数学的証明

数学的証明は、数学的な命題に対する演繹的 議論であり、述べられた仮定が結論を論理的に保証することを示す。議論では定理など、以前に確立された他の命題が使用される場合があるが、すべての証明は、原則として、公理^{[2] [3] [4]}と呼ばれる特定の基本的または独自の仮定と、受け入れられた推論規則のみを使用して構築できる。証明は、論理的確実性を確立する徹底的な演繹的推論の例であり、「合理的な期待」を確立する経験的議論または非徹底的な帰納的推論とは区別される。命題が成り立つ多くのケースを提示するだけでは証明には不十分であり、証明では、すべての可能なケースで命題が真であることを実証する必要がある。証明されていないが真であると信じられている命題は推測、またはさらなる数学的研究の仮定として頻繁に使用される場合は仮説と呼ばれる。

証明には、数学記号で表現される論理と、通常は多少の曖昧さが認められる自然言語が用いられる。ほとんどの数学文献では、証明は厳密な 非形式論理で書かれている。証明理論では、自然言語を介さずに完全に記号言語で書かれた純粋に形式的な証明が考慮される。形式的証明と非形式的証明の区別は、現在および過去の数学的実践、数学における準経験主義、いわゆるフォーク数学、主流の数学コミュニティまたは他の文化における口承の伝統に関する多くの調査につながっている。数学の哲学は、証明における言語と論理の役割、および言語としての数学に関係している。

「証明」という言葉はラテン語のprobare（テストする）に由来する。関連する現代の言葉には、英語の「probe」、「probation」、「probability」、スペイン語のprobar（嗅ぐ、味わう、または時には触る、テストする）^[5]、イタリア語のprovare（試す）、ドイツ語のprobieren（試す）などがある。法律用語の「probity」は権威や信頼性、名声や地位のある人物が行った証言が事実を証明する力を意味する。^[6]

図や類推などの発見的装置を用いた妥当性の議論は、厳密な数学的証明に先行した。^[7]結論を実証するというアイデアは、土地測定の実際的な問題に端を発する幾何学に関連して最初に生まれた可能性が高い。^[8]数学的証明の発達は、主に古代ギリシャ数学の産物であり、その最大の功績の一つである。^[9] タレス（紀元前624年 - 546年）とキオスのヒポクラテス（紀元前470年頃 - 410年）は、幾何学における定理の最初の証明のいくつかを与えた。エウドクソス（紀元前408年 - 355年）とテアイテトス（紀元前417年 - 369年）は定理を定式化したが、証明はしなかった。アリストテレス（紀元前384年 - 322年）は、定義は定義される概念を既知の他の概念の観点から記述すべきだと述べた。

数学的証明はユークリッド（紀元前300年）によって革命的変化を遂げた。彼は今日でも使われている公理的方法を導入した。それは未定義の項と公理、すなわち自明に真であると想定される未定義の項に関する命題（ギリシャ語の「axios」（価値のあるもの）に由来）から始まる。この基礎から、この方法は演繹論理を使用して定理を証明する。ユークリッドの著書『原論』は、 20世紀半ばまで西洋で教養があるとみなされる人なら誰でも読んでいた。^[10]原論では、ピタゴラスの定理などの幾何学の定理に加えて、2の平方根が無理数であることの証明や、素数が無限に存在することの証明など、数論も扱っている。

中世イスラム数学でもさらなる進歩が遂げられた。10世紀、イラクの数学者アル・ハシミは、数字そのもの（「線」と呼ばれるが、必ずしも幾何学的物体の測定値とはみなされない）を扱い、無理数の存在を含む乗算、除算などに関する代数命題を証明した。^[11]等差数列の帰納的証明は、アル・ファクリ（1000年）でアル・カラジによって導入され、彼はそれを用いて二項定理とパスカルの三角形の性質を証明した。

現代の証明理論では、証明を帰納的に定義されたデータ構造として扱い、公理がいかなる意味でも「真」であるという仮定を必要としません。これにより、公理の代替セットに基づいて、与えられた直感的な概念の形式モデルとして、たとえば公理集合論と非ユークリッド幾何学のような並列数学理論が可能になります。

