比率

数学では、比率( / ˈ r eɪ ʃ ( i ) oʊ / ) は、ある数が別の数を含む回数を示します。たとえば、果物の入ったボウルにオレンジが 8 個とレモンが 6 個ある場合、オレンジとレモンの比率は 8 対 6 (つまり 8:6、比率 4:3 に相当) です。同様に、レモンとオレンジの比率は 6:8 (または 3:4) で、オレンジと果物の総量の比率は 8:14 (または 4:7) です。

比率内の数値は、人数や物体の数、長さ、重さ、時間などの測定値など、あらゆる種類の量になります。ほとんどの場合、両方の数値は正に制限されます。

比率は、両方の構成数値を「a対b」または「a:b 」と表記して指定するか、商 の値のみを指定して指定することができます。1つの/b⁠ . ^{[1] [2] [3]}等しい商は等しい比に対応します。2つの比が等しいことを表す文は比率と呼ばれます。

したがって、比は、順序付けられた数のペア、最初の数が分子で 2 番目の数が分母である分数、またはこの分数によって表される値として考えることができます。(ゼロ以外の)自然数によって与えられる数の比は有理数であり、自然数である場合もあります。

物理科学（特に計量学）で採用されている比のより具体的な定義は、同じ単位で測定された2つの物理量の間の無次元商です。^[4]異なる単位で測定された2つの量の商は、速度と呼ばれることがあります。^[5]

数値Aと数値Bの比率は次のように表される: ^[6]

• AとBの比率
• A:B
• AはBに対してである（「 CはDに対してである」が続く場合 、下記参照）
• Aを分子、Bを分母とする分数で、商を表す（つまり、AをBで割ったもの）。これは単純分数や小数、パーセンテージなどで表すことができる。^[7] ${\displaystyle {\tfrac {A}{B}}}$

比率がA : B の形式で表記される場合、2つのドットの文字はコロン句読点となることがある。^[8] UnicodeではこれはU+003A : COLONであるが、Unicodeでは専用の比率文字U+2236 ∶ RATIOも提供されている。^[9]

数Aと数Bは比の項と呼ばれることもあり、Aは前件部、Bは後件部です。^[10]

2つの比A : BとC : Dが等しいことを表す式は比率と呼ばれ、[11] A:B=C:DまたはA:B∷C: Dと表記^される。この後者の形式は、英語で話されたり書かれたりするときは、次のように表現されることが多い 。

( AはBに対して) は ( CはDに対して) です。

A、B、C、Dは比例項と呼ばれます。AとDは極値、BとCは平均と呼ばれます。A：B = C：D = E：Fのように、 3つ以上の比率が等しいことを連続比例と呼びます。^[12]

比率は3つ以上の用語で使用されることもあります。たとえば、長さ10インチの 「 2×4 」の辺の長さの比率は、

${\displaystyle {\text{厚さ:幅:長さ}}=2:4:10;}$

(かんながけされていない測定値。木材を滑らかにかんながけすると、最初の 2 つの数値はわずかに減少します)

良質なコンクリートの配合（体積単位）は、次のように表されることがある。

${\displaystyle {\text{セメント:砂:砂利}}=1:2:4.}$^[13]

セメントと水の体積比が 4/1 の (かなり乾燥した) 混合物の場合、セメントと水の比率は 4:1、つまりセメントの量が水の 4 倍、または水の量がセメントの 4 分の 1 (1/4) であると言えます。

2 つ以上の項を持つ比率の意味は、左側の任意の 2 つの項の比率が、右側の対応する 2 つの項の比率に等しいということです。

「比率」という言葉の起源は古代ギリシャ語の λόγος (ロゴス)に遡る。初期の翻訳者はこれをラテン語でratio (「理由」、つまり「合理的」という言葉に使われている)と訳した。ユークリッドの意味のより現代的な解釈は、計算や計算に近い。^{[14]中世の著述家は、比率を表すのに}proportio (「割合」) という言葉を使用し、比率の等しさを表すのにproportionalitas (「比例性」) という言葉を使用した。^[15]

ユークリッドは『原論』に出てくる結果を、より古い文献から集めた。ピタゴラス学派は、数に適用される比と比例の理論を発展させた。^[16]ピタゴラス学派の数の概念には、今日では有理数と呼ばれるものしか含まれていなかったため、幾何学における理論の妥当性に疑問が投げかけられた。幾何学には、無理数に対応する通約不可能な比が存在するが、ピタゴラス学派もそれを発見した。通約可能性を前提としない比の理論の発見は、おそらくクニドスのエウドクソスによるものである。『原論』第7巻に登場する比例の理論の説明は、通約可能なものの比に関する以前の理論を反映している。^[17]

