デリバティブ

実変数の関数${\displaystyle f(x)}$ある点で微分可能である${\displaystyle a}$その定義域の、定義域に開区間が含まれる場合、${\displaystyle a}$⁠、そして限界$${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$ 存在する。^{[ 2 ]} これは、すべての正の実数に対して⁠${\displaystyle \varepsilon }$⁠、正の実数が存在する${\displaystyle \delta }$すべての${\displaystyle h}$そのため${\displaystyle |h|<\delta }$そして${\displaystyle h\neq 0}$それから${\displaystyle f(a+h)}$定義され、 $${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}$$ ここで縦棒は絶対値を表します。これは極限の (ε, δ) 定義の一例です。^{[ 3 ]}

関数が${\displaystyle f}$で微分可能である${\displaystyle a}$つまり、制限が${\displaystyle L}$が存在する場合、この極限は の導関数と呼ばれます。${\displaystyle f}$で⁠${\displaystyle a}$導関数には複数の表記法が存在する。 [ ^{4 ]の}導関数は${\displaystyle f}$で${\displaystyle a}$と表記できる${\displaystyle f'(a)}$⁠、次のように読みます " ⁠${\displaystyle f}$の素数​${\displaystyle a}$⁠ "; または、次のように表記することもできます。${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$⁠、 「～の派生形」と読む${\displaystyle f}$に関して${\displaystyle x}$で⁠${\displaystyle a}$⁠ " または " ⁠${\displaystyle df}$⁠によって（またはそれ以上）${\displaystyle dx}$で⁠${\displaystyle a}$⁠ "。下記の§ 表記を参照してください。${\displaystyle f}$定義域内のすべての点で導関数を持つ関数であれば、すべての点をマッピングすることで関数を定義できる。${\displaystyle x}$導関数の値${\displaystyle f}$で⁠${\displaystyle x}$⁠。この関数は次のように記述されます。${\displaystyle f'}$これは導関数または導関数 と呼ばれます。${\displaystyle f}$⁠。その機能${\displaystyle f}$定義域のほとんどの点で導関数を持つが、すべての点で持つわけではない関数。${\displaystyle a}$等しい${\displaystyle f'(a)}$いつでも${\displaystyle f'(a)}$は定義され、それ以外の場所では定義されない。はの導関数とも呼ばれる。${\displaystyle f}$⁠。これは依然として関数ですが、その定義域は⁠の定義域よりも小さい可能性があります。${\displaystyle f}$⁠ . ^{[ 5 ]}

例えば、${\displaystyle f}$二乗関数とする。${\displaystyle f(x)=x^{2}}$⁠。すると、導関数の定義における商は^{[ 6 ]となります。}$${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$ 最後のステップでの除算は、以下の条件を満たす限り有効です。${\displaystyle h\neq 0}$近いほど${\displaystyle h}$は⁠${\displaystyle 0}$⁠、この式が値に近づくほど⁠${\displaystyle 2a}$制限は存在し、すべての入力に対して${\displaystyle a}$制限は${\displaystyle 2a}$したがって、二乗関数の導関数は倍数関数になります。${\displaystyle f'(x)=2x}$⁠ .

導関数の定義における比は、関数のグラフ上の2点を通る直線の傾きである。${\displaystyle f}$⁠、具体的にはポイント${\displaystyle (a,f(a))}$そして​${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$⁠ .${\displaystyle h}$が小さくなると、これらの点は互いに近づき、この直線の傾きは極限値に近づき、グラフの接線の傾きは${\displaystyle f}$で⁠${\displaystyle a}$つまり、導関数は接線の傾きである。 ^{[ 7 ]}

