円周率

数π ( / p aɪ /、綴りは「pi」) は、円の円周と直径の比を表す数学定数で、およそ 3.14159 に等しい。数πは、数学と物理学の多くの式に現れる。これは無理数であり、2 つの整数の比として正確に表すことはできないが、 などの分数が一般に近似値として用いられる。したがって、その10 進数表現は決して終わることがなく、永久に繰り返されるパターンにもならない。これは超越数であり、有限の和、積、累乗、および整数のみを含む方程式の解にはなり得ない。πの超越性は、コンパスと定規で円を二乗するという古代の難問を解くことが不可能であることを意味している。π の10進数の桁はランダムに分布しているように見えるが^[a]、この推測を証明するものは見つかっていない。 ${\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}$

何千年もの間、数学者はπの理解を深めようと試み、時にはその値を高精度で計算してきました。エジプト人やバビロニア人を含む古代文明では、実用的な計算のためにπのかなり正確な近似値が必要でした。紀元前 250 年頃 、ギリシャの数学者 アルキメデスはπ を任意の精度で近似するアルゴリズムを作成しました。紀元後 5 世紀には、中国の数学者がπ を7 桁で近似し、インドの数学者は5 桁で近似しましたが、どちらも幾何学的手法を使用していました。無限級数に基づくπの最初の計算式は、その 1000 年後に発見されました。^{[1] [2]}円周と直径の比を表すためにギリシャ文字πが使用された最も古い例は、1706 年にウェールズの数学者ウィリアム ジョーンズによるものです。 ^[3]

微積分の発明により、すぐにπの計算桁数が数百桁に達し、あらゆる実用的な科学計算に十分な数になりました。しかし、20世紀と21世紀には、数学者とコンピュータ科学者が新しいアプローチを追求し、計算能力の向上と組み合わせることで、πの10進表現を何兆桁にも拡張しました。^{[4] [5]}これらの計算は、数値系列を計算する効率的なアルゴリズムの開発と、記録を破りたいという人類の探求によって動機付けられています。^{[6] [7]}関連する大規模な計算は、スーパーコンピュータのテストや消費者向けコンピュータハードウェアのストレステストにも使用されています。

πの定義は円に関係するため、三角法や幾何学の多くの公式、特に円、楕円、球に関する公式に見られます。また、宇宙論、フラクタル、熱力学、力学、電磁気学など、科学の他のトピックの公式にも見られます。また、数論や統計など、幾何学とはあまり関係のない分野にも登場し、現代の数学的解析では幾何学を参照することなく定義できます。π はどこにでも見られるため、科学の内外で広く知られている数学定数の 1 つです。πを専門とする本が数冊出版されており、 πの桁の記録的な計算がニュースの見出しになることも少なくありません。

数学者が円周と直径の比を表すために使用する記号は、小文字のギリシャ文字πであり、piと綴られることもあります。^[8]英語では、πは「パイ」（/ p aɪ / PY ）と発音されます。^[9]数学では、小文字のπ は、大文字で拡大された対応文字Πと区別されます。Π は、数列の積を表し、 Σが合計を表すのと類似しています。

記号πの選択については、「記号 π の採用」のセクションで説明します。

πは一般的に円周Cと直径dの比として定義される： [ ^10] $${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$$

円の大きさに関わらず、比率は一定である。例えば、ある円の直径が別の円の2倍であれば、円周も2倍になり、比率は維持される。このπの定義は、暗黙的に平面（ユークリッド）幾何学を利用している。円の概念は、任意の曲線（非ユークリッド）幾何学に拡張することができるが、これらの新しい円は、もはや式を満たさない。^[10]${\textstyle {\frac {C}{d}}}$${\textstyle {\frac {C}{d}}}$${\textstyle \pi ={\frac {C}{d}}}$

ここで、円周とは円周の周りの弧の長さであり、幾何学とは独立して、微積分の概念である極限を用いて正式に定義できる量である。^{[11]たとえば、}直交座標で方程式 で与えられる単位円の上半分の弧の長さを、積分 として直接計算することができる。 [ 12 ^]${\textstyle x^{2}+y^{2}=1}$ $${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$$

このような積分はカール・ワイエルシュトラスによってπの定義として提案され、1841年に彼はこれを積分として直接定義した。^[b]

積分はもはや最初の解析的定義で一般的には使用されていない。なぜなら、Remmert 2012 が説明しているように、大学のカリキュラムでは微分積分が積分積分に先行するのが一般的であるため、後者に依存しないπの定義を持つことが望ましいからである。そのような定義の 1 つは、リチャード・バルツァー^[14]によるもので、エドモンド・ランダウ^[15]によって普及されたものである。πは、コサイン関数が 0 に等しい最小の正の数の 2 倍である。 ^{[10] [12] [16]} πは、サイン関数が 0 に等しい最小の正の数であり、サイン関数の連続する 0 の差でもある。コサインとサインは、幾何学とは独立して、べき級数^{[17]として、または}微分方程式の解^[16]として定義できる。

同様の考え方で、π は複素変数zの複素指数exp zの特性を使って定義できます。コサインと同様に、複素指数はいくつかの方法で定義できます。exp zが1 に等しい複素数の集合は、次の形式の (虚数) 等差数列になります。 この特性を 持つ唯一の正の実数πが存在します。^{[12] [18]}$${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$$

位相幾何学と代数の洗練された数学的概念を利用した同じアイデアのバリエーションは、次の定理です。^[19]整数を法とする加法の下での実数の群R / Z（円群）から、絶対値が1 である複素数の乗法群への唯一の（自己同型を除いて ）連続同型があります。数πは、この準同型の導関数の大きさの半分として定義されます。^[20]

πは無理数であり、 2 つの整数の比として表すことはできません。⁠のような分数は、22/7⁠と⁠355/113⁠ はπ を近似するためによく使われるが、公分数（整数の比）は正確な値にはなり得ない。 ^[21] πは無理数であるため、その十進数表現では無限の桁数を持ち、無限に繰り返される桁パターンには落ち着かない。 πが無理数であることの証明はいくつかあるが、一般的には微積分学を必要とし、背理法に頼っている。 π を有理数で近似できる度合い（無理数測度と呼ばれる）は正確にはわかっていない。推定では、無理数測度はeの測度より大きいか少なくとも等しいが、リウヴィル数の測度よりは小さいこと。 ^[22]

πの数字には明らかなパターンはなく、正規性テストを含む統計的ランダム性テストに合格している。無限長の数は、あらゆる数字の並び（任意の長さ）が等しく出現する場合、正規数と呼ばれる。πが正規数であるという仮説は証明も反証もされていない。^[23]

コンピュータの出現以来、統計分析に使用できるπの桁が多数あります。金田康正はπの 10 進桁の詳細な統計分析を行い、それらが正規性と一致していることを発見しました。たとえば、0 から 9 までの 10 桁の頻度を統計的有意性検定にかけたところ、パターンの証拠は見つかりませんでした。^[24]無限猿定理により、任意のランダムな数字列には、ランダムでないように見える任意の長さの部分列が含まれます。したがって、 πの数字列はランダム性の統計的検定に合格するため、 πの 10 進表現の小数点第 762 位から始まる6 つの連続する 9 の列など、ランダムでないように見える数字列がいくつか含まれます。^{[25]これは、}リチャード・ファインマンにちなんで数学の伝説で「ファインマン点」とも呼ばれていますが、ファインマンとの関連は知られていません。