実践では、証明は自然言語で表現され、聴衆に声明の真実性を納得させることを目的とした厳密な議論です。厳密さの基準は絶対的なものではなく、歴史を通じて変化してきました。証明は、対象とする聴衆に応じて異なる方法で提示できます。証明が受け入れられるには、コミュニティの厳密さの基準を満たす必要があります。曖昧または不完全であると見なされる議論は拒否される可能性があります。

証明の概念は、数理論理学の分野で形式化されています。^[12]形式的な証明は、自然言語ではなく形式言語で書かれています。形式的な証明とは、仮定から始まり、後続の各式が前の式の論理的帰結となる、形式言語での式の並びです。この定義により、証明の概念は研究しやすいものになっています。実際、証明理論の分野では、形式的な証明とその特性が研究されており、最も有名で驚くべきことは、ほとんどすべての公理系が、そのシステム内では証明できない特定の決定不可能なステートメントを生成できるということです。

形式的証明の定義は、数学の実践で書かれた証明の概念を捉えることを意図している。この定義の妥当性は、公開された証明は原理的には形式的証明に変換できるという信念に等しい。しかし、自動証明支援の分野以外では、これは実際にはめったに行われない。哲学における古典的な問題は、数学的証明が分析的か合成的かというものである。分析的証明と合成的証明の区別を導入したカントは、数学的証明は合成的であると信じていたが、クワインは1951年の著書「経験主義の2つの教義」で、そのような区別は支持できないと主張した。^[13]

証明は、その数学的な美しさゆえに賞賛されることがある。数学者ポール・エルデシュは、特に優雅だと感じた証明を、各定理を証明する最も美しい方法を記した仮説上の大著「The Book」から得たものだと説明したことで知られている。2003年に出版された「Proofs from THE BOOK」という本は、編集者が特に満足できると感じた 32 の証明を紹介することに専念している。

直接証明では、結論は公理、定義、および以前の定理を論理的に組み合わせることによって確立されます。^{[14]たとえば、直接証明は、2つの}偶数の 整数の合計が常に偶数であることを証明するために使用できます。

2 つの偶数xとyを考えます。これらは偶数なので、何らかの整数aとbに対して、それぞれx  = 2 a、y  = 2 bと書くことができます。すると、合計はx  +  y  = 2 a  + 2 b  = 2( a + b ) となります。したがって、x + yには 2 が因数として含まれ、定義により偶数になります。したがって、任意の 2 つの偶数の合計は偶数です。

この証明では、偶数の定義、加算と乗算における閉包の整数特性、および分配法則を使用します。

その名前にもかかわらず、数学的帰納法は演繹法であり、帰納的推論の一形態ではありません。数学的帰納法による証明では、単一の「基本ケース」が証明され、任意のケースが次のケースを意味することを確立する「帰納法の規則」が証明されます。原理的には帰納法の規則は繰り返し適用できるため（証明された基本ケースから始めて）、すべての（通常は無限に多い）ケースが証明可能です。^[15]これにより、各ケースを個別に証明する必要がなくなります。数学的帰納法の変形として無限降下法による証明があり、これはたとえば、 2の平方根の無理数を証明するために使用できます。

数学的帰納法による証明の一般的な応用は、ある数に対して成り立つことが知られている性質がすべての自然数に対して成り立つことを証明することで ある：^[16] N = {1, 2, 3, 4, ... }を自然数の集合とし、P ( n )をNに属する自然数nを含む数学的命題とし、

• (i) P (1)は真である、すなわち、P ( n )はn = 1に対して真である。
• (ii) P ( n )が真であればP ( n +1)も真である。つまり、P ( n )が真であればP ( n +1)も真である。
• すると、P ( n )はすべての自然数nに対して真となる。

たとえば、2 n  − 1 の形の正の整数はすべて奇数であることを帰納法で証明できます。P ( n ) が「2 n  − 1は奇数である」を表すとします。

(i) n = 1 のとき、2 n  − 1 = 2(1) − 1 = 1 であり、1 は​​ 2で割ると1余りが残るので奇数である。したがってP (1)は真である。

(ii)任意のnについて、2 n  − 1が奇数 ( P ( n ) ) であれば、(2 n  − 1) + 2も奇数でなければなりません。これは、奇数に2 を加えると奇数になるからです。しかし、 (2 n  − 1) + 2 = 2 n  + 1 = 2( n +1) − 1なので、2( n +1) − 1は奇数 ( P ( n +1) ) です。したがって、P ( n ) はP ( n +1)を意味します。

