 、明瞭だが意味のない可能性のあるスピーチ（ lexis ）、意味のある発話である談話（ logos）を区別した。彼らの理論の最も独創的な部分は、文によって表現されるものはレクトンと呼ばれる何か現実のものであるという考えであり、これは現在命題と呼ばれるものに対応する。セクストスは、ストア派によれば、3つのものが結びついている、すなわち意味するもの、意味されるもの、そして対象である、と述べている。たとえば、意味するものはディオンという言葉であり、意味されるものはギリシャ人には理解できるが野蛮人には理解できないものであり、対象はディオン自身である。^[61]

アル＝キンディー、アル＝ファーラビー、イブン・スィーナー、アル＝ガザーリー、アヴェロエスなどのイスラム論理学者の著作は、アリストテレス論理学に基づいており、古代世界の思想を中世西洋に伝える上で重要であった。 ^[62] アル＝ファーラビー（アルファラビー）（873–950）は、未来の偶然性、カテゴリーの数と関係、論理と文法の関係、非アリストテレス的な推論形式などのテーマを論じたアリストテレス論理学者であった。^{[63]アル＝ファーラビーは、}条件付き三段論法と類推推論の理論も考察したが、これらはアリストテレスではなくストア派の論理学の伝統の一部であった。 ^[64]

マイモニデス（1138-1204）は『論理学論』（アラビア語：Maqala Fi-Sinat Al-Mantiq）を著し、その中でアル・ファーラビーを「第2の師」と呼び、第1の師はアリストテレスであると述べた。

イブン・シーナー（アヴィセンナ）（980–1037）は、イスラム世界でアリストテレス論理学に代わって支配的な論理体系となったアヴィセンナ論理学の創始者であり、 ^[65]アルベルトゥス・マグヌスなどの西洋中世の著述家にも重要な影響を与えた。^[66]アヴィセンナは仮説的三段論法^[67]と命題論理について著述したが、これらはいずれもストア派論理学の伝統の一部である。^{[68]彼は、}時間論理と様相論理を含む独自の「時間的に様相化された」三段論法理論を開発した。^[63]彼はまた、科学的方法にとって重要な一致、相違、付随的変化などの帰納的論理も利用した。^{[67]アヴィセンナの考えの一つは、}ウィリアム・オッカムのような西洋の論理学者に特に重要な影響を与えた。意味や概念を表すアヴィセンナの言葉（ma'na）は、スコラ哲学の論理学者によってラテン語のintentioと翻訳された。中世の論理学と認識論では、これは物事を自然に表す心の記号である。^{[69]これはオッカムの}概念主義の発展に決定的であった。普遍的な用語（例えば「人間」）は現実に存在する物を意味するのではなく、現実の多くのものを表す心の記号（intentio in intellectu ）を意味する。オッカムはこの見解を支持するためにアヴィセンナの『形而上学V』の注釈を引用している。 ^[70]

ファフル・アッディーン・アル・ラーズィー（1149年生まれ）は、アリストテレスの「第一の人物」を批判し、ジョン・スチュアート・ミル（1806年 - 1873年）が開発した帰納論理学の体系を予見する、初期の帰納論理学の体系を定式化した。 ^{[71]アル・ラーズィーの著作は、後のイスラム学者によって、}アヴィセンナ後期の論理学に向かうイスラム論理学の新しい方向性を示すものとみなされた。これは、彼の弟子であるアフダラッディーン・アル・クナジー（1249年没）によってさらに詳しく述べられ、彼は概念と同意という主題を中心に展開する論理学の形式を開発した。この伝統に応えて、ナスィルッディーン・アルトゥースィー（1201-1274）は、アヴィセンナの著作に忠実であり続け、その後数世紀にわたってより支配的であったポストアヴィセンナ学派の代替として存在した新アヴィセンナ論理学の伝統を始めました。^[72]

啓蒙主義学派は、シャハブ・アル＝ディーン・スフラワルディー（1155–1191）によって創設され、彼は「決定的必然性」という概念を展開した。これは、すべての様相（必然性、可能性、偶然性、不可能性）を、唯一の必然性へと還元するものである。^[73] イブン・アル＝ナフィース（1213–1288）は、アヴィセンナ論理学に関する本を著した。これは、アヴィセンナの『アル＝イシャラト（兆候）』と『アル＝ヒダヤ（導き）』の注釈であった。^[74] イブン・タイミーヤ（1263–1328）は、『アル＝ラッド・アラ・アル＝マンティキーイン』を著し、その中で、三段論法の有効性ではないものの有用性には反対し^{[75] 、}帰納的推論を支持した。^{[71]イブン・タイミーヤもまた、}三段論法の確実性に反対し、類推を支持した。彼の主張は、帰納法に基づく概念自体は確実ではなく、蓋然性に過ぎず、したがってそのような概念に基づく三段論法は類推に基づく議論と同じくらい確実ではないというものである。彼はさらに、帰納法自体が類推のプロセスに基づいていると主張した。彼の類推的推論のモデルは、法的議論のモデルに基づいていた。^{[76] [77]この類推のモデルは、}ジョン・F・ソワの最近の著作で使用されている。^[77]