πは無理数であるだけでなく、超越数でもある。つまり、 πはのような有理係数を持つ非定数多項式方程式の解ではないということである。^{[26] [c]}${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$

πの超越性には 2 つの重要な結果があります。まず、π は有理数と平方根またはn乗根( または など)の有限の組み合わせを使用して表現することはできません。次に、コンパスと定規では超越数を作成できないため、「円を正方形にする」ことはできません。言い換えると、コンパスと定規のみを使用して、与えられた円の面積と正確に等しい面積を持つ正方形を作成することは不可能です。^{[27]円を正方形にすることは、}古代の重要な幾何学の問題の 1 つでした。^[28]現代のアマチュア数学者は、数学的に不可能であるという事実にもかかわらず、円を正方形にしようと試み、成功したと主張することがあります。^{[29] [30]}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}}$${\displaystyle {\sqrt {10}}}$

無理数であるπ は、常分数として表すことはできません。しかし、πを含むすべての数は、連分数と呼ばれる無限のネストされた分数で表すことができます。 $${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$$

連分数を任意の点で切り捨てると、πの有理近似値が得られます。最初の4つは3、⁠22/7⁠、 ⁠333/106⁠、および⁠355/113⁠これらの数は、定数の最もよく知られ、歴史的に最も広く使用されている近似値です。このようにして生成された各近似値は、最良の有理近似値です。つまり、各近似値は、同じかより小さい分母を持つ他のどの分数よりもπに近い値です。 ^[31] πは超越数であるため、定義により代数的ではなく、したがって2次無理数にはなり得ません。したがって、 πは周期的な連分数を持つことはできません。πの単純な連分数（上記）も他の明らかなパターンを示していませんが、 ^{[32] [33]}次のようないくつかの一般化された連分数は、次のようなパターンを示します。 ^[34] $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

これらの中間の公式は、17 世紀半ばの数学者ウィリアム・ブランカーによるものです(§ ブランカーの公式を参照) 。

円周率の近似値には以下のものがあります。

• 整数: 3
• 分数: 近似分数には以下のものが含まれます (精度が上がる順) ⁠22/7⁠、 ⁠333/106⁠、 ⁠355/113⁠、 ⁠52163/16604⁠、 ⁠103993/33102⁠、 ⁠104348/33215⁠、および⁠245850922/78256779⁠ . ^{[31] （リストは}OEIS :A063674とOEIS :A063673から選択された用語です。）
• 桁数：最初の50桁は3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ^[35]（OEIS：A000796を参照）

他の記数法における数字

• 最初の 48 の 2進数(基数2) の桁 (ビットと呼ばれる) は、11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011...です( OEIS : A004601を参照)。
• 三進法（基数3）の最初の36桁は10.010 211 012 222 010 211 002 111 110 221 222 220...です（OEIS：A004602を参照）。
• 16進数（基数16） の最初の20桁は3.243F 6A88 85A3 08D3 1319...^{である[36]}（OEIS：A062964を参照）
• 最初の5つの60進法の数字は3、8、29、44、0、47である^[37]（OEIS：A060707を参照）

任意の複素数、たとえばzは、実数のペアを使用して表現できます。極座標系では、1 つの数値 (半径またはr ) は複素平面の原点からのzの距離を表すために使用され、もう 1 つの数値 ( 角度またはφ ) は正の実数直線からの反時計回りの回転を表します。 ^[38] ここで、i はを満たす虚数単位です。複素解析でπが頻繁に出現するのは、オイラーの公式で説明される複素変数の指数関数の挙動に関係している可能性があります。^[39] ここで、定数eは自然対数の底です。この公式は、 eの虚数べき乗と、複素平面の原点を中心とする単位円上の点との対応を確立します。オイラーの公式に設定すると、オイラーの恒等式が得られ、5 つの重要な数学定数を含むため数学で有名です。^{[39] [40]} $${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$$${\displaystyle i^{2}=-1}$ $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$$${\displaystyle \varphi =\pi }$ $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

を満たすn個の異なる複素数 zがあり、これらは「n乗根」^[41]と呼ばれ、次の式で与えられます。 ${\displaystyle z^{n}=1}$$${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$$

西暦以前の最もよく知られた円周率の近似値は、小数点以下 2 桁の精度でした。これは、特に中国の数学において、1 千年紀中頃までに小数点以下 7 桁の精度にまで改善されました。その後、中世後期までそれ以上の進歩はありませんでした。

πの最も古い近似値はバビロンとエジプトで発見されており、どちらも真の値の1パーセント以内です。バビロンでは、紀元前1900年から1600年頃の粘土板に、 πを次のように扱う幾何学的な記述があります。25/8⁠  = 3.125 です。^[42]エジプトでは、紀元前 1650 年頃のリンド・パピルスに、円の面積の公式が記されています。この公式は、紀元前 1850 年の文書からコピーされたものです。この公式では、 πを と扱っています。 ^{[33] [42]}ピラミッド学者の中には、ギザの大ピラミッドはπに関連した比率で建てられたという説を唱える人もいますが、この説は学者に広く受け入れられていません。 [ ^{43]紀元前 1 千年紀または 2 千年紀の口承による}インドの数学のシュルバ・スートラ には、およそ 3.08831、3.08833、3.004、3、または 3.125 と様々に解釈されている近似値が示されています。^[44]${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}\approx 3.16}$

πの値を厳密に計算する最初のアルゴリズムとして記録されているのは、紀元前 250 年頃にギリシャの数学者アルキメデスが考案した、多角形を使った幾何学的なアプローチで、枯渇法を実装したものです。^[45]この多角形アルゴリズムは 1,000 年以上にわたって主流となり、その結果、πはアルキメデスの定数と呼ばれることもあります。^{[46]アルキメデスは、円の内側と外側に正六角形を描き、辺の数を 2 倍にして 96 辺の正多角形に達することで、} πの上限と下限を計算しました。これらの多角形の周囲を計算することで、彼は次のことを証明しました。223/71⁠ < π < ⁠22/7⁠（つまり、 3.1408 < π < 3.1429）。 ^[47]アルキメデスの上限⁠22/7⁠ は、 πが⁠に等しいという広く信じられた考えにつながった可能性がある。22/7⁠ ^[48]紀元150年頃、ギリシャ・ローマの科学者プトレマイオスは著書『アルマゲスト』の中で、 πの値を3.1416としているが、これはアルキメデスかペルガのアポロニウスから得たものと考えられる。 ^{[49] [50]数学者は多角形アルゴリズムを使用して1630年に}πの39桁に到達したが、この記録は1699年に無限級数を使用して71桁に到達したときに破られた。 ^[51]

古代中国では、 πの値は3.1547 (西暦 1 年頃)、(西暦 100 年、およそ 3.1623)、および⁠ などでした。${\displaystyle {\sqrt {10}}}$142/45⁠（3世紀、およそ3.1556）。 ^[52]西暦265年頃、魏の国の数学者劉徽は多角形ベースの反復アルゴリズムを作成し、それを3,072辺の多角形に適用してπの値を3.1416と算出しました。 ^{[53] [54]劉は後に、}円周率をより速く計算する方法を発明し、96角形の多角形で3.14という値を得た。これは、連続する多角形の面積の差が4の等比級数を形成するという事実を利用したものである。 ^[53]紀元480年頃の中国の数学者祖崇志は、劉慧のアルゴリズムを12,288角形の多角形に適用して、その値を計算し、それぞれMilü（「近い比率」）とYuelü（「おおよその比率」）と名付けた近似値とを提案した。小数点第1位から第7位までが正しい値であったため、この値はその後800年間、利用可能な円周率の最も正確な近似値であり続けた。 ^[55]${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035...}$${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857...}$

