ニコラ・ブルバキ

ニコラ・ブルバキ協力者協会

ニコラ・ブルバキ協力者協会
1938年、デュールフィットでのブルバキ会議。左から、シモーヌ・ヴェイユ、[a] シャルル・ピゾ、アンドレ・ヴェイユ、ジャン・デュドネ（座っている）、クロード・シャボーティ、シャルル・エールズマン、ジャン・デルサルト。[2]
名前の由来	シャルル＝ドニ・ブルバキ
形成	1934年12月10日（最初の非公式会議） 1935年7月10日～17日（最初の公式設立会議）
創設者	アンリ・カルタン クロード・シュヴァレー ジャン・クーロン ジャン・デルサルト ジャン・デュドネ チャールズ・エアーズマン ゾーレム・マンデルブロイト ルネ・ド・ポッセル アンドレ・ヴェイユ
設立年	フランス、パリのカルチェ・ラタン（最初の非公式会議） フランス、 ベッセ・アン・シャンデス（最初の公式な設立会議）
タイプ	任意団体
目的	純粋数学の教科書の出版
本部	高等師範学校、パリ
メンバーシップ	機密
公用語	フランス語
Webサイト	ブルバキ
旧称	分析論文委員会

ニコラ・ブルバキ（フランス語: [nikɔla buʁbaki]）は、主にエコール・ノルマル・シュペリウール（ENS）のフランス人卒業生からなる数学者グループの集合的なペンネームである。1934年から1935年にかけて結成されたブルバキ・グループは、もともと解析学の新しい教科書を作成することを目的としていた。時が経つにつれて、このプロジェクトははるかに野心的なものとなり、ブルバキの名前で出版される現代の純粋数学を扱うことを意図した大規模な教科書シリーズに成長した。このシリーズは、グループの中心的な仕事であるÉléments de mathématique (原論)として総称されている。シリーズで扱われるトピックには、集合論、抽象代数、位相幾何学、解析学、リー群、リー代数などがある。

ブルバキは、第一次世界大戦の影響を受けて設立された。この大戦ではフランスの数学者の世代が亡くなった。その結果、若い大学の教師たちは時代遅れの教科書を使わざるを得なかった。ストラスブール大学で教鞭をとっていたアンリ・カルタンは、同僚のアンドレ・ヴェイユに、利用できる授業教材の不十分さについて不満を述べた。これを受けてヴェイユは、パリで他の人々と会合を開き、共同で現代の解析学の教科書を執筆することを提案した。このグループの中心的な創設者は、カルタン、クロード・シュヴァレー、ジャン・デルサルト、ジャン・デュドネ、ヴェイユである。他のメンバーもグループの初期には短期間参加しており、時間の経過とともにメンバーは徐々に入れ替わっている。元メンバーはグループとの過去の関わりについて公に語っているが、ブルバキでは現在のメンバーを秘密にしておく習慣がある。

グループ名は19世紀のフランスの将軍シャルル＝ドニ・ブルバキに由来する。ブルバキは普仏戦争で劇的な敗北を喫するまで、数々の軍事作戦で成功を収めた経歴を持つ。 ^[3]そのため、この名前は20世紀初頭のフランスの学生には馴染み深いものだった。ヴェイユはENSの学生のいたずらで、ある上級生が教授のふりをして「ブルバキの定理」を発表したことを思い出し、後にこの名前が採用された。

ブルバキグループは、 Élémentsの草稿作成と拡充を目的として、定期的に非公開の会議を開催している。トピックは小委員会に割り当てられ、草稿は議論され、全会一致の合意がなければ出版に適さないと判断される。このプロセスは時間がかかり、労力がかかるが、グループの厳密さと一般性に関する基準を満たす作品が生まれる。グループはまた、グループのメンバーと非メンバーによる定期的な講義シリーズであるSéminaire Bourbakiにも参加しており、これも文書として出版され、配布されている。ブルバキはENSにオフィスを置いている。^[4]

ニコラ・ブルバキは20世紀の数学、特に原論集が頻繁に出版された世紀中盤に影響を与えた。このグループは数学者の間では厳密な表現と、数学的構造という概念を導入したことで知られている。この概念は、より広範で学際的な概念である構造主義に関連する。^{[5] [6] [7]}ブルバキの仕事は、1960年代の初等数学教育のトレンドであった新数学に影響を与えた。このグループは現在も活動を続けているが、原論集の新刊が頻繁に出版されないため、その影響力は低下したと考えられている。しかし、2012年以降、このグループは4巻の新刊（または大幅に改訂された）を出版しており、最新刊は2023年（スペクトル理論を扱っている）である。さらに、少なくともさらに3巻が準備中である。

シャルル＝ドニ・ソーテル・ブルバキはナポレオン3世の時代に活躍した将軍で、クリミア戦争やその他の紛争に従軍した。しかし普仏戦争中、シャルル＝ドニ・ブルバキは大きな敗北を喫し、彼の指揮下にある東軍はスイス国境を越えて撤退し武装解除された。将軍は自殺を図ったが失敗した。彼の敗北の劇的な物語は彼の死後、フランスの民衆の意識に広まった。^{[8] [9]}

20世紀初頭、第一次世界大戦はヨーロッパのあらゆる職業や社会階級に影響を及ぼし、前線で戦い亡くなった数学者や男子学生もその影響を受けた。例えば、フラクタル研究の先駆者であるフランスの数学者ガストン・ジュリアは、戦争中に鼻を失い、残りの人生、顔の患部に革のストラップを着けていた。ENSの学生の死は、フランスの数学コミュニティにおける失われた世代をもたらした。 ^[10] ENSの数学学生（および一般的なフランス人学生）の戦争での死亡割合は、期間（1900年～1918年頃、特に1910年～1916年）と対象人口に応じて、4分の1から半分までと推定されている。^{[11] [12]}さらに、ブルバキの創始者アンドレ・ヴェイユは回想録『数学者の見習い時代』の中で、フランスとドイツは戦時中知識人に対して異なるアプローチを取っていたと述べている。ドイツが若い学生や科学者を保護したのに対し、フランスは平等主義の文化のため、彼らを前線に派遣したのである。^[12]

1920年代にはENSに数学を学ぶ後継世代が入学し、その中にはヴェイユら、後にブルバキの創始者となる者たちもいた。ヴェイユは学生時代、ラウル・フッソン上級生 [fr]が教授のふりをして数学の講義を行い、最後に「ブルバキの定理：次のことを証明してください...」というプロンプトで終わったいたずらを思い出した。ヴェイユはまた、1910年頃に同様のいたずらがあったことも知っていた^[3]。そのときは、学生が架空の貧しい国「ポルデビア」の出身だと主張し、一般の人々に寄付を募っていた。^{[13] [14]ヴェイユは言語と}インド文化に強い関心を持ち、サンスクリット語を学び、バガヴァッド・ギーターを読んでいた。^{[15] [16]} ENSを卒業して博士号を取得した後、ヴェイユはインドのアリーガル・ムスリム大学で教鞭を執った。そこでヴェイユは、同僚の一人と権力闘争を繰り広げていた数学者ダモダール・コサンビと出会った。ヴェイユはコサンビに、同僚に自分の知識を誇示するために、「ブルバキ」という人物に帰属する資料を使った論文を書くよう提案した。 ^[17]コサンビはその提案を受け入れ、論文で議論されている資料は「革命中に毒殺された、あまり知られていないロシアの数学者D. ブルバキ」のものであるとした。これは数学文献において、同名の「ブルバキ」に帰属する資料を使った最初の論文となった。 ^{[18] [19] [20]}ヴェイユのインド滞在は長くは続かなかった。彼はアリーガルの数学科を改革しようとしたが、成功しなかった。^[21]大学当局はヴェイユを解雇し、空席となったポストに同僚のヴィジャヤラガヴァンを昇進させる計画を立てた。しかし、ヴェイユとヴィジャヤラガヴァンはお互いを尊敬し合っていた。ヴィジャヤラガヴァンは、このドラマに何らかの役割を果たす代わりに辞職し、後にその計画をヴェイルに伝えた。^[22]ヴェイルは別の教職を求めてヨーロッパに戻った。彼は最終的にストラスブール大学に就職し、友人であり同僚でもあるアンリ・カルタンと合流した。^[23]