15世紀にムハンマド・イブン・ファイド・アッラー・イブン・ムハンマド・アミン・アル・シャルワニによって書かれた『シャルフ・アル・タクミル・フィル・マンティク』は、研究された最後の主要なアラビア語の論理学の著作である。 ^[78]しかし、14世紀から19世紀の間には「何千ページにも及ぶ」論理学の著作が書かれたが、この時期に書かれたテキストのうち歴史家によって研究されたのはほんの一部に過ぎず、そのため、この後の時期に書かれたイスラム論理学の原著についてはほとんど知られていない。^[72]

「中世論理学」（スコラ論理学とも呼ばれる）は、一般的には中世ヨーロッパでおよそ1200年から1600年にかけて発展したアリストテレス論理学の形式を指す。^[1]ストア論理学が定式化されてから数世紀にわたり、古典世界ではそれが支配的な論理体系であった。暗黒時代の後に論理学の研究が再開されたとき、主な情報源はキリスト教哲学者ボエティウスの著作であった。ボエティウスはアリストテレスの論理学の一部には精通していたが、ストア派の著作についてはほとんど知らなかった。^[79] 12世紀まで、西洋で入手可能なアリストテレスの著作は『範疇論』、『解釈について』、およびボエティウスによるポルピュリオスの『イサゴーゲ』（範疇論の注釈）の翻訳だけであった。これらの著作は「古期論理学」（ 『退却の論理学』または『退却の技術』）として知られていた。この伝統における重要な著作は、ピエール・アベラール（1079-1142）の『論理学』である。彼の直接的な影響は小さかったが^{[80] 、}ジョン・オブ・ソールズベリーなどの弟子を通じた影響は大きく、厳密な論理分析を神学に適用する彼の手法は、その後の時代の神学批評の発展の仕方を形作った。^[81]爆発の原理の証明は、偽スコトゥスの原理としても知られ、あらゆる命題が矛盾（その否定を含む）から証明できるという法則であり、12世紀フランスの論理学者ウィリアム・ド・ソワソンによって初めて与えられた。

13世紀初頭までに、アリストテレスの『オルガノン』の残りの作品、すなわち『先分析論』、『後分析論』、『詭弁論解』（総称して『新論理学』）が西洋で発見された。^[82]それまでの論理学の著作は、ほとんどがアリストテレスの著作の言い換えや注釈であった。^[83] 13世紀中ごろから14世紀中ごろにかけては、論理学の重要な発展の時期であり、特に、それ以前のアリストテレスの伝統にほとんど基づかない独自の3つの分野において顕著であった。それは以下の通りである。^[84]

• 仮定の理論。仮定の理論は、述語（たとえば「人間」）が個体の領域（たとえばすべての人間）に及ぶ方法を扱っています。 ^[85]「すべての人間は動物である」という命題では、「人間」という用語は現在存在する人間だけに及ぶ、または「想定」されるのでしょうか、それとも範囲には過去と未来の人間も含まれるのでしょうか。用語は存在しない個体を想定できるのでしょうか。中世学者の中には、この考えが現代の第一階論理学の先駆けであると主張する人もいます。^[86]「仮定の理論は、関連するコピュラティオ（形容詞の記号能力）、アンプリャティオ（指示領域の拡大）、ディストリビューティオの理論とともに、西洋中世論理学の最も独創的な成果の1つを構成しています」。^[87]
• シンカテゴレマタの理論。シンカテゴレマタは論理に必要な用語ですが、カテゴリマティック用語とは異なり、それ自体で意味を示すのではなく、他の単語と「共意味」します。シンカテゴレマタの例には、「and」、「not」、「every」、「if」などがあります。
• 帰結の理論。帰結とは仮定的な条件付きの命題、すなわち「もし…ならば」という語で結ばれた2つの命題である。例えば、「もし人が走るならば、神は存在する」（Si homo currit, Deus est）。^[88]ウィリアム・オッカムの著作『論理学大全』第3巻には、完全に展開された帰結の理論が示されている。そこでオッカムは「物質的」帰結と「形式的」帰結を区別しており、これらはそれぞれ現代の物質的含意と論理的含意にほぼ相当する。同様の説明はジャン・ビュリダンとザクセンのアルベルトによってもなされている。

この伝統における最後の偉大な著作は、ジョン・ポアンソ（1589年 - 1644年、聖トマスの聖ヨハネとして知られる）の『論理学』 、フランシスコ・スアレス（1548年 - 1617年）の『形而上学的論争』、ジョヴァンニ・ジローラモ・サッケリ（1667年 - 1733年）の『論証論理学』である。

伝統的論理学とは、一般に、アントワーヌ・アルノーとピエール・ニコルの『論理学、あるいは思考の技術』(通称ポール・ロワイヤル論理学)に始まる教科書の伝統を指す。^[89] 1662年に出版され、19世紀までアリストテレス以降最も影響力のある論理学の著作であった。^[90]この本は、アリストテレスや中世の項論理学から広く派生した枠組みの中で、緩やかなデカルト主義の教義(例えば、命題は項ではなく観念の組み合わせであるなど)を提示している。1664年から1700年の間に8版が出版され、その後もかなりの影響を及ぼした。^[90]ポール・ロワイヤルは、外延と内包の概念を導入している。ロックが『エセー』で述べている命題の説明は、本質的には『ポール・ロワイヤル』のそれである。「言葉である命題は、肯定文または否定文でまとめられたり分離されたりする、私たちの考えの記号である。したがって、命題は、これらの記号が表すものが一致するか不一致であるかに応じて、これらの記号をまとめたり分離したりすることにある。」^[91]