インドの天文学者アリヤバータは著書『アーリヤバティーヤ』（紀元499年）の中で3.1416という値を用いている。 ^[56] フィボナッチは 1220年頃にアルキメデスとは独立して多角形法を用いて3.1418という値を計算し^[57]イタリアの作家ダンテもこの値を用いたと思われる。^[57]${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$

ペルシャの天文学者ジャムシード・アル＝カーシーは1424年に多角形を用いて60進法の9桁（おおよそ16桁の10進数に相当する）を生成し、^{[58] [59]}これは約180年間世界記録であった。^[60]フランスの数学者フランソワ・ヴィエトは1579年に多角形を用いて9桁を達成した。^[60]フランドルの数学者アドリアン・ファン・ルーメンは1593年に小数点以下15桁に到達した。^[60] 1596年、オランダの数学者ルドルフ・ファン・クーレンは20桁に到達し、後に記録を35桁にまで伸ばした（その結果、 20世紀初頭までドイツではπは「ルドルフ数」と呼ばれていた）。^[61]オランダの科学者ウィレブロード・スネリウスは1621年に34桁に到達し、^[62]オーストリアの天文学者クリストフ・グリーンベルガーは1630年に10の⁴⁰乗辺を使って38桁に到達した。^[63]クリスティアーン・ホイヘンスは1654年にリチャードソン外挿法と同等のわずかに異なる方法を使って小数点以下10桁に到達した。^{[64] [65]}${\textstyle 3\times 2^{28}}$${\textstyle 3\times 2^{17}}$

πの計算は、16世紀と17世紀に無限級数技法が開発されたことで革命的に変化した。無限級数とは、無限列の項の和である。無限級数により、数学者はアルキメデスや他の幾何学的技法を使用する人々よりもはるかに高い精度でπを計算することができた。 ^[66]無限級数は、ジェームズ・グレゴリーやゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツなどのヨーロッパの数学者によってπに最も顕著に利用されたが、このアプローチは14世紀か15世紀のいずれかの時期にケーララ学派にも登場した。 ^{[67] [68]西暦1500年頃、} πを計算するために使用できる無限級数の記述が、ニラカンタ・ソマヤジによるサンスクリット語の詩『タントラサングラハ』で発表された。^[67]この級数は証明なしで提示されているが、証明は西暦1530年頃の後代の著作『ユクティバーシャ』で提示されている。いくつかの無限級数が説明されており、その中には正弦級数（ニラカンタはサンガマグラマのマドハヴァに帰している）、余弦級数、逆正接級数があり、これらは現在ではマドハヴァ級数と呼ばれることもある。逆正接級数はグレゴリー級数またはグレゴリー・ライプニッツ級数と呼ばれることもある。^[67]マドハヴァは1400年頃に無限級数を使ってπを11桁まで推定した。^[69]

1593年、フランソワ・ヴィエトは、現在ヴィエトの公式として知られる無限積（ πの計算でよく使われる無限和ではなく）を発表しました。^{[70] [71] [72]} $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$

1655年、ジョン・ウォリスは現在ウォリス積として知られる無限積を発表した。^[70] $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$$

1660年代、イギリスの科学者アイザック・ニュートンとドイツの数学者ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツが微積分を発見し、 πを近似するための多くの無限級数の開発につながった。ニュートン自身も1665年か1666年に逆正弦級数を使用してπの15桁の近似値を計算し、「当時は他に用事がなかったのに、これらの計算を何桁まで行ったかを言うのは恥ずかしい」と書いている。^[73]

1671年にジェームズ・グレゴリーが、そして独立に1673年にライプニッツが、逆正接のテイラー級数展開を発見した。^{[67] [74] [75]} $${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$$

この級数はグレゴリー・ライプニッツ級数とも呼ばれ、で評価すると に等しくなります。^[75]しかし の場合は、非現実的なほどゆっくりと収束し（つまり、非常にゆっくりと答えに近づき）、各追加桁を計算するのに約10倍の項が必要になります。^[76]${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle z=1}$

1699年、イギリスの数学者アブラハム・シャープはグレゴリー・ライプニッツ級数を用いてπを71桁まで計算し、多角形アルゴリズムで達成された39桁というそれまでの記録を破った。^[77]${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

1706年、ジョン・マチンはグレゴリー・ライプニッツ級数を用いて、はるかに高速に収束するアルゴリズムを作成した。^{[3] [78] [79]} $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

マチンはこの公式でπの100桁に到達した。 ^{[80]他の数学者たちは、現在では}マチン風公式として知られる変種を作成し、 πの桁を計算するためのいくつかの連続した記録を樹立するのに使用された。^{[81] [80]}

アイザック・ニュートンは1684年にグレゴリー・ライプニッツ級数の収束を加速させた（未発表の研究で、他の研究者は独立してこの結果を発見した）: ^[82]

${\displaystyle \arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots }$

レオンハルト・オイラーは1755年に出版した微分積分の教科書でこの級数を広め、後にマチンのような公式と組み合わせて使用​​し、1時間でπの20桁を計算した。 ^[83]${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}},}$

マシンのような公式は、コンピュータの時代になってもπを計算するための最もよく知られた方法であり、250年間にわたって記録を樹立し、1946年にダニエル・ファーガソンによって620桁の近似値が算出されました。これは計算機の助けを借りずに達成された最良の近似値でした。^[84]

1844年、ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスの要請により、ザカリアス・ダーゼがマチンのような公式を用いてπの200桁を頭の中で計算するという記録を樹立した。^[85]

1853年、イギリスの数学者ウィリアム・シャンクスは円周率を607桁まで計算したが、528桁目で間違いを犯し、それ以降の桁がすべて間違ったものとなった。1873年に彼はさらに100桁を計算し、合計は707桁になったが、以前の間違いによって新しい桁もすべて間違ったものとなった。^[86]

π の無限級数の中には、他の級数よりも速く収束するものがあります。π の無限級数が2つある場合、数学者は一般的に、より速く収束する方を選択します。なぜなら、収束が速いほど、 π を任意の精度で計算するために必要な計算量が減るからです。 ^[87] πの単純な無限級数は、グレゴリー・ライプニッツ級数です。^[88] $${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$$

この無限級数の個々の項が合計に加えられると、合計は徐々にπに近づき、十分な数の項があれば、望むだけπに近づくことができます。しかし、収束は非常に遅く、500,000項を超えると、 πの正しい小数点は5桁しか生成されません。^[89]

グレゴリー・ライプニッツ級数よりも速く収束するπの無限級数（15世紀にニラカンタによって発表されたもの）は次の通りである： ^{[90] [91]} $${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$$

次の表は、これら 2 つのシリーズの収束率を比較したものです。

5項後、グレゴリー・ライプニッツ級数の和は正しいπの値の0.2以内であるのに対し、ニラカンタ級数の和は正しい値の0.002以内である。ニラカンタ級数はより速く収束し、πの桁を計算するのにより有用である。さらに速く収束する級数には、マチン級数とチュドノフスキー級数があり、後者は1項あたり14桁の正しい10進数を生成する。^[87]

