熱帯年

「熱帯」という言葉は、ギリシャ語で「回転」を意味するtropikosに由来します。^{[ 5 ]}つまり、北回帰線と南回帰線は、太陽が真上に来る極北と極南の緯度を示し、太陽が年間の季節運動で「回転」するように見える場所です。熱帯と太陽の見かけ上の位置の季節サイクルとのこの関連性から、「熱帯」という言葉は季節サイクルの期間に用いられるようになりました。古代の中国人、ヒンドゥー教徒、ギリシャ人などは、熱帯年を概算しました。

紀元前2世紀、ヒッパルコスは太陽が春分点から春分点まで移動するのにかかる時間を測定した。彼は1年の長さを365.25 日より1/300日短いと計算した（365 日5 時間55分 12秒、 または365.24667 日）。ヒッパルコスはこの方法を用いたのは、夏至点よりも春分点の時刻をより正確に検出できたからである。^{[ 6 ]}

ヒッパルコスはまた、春分点が黄道面（地球の軌道面、あるいはヒッパルコスが太陽の地球周回軌道面と考えていた面）に沿って太陽の動きとは逆方向に移動することを発見した。この現象は「歳差運動」と呼ばれるようになった。彼はその値を1世紀あたり1°と計算したが、この値は約1000年後にイスラムの天文学者 によって改善されるまで改善されなかった。この発見以来、回帰年と恒星年が区別されるようになった。^{[ 6 ]}

中世からルネサンス期にかけて、太陽、月、惑星の位置を恒星を基準として計算できる、より精度の高い表が次々と出版された。これらの表の重要な応用例の一つが、暦の改革であった。

1252年に出版されたアルフォンソ暦表はプトレマイオスの理論に基づいており、初版の出版後に改訂・更新された。回帰年の長さは365 太陽 日5 時間49 分16 秒（約 365.24255日）とされている。この長さは1582年のグレゴリオ暦 の作成に使用された。^{[ 7 ]}

ウズベキスタンでは、ウルグ・ベグの『ジジ・スルタニ』 が1437年に出版され、365太陽 日5 時間49分 15 秒（365.242535 日）という推定値が示された。 ^{[ 8 ]}

16世紀、コペルニクスは地動説を提唱した。エラスムス・ラインホルトは、1551年にコペルニクスの理論を用いてプルテニック表を作成し、恒星年の長さと歳差運動の推定値に基づいて、回帰年を365 太陽 日5 時間55分 58 秒（365.24720日）とした。しかし、これは実際には、それ以前のアルフォンソ表の値よりも精度が低かった。 

17 世紀にはヨハネス・ケプラーとアイザック・ニュートンによって大きな進歩がもたらされた。1609 年と 1619 年にケプラーは惑星運動の 3 つの法則を発表した。^{[ 9 ]} 1627 年にケプラーはティコ・ブラーエとヴァルテルスの観測を利用して、当時最も正確な表であるルドルフ表を作成した。彼は平均的な回帰年を 365日 5 時間48 分45秒 (365.24219 日) と評価した。^{[ 7 ]}    

ニュートンの力学の3法則と重力理論は、1687年に彼の著書『自然哲学の数学的原理』で発表されました。ニュートンの理論的および数学的な進歩は、1693年と1749年にエドモンド・ハレーによって発表された表に影響を与え^{[ 10 ]} 、 20世紀のアルバート・アインシュタインの一般相対性理論まで、すべての太陽系モデルの基礎となりました。

ヒッパルコスとプトレマイオスの時代から、観測誤差と周期的な変動（惑星の引力と、分点に対する章動のわずかな影響によって引き起こされる）の両方を平均化するために、数年離れた2つの春分点（または2つの夏至点）に基づいて1年が定められました。これらの影響が理解され始めたのはニュートンの時代になってからです。春分点間の時間の短期的な変動をモデル化し（そして、それらが長期的な変動の測定を妨げないようにする）には、精密な観測と太陽の見かけの運動に関する精緻な理論が必要です。必要な理論と数学的ツールは、ピエール＝シモン・ド・ラプラス、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ、その他の天体力学の専門家の研究により18世紀に揃いました。彼らは周期的な変動を計算し、それを緩やかな平均運動から分離することができました。彼らは太陽の平均経度を次のような多項式で表すことができました。