ダドリー・フェナーは、アリストテレスに対する反動として、ラミスト論理学の普及に貢献した。もうひとつの影響力のあった著作は、1620年に出版されたフランシス・ベーコンの『ノヴム・オルガヌム』である。タイトルは「新しい道具」と訳される。これは、アリストテレスの『オルガノン』として知られる著作への言及である。この著作で、ベーコンはアリストテレスの三段論法を否定し、「ゆっくりと誠実に労苦して物事から情報を収集し、それを理解に導く」代替の手順を支持している。^{[92]この方法は}帰納的推論として知られ、経験的観察から始まり、より低い公理や命題に進む方法である。これらのより低い公理から、より一般的な公理を誘導することができる。たとえば、熱などの現象的性質の原因を見つけるには、3つのリストを作成する必要がある。

• 存在リスト: 熱が見つかるあらゆる状況のリスト。
• 不在リスト: 熱の欠如を除いて、存在リストの少なくとも 1 つの状況に類似するすべての状況のリスト。
• 変動リスト: 熱が変化する可能性があるあらゆる状況のリスト。

そして、熱の形態の性質（または原因）は、存在リストのあらゆる状況に共通し、不在リストのあらゆる状況には欠けており、可変性リストのあらゆる状況で程度によって変化するものとして定義することができます。

教科書的伝統を継承する他の著作としては、アイザック・ワッツの『論理学、あるいは理性の正しい使い方』（1725年）、リチャード・ウェイトリーの『論理学』（1826年）、ジョン・スチュアート・ミルの『論理体系』（1843年）などがある。後者は教科書的伝統を継承する最後の偉大な著作の一つではあるが、論理学の基礎は内省にあるというミルの見解^[93]は、論理学は心理学の一分野として理解するのが最もよいという見解に影響を与え、この見解はその後50年間、特にドイツで論理学の発展を支配した。^[94]

GWF ヘーゲルは、1817 年に『哲学百科事典』第 1 巻として出版された短い著作に彼の広範な『論理学』を凝縮したときに、彼の哲学体系における論理学の重要性を示しました。よく知られているように、 「短い」または「百科事典」論理学では、最も空虚で抽象的なカテゴリー (ヘーゲルは「純粋存在」と「純粋な無」から始めています) から「絶対」、つまりそれ以前のすべてのカテゴリーを含み解決するカテゴリーに至る一連の遷移が提示されています。タイトルにもかかわらず、ヘーゲルの論理学は、実際には有効な推論の科学への貢献ではありません。前提からの有効な推論を通じて概念についての結論を導き出すのではなく、ヘーゲルは、1 つの概念について考えると別の概念について考える必要があることを示そうとしています (「量」の概念なしに「質」の概念を持つことはできないと彼は主張しています)。この衝動は、概念自体の内容からほぼ有機的に生じるため、個人心理学の問題ではないと考えられています。彼の目的は、「絶対」の、つまり合理性そのものの合理的な構造を示すことです。思考が 1 つの概念からその反対の概念へ、そしてさらに別の概念へと進む方法は、ヘーゲル弁証法として知られています。

ヘーゲルの論理学は主流の論理学研究にほとんど影響を与えなかったが、その影響は他の分野でも見られる。

• カール・フォン・プラントルの『アーベントランドの論理』（1855–1867）。^[95]
• FHブラッドリーの『論理学原理』 （1883年）などの英国観念論者の著作。
• カール・マルクスおよびマルクス主義のさまざまな学派における経済、政治、哲学の研究。

ミルとフレーゲの研究の間には半世紀に及ぶ期間があり、その間、論理学は記述科学、推論の構造に関する実証的研究、したがって本質的に心理学の一分野として広く扱われていた。^[96]たとえば、ドイツの心理学者ヴィルヘルム・ヴントは、「心理学的思考法則から論理的思考法則を導き出す」ことについて論じ、「心理学的思考は常により包括的な思考形式である」と強調した。^[97]この見解は、当時のドイツの哲学者の間で広まっていた。

• セオドア・リップスは論理学を「心理学の特定の分野」と表現した。^[98]
• クリストフ・フォン・ジークヴァルトは、論理的必然性は個人が特定の方法で考えなければならないという強迫観念に基づいていると理解した。^[99]
• ベンノ・エルドマンは「論理法則は我々の思考の限界内でのみ成立する」と主張した。^[100]

これがミルの研究後の数年間の論理学の支配的な見解であった。^[101]この心理学的アプローチはゴットロープ・フレーゲによって否定された。また、エドムント・フッサールの『論理学探究』第1巻（1900年）では、このアプローチは「圧倒的」と評されるほどの広範囲かつ破壊的な批判にさらされた。 ^[102]フッサールは、心理学的観察に論理を基礎づけることは、すべての論理的真実が証明されていないことを意味し、懐疑主義と相対主義は避けられない結果であると力強く主張した。

このような批判は、いわゆる「心理主義」を直ちに根絶したわけではない。例えば、アメリカの哲学者ジョサイア・ロイスは、フッサールの批判の力を認めながらも、心理学の進歩は論理学の進歩を伴うであろうこと、またその逆もまた真であることを「疑う余地はない」と主張した。^[103]