πに関する数学的進歩のすべてが近似値の精度向上を目的としたわけではない。1735年にオイラーがバーゼル問題を解き、逆数の平方和の正確な値を見つけたとき、彼はπと素数の関係を確立し、後にリーマンゼータ関数の開発と研究に貢献した。^[92]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$$

スイスの科学者ヨハン・ハインリヒ・ランバートは1768年にπが無理数であることを証明した。つまり、π^は2つの整数の商と等しくないということだ。 ^[21] ランバートの証明は、正接関数の連分数表現を利用した。^[93]フランスの数学者アドリアン・マリー・ルジャンドルは1794年にπ2も無理数であることを証明した。1882年にドイツの数学者フェルディナント・フォン・リンデマンはπが超越数であることを証明し、^[94]ルジャンドルとオイラーの両者の予想を裏付けた。^{[95] [96]}ハーディとライトは「証明はその後ヒルベルト、フルヴィッツ、その他の著者によって修正され、簡略化された」と述べている。^[97]

最も初期の用法では、ギリシャ文字πは円の半周（ラテン語でsemiperipheria ）を表すために使用され^{[8] 、} δ（直径または半直径）またはρ（半径）との比率で組み合わされて円定数を形成しました。^{[98] [99] [100] [101] （それ以前は、数学者は代わりに}cやpなどの文字を使用することがありました。^[102]）記録されている最初の使用は、1647年版以降のClavis Mathematicaeで円周と直径の比を表すためにオートレッドの 「」${\displaystyle \delta .\pi }$です。^{[103] [102]}バローも同様に「」を使用して定数3.14...を表し、^[104]グレゴリーは代わりに「」を使用して6.28...を 表しました。^{[105] [100]} ${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$

円周と直径の比を表すためにギリシャ文字πのみを使用した最も古い例は、ウェールズの数学者ウィリアム・ジョーンズが1706年に著作「数学の新入門」の中で使用したことである。^{[3] [106]}ギリシャ文字は、半径1の円について計算された「周長（π）」というフレーズの243ページに登場する。しかし、ジョーンズはπの方程式は「真に独創的なジョン・マシン氏の筆による」と記しており、マシンがジョーンズより前にギリシャ文字を使用していたのではないかと推測されている。^[102]ジョーンズの表記法はすぐには他の数学者に採用されず、分数表記法は1767年まで使用されていた。^{[98] [107]}${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$

オイラーは1727年の『空気の性質を説明する論文』から一文字形式を使い始めたが、この作品とその後のいくつかの著作では円周と半径の比であるπ = 6.28...を使用した。 ^{[108] [109]}オイラーは1736年の著作『機械論』で 初めてπ = 3.14...を使用し、^[110]広く読まれた1748年の著作『無限分析入門』でもこれを続けた（彼は「簡潔にするためにこの数をπと書く。したがってπは半径1の円の円周の半分に等しい」と書いている）。^[111]オイラーはヨーロッパの他の数学者と頻繁に連絡を取っていたため、ギリシャ文字の使用は急速に広まり、その後西洋世界では広く採用されましたが、^[102]定義は1761年になっても3.14...から6.28...の間で変動していました。 ^[112]

20世紀半ばのコンピュータの発達により、 πの桁数の探求に再び革命が起こった。数学者のジョン・レンチとレヴィ・スミスは1949年に卓上計算機を使用して1,120桁に到達した。^[113]逆正接（アークタンジェント）無限級数を使用して、同じ年にジョージ・ライトウィーズナーとジョン・フォン・ノイマンが率いるチームは、 ENIACコンピュータで70時間の計算を要し、2,037桁を達成した。^{[114] [115]}この記録は常に逆正接級数に依存しており、1955年に3089桁、^[116] 1957年に7480桁、1958年に10,000桁、1961年に100,000桁と繰り返し破られ、1973年に100万桁に到達した。^[114]

1980年頃に起こった2つのさらなる進歩により、 πの計算能力が再び加速した。1つ目は、無限級数よりもはるかに高速なπを計算するための新しい反復アルゴリズムの発見、2つ目は、大きな数を非常に高速に乗算できる高速乗算アルゴリズムの発明である。 ^[117]このようなアルゴリズムは、コンピュータのほとんどの時間が乗算に費やされているため、現代のπ計算では特に重要である。 ^{[118]これらには、}カラツバアルゴリズム、トゥーム・クック乗算、フーリエ変換ベースの方法などがある。^[119]

反復アルゴリズムは、物理学者ユージン・サラミンと科学者リチャード・ブレントによって1975年から1976年にかけて独立に発表されました。^[120]これらは無限級数への依存を避けます。反復アルゴリズムは特定の計算を繰り返し、各反復では前のステップからの出力を入力として使用し、各ステップで目的の値に収束する結果を生成します。このアプローチは、実際には160年以上前にカール・フリードリヒ・ガウスによって発明され、現在では算術幾何平均法（AGM法）またはガウス・ルジャンドルアルゴリズムと呼ばれています。^[120]サラミンとブレントによって修正されたこのアルゴリズムは、ブレント・サラミンアルゴリズムとも呼ばれます。

反復アルゴリズムは、無限級数アルゴリズムよりも高速であるため、1980 年以降広く使用されました。無限級数は通常、連続する項で正しい桁の数を加算的に増やしますが、反復アルゴリズムは通常、各ステップで正しい桁の数を乗算します。たとえば、ブレント・サラミン アルゴリズムは、各反復で桁数を 2 倍にします。1984 年、ジョンとピーター ボーウェイン兄弟は、各ステップで桁数を 4 倍にする反復アルゴリズムを作成し、1987 年には、各ステップで桁数を 5 倍にするアルゴリズムを作成しました。^{[121]反復法は、日本の数学者}金田康正によって使用され、 1995 年から 2002 年の間にπ の計算でいくつかの記録を樹立しました。 ^[122]この迅速な収束には代償が伴います。反復アルゴリズムは、無限級数よりも大幅に多くのメモリを必要とします。^[122]

π を含むほとんどの数値計算では、数桁の数字で十分な精度が得られます。Jörg Arndt と Christoph Haenel によると、39 桁の数字があればほとんどの宇宙論計算に十分です。なぜなら、それが観測可能な宇宙の円周を原子 1 個の精度で計算するために必要な精度だからです。Arndt は、計算上の丸め誤差を補正するために必要な追加の桁を考慮して、数百桁の数字があればどの科学的アプリケーションでも十分であると結論付けています。それにもかかわらず、人々はπ を数千桁、数百万桁まで計算するために精力的に取り組んできました。^[123]この努力は、記録を破ろうとする人間の衝動に部分的に起因している可能性があり、πに関するそのような成果はしばしば世界中でニュースの見出しになります。^{[124] [125]また、}スーパーコンピュータのテスト、数値解析アルゴリズム (高精度の乗算アルゴリズムを含む)のテストなど、実用的な利点もあります。そして純粋数学自体においては、 πの桁のランダム性を評価するためのデータを提供している。^[126]

現代のπ計算機は反復アルゴリズムだけを使用するわけではない。1980年代と1990年代には、反復アルゴリズムと同じくらい高速でありながら、より単純でメモリをあまり消費しない新しい無限級数が発見された。^{[122]高速反復アルゴリズムは、インドの数学者}シュリニヴァーサ・ラマヌジャンがπの革新的な新しい公式を数十個発表した1914年に予見されていた。その公式は、その優雅さ、数学的深み、そして急速な収束で注目に値するものだった。^[127]モジュラー方程式に基づく彼の公式の1つは、 $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}$$