ストラスブールで一緒に過ごした間、ヴェイユとカルタンは微積分学の教材が不十分だと互いに不満を漏らし合っていた。ヴェイユは回想録『見習い時代』の中で、解決策を次のように述べている。「1934年も終わりに近づいたある冬の日、私は同志の絶え間ない尋問に終止符を打つ素晴らしいアイデアを思いついた。しばらくして私は彼にこう言った。『私たちは5、6人の友人で、さまざまな大学で同じ数学のカリキュラムを担当している。みんなで集まって、この問題をきっぱりと整理しよう。そうすれば、私はこれらの疑問から解放されるだろう』。私は、その瞬間にブルバキが生まれたことを知らなかった。」^[23]カルタンもこの話を認めた。^[24]

ブルバキ集団の最初の非公式な会合は、1934年12月10日月曜日の正午、パリのカルチエ・ラタンにあるカフェ・グリルルームA.カプラードで行われた。^{[25] [26] [27] [28] [b]} 6人の数学者が出席した：アンリ・カルタン、クロード・シュヴァレー、ジャン・デルサルト、ジャン・デュドネ、ルネ・ド・ポッセル、アンドレ・ヴェイユ。グループのほとんどはパリ郊外に拠点を置いており、ジュリア・セミナーに出席するためにパリに来ていた。このセミナーはガストン・ジュリアの協力を得て準備された会議で、将来のブルバキのメンバーや仲間が数人発表した。^{[30] [31] [c]}グループは、フランスの大学で微積分学の指導を標準化する目的で、解析に関する論文を共同で執筆することを決議した。このプロジェクトは、グループがひどく時代遅れだと考えたエドゥアール・グルサのテキストに取って代わり、ストークスの定理の扱いを改善することを特に意図していた。^{[27] [35] [36] [37]創設者たちはまた、}ゲッティンゲン学派、特にヒルベルト、ネーター、BLファンデルワールデンの考えを取り入れたいという願望に駆られていた。さらに、第一次世界大戦の余波で、特にドイツとの競争でフランスの数学を衰退から救おうというある種の国家主義的な衝動があった。ディウドネがインタビューで述べたように、「自慢するつもりはないが、フランスの数学を絶滅から救ったのはブルバキだったと言える」。^[38]

ジャン・デルサルトは、提案されたプロジェクトの集団的側面に特に好意的で、そのような作業スタイルは、グループの作品が後から個別に著作権を主張される可能性から保護できると指摘した。^{[35] [39 ] [d]}さまざまなトピックが議論されるにつれて、デルサルトはまた、解析の前提条件となる数学のすべてをゼロから扱い、可能な限り最も抽象的で公理的な用語で作業を開始することを提案した。 ^[41] [42]グループはこのアイデアに同意し、提案された作業のこの基礎部分は「抽象パケット」(Paquet Abstrait) と呼ばれた。^{[43] [44] [45]}作業タイトルが採用され、グループは解析論文委員会と名乗り、提案された作業は解析論文( Traité d'analyse ) と呼ばれた。^{[46] [47]} 1935年7月の最初の公式な設立会議の前に、この集団はA.カプラデで2週間に10回の予備会議を開催した。 ^{[47] [48]}この初期の時期に、ポール・デュブレイユ、ジャン・ルレー、ゾーレム・マンデルブロイトが参加した。デュブレイユとルレーは翌年の夏までに会議を離れ、それぞれジャン・クーロンとシャルル・エールスマンが新しい参加者となった。^{[46] [49]}

グループの公式な設立会議は、1935年7月10日から17日までベッセ＝アン＝シャンデスで開催された。 ^{[50] [51]}公式設立時の会員は、1934年12月10日の最初の昼食会に出席した6名と、クーロン、エールスマン、マンデルブロイトであった。7月16日、メンバーは非生産的な議事進行の退屈さを和らげるために散歩に出かけた。気分が落ち込む中、何人かは近くのパヴァン湖で裸で泳ぐことにし、何度も「ブルバキ！」と叫んだ。 ^[52]最初の公式会議の終わりに、グループは、ヴェイユらが思い出した将軍といたずらにちなんで、自分たちを「ブルバキ」と改名した。^{[45] [e] 1935年、グループはまた、その名前で論文を発表することで、集団のペンネームの数学的}人格を確立することを決議した。^{[50] [54]}ファーストネームを決める必要があった。論文を発表するにはフルネームが必要だった。この目的のため、ルネ・ド・ポッセルの妻エヴェリンはニコラというファーストネームでペンネームを「洗礼」し、ブルバキの「ゴッドマザー」となった。^{[50] [55] [56] [57]}これにより、今度は「彼」自身の名前で、ブルバキに帰属する資料を含む2番目の論文の出版が可能になった。^[58]アンリ・カルタンの父エリー・カルタンも数学者でグループの支持者であり、その論文を出版社に提出し、出版社はそれを受け入れた。^[54]

ブルバキが設立された当時、ルネ・ド・ポッセルと妻のエヴェリンは離婚手続き中だった。エヴェリンは1937年にアンドレ・ヴェイユと再婚し、その後しばらくしてド・ポッセルはブルバキ集団を離れた。この一連の出来事から、ド・ポッセルが再婚のために集団を離れたのではないかという憶測が流れたが、^[59]この説は歴史的に不正確である可能性があると批判されている。なぜなら、ド・ポッセルはアンドレがエヴェリンと結婚した後も何年もブルバキで活動を続けていたはずだからだ。^[60]

ブルバキの活動は第二次世界大戦中は著しく停滞したが、グループは生き残り、後には繁栄した。ブルバキのメンバーの中にはユダヤ人がおり、そのため特定の時期にヨーロッパの特定の地域から逃亡を余儀なくされた者もいた。ユダヤ人であったヴァイルは、ラース・アルフォルスの客として妻エヴェリンとともに1939年の夏をフィンランドで過ごした。国境付近を旅行していたため、冬戦争勃発間近のフィンランド当局は夫婦をソ連のスパイと疑い、アンドレは後に逮捕された。^{[61]逸話によると、ヴァイルは処刑されるはずだったが、}ロルフ・ネヴァンリンナに彼の事件が何気なく伝えられ、ネヴァンリンナがヴァイルの刑期の減刑を求めたという。^[62]しかし、この詳細の正確さは疑わしい。^[63]ヴェイユは1941年にアメリカに渡り、その後1945年から1947年までサンパウロで教鞭をとり、その後1947年から1958年までシカゴ大学に、そして最終的にはプリンストン高等研究所で残りのキャリアを過ごした。ヴェイユは戦後もブルバキ集団と連絡を取り続け、定期的にヨーロッパやグループを訪問していたが、ブルバキとの関わりは創設当時ほどには戻っていなかった。