14世紀から19世紀初頭にかけての期間は、論理学が衰退し無視された時期であり、論理学の歴史家からは不毛の時代とみなされている。^{[2]論理学の復活は、19世紀半ば、革命期の始まりに起こった。この時期に論理学は厳密で形式主義的な学問へと発展し、その典型は}数学で使用されている証明方法そのものである。この時期の現代の「記号的」または「数学的」論理学の発展は、2000年の論理学の歴史の中で最も意義深く、人類の知的歴史の中で最も重要で注目すべき出来事の1つであると言える。^[4]

現代論理学は、古いアリストテレス論理学や伝統的論理学と多くの点で区別されるが、最も重要なものは以下の通りである。^{[104]現代論理学は基本的に}計算法であり、その動作規則は数学のように記号の意味ではなく、形状によってのみ決定される。多くの論理学者は、数学の「成功」に感銘を受けた。それは、真に数学的な結果について長期にわたる論争がなかったからである。CSピアースは^{[105] 、}ラプラスの定積分の評価における誤りが月の軌道に関する誤りを招き、それが 50 年近く続いたにもかかわらず、その誤りがいったん発見されると、深刻な論争もなく修正されたと指摘した。ピアースはこれを、伝統的論理学、特に形而上学における推論を取り巻く論争や不確実性と対比した。彼は、真に「正確な」論理学は数学的、すなわち「図式的」または「象徴的」な思考に依存すると主張した。 「このような方法に従う者は、一度疑われた後すぐに修正されるものを除き、すべての誤りから逃れることができる」。現代の論理学は「抽象的」というよりは「構成的」でもある。つまり、日常言語（または妥当性に関する心理的直観）から導き出された定理を抽象化して形式化するのではなく、形式的な方法によって定理を構築し、日常言語で解釈を探す。完全に記号的であり、つまり、論理定数（中世の論理学者は「シンカテゴレマタ」と呼んだ）やカテゴリ用語でさえ記号で表現される。

近代論理学の発展は、おおよそ5つの時期に分けられる。^[106]

• ライプニッツから1847 年までの初期の時代。論理計算の概念は、特にライプニッツによって議論され、発展しましたが、学派は形成されず、散発的な試みは放棄されるか、注目されませんでした。
• ブールの解析学からシュレーダーの解説までの代数学の時代。この時代には実践者が増え、発展の継続性も高まりました。
• フレーゲの『概念書』からラッセルとホワイトヘッドの『数学原理』までの論理主義時代。「論理学派」の目的は、すべての数学的・科学的言説の論理を単一の統一体系に統合することであり、すべての数学的真理は論理的であるという基本原理を掲げ、非論理的な用語を一切受け入れなかった。主要な論理学者はフレーゲ、ラッセル、初期のウィトゲンシュタインである。^{[107]この時代は『}プリンキピア』で最高潮に達する。これは、以前の進歩の障害となっていた二律背反の徹底的な調査と解決の試みを含む重要な著作である。
• 1910年から1930年代までのメタ数学の時代。ヒルベルトの有限主義体系とレーヴェンハイムとスコーレムの非有限主義体系におけるメタ論理の発展、ゲーデルとタルスキの著作における論理とメタ論理の融合が見られた。 1931年のゲーデルの不完全性定理は、論理学の歴史における最も偉大な業績の1つである。1930年代後半、ゲーデルは集合論的構成可能性の概念を開発した。
• 第二次世界大戦後の時代、数理論理学はモデル理論、証明理論、計算可能性理論、集合論という相互に関連していながらも別々の4つの研究分野に分岐し、その考え方や手法は哲学に影響を与え始めました。

推論を純粋に機械的なプロセスで表現できるという考え方は、レーモンド・リュイの時代にまで遡る。リュイは、結論を同心円のシステムで導く（いくぶん風変わりな）方法を提案した。オックスフォード計算家たち^{[108]などの論理学者たちの研究は、論理計算 (} calculators ) を言葉で書く代わりに文字を使う方法を生み、この方法は例えば、パウルス・ド・ヴェニスの『大論理学』で使われている。リュイの300年後、イギリスの哲学者で論理学者のトーマス・ホッブスは、すべての論理と推論は加算と減算という数学的な演算に還元できると提唱した。^[109]同じ考えはライプニッツの研究にも見られる。ライプニッツはリュイとホッブスの両者を読んでおり、論理は組合せプロセス、つまり計算によって表現できると主張した。しかし、リュイやホッブスと同様、ライプニッツも詳細で包括的なシステムを開発することができず、このテーマに関する彼の研究は彼の死後かなり経ってから出版された。ライプニッツは、通常の言語は「無数の曖昧さ」にさらされており、単語の形式と構造から生じる推論の誤りを明らかにすることを目的とする微積分には適していないと述べています。^[110]そのため、彼は、複雑な考えを表現するために構成できる基本概念を含む人間の思考のアルファベットを特定し、^{[111]すべての}議論を「数学者の議論と同じくらい具体的で、一目で間違いを見つけることができ、人々の間で議論があるときは、単に「計算しましょう」と言うことができる」微積分推論装置を作成することを提案しました。^[112]

ジェルゴンヌ（1816）は、代数演算は記号の意味を全く知らなくても実行できるため、推論は完全に明確な考えを持っている対象についてである必要はないと述べた。^[113] ボルツァーノは、変数の観点から論理的帰結または「演繹可能性」を定義したとき、現代の証明理論の基本的な考え方を先取りしていた。[ ^114]