この級数は、マチンの公式を含むほとんどの逆正接級数よりもはるかに速く収束します。^[128] ビル・ゴスパーは、 πの計算の進歩のためにこれを最初に使用し、1985年に1700万桁の記録を樹立しました。^{[129]ラマヌジャンの公式は、ボルウェイン兄弟（}ジョナサンとピーター）とチュドノフスキー兄弟によって開発された現代のアルゴリズムを先取りしていました。^[130] 1987年に開発された チュドノフスキーの公式は$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.}$$

この式は1項あたり約14桁のπを生成し^[131]、1989年にチュドノフスキー兄弟によって10億（10 ⁹ ）桁を超えた最初のπ計算、2011年にアレクサンダー・イーと近藤茂によって10兆（10 ¹³）桁を超えた最初のπ計算、^[132]そして2022年にエマ・ハルカ・イワオによって100兆桁を超えた最初のπ計算など、いくつかの記録的なπ計算に使用されてきた。 ^[133]同様の公式については、ラマヌジャン-佐藤級数も参照。

2006年、数学者サイモン・プラウフはPSLQ整数関係アルゴリズム^{[134]を使用して、}次のテンプレートに準拠した πの新しい式をいくつか生成しました。 ここでqはeπ（ゲルフォン定数）、kは奇数、a、b、cはプラウフが計算した特定の有理数です。^[135]$${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$$

モンテカルロ法は、複数のランダムな試行の結果を評価し、 πの近似値を作成するために使用できます。^[136] ビュフォンの針はそのような技術の1つです。長さℓの針を、 t単位間隔で平行線が引かれた表面にn回落とし、そのうちx回針が直線を横切って止まる場合（x  > 0）、そのカウントに基づいてπを近似できます。 ^[137] $${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$$

πを計算するための別のモンテカルロ法は、正方形に内接する円を描き、正方形の中にランダムに点を配置するというものである。円内の点の数と点の総数の比率は、およそπ/4に等しくなる。^[138]

確率を用いてπを計算する別の方法は、一連の（公平な）コイン投げによって生成されるランダムウォークから始めることである。ランダムウォークとは、 X _k ∈ {−1,1}となるような独立なランダム変数 X _{k を}等確率で生成するものである。関連するランダムウォークは 、各nに対して、W _{n が}シフトおよびスケールされた二項分布から抽出されるもの である。nが変化すると、W _{n は}（離散）確率過程を定義する。すると、π は次のように計算できる^[139]$${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$$ $${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$$

このモンテカルロ法は円との関係とは無関係であり、以下で説明する中心極限定理の結果です。

πを近似するこれらのモンテカルロ法は他の方法に比べて非常に遅く、得られる桁数の正確な情報を提供しません。そのため、速度や精度が求められる場合にπを近似するために使用されることはありません。^[140]

1995年に2つのアルゴリズムが発見され、 πの研究に新たな道が開かれました。これらは、蛇口から滴り落ちる水のように、計算後に再利用されないπの1桁を生成するため、スピゴットアルゴリズムと呼ばれています。[ ^{141] [142]}これは、最終結果が生成されるまですべての中間桁を保持して使用する無限級数アルゴリズムや反復アルゴリズムとは対照的です。^[141]

数学者のスタン・ワゴンとスタンレー・ラビノウィッツは1995年にシンプルなスピゴットアルゴリズムを生み出した。^{[142] [143] [144]}その速度は逆正接アルゴリズムに匹敵するが、反復アルゴリズムほど速くはない。^[143]

もう一つのスピゴットアルゴリズムであるBBP 数字抽出アルゴリズムは、1995年にサイモン・プラウフによって発見されました。^{[145] [146]} $${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$$

この式は、それ以前の式とは異なり、先行するすべての桁を計算することなく、 πの任意の16進桁を生成することができる。 ^[145]個々の16進桁から個々の2進桁を抽出でき、 1つまたは2つの16進桁から8進桁を抽出できる。桁抽出アルゴリズムの重要な用途は、記録π計算の新しい主張を検証することである。新しい記録が主張された後、10進結果は16進数に変換され、次に桁抽出アルゴリズムを使用して、末尾近くでランダムに選択されたいくつかの16進桁を計算する。それらが一致した場合、これは計算全体が正しいという信頼性の尺度となる。^[132]

1998年から2000年にかけて、分散コンピューティングプロジェクトPiHexは、ベラールの公式（BBPアルゴリズムの修正版）を使用して、 πの1000兆分の1（10の¹⁵乗）ビットを計算しましたが、結果は0でした。^[147] 2010年9月、Yahoo!の従業員が、同社のHadoopアプリケーションを1,000台のコンピューターで23日間にわたって使用し、 πの2000兆分の1（2×10の^{15乗）ビットで256}ビットを計算しましたが、これも0でした。^[148]

2022年、プルーフはπの桁を計算するための10進アルゴリズムを発見した。^[149]

π は円と密接な関係があるため、幾何学や三角法の分野、特に円、球、楕円に関する多くの公式に登場します。統計学、物理学、フーリエ解析、数論などの他の科学分野でも、いくつかの重要な公式に πが含まれています。

πは、楕円、球、円錐、トーラスなど、円を基本とした幾何学的形状の面積や体積の公式に登場します。以下は、 πを含む一般的な公式の一部です。^[150]

• 半径rの円の円周は2π rです。
• 半径rの円の面積はπ r ²です。
• 長半径aと短半径bを持つ楕円の面積はπ abです。
• 半径rの球の体積は⁠4/3⁠ π r ³。
• 半径rの球の表面積は4π r ²です。

上記の公式のいくつかは、以下に示すn次元球の体積とその境界である( n −1) 次元球の表面積の特殊なケースです。

円以外にも、一定幅の曲線は存在する。バルビエの定理によれば、一定幅の曲線の周囲は幅のπ倍である。ルーローの三角形（正三角形の辺を半径とする3つの円の交差によって形成される）は、その幅に対して面積が最小で、円が最大である。一定幅の円でない滑らかな代数曲線も存在する。^[151]

円周、面積、または円によって生成される形状の体積を表す定積分は、通常、 πを含む値を持ちます。たとえば、半径1の円の面積の半分を指定する積分は次のように表されます。^[152] $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

この積分では、関数は半円の軸上の高さを表し（平方根はピタゴラスの定理の結果です）、積分は半円の下の面積を計算します。 ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle x}$

このような積分の存在によりπは代数的周期となる。^[153]

三角関数は角度に依存しており、数学者は一般的に測定単位としてラジアンを使用します。ラジアンで測定された角度ではπが重要な役割を果たします。ラジアンは、完全な円が2πラジアンの角度に広がるように定義されています。180°の角度の測定値はπラジアン に等しく、1° = π /180ラジアンです。^[154]

一般的な三角関数の周期はπの倍数である。例えば、正弦関数と余弦関数の周期は2πである[ 155 ^{]ので、任意の角度}θと任意の整数kに対して、^[155] $${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$$

数学や科学の公式にπが現れることが多いのは、幾何学との密接な関係に関係しています。しかし、πは幾何学とはまったく関係のない多くの自然界の状況にも現れます。

多くの応用において、λ は固有値として重要な役割を果たします。たとえば、理想的な振動弦は、固定端f (0) = f (1) = 0を持つ単位区間[0, 1]上の関数fのグラフとしてモデル化できます。弦の振動モードは、微分方程式、またはの解です。したがって、λ は2 次微分演算子の固有値であり、ストゥルム・リウヴィル理論によって特定の値のみを取るように制約されます。演算子は負定値であるため、λ は正でなければなりません。したがって、 λ = ν ²と書くのが便利です。ここで、ν > 0は波数と呼ばれます。すると、f ( x ) = sin( π x )は境界条件とν = πの微分方程式を満たします。^[156] ${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$ ${\displaystyle f\mapsto f''}$