ブルバキの2代目メンバーであるローラン・シュワルツもユダヤ人であり、ヴィシー政権下のフランスの田舎で数学教師の仕事を見つけた。シュワルツは村から村へと移動しながら、ナチスに捕まらないよう行動を計画した。^[64]ある時、シュワルツはある村に一晩閉じ込められた。帰宅するための交通手段が利用できなかったためである。その町には宿屋が2軒あった。快適で設備の整った宿と、暖房もなくベッドも悪い非常に粗悪な宿であった。シュワルツは本能的に粗悪な宿に泊まるよう告げた。その夜、ナチスは良い宿を襲撃し、粗悪な宿は野放しにした。^[65]

一方、カトリック教徒のジャン・デルサルトは、1939年に音響偵察隊の隊長として動員され、フランス北東部から南方に向かう部隊の撤退を指揮せざるを得なかった。スイス国境付近を通過しているとき、デルサルトは兵士が「我々はブルバキの軍隊だ」と言っているのを耳にした。^{[66] [67]} 19世紀の将軍の撤退はフランスに知られていた。偶然にも、デルサルトは集団の名を冠した人物の撤退と似た撤退を指揮していた。

戦後、ブルバキは研究計画を固め、生産的なルーチンに落ち着いた。ブルバキは1950年代から1960年代にかけて定期的に『原論』を出版し、この時期に最大の影響力を享受した。 ^{[68] [69]}時が経つにつれ、創立メンバーは徐々にグループを離れ、ジャン＝ピエール・セールやアレクサンダー・グロタンディークなどの若い新メンバーに取って代わられていった。セール、グロタンディーク、ローラン・シュワルツは、戦後、それぞれ1954年、1966年、1950年にフィールズ賞を受賞した。後期メンバーのアラン・コンヌとジャン＝クリストフ・ヨッコーも、それぞれ1982年と1994年にフィールズ賞を受賞した。^[70]

科学賞の受賞に関するその後の慣行は、創立者の一部の見解とは対照的であった。^[71] 1930年代、ヴェイユとデルサルトは、ノーベル 物理学賞受賞者のジャン・ペランが提案したフランスの国家科学「メダル制度」に反対する請願を行った。ヴェイユとデルサルトは、そのような制度の導入は科学界における非建設的な狭量さと嫉妬を増大させると感じていた。^[72]それにもかかわらず、ブルバキグループは以前、ペランに政府から通常の活動を支援する助成金を請願し、成功していた。 ^[73]創立者と同様に、グロタンディークも平和主義的な理由からではあるが、賞に反対していた。グロタンディークは1966年にフィールズ賞を受賞したが、ソビエト政府に抗議してモスクワでの授賞式への出席を辞退した。^[74] 1988年、グロタンディークは、賞金を受け取る個人的な必要性がないこと、最近の関連する成果がないこと、科学界に対する一般的な不信感を理由に、クラフォード賞を完全に拒否した。^[75]

ユダヤ人の無政府主義者の両親のもとに生まれたグロタンディークは、ホロコーストを生き延び、戦時中の教育が不十分であったにもかかわらず、フランスの数学界で急速に進歩した。^[76]グロタンディークの教師にはブルバキの創設者も含まれていたため、彼はグループに参加した。グロタンディークがメンバーだった間、ブルバキは基礎的なアプローチに関して行き詰まりに陥った。グロタンディークは、集合論ではなくカテゴリー理論を理論的基礎としてグループの研究を再定式化することを主張した。この提案は最終的に却下された^{[77] [78] [79] が}、その理由の 1 つは、グループが既に複数の巻を出版し、厳格な逐次的発表の軌道に乗っていたためである。これに続いて、グロタンディークは「怒り」ながらブルバキのもとを去った。^{[37] [64] [80]}この集団の伝記作家は、ブルバキがカテゴリー理論に関してやり直そうとしなかったことを、逃した機会であると述べている。^{[64] [81] [82]}しかし、ブルバキは2023年にカテゴリー理論に関する本を現在準備中であると発表した（このセクションの最後の段落を参照）。

創立期、グループは『エレメンツ』の分割発行にパリの出版社ヘルマンを選んだ。ヘルマンは創立者の友人で、金銭的なリスクを冒してグループのプロジェクトを出版する意思のあるエンリケ・フレイマンによって率いられた。1970年代、ブルバキは著作権と著作権使用料の支払いをめぐってヘルマンと長期にわたる法廷闘争を繰り広げた。ブルバキグループは訴訟に勝利し『エレメンツ』の共同著作権を保持したが、この争いでグループの生産性は低下した。^{[83] [84]}元メンバーのピエール・カルティエは、この訴訟をピュロスの勝利と表現し、「法廷闘争ではよくあることだが、双方が敗訴し弁護士が金持ちになった」と述べた。^{[64] 『}エレメンツ』の後の版はマッソンによって出版され、現代版はシュプリンガーによって出版されている。^[85] 1980年代から2000年代にかけて、ブルバキは出版をほとんど行わなかったため、1998年にル・モンド紙はブルバキ集団は「死んだ」と宣言した。^[86]

しかし、2012年にブルバキは改訂された代数学の第8章、代数的位相幾何学に関する新しい本の最初の4章、スペクトル理論に関する2巻（最初の巻は1967年版の拡張改訂版であり、後者は3つの新しい章で構成されている）でエレンツの出版を再開した。さらに、最新の2巻の本文には、圏論とモジュラー形式に関する本が現在準備中であることが発表されている（代数的位相幾何学に関する本の後半部分に加えて）。^{[87] [88]}

ブルバキは『エレン』を拡張する目的で定期的に会議を開催しており、これらの会議はグループの活動の中心となっている。特定の資料に関する草稿を書くために小委員会が割り当てられ、草稿は会議で発表され、活発な議論の末、再草稿される。いかなる資料も出版に適すると判断される前に全会一致の同意が必要である。^{[90] [91] [92]}特定の資料は数年にわたって6回以上の草稿を必要とする場合があり、草稿の中には完成作品にまで至らないものもある。^{[91] [93]そのため、ブルバキの執筆プロセスは「}シシュフォスのよう」と評されている。^[92]この方法は時間がかかるが、ブルバキが論文で重視した点の1つである数学的厳密さに関するグループの基準を満たす最終成果物を生み出す。ブルバキが厳密さを重視したのは、徹底したプレゼンテーションを犠牲にして数学的直観の自由を重視するアンリ・ポアンカレのスタイルに対する反発だった。 ^[f]プロジェクトの初期には、ディエドネがグループの筆記者を務め、最終的に出版されたいくつかの最終草稿を執筆した。この目的のために、ディエドネは、彼自身のものではないがグループ全体に受け入れられる資料を作成するために使用された、非個人的な文体を採用した。 ^{[94] [95]}ディエドネは個人的なスタイルを自分の作品のために取っておいた。ブルバキの他のメンバーと同様、ディエドネは自分の名前で資料も出版しており、^[96]その中には、ブルバキの当初の意図に沿った、明確に解析に焦点を当てた全 9巻のÉléments d'analyseも含まれている。

