ラマヌジャンのシータ関数

数学、特にq類似理論において、ラマヌジャン シータ関数はヤコビシータ関数の形式を一般化し、その一般的な特性をとらえています。特に、ヤコビの三重積は、ラマヌジャン シータで記述すると非常にエレガントな形式になります。この関数は数学者シュリニヴァーサ ラマヌジャンにちなんで名付けられました。

ラマヌジャンのシータ関数は次のように定義される。

${\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}}$

| ab | < 1の場合、ヤコビの三重積の恒等式は次のようになる。

${\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

ここで、式はq-ポッホハマー記号を表す。このことから導かれる恒等式は以下の通りである。 ${\displaystyle (a;q)_{n}}$

${\displaystyle \varphi (q)=f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={\left(-q;q^{2}\right)_{\infty }^{2}\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }}}$

そして

${\displaystyle \psi (q)=f\left(q,q^{3}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}={\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}}$

そして

${\displaystyle f(-q)=f\left(-q,-q^{2}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {n(3n-1)}{2}}=(q;q)_{\infty }}$

この最後の関数はオイラー関数であり、デデキントのイータ関数と密接に関連しています。ヤコビのシータ関数は、ラマヌジャンのシータ関数を使って次のように表すことができます。

${\displaystyle \vartheta _{00}(w,q)=f\left(qw^{2},qw^{-2}\right)}$

ラマヌジャンのシータ関数の完全な2パラメータ形式については、次の積分表現が成り立つ。^[1]

${\displaystyle f(a,b)=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {2ae^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)}{a^{3}b-2a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)+1}}\right]dt+\int _{0}^{\infty }{\frac {2be^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)}{ab^{3}-2b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)+1}}\right]dt}$

ラマヌジャンのシータ関数の特殊な場合であるφ ( q ):= f ( q , q ) OEIS ^: A000122およびψ ( q ):= f ( q , q3 ) OEIS :A010054 ^[2]には、次のような積分表現もある: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (q)&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4q\left(1-q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log q}}\,t\right)\right)}{q^{4}-2q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log q}}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]\psi (q)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log q}}\,t\right)}{q-2{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log q}}\,t\right)+1}}\right]dt\end{aligned}}}$

これにより、 q  := e ^{− kπ}のとき、これらの関数によって定義される定数のいくつかの特殊な積分が導かれます（シータ関数の明示的な値を参照）。特に、^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-k\pi }\right)&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{k\pi }\left(e^{2k\pi }-\cos \left({\sqrt {2\pi k}}\,t\right)\right)}{e^{4k\pi }-2e^{2k\pi }\cos \left({\sqrt {2\pi k}}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{\pi }\left(e^{2\pi }-\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)\right)}{e^{4\pi }-2e^{2\pi }\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{2\pi }\left(e^{4\pi }-\cos \left(2{\sqrt {\pi }}\,t\right)\right)}{e^{8\pi }-2e^{4\pi }\cos \left(2{\sqrt {\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{2^{\frac {1}{4}}3^{\frac {3}{8}}}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{3\pi }\left(e^{6\pi }-\cos \left({\sqrt {6\pi }}\,t\right)\right)}{e^{12\pi }-2e^{6\pi }\cos \left({\sqrt {6\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{5^{\frac {3}{4}}}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{5\pi }\left(e^{10\pi }-\cos \left({\sqrt {10\pi }}\,t\right)\right)}{e^{20\pi }-2e^{10\pi }\cos \left({\sqrt {10\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi \left(e^{-k\pi }\right)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {k\pi }}\,t\right)-e^{\frac {k\pi }{2}}}{\cos \left({\sqrt {k\pi }}\,t\right)-\cosh {\frac {k\pi }{2}}}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {e^{\frac {\pi }{8}}}{2^{\frac {5}{8}}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\pi }}\,t\right)-e^{\frac {\pi }{2}}}{\cos \left({\sqrt {\pi }}\,t\right)-\cosh {\frac {\pi }{2}}}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {e^{\frac {\pi }{4}}}{2^{\frac {5}{4}}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)-e^{\pi }}{\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)-\cosh \pi }}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}\,e^{\frac {\pi }{16}}}{2^{\frac {7}{16}}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,t\right)-e^{\frac {\pi }{4}}}{\cos \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,t\right)-\cosh {\frac {\pi }{4}}}}\right]dt\end{aligned}}}$

ラマヌジャンのシータ関数は、ボゾン弦理論、超弦理論、M理論における臨界次元を決定するために使用されます。

• ベイリー、WN (1935)。一般化された超幾何級数。ケンブリッジ数学および数理物理学論文集。第32巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。
• ガスパー、ジョージ、ラーマン、ミザン (2004)。基本超幾何級数。数学とその応用百科事典。第 96 巻 (第 2 版)。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83357-4。
• 「ラマヌジャン関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• カク・ミチオ（1994年）。『ハイパースペース：並行宇宙、タイムワープ、そして10次元を巡る科学的探究』オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-286189-1。
• ワイスタイン、エリック W.「ラマヌジャン シータ関数」。マスワールド。