したがって、すべての正の整数 nに対して、 2 n  − 1 は奇数です。

「数学的帰納法による証明」の代わりに「帰納法による証明」という短い表現がよく使われる。^[17]

対偶による証明は、 論理的に同等な対偶の命題「 qでないならp でない」を確立することによって、「pならばq 」という命題を推論します。

たとえば、対偶は、整数 が与えられたときにが偶数であれば が偶数であることを証明するために使用できます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$

が偶数でないと仮定します。すると は奇数になります。2 つの奇数の積は奇数なので、 は奇数です。したがって は偶数ではありません。したがって、が偶数の場合、仮定は誤りであるため、は偶数でなければなりません。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$

背理法による証明は、ラテン語のreductio ad absurdum (不合理への還元) としても知られ、ある文が真であると仮定すると論理的矛盾が生じ、したがってその文は偽であることが示されます。有名な例としては、無理数の証明があります。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

が有理数だと仮定します。すると、最小の項で と書くことができます。ここで、aとb は、共通因数を持たない非ゼロの整数です。したがって、です。両辺を二乗すると、 2 b ² = a ²となります。左側の式は 2 の整数倍なので、右側の式は定義により 2 で割り切れます。つまり、a ²は偶数であり、これは、上の命題 (#対偶による証明) で見られるように、a も偶数でなければならないことを意味します。したがって、 a = 2 cと書くことができます ( cも整数です)。元の式に代入すると、 2 b 2 = (2 c ) 2 = 4 c 2 となります。両辺^を2で割る^と、b ² = 2 ^c 2と^なります。しかし、前と同じ議論により、 2 はb ²を割り切るので、b は偶数でなければなりません。しかし、aとbが両方とも偶数の場合、共通の因数は 2 になります。これは、 aとb には共通因数が存在しないという前述の説明と矛盾するため、a は無理数であると結論付ける必要があります。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$${\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

言い換えると、 を分数で表すことができる場合、 2 は常に分子と分母から因数分解できるため、この分数は最小の項で表すことはできません。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

構成による証明、または例による証明は、ある特性を持つ何かが存在することを示すために、その特性を持つ具体的な例を構築することです。たとえば、ジョセフ・リウヴィルは、明示的な例を構築することによって超越数の存在を証明しました。また、すべての要素が特定の特性を持っているという命題を反証するための 反例を構築するためにも使用できます。

網羅的証明では、結論を有限個のケースに分割し、それぞれを別々に証明することで結論が確立されます。ケースの数は、非常に大きくなることがあります。たとえば、4色定理の最初の証明は、1,936 個のケースによる網羅的証明でした。この証明は、ケースの大部分が手作業ではなくコンピューター プログラムによってチェックされたため、議論を巻き起こしました。^[18]

閉じた連鎖推論は、一連のステートメントがペアで同等であることを示します。

これらの文がそれぞれ対等であることを証明するために、、、、およびの含意に対する証明が与えられる。^{[19] [20} ]${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}}$${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$${\displaystyle \dots}$${\displaystyle \varphi _{n-1}\Rightarrow \varphi _{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}\Rightarrow \varphi _{1}}$

ステートメントのペアワイズ同値性は、物質的条件の推移性から生じます。

確率的証明とは、確率論の方法を用いて、例が確実に存在することを示す証明です。確率的証明は、構成による証明と同様に、存在定理を証明する多くの方法の 1 つです。

確率的方法では、多数の候補から始めて、特定の特性を持つオブジェクトを探します。各候補が選ばれる確率を割り当て、選ばれた候補が目的の特性を持つ確率がゼロではないことを証明します。どの候補が特性を持つかは指定されませんが、少なくとも 1 つの候補がなければ確率は正になりません。

確率的証明は、定理が「おそらく」正しいという議論、つまり「妥当性議論」と混同してはならない。コラッツ予想に向けた研究は、妥当性が本物の証明からどれほど遠いかを示している。メルテンス予想の反証も同様である。ほとんどの数学者は、与えられた物体の特性に関する確率的証拠が本物の数学的証明であるとは考えていないが、少数の数学者と哲学者は、少なくともいくつかの種類の確率的証拠（素数性をテストするためのラビンの確率的アルゴリズムなど）は本物の数学的証明と同じくらい優れていると主張している。^{[21] [22]}