導関数を考える一つの方法${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$関数の出力の微小変化の比率として${\displaystyle f}$入力の微小な変化に対して。^{[ 8 ]}この直観を厳密にするためには、微小量を操作するための規則体系が必要となる。^{[ 9 ]}超実数体系は、無限量と微小量を扱う方法である。超実数は、実数の拡張であり、次の形式のあらゆる数よりも大きい数を含む。${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$任意の有限項数に対して。このような数は無限であり、その逆数は無限小である。超実数を微積分学の基礎に適用することを非標準解析と呼ぶ。これにより、微分や積分などの微積分学の基本概念を無限小を用いて定義する方法が提供され、それによって正確な意味が与えられる。${\displaystyle d}$ライプニッツ記法では、${\displaystyle f(x)}$になる$${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$任意の微小な${\displaystyle dx}$⁠、そこで${\displaystyle \operatorname {st} }$は標準部分関数を表し、各有限超実数を最も近い実数に「丸める」。^{[ 10 ]}二乗関数を取ると${\displaystyle f(x)=x^{2}}$再び例を挙げると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

以下は、最も一般的な基本関数の導関数の規則です。${\displaystyle a}$は実数であり、${\displaystyle e}$自然対数の底は、およそ2.71828である。^{[ 29 ]}

• べき乗の導関数：

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• 指数関数、自然対数関数、および一般底の対数関数：

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$⁠、${\displaystyle a>0}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$⁠、${\displaystyle x>0}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$⁠、${\displaystyle x,a>0}$

• 三角関数：

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• 逆三角関数：

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$⁠、${\displaystyle -1<x<1}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$⁠、${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

以下の規則により、基本関数の導関数から多くの関数の導関数を導き出すことができます。^{[ 30 ]}

• 定数ルール: もし${\displaystyle f}$は定数関数であり、すべての に対して⁠${\displaystyle x}$⁠、

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• 合計ルール：

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$すべての機能について${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$そしてすべての実数${\displaystyle \alpha }$そして​${\displaystyle \beta }$⁠ .

• 製品ルール：

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$すべての機能について${\displaystyle f}$そして​${\displaystyle g}$⁠。特別なケースとして、このルールには次の事実が含まれます。${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$いつでも${\displaystyle \alpha }$定数である理由は${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$一定の法則によって。

• 商の法則：

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ すべての機能について${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$すべての入力において、${\displaystyle g\neq 0}$⁠ .

• 合成関数の連鎖律：もし⁠${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$⁠、それから

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

関数の導関数は${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$は $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$ ここでは、第2項は連鎖律を用いて計算され、第3項は積の法則を用いて計算された。初等関数の既知の導関数は${\displaystyle x^{2}}$⁠、 ⁠${\displaystyle x^{4}}$⁠、 ⁠${\displaystyle \sin(x)}$⁠、 ⁠${\displaystyle \ln(x)}$⁠、そして⁠${\displaystyle \exp(x)}$⁠、定数⁠${\displaystyle 7}$⁠も使用されました。

ベクトル値関数${\displaystyle \mathbf {y} }$実変数の値は、実数をあるベクトル空間内のベクトルに送ります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ベクトル値関数は、その座標関数に分解することができる。${\displaystyle y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)}$つまり、​${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$⁠。これには、例えばパラメトリック曲線が含まれます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$または⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$座標関数は実数値関数なので、上記の導関数の定義が適用されます。${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$は、座標関数の導関数を座標とする接線ベクトルと呼ばれるベクトルとして定義されます。つまり、 ^{[ 38 ]}$${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$$ 極限が存在する場合。分子の減算はベクトルの減算であり、スカラーの減算ではありません。導関数が${\displaystyle \mathbf {y} }$すべての値に対して存在します${\displaystyle t}$⁠、それから${\displaystyle \mathbf {y} '}$は別のベクトル値関数である。^{[ 38 ]}

関数は複数の変数に依存することがあります。多変数関数の偏微分とは、他の変数を一定に保ったまま、それらの変数のうちの1つに関して微分することです。偏微分はベクトル解析や微分幾何学で用いられます。通常の微分と同様に、複数の表記法が存在します。関数の偏微分は、${\displaystyle f(x,y,\dots )}$変数に関して${\displaystyle x}$は、さまざまな形で表記される。

⁠${\displaystyle f_{x}}$⁠、 ⁠${\displaystyle f'_{x}}$⁠、 ⁠${\displaystyle \partial _{x}f}$⁠、 ⁠${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$⁠、または⁠${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$⁠、