π の値は、実際はそのような波数の最小値であり、弦の基本振動モードに関連付けられています。これを示す 1 つの方法は、 Wirtinger の不等式を満たすエネルギー を推定することです。^[157] f (0) = f (1) = 0でf、f ′ が両方とも平方積分可能な関数の場合、次式が得られます 。 f がsin(π x )の倍数である 場合に、正確に等しくなります。ここで、π はWirtinger の不等式で最適定数として現れ、固有値の変分特性を使用して、それが最小の波数であることがわかります。結果として、πは、両端で消える[0, 1]上の関数の空間(ソボレフ空間) 上の微分演算子の最小の特異値です。 ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$$ ${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$

πという数は、高次元解析における同様の固有値問題にも登場する。上で述べたように、円周不等式における最良の定数としての役割によって特徴付けることができる。つまり、周囲長Pの平面ジョルダン曲線で囲まれた面積Aは不等式を満たし 、円については明らかに等式が達成される。その場合、 A = π r ²かつP = 2π rと なるからである。^[159]$${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$$

最終的に、等周不等式の結果として、π はn次元の臨界ソボレフ不等式の最適定数に現れ、したがって、古典的なポテンシャル理論などの多くの物理現象におけるπの役割も特徴付けます。^{[160] [161] [162]} 2次元では、臨界ソボレフ不等式は、 R ²にコンパクトな台を持つ滑らかな関数f に対して、はfの勾配であり、およびはそれぞれL ^{2 ノルム}とL ¹ノルムを指します。ソボレフの不等式は、最適な定数が同じである等周不等式（任意の次元）と同等です。 $${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle \|f\|_{2}}$${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$

^{ヴィルティンガーの不等式は}、 n次元膜のディリクレエネルギーに最適な定数を与える高次元のポアンカレ不等式にも一般化される。具体的には、 πは、直径1のRnの すべての凸部分集合Gと、平均0のG上の二乗可積分関数uに対して最大の定数である 。^{[163]ヴィルティンガーの不等式が1次元の}ディリクレ固有値問題の変分形式で あるのと同様に、ポアンカレ不等式は任意の次元のノイマン固有値問題の変分形式である。 $${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$$

定数π は、フーリエ変換における重要なスペクトルパラメータとしても現れます。これは、実数直線上の 複素数値の積分可能な関数fを次のように定義される関数に変換する積分変換です。$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$$

フーリエ変換とその逆変換にはいくつかの異なる慣例があるが、そのような慣例には必ずどこかにπが含まれる。しかし、上記は最も標準的な定義であり、 L ²上の唯一のユニタリ演算子を与え、それはL ^1からL ^∞への代数準同型でもある。^[164]

ハイゼンベルクの不確定性原理にはπという数も含まれる。不確定性原理は、関数を空間と周波数の両方で局所化できる範囲に明確な下限を与える。フーリエ変換の慣例によれば、 $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}$$

量子力学システムの位置と運動量の同時観測における不確実性に関する物理的な帰結については、以下で議論する。フーリエ解析の式にπが現れるということは、究極的にはストーン・フォン・ノイマンの定理の結果であり、ハイゼンベルク群のシュレーディンガー表現の一意性を主張している。^[165]

確率と統計の分野では、複雑な現象の単純なモデルとして正規分布がよく使われます。例えば、科学者は一般的に、ほとんどの実験における観測誤差は正規分布に従うと仮定しています。 ^[166]平均μと標準偏差σの正規分布の確率密度関数であるガウス関数には、当然πが含まれます。^[167] $${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$$

の係数 により、確率分布に必要なように、fのグラフの下の面積は1になります。これは、ガウス積分における変数の変更から得られます。^{[167]これは、図の基本的な}ベル曲線 の下の面積がπの平方根に等しいことを示しています。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}}$$

中心極限定理は、確率と統計における正規分布、ひいてはπの中心的役割を説明する。この定理は、ハイゼンベルクの不確定性原理に関連する固有値としてのπのスペクトル特性と、不確定性原理において等式がガウス関数に対してのみ成立するという事実と最終的に結びついている。^[168]同様に、πはガウス正規分布e ^{−π x 2を}それ自身のフーリエ変換に等しくする唯一の定数である。 ^[169]実際、ハウ（1980）によれば、フーリエ解析の基本定理を確立する「すべての仕事」はガウス積分に還元される。^[165]

定数π は、曲面の微分幾何学をその位相に関連付けるガウス・ボネの公式に登場します。具体的には、コンパクト曲面Σ がガウス曲率K を持つ場合、 χ (Σ) はオイラー特性 で、整数です。^{[170]一例は、曲率 1 の球}S の表面積です(したがって、その曲率半径 は球の半径と一致し、これも 1 です)。球のオイラー特性は、そのホモロジー群から計算でき、2 に等しいことがわかります。したがって、 半径 1 の球の表面積の公式を再現できます。 $${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$$$${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$$

この定数は位相幾何学における他の多くの積分公式、特にチャーン・ヴェイユ準同型を介して特性類を含む積分公式に現れる。^[171]

複素解析における重要なツールの1つは、正の向き（修正可能）ジョルダン曲線γ上の関数の輪郭積分である。コーシーの積分公式の形式は、点z _0がγの内部にある場合、^[172] $${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$$

曲線γは円ではないため、定数πとの明らかな関係はありませんが、この結果の標準的な証明には、積分が曲線のホモトピーの下で不変であることを示唆するモレラの定理が使用され、そのため、曲線を円に変形してから極座標で明示的に積分することができます。より一般的には、修正可能な閉曲線γ にz _{0 が}含まれていない場合、上記の積分は曲線の 巻数の2π i倍であるというのは本当です。

コーシーの積分公式の一般形は、ジョルダン曲線γ上の複素解析関数 f ( z )の値と、 γの任意の内部点z _0でのf ( z )の値との間の関係を確立します。^[173] ただし、f ( z ) はγで囲まれた領域で解析的であり、γまで連続的に拡張されます。コーシーの積分公式は留数定理の特殊なケースであり、g ( z ) がγで囲まれた領域で有理型関数であり、 γの近傍で連続している場合、 g ( z )の極における留数 の和が成り立ちます。 $${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})}$$$${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}$$

定数πはベクトル解析やポテンシャル理論のいたるところで使われており、例えばクーロンの法則^[174] 、ガウスの法則、マクスウェル方程式、さらにはアインシュタインの場の方程式[175]にも見られます。^{[176]おそらく} この最も単純な例は2次元ニュートンポテンシャルで、これは原点における点源のポテンシャルを表し、その関連する場は、その点源を囲む任意の滑らかで有向の閉じた面を通る 単位外向きのフラックスを持ちます。 の係数は、が におけるポアソン方程式の基本解であることを保証するために必要です。^[177] ここで はディラックのデルタ関数です。 $${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.}$$${\displaystyle 1/2\pi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \Delta \Phi =\delta }$$${\displaystyle \delta }$