組み合わせ論的証明は、異なる表現が同じオブジェクトを異なる方法でカウントしていることを示すことによって、異なる表現の等価性を確立します。多くの場合、2 つのセット間の一対一表現は、それらの 2 つのサイズの表現が等しいことを示すために使用されます。または、二重カウントの議論は、単一のセットのサイズに対して 2 つの異なる表現を提供し、これも 2 つの表現が等しいことを示します。

非構成的証明は、ある特性を持つ数学的対象が存在することを証明しますが、そのような対象を見つける方法を説明しません。多くの場合、これは背理法による証明の形を取り、対象の非存在が不可能であることが証明されます。対照的に、構成的証明は、特定の対象が存在することを、それを見つける方法を提供することによって証明します。次の有名な非構成的証明の例は、が有理数であるような無理数 aとbの 2 つが存在することを示しています。この証明では、が無理数であること (簡単な証明はユークリッド以来知られています) を使用していますが、 が無理数であること(これは正しいですが、証明は初等的ではありません) は使用していません。 ${\displaystyle a^{b}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

が有理数ならこれで終わり（ を取る）、または が無理数ならおよび と書くことができます。すると が得られ、これは次の形式の有理数になります。${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$${\displaystyle a^{b}.}$

「統計的証明」という表現は、暗号学、カオス級数、確率数論や解析数論などの純粋数学の分野で専門的または口語的に使用されることがあります。^{[23] [24] [25]}数理統計学として知られる数学の分野における数学的証明を指すためにはあまり一般的ではありません。以下の「データを使用した統計的証明」のセクションも参照してください。

20 世紀までは、原理的にはどんな証明も有能な数学者によってその妥当性を確認できると考えられていた。^[7]しかし、現在ではコンピュータは定理を証明するためだけでなく、人間や人間のチームでは確認できないほど長い計算を実行するためにも使用されている。四色定理の最初の証明はコンピュータ支援による証明の例である。一部の数学者は、コンピュータ プログラムにエラーがある可能性や計算に実行時エラーがある可能性が、そのようなコンピュータ支援による証明の妥当性に疑問を投げかけるのではないかと懸念している。実際には、計算に冗長性と自己チェックを組み込み、複数の独立したアプローチとプログラムを開発することで、エラーによってコンピュータ支援による証明が無効になる可能性を減らすことができる。証明を人間が検証する場合も、特に証明に自然言語が含まれており、潜在的な隠れた仮定や誤りを明らかにするために深い数学的洞察力が必要な場合は、エラーを完全に排除することはできない。

公理の集合から証明も反証もできない命題は、 （それらの公理から）決定不可能であると呼ばれます。 1 つの例は平行線公理で、これはユークリッド幾何学の残りの公理からは証明も反証もできません。

数学者は、数学における集合論の標準体系である選択公理(ZFC) を用いて、ツェルメロ-フランケル集合論には証明も反証もできない命題が多数あることを示しました (ZFC が一貫していると仮定した場合)。「ZFC で決定できない命題の一覧」を参照してください。

ゲーデルの（第一）不完全性定理は、数学的に興味深い多くの公理系が決定不可能なステートメントを持つことを示しています。

クニドスのエウドクソスなどの初期の数学者は証明を使用しなかったが、ユークリッドから19世紀後半から20世紀にかけての基礎数学の発展に至るまで、証明は数学の重要な部分であった。 ^{[26] 1960年代に計算能力が向上すると、}実験数学において、証明-定理の枠組みを超えた数学的対象を調査する重要な研究が行われるようになった。[ ^{27 ] これらの方法の初期の先駆者たちは、最終的に古典的な証明-定理の枠組みに解決することを意図していた。例えば、}フラクタル幾何学の初期の発展^[28]は、最終的にそのように解決された。

正式な証明ではありませんが、数学の定理を視覚的に証明することは、「言葉を使わない証明」と呼ばれることがあります。下の左側の図は、(3,4,5)三角形の場合のピタゴラスの定理の歴史的な視覚的証明の例です。

• 
  紀元前500～200年の周壁算経における（3,4,5）三角形の視覚的証拠。
• 
  ピタゴラスの定理を再配置によって証明するアニメーション化された視覚的証明。
• 
  ピタゴラスの定理の 2 番目のアニメーションによる証明。