ブルバキの『原論』の最終稿のほとんどは、図解の使用を慎重に避け、文章と数式のみに基づいた形式的な表現を好んだ。例外はリー群とリー代数の扱い（特に第4章から第6章）で、図解と図解が使用された。この部分に図解が取り入れられたのはアルマン・ボレルによるものである。ボレルはフランス人が多数を占める集団の中では少数派のスイス人で、自らを「スイスの農民」と卑下し、視覚的な学習がスイスの国民性にとって重要であると説明した。 ^{[64] [97]}この作品に図解がほとんどないことについて尋ねられたとき、元メンバーのピエール・カルティエは次のように答えた。

ブルバキ派はピューリタンであり、ピューリタンは信仰の真理を絵画で表現することに強く反対しています。ブルバキ派にはプロテスタントとユダヤ教徒が圧倒的に多くいました。そして、ご存知のように、特にフランスのプロテスタントは精神的にユダヤ教徒に非常に近いのです。

— ピエール・カルティエ^[64]

会議は歴史的に静かな田舎で開催されてきた。^[98]これらの場所は、活発で、時には白熱した議論が行われることとは対照的である。ローラン・シュワルツは、ヴェイユがカルタンの頭をたたき火で叩いたというエピソードを報告している。ホテルの経営者はその出来事を見て、グループが解散するだろうと思ったが、シュワルツによると、「10分以内に平和が回復した」という。^[99]ブルバキ内部での議論の歴史的な対立スタイルは、秩序立った議論よりも対立の中で新しいアイデアが生まれる可能性が高いと信じていたヴェイユに一部起因している。^{[91] [99]}シュワルツは別の実例を挙げた。デュドネは、位相ベクトル空間は積分の前に作品に現れなければならないと強く主張し、誰かが順序を逆にするよう提案するたびに、辞任すると大声で脅した。これはグループ内のジョークになった。ロジェ・ゴドマンの妻ソニアは会議に出席し、その考えを知っていて、証拠を求めた。ソニアが会議に到着すると、メンバーの一人が積分は位相ベクトル空間の前に現れなければならないと示唆し、それがディウドネのいつもの反応を引き起こした。^[99]

歴史的に白熱した議論の文化があったにもかかわらず、ブルバキは20世紀半ばに活躍した。ブルバキがこのような集団的かつ批判的なアプローチを維持できたことは「何か異例なこと」と評され、^[100]ブルバキのメンバー自身さえも驚かせた。創設者のアンリ・カルタンは「最終製品が完成すること自体が、誰にも説明できない一種の奇跡である」と述べた。^{[101] [102]}ブルバキが生き残ったのは、メンバーが個人的な違いにもかかわらず、集団プロジェクトの重要性を強く信じていたためだと示唆されている。^{[91] [103]}グループが困難を克服したり、気に入ったアイデアを生み出したりすると、彼らは時々 「 l'esprit a soufflé（精神は呼吸する）」と言うこともあった。^{[91] [104]}歴史家リリアンヌ・ボーリューは、「精神」はアバターかもしれないし、集団の精神が行動に移されたものかもしれないし、あるいはブルバキ「自身」かもしれないが、集団がアイデンティティを形成し、仕事を遂行するために使用した内部文化と神話の一部であると指摘した。^[105]

ユーモアは、グループ文化の重要な側面であり、それは「ブルバキ」と「ポルデヴィア」を巻き込んだ学生のいたずらに関するヴェイユの記憶に始まる。例えば、1939年にグループは「ベティ・ブルバキ」（ニコラスの娘）と「ライオンハンター」の「H. ペタール」（H.「爆竹」または「ヘクター・ペタール」）との結婚の結婚案内を発表した。^[106]ヘクター・ペタール自体はペンネームだが、ブルバキのメンバーが最初に作ったものではない。ペタールの愛称は、ブルバキ・プロジェクトを知っていたラルフ・P・ボアズ、フランク・スミシーズ、その他のプリンストン大学の数学者によって考案された。彼らに触発されて、プリンストン大学の数学者は「ライオン狩りの数学」に関する記事を発表した。ボアズとスミシーズと会った後、ヴェイユはいくつかの数学的な語呂合わせを含む結婚案内を書いた。^[107]ブルバキの社内報「ラ・トリビュー」には、会議の内容を説明するユーモラスな副題が付けられることもあった。例えば「老いぼれの臨時会議」（30歳以上は老いぼれとみなされていた）や「速足のロバの自動車化会議」（数学の証明や過程が日常的に展開されることを説明する表現）などである。^{[108] [109]}

1940年代から1950年代にかけて、^{[110] [111]}アメリカ数学会はブルバキから個人会員の申し込みを受けた。しかし、その団体が団体であると理解していたJR・クラインはそれを拒否し、団体会員に再度申し込むよう勧めた。これに対してブルバキは、ラルフ・ボアスは実在の人物ではなく、ボアスが所属していた数学評論誌の編集者の集団的なペンネームだという噂を流した。ボアスを標的にした理由は、彼がその団体の初期の頃、秘密保持にそれほど厳格ではなかったことを知っており、ブリタニカ百科事典の記事で彼らを集団として描写していたためである。^[112] 1968年11月、セミナーの1つでニコラ・ブルバキの模造死亡記事が公開された。^{[113] [114]}

グループは内部使用のために「ブルバキ」という語のいくつかの変形を開発した。名詞「ブルバキ」はグループ自体を指す場合もあれば、メンバー個人を指す場合もある。例えば「アンドレ・ヴェイユはブルバキだった」など。「ブルバキスト」はメンバーを指すために使用されることもある^[37]が、仲間、支持者、熱狂者を指すこともある。^{[115] [116]}「ブルバキ化」とは、質の低い既存のテキストを編集プロセスを通じて改善することを意味した。^[93]

ブルバキのユーモアの文化は、グループの社会的結束と生存能力の重要な要素であり、白熱した議論の緊張を和らげると言われている。^[117] 2024年現在、 「Betty_Bourbaki」に登録されたTwitterアカウントがグループの活動に関する最新情報を定期的に提供している。^[118]

ブルバキの著作には、一連の教科書、一連の印刷された講義ノート、雑誌記事、内部ニュースレターなどがある。教科書シリーズ「数学 原論」は、グループの中心的著作である。「ブルバキセミナー」は、グループの後援の下で定期的に開催される講義シリーズであり、講義内容は講義ノートとしても出版されている。雑誌記事はブルバキの著作として出版されており、グループは内部ニュースレター「La Tribu (部族)」を発行しており、現在および過去のメンバーに配布されている。^{[119] [120]}

Élémentsの内容は、主要な議論のトピックである本、個々の物理的な本である巻、章に分かれており、結果の特定の要約、歴史的注記、およびその他の詳細が含まれています。Élémentsの巻は複雑な出版履歴をたどっています。資料は新しい版のために改訂され、意図された論理的な順序とは異なる年代順に出版され、後の巻でグループ化されて異なる方法で分割され、英語に翻訳されました。たとえば、代数学に関する 2 番目の本は、もともと 8 巻のフランス語でリリースされました。1942 年の最初の巻は第 1 章だけで、1980 年の最後の巻は第 10 章だけでした。このプレゼンテーションは後に 5 巻に要約され、第 1 巻に第 1 章から第 3 章、第 2 巻に第 4 章から第 7 章、第 8 章から第 10 章がそれぞれその部分の第 3 巻から第 5 巻として残りました。^{[119]ブルバキの}代数学の英語版は、第1章から第3章、第4章から第7章、第8章からなる3巻の翻訳で構成されており、第9章と第10章は2024年現在英語では入手できません。