したがって、命題、、、、... は、命題、、、、、... から可変部分、、、... に関して演繹可能であると言うのは、、、、を置き換えることで、、、、、 ...のすべてが真となるような観念のクラスすべてが、、、、、... のすべても真となる場合である。場合によっては、慣例に従って、命題、、、、 ...は、、、、、 ...に従う、または、から推論または導き出すことができると言うことにする。命題、、、、、、 ...の前提、、、、、、... を結論と呼ぶことにする。${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O}$

これは現在、意味的妥当性として知られています。

現代論理学は、ブールに始まり、ピアース、ジェヴォンズ、シュレーダー、ベンを含む「代数学派」と呼ばれる学派から始まった。^[115]彼らの目的は、クラス、命題、確率の分野での推論を形式化する計算法を開発することだった。この学派は、1847年に発表されたブールの代表作『論理学の数学的分析』から始まったが、その直接の先駆者はド・モルガン（1847）である。^[116]ブールの体系の基本的な考え方は、代数式を使用して論理関係を表現できるというものである。この考えは、リンカンシャー州リンカーンの私立学校で案内係として働いていた10代のブールに思いついた。^[117]たとえば、xとyをクラスを表すものとし、記号=はクラスが同じメンバーを持つことを示すものとし、xyはxとyのすべてのメンバーのみを含むクラスを表す、などとする。ブールはこれらを選択記号、すなわち考慮する特定のオブジェクトを選択する記号と呼んでいます。^[118]選択記号が使用されている式は選択関数と呼ばれ、メンバーが選択関数である方程式は選択方程式です。^{[119]選択関数の理論とその「発展」は、本質的には}真理関数とそれらの選言標準形における表現という現代のアイデアです。^[118]

ブールの体系は、クラス論理と命題論理の 2 つの解釈を認めている。ブールは、三段論法の主題である「主命題」と命題論理の主題である「副命題」を区別し、異なる「解釈」の下で同じ代数体系が両方を表現できることを示した。主命題の例は、「すべての住民はヨーロッパ人かアジア人のいずれかである」である。副命題の例は、「すべての住民はヨーロッパ人であるか、またはアジア人のいずれかである」である。^[120]これらは現代の述語論理では簡単に区別でき、前者が後者から導かれることを示すことも可能であるが、ブール体系ではこれを表現する方法がないことが大きな欠点である。^[121]

ジョン・ベンは、記号論理学（1881年）で、重なり合う領域の図を使って、命題のクラスや真理条件間のブール関係を表現した。1869年、ジェヴォンズはブールの手法を機械化できることに気づき、「論理マシン」を製作し、翌年王立協会に提出した。 ^[118] 1885年、アラン・マーカンドは、現在も残っているこのマシンの電気版を提案した（ファイアストン図書館の写真）。

ブールの体系の欠陥（存在命題に文字vを使用するなど）はすべて彼の追随者によって修正された。ジェヴォンズは1864年に『純粋論理、すなわち量とは別の質の論理』を出版し、その中で排他的論理和を表す記号を提案し、ブールの体系を大幅に簡素化することを可能にした。^{[122]これはシュレーダーが『}論説』（1890-1905）で定理を並列に並べたときに有効に活用された。ピアース (1880) は、ブール代数のすべての選択関数が、単一の基本的な二項演算、「…でも…でもない」、および「…と…の両方ではない」を使用して表現できることを示しました。^[123]しかし、ピアースの多くの革新と同様に、これはシェファーが1913年に再発見するまで知られていなかったか、気付かれずにいました。 ^[124]ブールの初期の研究には、ピアース (1867)、シュレーダー(1877)、ジェヴォンズ (1890)に由来する論理和の考え方、 ^[125]や、ジェルゴンヌ (1816) によって最初に示唆され、ピアース (1870) によって明確に表現された 包含の概念も欠けています。

ブールの代数体系の成功は、すべての論理が代数的表現が可能でなければならないことを示唆し、関係の論理をそのような形式で表現する試みがあった。その中で最も野心的なものは、シュレーダーの記念碑的な「論理代数講義」(1895年第3巻)であったが、元のアイデアは再びピアースによって先取りされていた。^[126]

ブールがアリストテレスの論理学を揺るぎなく受け入れていたことは、論理学の歴史家ジョン・コーコランが分かりやすい『思考の法則』の入門書で強調している。^{[127]コーコランはまた、} 『事前分析論』と『思考の法則』を逐一比較した著書も書いている。^[128]コーコランによれば、ブールはアリストテレスの論理学を完全に受け入れ、支持していた。ブールの目標は、1) アリストテレスの論理学に方程式を含む数学的基礎を与えること、2) 扱うことのできる問題の範囲を拡張すること (妥当性の評価から方程式の解法まで)、3) 扱える応用範囲を拡大すること (例えば、項が 2 つだけの命題から任意の数の項を持つ命題まで) によって、アリストテレスの論理学を「下にも上にも超える」ことだった。

より具体的には、ブールはアリストテレスの言ったことに同意した。ブールの「不一致」 (そう呼べるならば) は、アリストテレスが言わなかったことに関するものである。第一に、基礎の領域では、ブールはアリストテレス論理の 4 つの命題形式を方程式の形の公式に縮小した。これはそれ自体が革命的なアイデアである。第二に、論理の問題の領域では、ブールが論理に方程式の解決を追加したこと (これも革命的なアイデアである) は、アリストテレスの推論規則 (「完全な三段論法」) は方程式の解決規則によって補完されなければならないというブールの教義を伴うものであった。第三に、応用の領域では、ブールのシステムは複数の項を持つ命題と議論を処理できたが、アリストテレスは 2 項の主語と述語を持つ命題と議論しか処理できなかった。たとえば、アリストテレスの体系では、「四角形である正方形は、長方形である菱形ではない」という表現から「正方形である四角形は、長方形である菱形ではない」と推論したり、「長方形である菱形は、正方形である四角形ではない」という表現から「正方形である四角形は、長方形である菱形ではない」と推論したりすることはできませんでした。