正方形が欠けているパズルなどの錯覚的な視覚的証明は、想定される数学的事実を証明しているように見える方法で構築されることがあります。しかし、それは、長さや角度を正確に測定または計算して全体を詳しく調べるまで気付かない小さなエラー（たとえば、実際にはわずかに曲がっていると思われる直線）を無視することによってのみ証明されます。

初等証明とは、基本的な技術のみを使用する証明です。より具体的には、この用語は数論において、複素解析を使用しない証明を指すために使用されます。しばらくの間、素数定理などの特定の定理は、「高等」数学を使用してのみ証明できると考えられていました。しかし、時が経つにつれて、これらの結果の多くは初等的技術のみを使用して証明されました。

2つの平行な列を使用して証明を整理する特定の方法は、米国の初等幾何学の授業で数学の演習としてよく使用されます。 ^[29]証明は2つの列に一連の行として記述されます。各行の左側の列には命題が含まれ、右側の列には左側の列の対応する命題が公理、仮説、または以前の命題から論理的に導き出される方法についての簡単な説明が含まれます。左側の列には通常「ステートメント」という見出しが付けられ、右側の列には通常「理由」という見出しが付けられます。^[30]

「数学的証明」という表現は、日常生活について何かを実証するために、数学的手法を使用したり、数字などの数学的対象を使って議論したりする場合、または議論に使用されるデータが数値である場合に、一般の人が使用します。また、特にデータに基づいて議論する場合、「統計的証明」（下記）を意味するために使用されることもあります。

データからの「統計的証明」とは、統計、データ分析、またはベイズ分析を応用して、データの確率に関する命題を推論することを指します。統計の定理を確立するために数学的証明を使用する場合、確率ステートメントが導き出された仮定を検証するには数学以外の経験的証拠が必要であるという点で、それは通常数学的証明ではありません。物理学では、統計的手法に加えて、「統計的証明」は、素粒子物理学の実験または物理的宇宙論の観測研究でデータを分析するために適用される物理学の特殊な数学的手法を指す場合があります。「統計的証明」は、生データまたは散布図などのデータを含む説得力のある図を指す場合もあります。この場合、データまたは図は、それ以上の分析をしなくても十分に説得力があります。

帰納的論理を用いた証明は、本質的に数学的であると考えられていますが、ある程度の確実性をもって命題を確立しようとします。これは確率と同様に機能し、完全な確実性には満たない場合があります。帰納的論理を数学的帰納法と混同しないでください。

ベイズ分析では、ベイズの定理を使用して、新しい証拠や情報が得られたときに仮説の可能性に関する人の評価を更新します。

心理主義は数学的証明を心理的または精神的な対象とみなす。ライプニッツ、フレーゲ、カルナップなどの数学哲学者はこの見解をさまざまに批判し、思考の言語と彼らが考えるものの意味論を開発しようと試み、それによって数学的証明の基準を経験科学に適用できるようにした。

スピノザのような数学哲学者は、数学的証明基準を一般哲学の議論に適用できるような公理的な方法で哲学的議論を定式化しようと試みた。他の数学哲学者は、経験主義に頼らずに数学的証明と推論の基準を使用して、数学の範囲外で、デカルトのコギト論証のような数学的証明で演繹された命題の確実性を持つ陳述に到達しようとした。

証明の終了を示すために、「QED」という略語が書かれることがあります。この略語は「quod erat demonstrandum」の略で、ラテン語で「証明されるべきもの」を意味します。より一般的な代替手段は、□ や ∎ などの正方形または長方形を使用することです。これらは「墓石」またはポール・ハルモスにちなん で「halmos」と呼ばれています。多くの場合、「示されるべきもの」は、口頭でのプレゼンテーション中に「QED」、「□」、または「∎」と書くときに口頭で述べられます。Unicode は、「証明の終了」文字 U+220E (∎) (220E(16 進数) = 8718(10 進数))を明示的に提供します。

• ポリア、G. (1954)、数学ともっともらしい推論、プリンストン大学出版、hdl : 2027/mdp.39015008206248、ISBN 9780691080055。
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• ウィキメディア・コモンズにおける数学的証明に関連するメディア
• 数学の証明：シンプル、魅力的、そして誤り
• ウィキバーシティのコースにおける証明についてのレッスン