L ₀ = A ₀ + A ₁ T + A ₂ T ²日

ここで、Tはユリウス世紀単位の時間です。この式の導関数は平均角速度を表し、その逆数はTの線形関数として熱帯年の長さを表す式となります。

表には2つの式が示されている。どちらの式も、熱帯年が1世紀ごとに約0.5秒ずつ短くなると推定している。

ニューカムの表は十分に正確であったため、 1983年まで太陽、水星、金星、火星の合同アメリカ・イギリス天文暦で使用されていた^{。[ 12 ]}

平均熱帯年の長さは太陽系のモデルから導き出されるため、太陽系モデルを改善する進歩は、平均熱帯年の精度を向上させる可能性を秘めている。多くの新しい観測機器が利用可能になった。

• 人工衛星
• 1959年に始まったパイオニア4号などの深宇宙探査機の追跡^{[ 13 ]}
• 1961年から他の惑星までの距離を測定できるレーダーが登場した^{[ 14 ]}
• 1969年のアポロ11号が最初のレトロリフレクターを設置して以来、月面レーザー測距は、反射板なしの測定よりも高い精度を実現している。
• LAGEOS（1976年）や全地球測位システム（1993年運用開始）などの人工衛星
• 非常に長い基線を持つ干渉法は、遠方の銀河にあるクエーサーの正確な方向を見つけ、これらの天体に対する地球の向きを決定することを可能にする。これらの天体の距離は非常に大きいため、空間運動は最小限であると考えられる。^{[ 15 ]}

太陽系に使用されるモデルの複雑さは、利用可能な計算設備によって制限されなければならない。1920年代には、パンチカード装置がイギリスのLJコムリーによって使用されるようになった。アメリカの暦では、電磁式計算機であるIBMセレクティブシーケンス電子計算機が1948年から使用されていた。現代のコンピュータが利用可能になると、一般的な理論ではなく数値積分を使用して暦を計算することが可能になり、数値積分は1984年に米英共同暦で使用されるようになった。^{[ 16 ]}

アルバート・アインシュタインの一般相対性理論はより正確な理論を提供したが、理論と観測の精度は、1984年までこの理論による改良を必要としなかった（水星の近日点移動を除く）。時間スケールは1970年代から一般相対性理論を取り入れた。^{[ 17 ]}

長期間にわたる熱帯年の理解における重要な進展は、地球の自転速度、すなわち平均太陽日の長さが一定ではないという発見である。1864年にウィリアム・フェレル、 1865年にシャルル＝ウジェーヌ・ドローネーは、地球の自転が潮汐によって遅れていると予測した。これは、1920年代に非常に精度の高いショート・シンクロノーム時計によって、そして1930年代にクォーツ時計が振り子時計に代わって時間の基準となり始めたときに初めて観測によって検証できた。^{[ 18 ]}

例を検討する前に、分点について考察する必要があります。太陽系の計算には、黄道面（地球の太陽周回軌道）と天の赤道面（地球の赤道を宇宙空間に投影したもの）という2つの重要な平面があります。これら2つの平面は直線で交わります。一方の方向は、いわゆる春分、北向きの春分、または3月の春分を指し、記号♈︎で表されます（この記号は、かつて牡羊座の方向であったため、雄羊の角のように見えます）。反対の方向には、記号♎︎で表されます（かつて天秤座の方向であったため）。分点の歳差運動と章動のため、これらの方向は、遠方の星や銀河の方向とは異なり変化します。遠方の星や銀河の方向は、距離が非常に大きいため、測定可能な動きがありません（国際天体基準系を参照）。

太陽の黄経は、♈︎と太陽の間の角度であり、黄道に沿って東方向に測定されます。これは絶対的な測定値ではなく相対的な測定値になります。なぜなら、太陽が動いているため、角度を測定する方向も動いているからです。遠方の星に対して固定された測定方向があると便利です。 2000年1月1日正午の♈︎の方向がこの役割_{を果たし、} ♈︎0という 記号が与えられます。