ブルバキの創設者たちが『元素論』に取り組み始めたとき、彼らは当初これを「解析学の論文」として構想し、その提案された作品には同名の仮題 ( Traité d'analyse ) が付けられていた。冒頭部分は解析学以前の数学の基礎を包括的に扱うことになっており、「抽象パケット」と呼ばれていた。時が経つにつれ、メンバーたちはこの提案された「冒頭部分」を発展させ、それが数巻に及ぶようになり、集合論、抽象代数、位相幾何学を網羅する作品の主要部分を構成するようになった。プロジェクトの範囲が当初の目的をはるかに超えて拡大すると、仮題のTraité d'analyse は取り下げられ、代わりにÉléments de mathématiqueとなった。^[45]珍しい単数形の「Mathematic」は、数学の統一性に対するブルバキの信念を暗示することを意図していた。^{[123] [124] [125]}作品の前半を表すÉléments の最初の6冊は、順番に番号が付けられ、論理的に並べられており、与えられた命題は以前の結果に基づいてのみ確立されている。 ^[126] この前半の作品には、解析学の基本構造( Les structures fondamentales de l'analyse ) という副題が付けられ、^{[119] [127] [128]}グループのスタイルで確立された数学 (代数、解析学) を扱っている。作品の後半は、現代の研究分野 (リー群、可換代数) を扱う番号なしの本で構成されており、各本は前半を共有の基礎として前提としているが、互いに依存していない。より新しい研究トピックからなるこの後半の作品には、対応する副題がない。

ヘルマンが出版したÉlémentsの巻は出版年順に索引付けされ、fascicules (大きな作品の分割版) と呼ばれていました。一部の巻には、数学の教科書に通常含まれる定義、証明、演習は含まれず、特定のトピックの結果の要約のみが、証明なしで記載されていました。これらの巻はFascicules de résultatsと呼ばれ、fascicule はヘルマン版の巻を指す場合もあれば、作品の「要約」セクションの 1 つを指す場合もあります (たとえば、Fascicules de résultatsは「結果の分割版」ではなく「結果の要約」と翻訳されており、特定の巻ではなく内容を指しています)。^{[g]ブルバキの}『原論』の最初の巻は1939年の『集合論の結果の要約』であった。 ^{[64] [119] [131]}同様に、この作品の後の本の1つである『微分多様体と解析多様体』は、結果の要約の2巻のみで構成されており、内容の章は出版されていませんでした。

1980年代から1990年代にかけて、Élémentsのその後の部分はまれにしか出版されなかった。1983年にCommutative Algebra（第8章から第9章）の巻が出版され、1998年に同じ本の第10章が登場するまで、他の巻は出版されなかった。2010年代、ブルバキは生産性を高めた。Algebraの第8章の書き直しと拡張版が2012年に出版され、 Algebraic Topologyを扱う新しい本の最初の4章が2016年に出版され、Spectral Theoryの改訂拡張版の最初の2章が2019年に出版され、残りの3つの（完全に新しい）章は2023年に出版された。

ブルバキセミナーは1948年以来定期的に開催されており、非会員と会員による講義が行われている。2024年現在、ブルバキセミナーは記録された講義を1000回以上実施しており、年代順に単純な番号で示されている。^[140] 1999年6月にジャン＝ピエール・セールがリー群をテーマに講義を行った時点で、このシリーズで行われた講義の総数は864回で、印刷物に換算すると約10,000ページに相当する。^[141]

数学文献には、ブルバキの著作とされる論文がいくつか掲載されているが、Élémentsとは異なり、それらは通常、個々のメンバーによって書かれており^[119]、通常のグループの合意形成のプロセスを経て作成されたものではない。それにもかかわらず、ジャン・デュドネの論文「数学のアーキテクチャ」は、ブルバキの宣言書として知られるようになった。^{[142] [143]}デュドネは、数学における過度の専門化の問題を取り上げ、数学的（数学とは対照的に）の固有の統一性に反対し、数学的構造を、共通の特徴を示しながら、いくつかの主題に適用できる便利なツールとして提案した。^[144]この考えを説明するために、デュドネは算術と幾何学における3つの異なるシステムを説明し、すべてが特定の種類の（代数的）構造である群の例として説明できることを示した。^[145]デュドネは、公理的方法を「数学の『テイラーシステム』」と表現しました。これは、それが問題を効率的に解決するために使用できるという意味です。^{[146] [i]}このような手順には、関連する構造を特定し、特定の問題に特定の構造に関する確立された知識を適用することが含まれます。^[146]

• コサンビ、DD (1931)「ブルバキの第2定理の一般化について」アグラ・アウド連合州科学アカデミー紀要、アラハバード、インド。1 : 145–47。ISBN 978-81-322-3674-0。Ramaswamy, Ramakrishna 編 (2016)に再録。DD Kosambi: Selected Works in Mathematics and Statistics。Springer。pp. 55–57。doi : 10.1007 /978-81-322-3676-4_6。コサンビは、この記事の内容を「D. ブルバキ」の著作としており、これは文献において同名のブルバキが初めて言及されたものである。
• ブルバキ、ニコラス (1935)。 「カラテオドリと宇宙トポロジーの法則」。科学アカデミーのコンテス。201 : 1309–11.推定著者: アンドレ・ヴェイユ。
• ——（1938年）。 「バナッハのエスパス」。科学アカデミーのコンテス・レンドゥス。206 : 1701–04。推定著者: ジャン・デュドネ。
• ——;ジャン・デュドネ (1939)。 「テラトポロジーのノート II」。Revue scientifique (または「Revue Rose」) : 180–81。推定著者: Jean Dieudonné。3 部構成の記事の第 2 弾。
• ——（1941年）。 「エスパスミニモーとエスパス補完séparés」。科学アカデミーのコンテス。212 : 215-18.推定著者: ジャン・デュドネまたはアンドレ・ヴェイユ。
• ——（1948年）。 「数学の建築」。 『Le Lionnais 』、フランソワ編著。Les grand courants de la pansée mathématique。アクテス・シュッド。 35–47ページ。推定著者: ジャン・デュドネ。
• —— (1949). 「働く数学者のための数学の基礎」.記号論理学ジャーナル. 14 (1): 1–8. doi :10.2307/2268971. JSTOR  2268971. S2CID  26516355.推定著者: アンドレ・ヴェイユ。
• ——（1949年）。 「ゾーンのシュール・ル・テオレム」。数学のアーカイブ。2 (6): 433–37。土井：10.1007/BF02036949。S2CID  117826806。推定著者: アンリ・カルタンまたはジャン・デュドネ。
• —— (1950). 「数学のアーキテクチャ」.アメリカ数学月刊誌. 57 (4): 221–32. doi :10.1080/00029890.1950.11999523. JSTOR  2305937.推定著者: Jean Dieudonné。雑誌記事として英語で発表された書籍「L'architecture des mathématiques」の章の公認翻訳。
• ——（1950年）。 「確実なベクトルとトポロジーの空間」。フーリエ研究所の分析。2：5～16。土井：10.5802/aif.16。推定著者: ジャン・デュドネとローラン・シュワルツ。