ブールの次に大きな進歩を遂げたのは、ドイツの数学者ゴットロープ・フレーゲである。フレーゲの目的は論理主義のプログラム、すなわち算術が論理と同一であることを示すことであった。^[129]フレーゲは、論理に対する厳密で形式的なアプローチにおいて、他のどの先人よりもずっと先へ進み、彼の微積分学、すなわち「Begriffsschrift」は重要である。^{[129]フレーゲはまた、}数の概念が純粋に論理的な手段によって定義できることを示そうとした。したがって、（彼が正しければ）論理には算術と、算術に還元できる数学のすべての分野が含まれる。彼はこれを示唆した最初の著者ではなかった。彼は先駆的な著書『算術の基礎』第15章から第17章で、ライプニッツ、JSミル、ジェヴォンズの功績を認め、ジェヴォンズの「代数は高度に発達した論理であり、数は論理的識別である」という主張を引用している。^[130]

フレーゲの最初の著作である「概念書」は、厳密に公理化された命題論理の体系であり、2つの接続詞（否定と条件）、2つの推論規則（仮定法と代入）、および6つの公理のみに依存している。フレーゲはこの体系の「完全性」に言及したが、これを証明することはできなかった。^[131]しかし、最も重要な革新は、数学的関数の観点から量化子を説明したことである。伝統的な論理学では、「シーザーは人間である」という文は、「すべての人間は死ぬ」という文と基本的に同じ形式であるとみなされている。固有名詞を主語とする文は、その性質において普遍的であり、「すべてのシーザーは人間である」と解釈できると考えられていた。^[132]フレーゲは、最初に伝統的な「主語と述語という概念」を放棄し、それぞれを論証と機能に置き換えた。彼は、これが「時の試練に耐えるだろう。内容を論証の機能と見なすことが概念の形成につながることは容易に理解できる。さらに、もし、そして、ない、または、ある、ある、すべて、などの単語の意味間のつながりの証明は注目に値する」と考えた。^[133]フレーゲは、「すべての人間」という量化表現は「すべての人間」と同じ論理的または意味的形式を持たないと論じ、普遍命題「すべてのAはBである」は、「-はAである」と「-はBである」という2つの機能を含む複雑な命題であり、最初の機能を満たすものは何でも2番目の機能も満たすと主張した。現代の表記法では、これは次のように表現される。

${\displaystyle \forall \;x{\big (}A(x)\rightarrow B(x){\big )}}$

英語では、「すべての x に対して、Ax ならば Bx」です。したがって、特異命題のみが主語述語形式であり、それらは還元不可能な特異性、つまり一般命題に還元できません。対照的に、普遍命題と個別命題は、単純な主語述語形式ではありません。「すべての哺乳類」が「すべての哺乳類は陸生動物である」という文の論理的な主語である場合、文全体を否定するには、述語を否定して「すべての哺乳類は陸生動物ではない」にする必要があります。しかし、そうではありません。^{[134]日常言語文のこの機能分析は、後に哲学と}言語学に大きな影響を与えました。

これは、フレーゲの計算では、ブールの「一次」命題は「二次」命題とは異なる方法で表現できることを意味します。「すべての住民は男性か女性のいずれかである」は

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}I(x)\rightarrow {\big (}M(x)\lor W(x){\big )}{\Big )}}$

「住民全員が男性である、または住民全員が女性である」は

${\displaystyle \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow M(x){\big )}\lor \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow W(x){\big )}}$

フレーゲはブールの計算法を批判して次のように述べています。

「本当の違いは、私が[ブール]の2つの部分に分割することを避け、すべてを均質に表現している点です。ブールでは、2つの部分が互いに並行して存在し、一方が他方の鏡像のようになりますが、まさにその理由から、有機的な関係にはありません。」^[135]

フレーゲの計算は、統一された包括的な論理体系を提供するだけでなく、多重一般性という古くからある問題も解決しました。「すべての女の子が男の子にキスをした」という曖昧さは、従来の論理では表現が難しいですが、フレーゲの論理では、量化子の異なる範囲を通じてこれを解決します。したがって、

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}G(x)\rightarrow \exists \;y{\big (}B(y)\land K(x,y){\big )}{\Big )}}$

つまり、すべての女の子には、その女の子がキスした男の子（誰でもいい）が対応するということです。しかし

${\displaystyle \exists \;x{\Big (}B(x)\land \forall \;y{\big (}G(y)\rightarrow K(y,x){\big )}{\Big )}}$

は、すべての女の子がキスした特定の男の子がいることを意味します。この装置がなければ、論理主義のプロジェクトは疑わしいか不可能だったでしょう。これを使用して、フレーゲは祖先関係、多対一関係、数学的帰納法の定義を提供しました。^[136]