 2009 年 3 月 20 日 11 時 44 分 43.6秒に春分がありました 。2010 年 3 月の春分は 3 月 20 日 17 時 33 分 18.1秒で、これにより、 周期、つまり回帰年の期間は 365日 5時間 48分 34.5 秒となります。^{[ 28 ]}太陽が移動すると、♈ ︎は反対方向に移動します。2010 年 3 月の春分で太陽と♈ ︎が出会ったとき、太陽は東に 359°59'09" 移動し、♈ ︎ は西に 51" 移動して、合計 360° 移動しました (すべて♈ ︎ ₀ ^{[ 29 ]}を基準としています)。これが、回帰年が恒星年より 20 分短い理由です。       

数年連続して行われた回帰年の測定値を比較すると、月や惑星が地球に及ぼす摂動や章動による変動が見られます。MeeusとSavoieは、3月の（北向きの）春分と秋分の間隔の例として、次の例を挙げています。^{[ 7 ]}

19世紀初頭までは、数年離れた春分と秋分の日付を比較することで、熱帯年の長さが求められていました。この方法で平均熱帯年が得られました。^{[ 11 ]}

太陽の開始経度を 0° (つまり♈ ︎ ) 以外に設定すると、太陽が同じ経度に戻るまでの時間が異なります。これは、地球の速度 (そして逆に太陽の見かけの速度) が楕円軌道上で変化するという状況の二次的な影響です。近日点では速く、遠日点では遅くなります。春分点は近日点に対して移動し (そして両方とも固定された恒星座標系に対して移動します)。ある春分点通過から次の春分点通過まで、またはある夏至点通過から次の夏至点通過まで、太陽は完全な楕円軌道を一周しません。節約できる時間は、軌道上のどこから開始するかによって異なります。開始点が近日点に近い場合 (12 月の夏至など)、速度は平均よりも速く、見かけの太陽は完全な円を一周する必要がないため、時間の節約はほとんどなく、「回帰年」は比較的長くなります。出発点が遠日点付近にある場合、速度は遅くなり、春分点が歳差運動したのと同じ小さな弧を走る必要がないため、節約できる時間が長くなります。つまり、その熱帯年は比較的短くなります。

「平均熱帯年」は平均太陽に基づいており、春分から秋分、あるいは夏至から冬至までの期間と厳密に一致するものではありません。

春分と夏至の間の時間間隔の以下の値は、0年と 2000年について Meeus と Savoie によって提供されました。 ^{[ 11 ]}これらは、地球の軌道が楕円形であることを考慮して、よく知られた手順 (ケプラー方程式を解くことを含む) を使用して平滑化された値です。これらは、軌道を周回する月の重力や他の惑星からの重力などの要因による周期的な変動を考慮していません。このような摂動は、軌道が円形ではなく楕円形であることから生じる位置の差に比べると小さいです。^{[ 30 ]}

 2000年1月1日の平均熱帯年は365.242 189 7日、つまり365暦日5時間48分45.19秒でした。これはゆっくりと変化します。暦日で熱帯年の長さを計算するのに適した式は次のとおりです。    

${\displaystyle 365.2421896698-6.15359\times 10^{-6}T-7.29\times 10^{-10}T^{2}+2.64\times 10^{-10}T^{3}}$

ここで、Tは2000年1月1日正午（TT）から測定した 86,400SI秒の36,525日のユリウス世紀である。 ^{[ 31 ]}  

現代の天文学者は、太陽の平均経度が 360° 増加するのにかかる時間を熱帯年と定義しています。熱帯年の長さを表す式を見つける手順は、まず太陽の平均経度 ( ♈ ︎に対する) を表す式を見つけることです。例えば、上記のニューカムの式やラスカーの式などです。^{[ 32 ]} 1 年間で見ると、平均経度は地球時間のほぼ線形関数です。熱帯年の長さを求めるには、平均経度を微分して地球時間の関数としての太陽の角速度を求め、この角速度を使用して太陽が 360° 移動するのにかかる時間を計算します。^{[ 11 ] [ 33 ]}

上記の式は、太陽日 ではなく、天文暦日（86,400 SI秒に相当）で表した熱帯年の長さを示しています。暦を季節と同期させるために重要なのは、熱帯年における太陽日数です（下記参照）。