La Tribuはブルバキの現会員と元会員に配布される内部ニュースレターである。ニュースレターは通常、最近の会議や活動をユーモラスでくだけた形で記録し、時には詩も含まれる。^[147]会員のピエール・サミュエルは数年にわたってニュースレターの物語部分を執筆した。^[148] La Tribuの初期版と関連文書はブルバキによって公開されている。^[33]

歴史家リリアンヌ・ボーリューは、ラ・トリビューとブルバキの他の著作を研究し、グループのユーモアと私的な言語は、グループとその選択された活動方法に特有の「記憶の芸術」であると説明しました。^[149]グループの秘密主義と非公式な組織のため、個人の記憶は断片的に記録されることがあり、他のメンバーにとって意味をなさない場合があります。^[150]一方、メンバーのほとんどがフランス人でENS出身であることと、グループの初期と成功の物語が、グループのアイデンティティーとして引き出される共通の文化と神話を生み出しています。ラ・トリビューは通常、会議に出席したメンバーと、出席した訪問者、家族、その他の友人をリストします。場所や地元の「小道具」（車、自転車、双眼鏡など）のユーモラスな説明も記憶の手段となります。^[108]

2000年現在、ブルバキには「約40人」のメンバーがいる。^[151]歴史的に、このグループのメンバー数は10人^[152]から12人^[64]程度であったが、設立当初は一時的に（公式には）9人に制限されていた。^[47]ブルバキのメンバーは世代別に説明されている。

ブルバキは常に非常に小さな数学者のグループであり、通常は約12人で構成されていました。その第一世代は、1934年にグループを創設した創設者であるヴェイユ、カルタン、シュヴァレー、デルサルト、ド・ポッセル、ディエドネでした。他のメンバーがグループに加わり、他のメンバーが脱退したため、数年後にはメンバーが約12人になり、その数はほぼ一定でした。ローラン・シュワルツは戦時中にブルバキに加わった唯一の数学者であったため、彼の世代は中間世代と見なされています。戦後、ジャン＝ピエール・セール、ピエール・サミュエル、ジャン＝ルイ・コズル、ジャック・ディクスミエ、ロジェ・ゴドマン、サミー・アイレンバーグなど数名が加わりました。これらの人々がブルバキの第二世代を構成しました。1950年代に、第三世代の数学者がブルバキに加わりました。これらの人物には、アレクサンドル・グロタンディーク、フランソワ・ブリュア、セルジュ・ラング、アメリカの数学者ジョン・テイト、ピエール・カルティエ、スイスの数学者アルマン・ボレルなどが含まれていた。^{[64] [153]}

最初の3世代の後、現在の参加者を除いて、およそ20人の後継者がいた。ブルバキには現在の会員を秘密にするという慣習があり、その目的は、その成果がブルバキのペンネームの下で集団的かつ統一された努力として発表され、特定の著者に帰属しないことを保証することである（例えば、著作権や使用料の支払いの目的において）。この秘密主義は、通常の運営を妨げる可能性のある望ましくない注目を阻止することも目的としている。しかし、元会員は退会時にブルバキの内部慣行について自由に議論する。^{[64] [154]}

会員候補者は会議に招待され、モルモットとして扱われる。これは新人の数学的能力を吟味するためのプロセスである。^{[64] [155]}グループと候補者の間で合意が得られれば、候補者は最終的に正式会員となる。^[j]グループには年齢制限があることになっている。活動的なメンバーは50歳（またはその前後）で引退することが期待されている。^{[64] [92]} 1956年の会議で、カルタンは創設メンバーを「徐々に消滅させ」、若いメンバーにブルバキの運営の全責任を負わせることを提案したヴェイユからの手紙を読み上げた。^{[37] [160]}この規則により、1958年までに人事が完全に交代したとされている。 ^[55]しかし、歴史家のリリアンヌ・ボーリューはこの主張を批判している。彼女は、この規則を文書で確認した例を一度も見たことがないと報告し、 ^[161]例外があったことを示唆している。^[162]年齢制限は、プロジェクトが無期限に継続され、数学的能力が最も優れた人々によって運営されるべきであるという創設者の意図を表していると考えられている。数学コミュニティでは、数学者は若いときに最高の成果を出すという信念が広く浸透している。^{[160] [163]}正会員の間には公式の階層構造はなく、全員が平等に活動し、いつでも会議の進行を中断したり、発表された資料に異議を唱えたりすることができる。しかし、アンドレ・ヴェイユは創設期に「同等者の中で一番」と評され、ある程度の敬意が払われた。^[164]一方、グループは年長のメンバーにはより大きな敬意が払われるべきだという考えを揶揄している。^[165]

ブルバキ会議にはメンバーの家族、友人、訪問数学者、その他グループのメンバー以外の人々も出席した。^[k]ブルバキに女性メンバーがいたことは知られていない。^{[92] [152]}

ブルバキは20世紀の数学に大きな影響を与え、人文科学と芸術に学際的な影響を与えたが、後者の影響の程度については議論の余地がある。このグループは、その発表方法、作業スタイル、数学のテーマの選択に関して賞賛と批判を受けている。

ブルバキは、現在でも使われている数学的記法をいくつか導入した。ヴェイユは、ノルウェー語のアルファベットの文字Øを取って、空集合 を表すために使用した。^{[175]この記法は、}集合論の結果の要約 で初めて登場し、^[176]現在も使用されている。単射、全射、全単射という語は、特定の性質を満たす関数を指すために導入された。^{[177] [178]}ブルバキは、特定の幾何学的対象に単純な言葉を使用し、それらを「平行四辺形」や「超回転楕円体」ではなく、パヴェ(敷石) やブール(球) と名付けた。 ^[179]同様に、位相ベクトル空間の扱いにおいて、ブルバキは樽を凸集合、均衡集合、吸収集合、閉集合として定義した。^{[180] [181] [182]}ブルバキはまた、特に難しい内容であることを示すために、本文の余白に「危険な曲がり角」の記号☡を使用した。ブルバキは、 Élémentsの分冊版が頻繁に出版された1950年代から1960年代にかけて、最大の影響力を享受した。 ${\displaystyle \varnothing }$

ブルバキは人類学や心理学を含む他の分野に学際的な影響を与えた。この影響は構造主義の文脈で生じた。構造主義とは、物自体よりも物同士の関係性を重視する人文科学の一派で、他のフランスの知識人によって様々な分野で追求された。1943年、アンドレ・ヴェイユはニューヨークで人類学者クロード・レヴィ＝ストロースと出会い、2人は短期間共同研究を行った。レヴィ＝ストロースの要請で、ヴェイユは集団理論に基づく数学モデルを用いて、オーストラリア先住民社会の4つの階級の人々の結婚規則を説明する短い付録を書いた。^{[5] [183]}​​ この結果は、人間文化における家族構造と近親相姦のタブーを検証したレヴィ＝ストロースの著作『親族の基本構造』^{の付録として出版された。 [184]} 1952年、ジャン・デュドネとジャン・ピアジェは数学的構造と精神構造に関する学際的な会議に参加した。デュドネは、数学的な「母構造」をブルバキのプロジェクト、すなわち構成、近隣、秩序の観点から説明した。^[185]その後、ピアジェは子供の精神プロセスについて講演し、自分が説明したばかりの心理学的概念は、デュドネが説明したばかりの数学的なものと非常に似ていると考えた。^{[186] [187]}ピアジェによると、2人は「お互いに感銘を受けた」という。^[188]精神分析医ジャック・ラカンはブルバキの共同作業スタイルを気に入り、心理学でも同様の集団を提案したが、このアイデアは実現しなかった。^[189]