この時期は、デデキント、パッシュ、ペアノ、ヒルベルト、ツェルメロ、ハンチントン、ヴェブレン、ヘイティングなど、いわゆる「数学派」の研究と重なる。彼らの目的は、幾何学、算術、解析学、集合論などの数学の分野の公理化であった。最も有名なのはヒルベルト綱領で、これは数学のすべてを公理の有限集合に根付かせ、「有限論的」手段によってその一貫性を証明し、あらゆる数学的命題の真偽を決定する手順を提供しようとした。自然数の標準的な公理化は、その名を冠してペアノ公理と名付けられている。ペアノは数学記号と論理記号を明確に区別していた。フレーゲの研究を知らなかったが、彼はブールとシュレーダーの研究に基づいて独自に論理装置を作り直した。^[137]

論理主義のプロジェクトは、1901年にバートランド・ラッセルによるパラドックスの発見によって、ほぼ致命的な挫折を経験した。これは、フレーゲの素朴な集合論が矛盾を導くことを証明した。フレーゲの理論には、任意の形式的な基準に対して、その基準を満たすすべてのオブジェクトの集合が存在するという公理が含まれていた。ラッセルは、自分自身のメンバーではない集合だけを含む集合は、その定義と矛盾することを示した（自分自身のメンバーでない場合は、自分自身のメンバーであり、自分自身のメンバーである場合は、そうではない）。^{[138]この矛盾は現在、}ラッセルのパラドックスとして知られている。このパラドックスを解決する重要な方法の1つが、エルンスト・ツェルメロによって提案された。^[139] ツェルメロ集合論は最初の公理的集合論であった。これは、現在では標準的なツェルメロ-フランケル集合論（ZF）に発展した。ラッセルのパラドックスは象徴的に次のようになります。

${\displaystyle {\text{Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, then }}R\in R\iff R\not \in R}$

ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって書かれ、1910年から1913年にかけて出版された、数学の基礎に関する3巻からなる記念碑的な著書『プリンキピア・マテマティカ』にも、複雑な型のシステムによってこのパラドックスを解決しようとする試みが含まれていました。つまり、要素の集合は、その各要素とは異なる型であり (集合は要素ではなく、1つの要素は集合ではない)、「すべての集合の集合」について語ることはできない、というものです。『プリンキピア』は、記号論理学における明確に定義された公理と推論規則の集合から、すべての数学的真理を導き出そうとする試みでした。

ゲーデルとタルスキの名が1930年代に多く見られ、^[140]メタ数学の発展における極めて重要な時期である。メタ数学とは、数学的手法を用いてメタ理論、つまり他の数学理論に関する数学理論を生み出す数学の研究である。メタ数学の初期の調査は、ヒルベルトのプログラムによって推進されていた。メタ数学の研究は、1929年に与えられた一階述語文が演繹可能であるのは、それが論理的に妥当である場合、すなわちその言語のすべての構造において真である場合に限ることを示したゲーデルの研究で最高潮に達した。これはゲーデルの完全性定理として知られている。1年後、ゲーデルは2つの重要な定理を証明し、ヒルベルトのプログラムが元の形では達成不可能であることを示した。1つ目は、アルゴリズムやコンピュータプログラムなどの効果的な手順で定理を列挙できる一貫した公理体系は存在しないというものである。このようなシステムでは、自然数に関して真であるがシステム内では証明できない命題が常に存在する。2 つ目は、そのようなシステムが自然数に関する特定の基本的事実も証明できる場合、そのシステムはシステム自体の無矛盾性を証明できないということである。これら 2 つの結果は、ゲーデルの不完全性定理、または単にゲーデルの定理として知られている。1970 年代後半、ゲーデルは、選択公理と連続体仮説がツェルメロ-フレンケル集合論と無矛盾であることの証明の一環として、集合論的構成可能性の概念を開発した。証明理論では、ゲルハルト・ゲンツェンが自然演繹とシーケント計算を開発した。前者は、実際に「自然に」発生し、直観主義論理に最も簡単に適用できる論理的推論をモデル化しようとするものであり、後者は、あらゆる形式システムにおける論理的証明の導出を明確にするために考案された。ゲンツェンの研究以来、自然演繹とシーケント計算は証明理論、数理論理学、コンピュータサイエンスの分野で広く応用されてきた。ゲンツェンは直観論理と古典論理の正規化定理とカット除去定理も証明しており、これらは論理的証明を正規形に還元するために使用できる。^[141]

ウカシェヴィチの弟子であったアルフレッド・タルスキは、真理と論理的帰結の定義、および論理的充足の意味概念で最もよく知られている。1933年、彼は（ポーランド語で）『形式化された言語における真理の概念』を出版し、真理の意味理論を提唱した。すなわち、「雪は白い」などの文は、雪が白い場合にのみ真である。タルスキの理論は、真理についての陳述を行うメタ言語を、真理が主張されている文を含むオブジェクト言語から分離し、オブジェクト言語の句と解釈の要素との対応関係（ Tスキーマ）を与えた。真理を説明するという難しい考えに対するタルスキのアプローチは、論理学と哲学、特にモデル理論の発展において永続的な影響を与えてきた。^{[142]タルスキはまた、演繹システムの方法論、および}完全性、決定可能性、一貫性、定義可能性などの基本原理に関する重要な研究を行った。アニタ・フェファーマンによれば、タルスキは「20世紀の論理学の様相を変えた」という。^[143]

