表面積

立体の表面積（記号A）は、その立体の表面が占める総面積の尺度です。 ^{[ 1 ]}曲面が存在する場合の表面積の数学的定義は、一次元曲線の弧長や多面体（つまり、平面の多角形の面を持つ物体）の表面積の定義よりもかなり複雑です。多面体の表面積は、その面の面積の合計です。球などの滑らかな表面は、パラメトリック曲面として表現することで表面積が割り当てられます。この表面積の定義は、微積分法に基づいており、偏微分と二重積分を含みます。

20世紀初頭、アンリ・ルベーグとヘルマン・ミンコフスキーは、表面積の一般的な定義を模索した。彼らの研究は、あらゆる次元の不規則な物体の表面積に関する様々な概念を研究する幾何学的測度論の発展につながった。その重要な例の一つが、曲面のミンコフスキー内容である。

多くの単純な曲面の面積は古代から知られていましたが、面積の厳密な数学的定義には細心の注意が必要です。これは関数を提供するはずです。

${\displaystyle S\mapsto A(S)}$

これは、いくつかの自然な要件を満たす特定の種類の曲面に正の実数を割り当てるものです。表面積の最も基本的な性質は加法性です。全体の面積は部分の面積の合計です。より厳密には、曲面Sが、境界以外では重なり合わない有限個の部分S ₁、 ...、S _{r の和集合である場合、}

${\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}$

平面多角形の表面積は、幾何学的に定義された面積と一致しなければなりません。表面積は幾何学的な概念であるため、合同な曲面の面積は同じでなければならず、面積は曲面の形状のみに依存し、空間における位置や向きには依存しません。これは、表面積がユークリッド運動の群の下で不変であることを意味します。これらの性質は、区分的に滑らかな曲面と呼ばれる幅広いクラスの幾何学的曲面の表面積を独自に特徴づけます。このような曲面は、パラメトリック形式で表現できる有限個の部分から構成されます。

${\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}$

連続的に微分可能な関数${\displaystyle {\vec {r}}.}$個々のピースの面積は、次の式で定義されます。

${\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}$

したがって、 SDの面積は法線ベクトルの長さを積分することによって得られる_。${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$パラメトリックuv平面内の適切な領域D上の表面に対して。表面全体の面積は、表面積の加法性を使用して、各部分の面積を合計することによって得られます。この主要な公式は、さまざまなクラスの表面に特化することができ、特に、グラフz = f ( x , y )および回転面の面積の公式が得られます。

曲線の弧長と比較した表面積の微妙な点の1つは、表面積を、与えられた滑らかな表面を近似する多面体形状の面積の極限として単純に定義することはできないということです。ヘルマン・シュワルツは、円柱の場合、平面を近似するさまざまな選択によって面積の極限値が異なる可能性があることを示しました。この例はシュワルツのランタンとして知られています。^{[ 2 ] [ 3 ]}

19世紀後半から20世紀初頭にかけて、アンリ・ルベーグとヘルマン・ミンコフスキーによって、表面積の一般的な定義に対する様々なアプローチが開発されました。区分的に滑らかな曲面には、表面積の自然な概念が一つだけ存在しますが、曲面が非常に不規則であったり粗かったりする場合は、そもそも面積を割り当てることができない場合があります。典型的な例としては、全体に密集して突起が散在する曲面が挙げられます。このような曲面は、フラクタルの研究において数多く見られます。面積の概念を拡張し、その機能を部分的に果たし、非常に不規則な曲面に対しても定義できるような概念は、幾何学的測度論で研究されています。このような拡張の具体的な例として、曲面のミンコフスキー成分が挙げられます。

表面積は化学反応速度論において重要である。物質の表面積が増加すると、一般的に化学反応の速度が増加する。例えば、微粉末状の鉄は燃焼するが、^{固体ブロック状の鉄は構造物に使用できるほど安定している。用途によって、}最小または最大の表面積が望ましい場合がある。

生物の表面積は、体温調節や消化など、いくつかの点で重要です。^{[ 7 ]}動物は歯を使って食物を細かくすりつぶし、消化に利用できる表面積を増やします。^{[ 8 ]}消化管の内壁を覆う上皮組織には微絨毛があり、吸収に利用できる面積が大幅に増加します。 [ ^{9 ]}ゾウは大きな耳を持っており、それによって体温を調節することができます。^{[ 10 ]}他の場合、動物は表面積を最小限に抑える必要があります。^{[ 11 ]例えば}、人は寒いときに腕を胸の前で組んで熱損失を最小限に抑えます^。

細胞の表面積対体積比(SA:V) は、体積が表面積よりもはるかに速く増加するため、内部から細胞膜を介して間質空間または他の細胞に物質が拡散する速度を制限するため、サイズに上限を課します。^{[ 12 ]}実際、細胞を半径rの理想化された球として表すと、体積と表面積はそれぞれV = (4/3) πr ³およびSA = 4 πr ²です。結果として得られる表面積対体積比は3/ rです。したがって、細胞の半径が 1 μm の場合、SA:V 比は 3 ですが、細胞の半径が 10 μm の場合、SA:V 比は 0.3 になります。細胞半径が 100 の場合、SA:V 比は 0.03 です。したがって、表面積は体積の増加とともに急激に減少します。

• 周囲の長さ
• 投影面積
• BET理論、材料の比表面積を測定するための技術
• 球面領域
• 面積分

• Yu.D. Burago、VA Zalgaller、LD Kudryavtsev (2001) [1994]、「面積」、数学百科事典、EMS Press

• Thinkwellの表面積に関するビデオ