微分積分

導関数は、ある点の近傍における関数の最良線形近似の係数として理解することもできます。fがaで微分可能であれば、 aに近いxの値に対して、

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(xa).}$

同様に、Δ x = x − aおよびΔ y = f ( x ) − f ( a )と書くと、 yの変化は次のように近似されます。

${\displaystyle \Delta y\approx f'(a)\Delta x.}$

より正確には、この近似における誤差は Δ x = x − aに比べて小さい。この誤差がどの程度小さいかの有効な推定値を決定することは、近似理論における重要な問題である。

この変化の線形部分は微分と呼ばれます。ライプニッツの記法では次のように書かれます。

${\displaystyle dy=f'(x)\,dx.}$

ここで、dx は入力の小さな変化を表し、dy は出力の変化に対する対応する線形近似を表します。複数の変数の関数の場合、同じ考え方で全微分が得られます。

系１：もし${\displaystyle f}$は開区間上で定義された微分可能な実関数である。${\displaystyle I}$そのため${\displaystyle f'(x)=0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in I}$、 それから${\displaystyle f}$は一定である${\displaystyle I.}$

系２：もし${\displaystyle f}$は開区間上で定義された微分可能な実関数である。${\displaystyle I}$そのため${\displaystyle f'(x)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in I}$、 それから${\displaystyle f}$単調増加​${\displaystyle I}$不等式が厳密になると、${\displaystyle f}$は必然的に厳密に増加する。 の導関数が${\displaystyle f}$0 ÷ 0 以下（または、厳密に 0 ÷ 0 未満）${\displaystyle I.}$

系3：実関数が${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$微分可能であり、開区間上で定義されている${\displaystyle I}$、 そして${\displaystyle f'(x)=g'(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in I}$すると、${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$すべての${\displaystyle x\in I}$、${\displaystyle f(x)=g(x)+c}$同等に、導関数が${\displaystyle f'}$一般的な形式を持つ${\displaystyle x\mapsto f(x)+c}$、 どこ${\displaystyle c\in \mathbb {R} .}$

上記の系は、関数が単一の区間で定義されている場合にのみ成り立つことに注意することが重要です。非区間上の関数にこれらを適用するのはよくある間違いです。たとえば、${\displaystyle f:(-\infty ,0)\cup (0,\infty )\to \mathbb {R} }$は、${\displaystyle f'(x)=1/x}$すべての非ゼロ実数に対して${\displaystyle x}$関数の一般形を記述するのは誤りです${\displaystyle f}$として： ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {ln} (|x|)+c,{\text{ただし}}c\in \mathbb {R} ,}$ 実際には、一般的な形式は次のとおりです。 ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {ln} (|x|)+c_{1}{\text{ for }}x<0;x\mapsto \operatorname {ln} (|x|)+c_{2}{\text{ for }}x>0;{\text{ where }}c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} .}$

一般に、高次元の場合も含め、連結部分集合上で定義された実関数に対して、第１および第３の系が成り立つ。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

多くの実際的な問題では、複数の量が共通の変数（多くの場合、時間）に依存します。これらの量が方程式で関連付けられている場合、その方程式を微分することで、量の変化率の関係式を得ることができます。このような問題は、連鎖律の応用例です。

微分積分の用途の一つは、関数の最大値と最小値を求めることです。フェルマーの定理によれば、微分可能な関数の内部最大値または最小値は、導関数がゼロとなる点でのみ発生します。これらの点と、端点および導関数が定義されない点を合わせると、極値の主な（そして通常は唯一の）候補が得られます。これらの候補を数値的に比較することで、最大値と最小値を選択し、全体の極値を求めることができます。

さらに、局所最大値と局所最小値を区別するためのテストを行うと良いでしょう。一次導関数テストでは、臨界点の両側の導関数の符号を用い、二次導関数テストでは、二次導関数の符号を用います。これらの方法は、曲線描画、初等的な最適化問題、および数理モデリングに用いられます。

複数の変数の場合、同様の手法として勾配とヘッセ行列が用いられます。スカラー値関数の臨界点は勾配がゼロになる点で発生し、ヘッセ行列の固有値を用いることで、その臨界点を局所最大値、局所最小値、または鞍点として分類できる場合が多くあります。

最適化問題の一例として、曲面上の2点間の最短曲線を求める問題があります。ただし、曲線は曲面上にある必要があります。曲面が平面であれば、最短曲線は直線になります。しかし、曲面が例えば卵形の場合、最短経路はすぐには分かりません。このような経路は測地線と呼ばれ、変分法の最も基本的な問題の一つが測地線を求めることです。もう一つの例は、空間内の閉曲線を埋める最小面積の曲面を求める問題です。この曲面は極小曲面と呼ばれ、これも変分法を用いて求めることができます。

微積分は物理学において極めて重要です。多くの物理過程は、微分を含む方程式、すなわち微分方程式によって記述されます。物理学は特に、量が時間とともにどのように変化し発展するかに関心があり、時間微分（時間に対する変化率）の概念は、いくつかの重要な概念を正確に定義するために不可欠です。特に、物体の位置の時間微分は、ニュートン力学において重要です。

• 速度とは、物体の変位（元の位置からの距離）の時間微分である。
• 加速度とは、物体の速度の時間微分、すなわち物体の位置の時間に関する2階微分である。

例えば、線上のオブジェクトの位置が次のように与えられる場合

${\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}$

すると物体の速度は

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}$

そして物体の加速度は

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!}$

これは定数である。

微分方程式とは、関数の集合とその導関数との間の関係を表すものです。常微分方程式は、1つの変数の関数とその変数に関する導関数との関係を表す微分方程式です。偏微分方程式は、複数の変数の関数とその偏導関数との関係を表す微分方程式です。微分方程式は、物理科学、数理モデル、そして数学そのものにおいて自然に現れます。例えば、加速度と力の関係を表すニュートンの第二法則は、常微分方程式として表すことができます。

${\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

直線状の棒を通して熱がどのように拡散するかを記述する、1つの空間変数での熱方程式は、偏微分方程式である。

$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

ここで、u ( x , t )は位置x、時刻tにおける棒の温度であり、αは棒を通して熱が拡散する速度に依存する定数である。

円などの自然な幾何学的形状は、関数のグラフとして描くことができません。たとえば、f ( x , y ) = x ² + y ² − 1の場合、円はf ( x , y ) = 0 となるすべてのペア ( x , y ) の集合です。この集合は f の零集合と呼ばれ、放物面である f のグラフとは異なります。陰関数定理は、f ( x , y ) = 0のような関係を関数に変換します。この定理は、 fが連続的に微分可能であれば、ほとんどの点の周りで、f の零集合は関数のグラフを貼り合わせたように見えると述べています。これが成り立たない点は、fの導関数の条件によって決まります。たとえば、円は、2 つの関数± √ 1 - x ²のグラフを貼り合わせることができます。円周上の点（−1, 0）と（1, 0）を除くすべての点の近傍において、これら2つの関数のうちの1つは、円に似たグラフを持つ。（これらの2つの関数は偶然にも（−1, 0）と（1, 0）と交わるが、これは陰関数定理によって保証されるものではない。）

陰関数定理は逆関数定理と密接に関連しており、逆関数定理は、関数が可逆関数のグラフを貼り合わせたように見える場合について述べています。

• Berggren, JL (1990). 「シャラフ・アルディン・アルトゥースィーのムアダラートにおける革新と伝統」。アメリカ東洋学会誌。110 (2 ) : 304–309。doi : 10.2307/ 604533。JSTOR 604533。 

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