ブルバキはポスト構造主義の哲学者にも引用されている。ジル・ドゥルーズとフェリックス・ガタリは共著『アンチ・オイディプス』で資本主義批判を展開した。著者らは、経済的効率性を追求する経営プロセスに対する明確な反例として、ブルバキの公理的方法（真実を確立する目的）の使用を挙げた。著者らはブルバキの公理について「それらはテイラーシステムを形成しない」と述べ、ディエドネが『数学のアーキテクチャ』で使用したフレーズを逆にした。^{[146] [190]}ジャン＝フランソワ・リオタールは『ポストモダンの条件』で「知識の正当化」、つまり陳述が妥当であると受け入れられるようになるプロセスを批判した。例として、リオタールはブルバキを、与えられた規則のシステム内で知識を生み出すグループとして挙げた。^{[191] [192]}リオタールは、ブルバキの階層的な「構造主義的」数学を、ルネ・トムのカタストロフ理論やブノワ・マンデルブロのフラクタルと対比し、^[s]数学を「フラクタ、カタストロフ、実用的なパラドックス」で問題化する後者の「ポストモダン科学」を好んだ。^{[191] [192]}

伝記作家のアミール・アチェルは20世紀半ばにブルバキが他の分野に与えた影響を強調したが、モーリス・マシャールはブルバキの影響についての主張を次のように和らげた。

ブルバキの構造は当時の社会科学の会議や出版物で頻繁に言及されていたが、これらの分野の発展に実際に役割を果たしたわけではないようだ。フランスの構造主義運動におけるブルバキの役割を分析した科学史家のデイヴィッド・オーバンは、ブルバキの役割は「文化のコネクター」であったと考えている。^[194] オーバンによると、ブルバキは数学以外の使命を持っていなかったが、そのグループは当時のさまざまな文化運動をつなぐ一種のつながりを表していた。ブルバキは概念と構造の単純で比較的正確な定義を提供し、哲学者や社会科学者はそれが自分たちの分野や異なる知識領域間の橋渡しとして基本であると信じていた。これらのつながりは表面的なものであったが、ブルバキを含むさまざまな構造主義の考え方の流派は互いに支え合うことができた。したがって、これらの流派が1960年代後半に同時に衰退したのは偶然ではない。

— モーリス・マシャール、デビッド・オービンを引用^{[187] [t] [u]}

「構造主義」が数学そのものに与えた影響も批判された。数学史家レオ・コリーは、ブルバキの数学的構造の使用は『原論』では重要ではなく、 『集合論』で確立され、その後はめったに引用されなかったと主張した。^{[199] [200] [201] [202]}コリーは、ブルバキが推進した数学の「構造的」見解を「知識のイメージ」、つまり科学分野についての概念であり、その分野の「知識体系」の項目（その分野自体の実際の科学的成果を指す）とは対照的であると説明した。^[200]

ブルバキは芸術にも影響を与えた。文学集団ウリポは1960年11月24日にブルバキの結成と似た状況で結成され、メンバーは当初レストランで集まった。ウリポのメンバーの何人かは数学者だったが、グループの目的は言語を操ることで実験的な文学を創ることだった。ウリポはS+7法など数学に基づいた制約のある執筆技法を頻繁に採用した。ウリポのメンバーであるレイモン・クノーは1962年にブルバキの会議に出席した。^{[187] [203]}

2016年、匿名の経済学者グループが共同で、アメリカ経済評論誌に掲載された論文の著者と編集者による学術上の不正行為を主張するメモを執筆した。^{[204] [205]}このメモはニコラ・ブルバキに敬意を表してニコラ・ベアバキの名前で出版された。^[206]

2018年、アメリカの音楽デュオ、トゥエンティ・ワン・パイロッツはコンセプトアルバム『トレンチ』をリリースした。アルバムのコンセプトは、9人の「司教」が統治する架空の都市「デマ」だった。司教の1人はニコラ・ブルバキの略称「ニコ」と名付けられた。もう1人の司教はアンドレと名付けられたが、これはアンドレ・ヴェイユを指している可能性がある。アルバムのリリース後、「ニコラ・ブルバキ」のインターネット検索が急増した。^{[37] [v]}

ブルバキの著作は一部の数学者から賞賛されている。書評でエミール・アルティンは『原論』を広く肯定的に 表現した。

現代は、現代の数学全体を解説する記念碑的な作品の創造を目の当たりにしています。しかも、この解説は、数学のさまざまな分野間の共通のつながりが明確に見えるように、全体の構造を支える枠組みが短期間で時代遅れになることがなく、新しいアイデアを容易に吸収できるような方法で行われています。

— エミール・アルティン^[133]

Élémentsの巻の中で、リー群とリー代数に関するブルバキの著作は「優れた」と評価されており、^[195]この分野の標準的な参考文献となっている。特に、元会員のアルマン・ボレルは、第4章から第6章までの巻を「ブルバキの最も成功した本の1つ」と評した。^[208]この部分の成功は、この分野の第一人者がブルバキ会員であったときに本が執筆されたという事実に起因するとされている。^{[64] [209]}

ジャン＝ピエール・ブルギニヨンは、ブルバキセミナーに感謝の意を表し、その講義で大量の資料を学び、印刷された講義ノートを定期的に参照したと述べた。 [210] また、彼は『エレンツ』に「いくつかの素晴らしい、非常に巧妙な証明」が含まれていることを賞賛した。^{[211 ]}

ブルバキは、元メンバーを含む数人の数学者から、さまざまな理由で批判されてきた。批判には、Éléments内で特定のトピックを他のトピックを犠牲にして提示することを選択したこと、^[w]特定のトピックの提示方法が気に入らないこと、グループの作業スタイルが気に入らないこと、そして、特に 1950 年代と 1960 年代のグループが最も生産的だった時期に、ブルバキのプロジェクトとその書籍にエリート主義的な考え方が見受けられたことなどが含まれる。

ブルバキの『要素』に関する審議の結果、いくつかのテーマは含まれたが、他のテーマは扱われなかった。1997年のインタビューで『要素』から除外されたテーマについて尋ねられたとき、元メンバーのピエール・カルティエは次のように答えた。

本質的には基礎を超える分析はない。偏微分方程式について何もなく、確率について何もない。組合せ論についても何もなく、代数的位相についても何もなく、^{[x]具体的な幾何}学についても何もない。そしてブルバキは論理を真剣に考えたことはなかった。ディウドネ自身は論理に非常に反対していた。数理物理学に関連するものはすべてブルバキのテキストにはまったくない。

— ピエール・カルティエ^[64]