高次元では、単位n球のn次元体積による正規化のため、 πの因子が存在します。たとえば、3次元では、ニュートンポテンシャルは次のようになります。^[177] これは、分母に単位2球の2次元体積（つまり面積）を持ちます。 $${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},}$$

階乗関数はnまでの正の整数すべての積である。ガンマ関数は階乗の概念（通常は非負の整数に対してのみ定義される）を、単位元 を持つ負の実数を除くすべての複素数に拡張する。ガンマ関数を半整数で評価すると、結果にはπ が含まれる。たとえば、および である。^[178]${\displaystyle n!}$${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$

ガンマ関数はワイエルシュトラス積展開によって定義される: ^[179] ここでγはオイラー・マスケローニ定数である。z = 1/2で評価して2乗すると、方程式Γ(1/2) ² = πはワリス積公式に簡約される。ガンマ関数はリーマンゼータ関数および関数行列式の恒等式にも関連しており、定数πが重要な役割を果たしている。 $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}}$$

ガンマ関数は、ユークリッドn次元空間における半径rのn次元球の体積_Vn ( r )と、その境界である( n −1)次元球の表面積Sn − 1 ( _{r )}を計算するために使用される。^[180] $${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$$ $${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n-1}.}$$

さらに、関数方程式から次の式が導かれる。 $${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$$

ガンマ関数は、大きなnに対する階乗関数n !の単純な近似値を作成するために使用できます。これはスターリング近似として知られています。^[181] 同様に、 ${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$$

スターリング近似の幾何学的応用として、Δ _{n を}n次元ユークリッド空間の標準単体、( n  + 1)Δ _{n を}そのすべての辺がn  + 1倍に拡大された単体とします。 $${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$$

エアハートの体積予想は、これが1つの格子点のみを含む凸体の体積の（最適な）上限であるというものである。^[182]

リーマンゼータ関数 ζ ( s )は数学の多くの分野で用いられている。s = 2で評価すると次のように書ける。 $${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$$

この無限級数の簡単な解を見つけることは、数学ではバーゼル問題と呼ばれる有名な問題でした。レオンハルト・オイラーは、それがπ ² /6に等しいことを示して、1735年にこれを解決しました。^[92]オイラーの結果は、2つのランダムな数が互いに素である確率（つまり、共通の因数を持たない）は6/π ²に等しいという数論の結果につながります。^{[183]​​ [184]}この確率は、任意の数が素数pで割り切れる確率は1/ pであるという観察に基づいています（たとえば、7番目ごとに整数は7で割り切れます）。したがって、2つの数が両方ともこの素数で割り切れる確率は1/ p ²であり、少なくとも1つが割り切れない確率は1 − 1/ p ²です。異なる素数の場合、これらの割り切れるイベントは相互に独立しているため、2つの数が互いに素である確率は、すべての素数の積で与えられます。^[185] $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$$

この確率は乱数発生器と組み合わせてモンテカルロ法を用いてπを近似するために使用することができる。 ^[186]

バーゼル問題の解決は、幾何学的に導出された量πが素数の分布と深く結びついていることを意味する。これは、各素数pに局在する算術量と幾何学量（ある局所対称空間の体積の逆数）との類似の無限積が等しいことを主張する、玉川数に関するヴェイユ予想の特別な場合である。バーゼル問題の場合、それは双曲3次元多様体SL ₂ ( R ) / SL ₂ ( Z )である。^[187]

ゼータ関数は、ガンマ関数だけでなく πも含むリーマン関数方程式も満たします。$${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$$

さらに、ゼータ関数の導関数は $${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$$

結果として、πは調和振動子の関数行列式から得られる。この関数行列式は積展開によって計算でき、ワリス積の公式と同等である。^{[188]この計算は}量子力学、具体的には水素原子のスペクトルに対する変分アプローチ で書き直すことができる。^[189]

定数π は周期関数のフーリエ級数にも自然に現れる。周期関数は実数の小数部の群T = R / Z上の関数である。フーリエ分解は、 T上の複素数値関数f がTの単位指標の無限線形重ね合わせとして表せることを示す。つまり、Tから単位係数複素数の円群U (1)への連続群準同型である。 Tのすべての指標が複素指数関数のいずれかであるというのは定理である。 ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$

Tには、複素共役を除けば、群同型である唯一の指標が存在する。円群上のハール測度を用いると、定数π はこの指標のラドン・ニコディム微分の大きさの半分である。他の指標には、その大きさが 2 πの正の整数倍である微分がある。^[20] 結果として、定数πは、ハール測度を備えた群Tが 2 πの整数倍の格子とポンチャギン双対となる唯一の数である。^{[191]これは、1次元の}ポアソン和公式 のバージョンである。

定数π は、モジュラー形式やシータ関数の理論と深く関係しています。たとえば、チュドノフスキーアルゴリズムには、楕円曲線のj 不変量が本質的に含まれています。

モジュラー形式は、群 の格子であるモジュラー群（またはそのさまざまな部分群）の下での変換特性によって特徴付けられる上半平面上の正則関数です。例としては、ヤコビ形式 と呼ばれる一種のモジュラー形式であるヤコビ・シータ関数があります。^{[192]これは、}ノーム という用語で記述されることもあります。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

定数πは、ヤコビ・シータ関数を保型形式にする唯一の定数であり、これは特定の方法で変換されることを意味する。すべての保型形式には特定の恒等式が成り立つ。一例は、 θが離散ハイゼンベルク群の下での表現として変換されること を意味する。一般のモジュラー形式や他のシータ関数にもπが含まれるが、これもストーン・フォン・ノイマンの定理によるものである。^[192]$${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$$

コーシー分布は 確率密度関数 です。積分により、全体の確率は 1 になります。 $${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .}$$

コーシー分布のシャノンエントロピーはln(4π)に等しく、これもπを含みます。

コーシー分布は、最も単純なファーステンベルク測度であり、半平面におけるブラウン運動に関連する古典的なポアソン核であるため、ポテンシャル理論において重要な役割を果たしている。 ^[193]共役調和関数、そしてヒルベルト変換は、ポアソン核の漸近挙動と関連している。ヒルベルト変換Hは、特異積分のコーシー主値によって与えられる積分変換である。 $${\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.}$$

定数πは唯一の（正の）正規化因子であり、Hは実数値関数の平方可積分な実数直線上のヒルベルト空間上の線型複素構造を定義する。 ^{[194]ヒルベルト変換は、フーリエ変換と同様に、ヒルベルト空間}L ² ( R ) 上の変換特性によってのみ特徴付けることができる。正規化因子を除けば、ヒルベルト変換は、正の拡大と交換し、実数直線のすべての反射と反交換する唯一の有界線型演算子である。^[195] 定数πは、この変換をユニタリにする唯一の正規化因子である。

マンデルブロ集合と呼ばれるフラクタルにおけるπの出現は、1991年にデイヴィッド・ボルによって発見された。^{[196]彼は、マンデルブロ集合の「首」である}（−0.75, 0）付近の挙動を調べた。点（−0.75, ε）の発散までの反復回数にεを掛けると、 εがゼロに近づくにつれて結果はπに近づく。マンデルブロ集合の右側にある大きな「谷」の先端にある点（0.25 + ε、0）も同様に挙動し、発散までの反復回数にεの平方根を掛けるとπに近づく。^{[196] [197]}