アロンゾ・チャーチとアラン・チューリングは計算可能性の形式モデルを提案し、それぞれ 1936 年と 1937 年にヒルベルトの停止問題に独立した否定解を与えた。停止問題は、任意の形式的な数学的記述が与えられた場合に、その記述が真であるかどうかをアルゴリズム的に判定する手順を求めるものであった。チャーチとチューリングは、そのような手順は存在しないことを証明した。チューリングの論文では、アルゴリズムによる解決法のない数学的問題の重要な例として停止問題が紹介された。

チャーチの計算システムは現代のλ計算へと発展し、チューリングマシンは汎用計算機の標準モデルとなった。間もなく、提案された他の多くの計算モデルが、チャーチとチューリングが提案したものと同等の能力を持つことが示された。これらの結果から、人間が実行できる決定論的アルゴリズムであれば、チューリングマシンでも実行できるというチャーチ＝チューリングのテーゼが生まれた。チャーチは、ペアノ算術と一階述語論理はどちらも決定不可能であることを示し、さらなる決定不可能性の結果を証明した。その後、1940年代のエミール・ポストとスティーブン・コール・クリーネによる研究により、計算可能性理論の範囲が拡張され、解決不可能性の度合いという概念が導入された。

20 世紀の最初の数十年間の成果は、特に 1950 年代以降、様相論理、時間論理、義務論理、関連性論理などの分野で分析哲学と哲学的論理にも影響を与えました。

第二次世界大戦後、数理論理学はモデル理論、証明理論、計算可能性理論、集合論という4つの相互に関連しているが別々の研究分野に分岐した。^[144]

集合論において、強制法はモデルを構築し独立性の結果を得るための堅牢な方法を提供することで、この分野に革命をもたらした。 ポール・コーエンは1963年にこの方法を導入し、ツェルメロ-フランケル集合論から連続体仮説と選択公理の独立性を証明することに成功した。^[145]導入後すぐに簡略化され拡張された彼の手法は、それ以来、数理論理学のあらゆる分野の他の多くの問題に適用されてきた。

計算可能性理論は、1930年代から40年代のチューリング、チャーチ、クリーネ、ポストの研究に端を発する。これは抽象的な計算可能性の研究へと発展し、再帰理論として知られるようになった。^{[146] 1950年代に}アルバート・ムクニックとリチャード・フリードバーグが独立に発見した優先権法は、解決不可能性の度合いと関連構造の理解を大きく前進させた。高階計算可能性理論の研究では、集合論とのつながりが実証された。構成的解析と計算可能解析の分野は、古典的な数学定理の有効内容を研究するために開発され、これが今度は逆数学のプログラムに影響を与えた。計算可能性理論の別の分野である計算複雑性理論も、記述的複雑性の研究の結果として論理的に特徴付けられるようになった。

モデル理論は、数学的論理の方法を適用して、特定の数学理論のモデルを研究する。アルフレッド・タルスキは、この分野で多くの先駆的な研究を発表した。この分野は、彼が「モデル理論への貢献」というタイトルで発表した一連の論文にちなんで名付けられた。1960年代には、アブラハム・ロビンソンがモデル理論的手法を使用して、ライプニッツによって最初に提案された問題である無限小に基づく計算と解析を開発した。

証明理論では、ゲオルク・クライゼルが発明した実現可能性法やゲーデルの弁証法解釈などのツールを通じて、古典数学と直観主義数学の関係が明らかにされた。この研究は、現代の証明マイニングの分野に影響を与えた。カリー・ハワード対応は、自然演繹のシステムとコンピュータサイエンスで使用される型付きラムダ計算との対応を含め、論理と計算の深い類似性として浮上した。その結果、このクラスの形式システムの研究は、論理的側面と計算的側面の両方を扱うようになり、この研究分野は現代型理論として知られるようになった。順序分析や、パリス・ハリントンの定理などの算術における独立性の結果の研究も進歩した。

特に1950年代以降、数理論理学の考え方が哲学的思考に影響を及ぼし始めた時期でもあった。例えば、時制論理は、時間の観点から限定された命題を表現し、推論するための形式化されたシステムである。哲学者アーサー・プライアーは、 1960年代のその発展に重要な役割を果たした。様相論理は、形式論理の範囲を様相の要素（可能性や必然性など）を含むように拡張する。ソール・クリプキの、特に可能世界に関するアイデアと、現在クリプキ意味論と呼ばれている形式システムは、分析哲学に大きな影響を与えてきた。^[147]彼の最も有名で影響力のある著作は、命名と必然性（1980年）である。^[148] 義務論論理は様相論理と密接に関連しており、義務、許可、および関連概念の論理的特徴を捉えようとするものである。1800年代初頭にボルツァーノによって数学的論理と哲学的論理を融合したいくつかの基本的な新機軸が示されたが、ホワイトヘッドとラッセルの命題計算の統語論に基づいて、最初の形式的な義務論的体系を『ソルレンスの基礎』で提唱したのは、アレクシウス・マイノングの弟子であったエルンスト・マリーであった。

第二次世界大戦後に創設されたもう一つの論理体系は、 1965 年にアゼルバイジャンの数学者ロトフィ・アスケル・ザデーによって考案されたファジー論理です。

• 演繹的推論の歴史
• 帰納的推論の歴史
• アブダクション推論の歴史
• 関数概念の歴史
• 数学の歴史
• 哲学の歴史
• プラトンのひげ
• 数学的論理のタイムライン

一次資料

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