ブルバキは数学を基礎から扱うことを決意していたが、集合論の観点からのグループの最終的な解決にはいくつかの問題が伴った。ブルバキのメンバーは論理学者ではなく数学者であり、したがって集団は数理論理学にあまり興味がなかった。^[93]ブルバキのメンバー自身が集合論の本について述べたように、それは「苦痛と喜びを伴わずに書かれたが、私たちはそれをやらなければならなかった」。^[214]ディウドネは個人的に、数学者の95パーセントは数理論理学に「まったく関心がない」と他の場所で述べた。^{[215]これに対して、論理学者のエイドリアン・マティアスはブルバキの基礎的枠組みを厳しく批判し、}ゲーデルの結果を考慮していないと指摘した。 ^{[216] [217]}

^{ブルバキはまた、抽象化を具体的な例よりも重視した、西洋の初等・中等教育における失敗した[218]}改革である新数学にも影響を与えた。20世紀半ば、基礎数学教育の改革は、現代経済のために数学的にリテラシーのある労働力を育成する必要性、またソ連との競争の必要性を認識したことから促進された。フランスでは、これが1967年のリヒネロヴィチ委員会の設立につながった。この委員会はアンドレ・リヒネロヴィチを委員長とし、ブルバキのメンバー（当時現職および元職）も参加していた。ブルバキのメンバーは以前にも（個別に）大学レベルで数学の指導を改革していたが、初等・中等教育での新数学の実施にはあまり直接関わっていなかった。新数学の改革の結果、生徒にも教師にも理解できない教材が生まれ、低学年の生徒の認知的ニーズを満たせなくなった。この改革の試みは、ディエドネや、短期間ブルバキ創設に参加していたジャン・ルレーによって厳しく批判された。^{[219]フランスの数学者以外にも、フランスの改革はソ連生まれの数学者}ウラジミール・アーノルドからも厳しい批判を受けた。アーノルドは、モスクワで学生や教師をしていた時代には、数学の教えは解析学と幾何学にしっかりと根ざしており、古典力学の問題が織り交ぜられていたため、フランスの改革はソ連の科学教育を真似る正当な試みではないと主張した。1997年、パリで数学教育に関する会議で講演した際、アーノルドはブルバキについて「本物の数学者は団結しないが、弱者は生き残るために団結する必要がある」と述べ、ブルバキの「超抽象性」をめぐる結束は、19世紀に反ユダヤ主義をめぐって結束した数学者のグループに似ていると示唆した。^[220]

デュドネは後に、ブルバキの成功がフランスで純粋数学へのスノッブ化を助長し、応用数学を犠牲にしてしまったことを悔いている。インタビューで彼はこう語っている。「ポアンカレの後 40 年間、フランスには本格的な応用数学は存在しなかったと言えるでしょう。純粋数学へのスノッブ化さえありました。才能のある学生に気づけば、『君は純粋数学をやるべきだ』と言うでしょう。一方、凡庸な学生には、『彼にはそれができるすべてだ!』と考えながら、応用数学をやるように勧めるでしょう... 真実は実際にはその逆です。純粋数学で良い研究ができるようになるまでは、応用数学で良い研究をすることはできない」と述べた。 ^[221]クロード・シュヴァレーはブルバキの中にエリート主義的な文化があることを認め、「他の数学者に対する我々の優位性は絶対的に確実だ」と述べた。 ^[93]アレクサンダー・グロタンディークもブルバキの中にエリート主義的な考え方があることを認めた。^[79]数学者の中には、特に幾何学者や応用数学者の中には、ブルバキの影響が息苦しいと感じた者もいた。^[222]ブノワ・マンデルブロが1958年に米国に移住することを決意した動機の一部は、フランスにおけるブルバキの影響から逃れたいという願望だった。^[223]

『エレメンツ』に対する批判は、対象読者とその発表の意図に関するものが多い。『エレメンツ』の各巻は、読者への注意書きで始まる。そこには、このシリーズは「数学を最初から取り上げ、完全な証明を与える」ことと、「私たちが選んだ説明方法は公理的で抽象的であり、通常は一般から個別へと進む」ことが書かれている。^[224]冒頭の文言にもかかわらず、ブルバキが想定している読者は数学の初心者ではなく、数学の概念に精通している学部生、大学院生、教授である。^{[225]クロード・シュヴァレーは『}エレメンツ』は「初心者には役に立たない」と述べ、 ^[226]ピエール・カルティエは「この本はすべての人のための教科書であるべきだという誤解があった。それが大きな失敗だった」と明言している。^[64]

この作品は 2 つの部分に分かれている。前半の Structures fondamentales de l'analyse は確立された主題を扱っているが、後半は可換代数やスペクトル理論などの現代の研究分野を扱っている。この分割は、論文の趣旨の歴史的な変化に関連している。Élémentsの内容は、定理、証明、演習、および関連する解説で構成されており、数学の教科書によくある内容である。このような表現にもかかわらず、前半は独自の研究として書かれたものではなく、確立された知識を再編成した表現として書かれた。この意味で、Éléments の前半は教科書シリーズというよりも百科事典に近い。Cartier が述べたように、「多くの人が、この本に書かれている通りに教えるべきだと考えていたという誤解があった。ブルバキの最初の本は数学の百科事典だと考えることができる... 教科書として考えると、それは大失敗だ」^[64]

Éléments の前半における厳密で整然とした資料の提示は、その後の追加の基礎となるはずであった。しかし、現代の数学研究の発展は、ブルバキの組織体系に適応するのが困難であることが判明した。この困難は、進行中の研究が流動的で動的な性質を持ち、新しいため、決着がつかず、完全に理解されていないためである。^{[195] [227]ブルバキのスタイルは、}パラダイムシフトによって取って代わられた特定の科学的パラダイムであると説明されてきた。たとえば、イアン・スチュワートは、ブルバキの体系に依存せずに行われた位相幾何学の例として、ヴォーン・ジョーンズの結び目理論に関する斬新な研究を挙げた。 ^[228]ブルバキの影響は時とともに衰えてきた。^[228]この衰退は、この論文にカテゴリー理論などの特定の現代的なトピックが含まれていないことに一部起因している。^{[81] [82]}

この共同体のプロジェクトの欠点を指摘する批判は数多くあるが、その強みを指摘する批判もある。ブルバキは「自らの成功の犠牲者」^[195]であり、当初の目的である現代数学の徹底的な論文を発表するという目標を達成した。^{[229] [230] [231]}これらの要因から、伝記作家モーリス・マシャールはブルバキに関する考察を次のように結論づけている。

このような事業は、その広範さ、熱意、無私無欲、そして強い集団的性格において賞賛に値する。いくつかの間違いはあったものの、ブルバキは「人間精神の名誉」に少し貢献した。スポーツと金銭が文明の偉大な偶像である時代に、これは決して小さな美徳ではない。

— モーリス・マシャール^[232]

• ブルバキ・ウィットの定理
• ヤコブソン・ブルバキの定理
• 秘密結社

その他の数学集団の仮名

• アーサー・ベッセ
• ブランシュ・デカルト
• ジョン・レインウォーター
• GW ペック

• アチェル、アミール・D. (2006)。『芸術家と数学者：実在しなかった天才数学者ニコラ・ブルバキの物語』サンダーズ・マウス・プレス。ISBN 978-1560259312。
• オービン、デイヴィッド (1997)。「ニコラ・ブルバキの衰えゆく不滅性: フランスにおける数学、構造主義、そしてウリポの合流点における文化的コネクター」( PDF)。文脈における科学。10 ( 2)。ケンブリッジ大学出版局: 297–342。doi :10.1017/S0269889700002660。S2CID  170683589。
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