V を常微分方程式 を満たすすべての2回微分可能な実関数の集合とする。すると、V は2次元実ベクトル空間となり、2つのパラメータはそれぞれ微分方程式の初期条件のペアに対応する。任意の に対して、を評価関数 とし、これは各 に実点tにおける関数fの値を関連付ける。すると、各tに対して、の核はVの1次元線形部分空間となる。したがって、 は実直線 から実射影直線への関数 を定義する。この関数は周期的であり、量π はこの写像の周期として特徴付けることができる。^{[198]この文脈では、定数}πではなく 2 π が自然に現れる点が注目に値する。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f''(x)+f(x)=0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle e_{t}:V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f\in V}$${\displaystyle e_{t}(f)=f(t)}$${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle t\mapsto \ker e_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {P} (V)}$

πは物理定数ではないが、宇宙の基本原理を説明する方程式に頻繁に登場する。これは、πが円や球面座標系と関係していることが多いためである。古典力学の分野からの簡単な式は、小さな振幅で揺れる長さLの単振り子のおおよその周期Tを与える（ gは地球の重力加速度）。^[199] $${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.}$$

量子力学の重要な公式の一つにハイゼンベルクの不確定性原理がある。これは、粒子の位置（Δ x）と運動量（Δ p）の測定における不確定性は、同時に任意に小さくなることはできないことを示している（ここでhはプランク定数）。^[200] $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}$$

πがおよそ3に等しいという事実は、オルトポジトロニウムの比較的長い寿命に影響を及ぼしている。微細構造定数 αの最低次の逆寿命は^[201] であり、 ここでm _{e は}電子の質量である。 $${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},}$$

πは、オイラーによって導かれた座屈公式など、いくつかの構造工学の公式に登場します。この公式は、長さL、弾性係数E、断面慣性モーメントIの細長い柱が座屈することなく支えることができる最大軸荷重Fを与えます。^[202] $${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}$$

流体力学の分野では、ストークスの法則にπが含まれており、これは、動粘性ηの流体中を速度vで運動する半径Rの小さな球状物体に働く摩擦力Fを近似するものである：^[203] $${\displaystyle F=6\pi \eta Rv.}$$

電磁気学では、真空透磁率定数μ 0_は、電磁場と電磁放射の特性を記述するマクスウェル方程式に登場します。2019年5月20日以前は、次のように定義されていました。 $${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.}$$

円周率学は円周率の桁を大量に暗記する習慣であり、^[204]ギネス世界記録によって世界記録が保持されている。ギネス世界記録に認定された円周率の桁数暗記の記録は、2015年3月21日にインドでラジヴィール・ミーナが9時間27分かけて暗唱した7万桁である。^[205] 2006年、引退した日本人エンジニアの原口明が小数点以下10万桁を暗唱したと主張したが、この主張はギネス世界記録によって検証されなかった。^[206]

一般的な方法の 1 つは、物語や詩を暗記することです。その物語や詩では、単語の長さがπの数字を表します。最初の単語は 3 文字、2 番目の単語は 1 文字、3 番目の単語は 4 文字、4 番目の単語は 1 文字、5 番目の単語は 5 文字、というように続きます。このような暗記補助は、ニーモニックと呼ばれます。円周率のニーモニックの初期の例として、もともとイギリスの科学者ジェームズ ジーンズが考案した「量子力学に関する長い講義の後は、お酒が飲みたくなる。もちろんアルコール飲料だ」があります。^[204]詩が使用される場合は、ピエムと呼ばれることもあります。 [ ^207] π を暗記するための詩は、英語に加えていくつかの言語で作られています。^[204] 記録的な円周率暗記者は通常、詩に頼らず、代わりに数のパターンを覚えたり、場所法などの方法を使用します。^[208]

数人の著者は、 πの数字を使って、単語の長さがπの数字を表すことを要求される新しい形式の制約付き表記法を確立した。カダエック・カデンツァには、このようにしてπの最初の3835桁が含まれている。 ^[209]また、全編の書籍Not a Wakeには、それぞれがπの1桁を表す10,000語が含まれている。^[210]

おそらくその定義の単純さと数式における普遍的な存在のため、πは他の数学的構成よりも大衆文化の中で表現されてきました。^[211]

パレ・ド・ラ・デクヴェルト（パリの科学博物館）には、円周率の部屋として知られる円形の部屋がある。その壁には707桁のπが刻まれている。数字はドーム状の天井に取り付けられた大きな木製の文字である。数字は1873年にイギ​​リスの数学者ウィリアム・シャンクスが行った計算に基づいているが、528桁目から誤りがあった。この誤りは1946年に発見され、1949年に修正された。^[212]

カール・セーガンの1985年の小説『コンタクト』では、宇宙の創造主がπの数字の奥深くにメッセージを埋め込んだと示唆されている。この部分は小説の映画化では省略された。 ^{[213] [214]} πの数字は、ケイト・ブッシュの2005年のアルバム『エアリアル』に収録されている曲「Pi」の歌詞にも取り入れられている。^[215] 1967年のスタートレックのエピソード「ウルフ・イン・ザ・フォールド」では、制御不能になったコンピューターが「πの値を最後の桁まで計算せよ」という指示によって制御される。^[47]

米国では、円周率の日（パイデー）は3月14日（米国式では3/14と表記）で、学生の間で人気がある。^[47] πとそのデジタル表現は、数学や技術に詳しいグループ内でのジョークとして、自称「数学オタク」によってよく使われる。マサチューセッツ工科大学やレンセラー工科大学が使ったとされる大学の応援歌には「3.14159」が含まれている。^{[216] [217]} 2015年の円周率の日は、3/14/15 9:26:53という日付と時刻が円周率の桁数が多かったため、特に重要だった。^{[218] [219]}日付を日/月/年の形式で表記するのが一般的な地域では、7月22日は「円周率近似の日」で、22/7 = 3.142857となる。^[220]

πをτ = 2πに置き換える ことを提案する者もいる^[221]。これは、 1回転あたりのラジアン数、つまり円周と半径の比としてのτの方がπよりも自然であり、多くの式を簡略化するからである^{[222] 。 [223]}このτの使用は主流の数学には取り入れられていないが^[224]、2010年以降、6月28日を2πの日またはタウの日として祝うようになった。^[225]

1897年、アマチュア数学者がインディアナ州議会を説得してインディアナ円周率法案を可決させようとした。この法案は円を二乗する方法を記述したもので、3.2などπのさまざまな誤った値を示唆する文章が含まれていた。この法案は、数学定数の値を立法府の命令で確立しようとする試みとして悪名高い。この法案はインディアナ州下院で可決されたが、上院で否決されたため、法律にはならなかった。^[226]

現代のインターネット文化では、個人や組織が頻繁に数字πに敬意を払っています。たとえば、コンピュータ科学者の ドナルド・クヌースは、彼のプログラムTeXのバージョン番号をπに近づけました。バージョンは3、3.1、3.14などです。^[227]

多くのプログラミング言語にはプログラムで使用するためのπが含まれています。同様に、τはいくつかのプログラミング言語に定義済み定数として追加されています。^{[228] [229]}

• πの近似値
• πの計算の年表
• 数学定数のリスト

• ワイスタイン、エリック・W.「パイ」。マスワールド。
• ランバート (1761) によるπの無理数の証明、Wayback Machineで 2014 年 12 月 31 日にオンライン アーカイブされ、Wayback Machineで 2015 年 4 月 2 日にアーカイブされた BibNumで分析されています(PDF)。
• π 検索エンジンπ、e、√ 2の 20 億個の数字を検索可能
• 格子点によるπの近似と長方形と台形によるπの近似（インタラクティブなイラスト）