他の可能性の中でも。^{[ 39 ]}これは、関数の変化率と考えることができる。${\displaystyle x}$-方向。^{[ 40 ]}ここで、 ∂は偏微分記号と呼ばれる丸みを帯びたdです。文字dと区別するために、∂は「ディー」ではなく「ダー」、「デル」、または「パーシャル」と発音されることがあります。^{[ 41 ]}例えば、⁠${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$⁠、すると関数の偏微分${\displaystyle f}$両方の変数に関して${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$それぞれ次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}$$ 一般に、関数の偏微分は${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$の方向に${\displaystyle x_{i}}$その時点で${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$は次のように定義される：^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$$

これは、複数の実変数関数の研究にとって基本となる。${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$このような実数値関数である。すべての偏導関数が${\displaystyle f}$に関して${\displaystyle x_{j}}$点で定義される${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$これらの偏微分はベクトルを定義します $${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$$ これは勾配と呼ばれます${\displaystyle f}$で⁠${\displaystyle a}$⁠ . もし${\displaystyle f}$ある領域内のすべての点で微分可能であるならば、勾配はベクトル値関数である。${\displaystyle \nabla f}$その地点をマッピングする${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ベクトルへ${\displaystyle \nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})}$⁠。したがって、勾配はベクトル場を決定する。 ^{[ 43 ]}

もし${\displaystyle f}$は上の実数値関数です${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠、次に偏微分${\displaystyle f}$座標軸の方向におけるその変化を測定します。たとえば、${\displaystyle f}$は関数である${\displaystyle x}$そして​${\displaystyle y}$⁠、その偏微分は、${\displaystyle f}$で${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$方向。ただし、それらは変化を直接測定するものではありません。${\displaystyle f}$対角線など、その他の方向へ${\displaystyle y=x}$これらは方向微分を用いて測定されます。ベクトルが与えられた場合、${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$⁠、そして方向微分は${\displaystyle f}$の方向に${\displaystyle \mathbf {v} }$その時点で${\displaystyle \mathbf {x} }$は：^{[ 44 ]}$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

偏導関数がすべて${\displaystyle f}$存在し、連続している${\displaystyle \mathbf {x} }$⁠、次に方向微分を決定します${\displaystyle f}$の方向に${\displaystyle \mathbf {v} }$式: ^{[ 45 ]}$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$$

いつ${\displaystyle f}$は、開集合からの関数である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$へ​${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$⁠、そして方向微分は${\displaystyle f}$選択された方向における最良の線形近似は、${\displaystyle f}$その時点で、その方向に。しかし、${\displaystyle n>1}$⁠、単一の方向微分では、の挙動を完全に把握することはできません。${\displaystyle f}$全微分は、すべての方向を一度に考慮することで、全体像を示します。つまり、任意のベクトルに対して${\displaystyle \mathbf {v} }$開始時⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$⁠、線形近似式が成り立つ： ^{[ 46 ]}$${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$ 単一変数の導関数についても同様です。${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$この近似における誤差が可能な限り小さくなるように が選択されます。 の全微分は${\displaystyle f}$で${\displaystyle \mathbf {a} }$は唯一の線形変換です${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$そのため^{[ 46 ]}$${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$$ ここ${\displaystyle \mathbf {h} }$はのベクトルです${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠、したがって分母のノルムは⁠の標準長さです${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$しかしながら、${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} }$はのベクトルです${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$⁠、分子のノルムは、 ⁠の標準長さです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$⁠ . ^{[ 46 ]}もし${\displaystyle v}$は、から始まるベクトルです。${\displaystyle a}$⁠、それから${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$これはプッシュフォワードと呼ばれています${\displaystyle \mathbf {v} }$による${\displaystyle f}$⁠ . ^{[ 47 ]}

総導関数が にある場合${\displaystyle \mathbf {a} }$⁠、次に、のすべての偏微分と方向微分${\displaystyle f}$存在する⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$⁠、そしてすべてのために⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠、${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$は方向微分である${\displaystyle f}$その方向に${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ . もし${\displaystyle f}$座標関数を用いて記述すると、${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$⁠、すると全導関数は偏導関数を用いて行列として表すことができる。この行列は、のヤコビ行列と呼ばれる。${\displaystyle f}$で${\displaystyle \mathbf {a} }$: ^{[ 48 ]}$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$