複数の理論が存在することは、比が商とその見込み値と大部分同一視されているため、不必要に複雑に思える。しかし、これは比較的最近の展開であり、現代の幾何学の教科書では比と商に依然として異なる用語と表記法が使用されていることからもわかる。その理由は2つある。第一に、前述のように無理数を真の数として受け入れることに抵抗があったこと、第二に、すでに確立された比の用語に代わる広く使用されている記号がなかったため、分数が代替手段として完全に受け入れられたのは16世紀まで遅れた。^[18]

ユークリッドの『原論』第 5 巻には18 の定義があり、そのすべてが比に関連しています。^[19]さらに、ユークリッドは、非常に一般的に使用されていたアイデアを使用していたため、それらの定義を含めませんでした。最初の 2 つの定義では、量の一部はそれを「測定する」別の量であり、逆に、量の倍数はそれが測定する別の量であるとしています。現代の用語では、これは、量の倍数とは、その量に 1 より大きい整数を掛けたものであり、量の一部 (つまり、アリコット部分) とは、1 より大きい整数を掛けると量になる部分であることを意味します。

ユークリッドはここで使用されている「測定」という用語を定義していません。しかし、ある量を測定単位としてとらえ、2 番目の量をこれらの単位の整数として与えた場合、最初の量が2 番目の量を測定していると推測できます。これらの定義は、第 VII 巻の定義 3 と 5 でほぼ一語一句そのまま繰り返されています。

定義 3 は、比がどのようなものであるかを一般的な方法で説明しています。これは数学的な意味で厳密なものではなく、ユークリッド自身ではなくユークリッドの編集者によるものだとする人もいます。^[20]ユークリッドは、比を同じ種類の2 つの量の間の比と定義しているため、この定義では 2 つの長さまたは 2 つの面積の比は定義されますが、長さと面積の比は定義されません。定義 4 は、これをより厳密にします。これは、2 つの量のそれぞれの倍数が他方を超える場合、2 つの量の比が存在すると述べています。現代の記法では、mp > qかつnq > pとなる整数mとn が存在する場合、量pとqの間に比が存在します。この条件はアルキメデスの性質として知られています。

定義 5 は最も複雑で難しい。これは、2 つの比が等しいとはどういうことかを定義する。今日では、単に項の商が等しいときに比が等しいと述べるだけで済むが、そのような定義はユークリッドにとっては意味がなかっただろう。現代の記法では、ユークリッドの等式の定義は、量p、q、r、sが与えられたとき、p : q ∷ r  : sが成り立つのは、任意の正の整数mおよびnに対して、それぞれnr < ms 、nr = ms 、またはnr > msに応じて、np < mq、np = mq、またはnp > mqが成り立つ場合のみである、というものである。^[21]この定義は、 nとq が両方とも正のとき、npがmqに対して⁠p/q⁠ は有理数を表す⁠メートル/ん⁠ （両項をnqで割る）。^[22]

定義 6 では、同じ比率を持つ量は比例しているか、比例していると述べています。ユークリッドはギリシャ語の ἀναλόγον (analogon) を使用していますが、これは λόγος と同じ語源を持ち、英語の単語「analog」に関連しています。

定義 7 は、ある比率が別の比率より小さいか大きいかが何を意味するかを定義し、定義 5 にある考えに基づいています。現代の記法では、量p、q、r 、および s が与えられたとき、正の整数mとnがあり、 np > mqかつnr ≤ msである場合、p : q > r : sであることを示します。

定義 3 と同様に、定義 8 はユークリッドの編集者によって後から挿入されたと考える人もいます。定義 8 は、p : q ∷ q : rのとき、 3 つの項p、q、r が比例すると定義しています。これは、p : q ∷ q : r ∷ r : sなどのように、 4 つの項p、q、r、sに拡張されます。連続する項の比が等しいという特性を持つ数列は、等比数列と呼ばれます。定義 9 と 10 はこれを適用し、p、q、rが比例する場合、p : r はp : qの2 倍の比であり、p、q、r、sが比例する場合、 p : sはp : qの3 倍の比であると述べています。

一般に、2 つのエンティティの比率の量の比較は、比率から派生した分数として表すことができます。たとえば、2:3 の比率では、最初のエンティティの量、サイズ、体積、または数量は、2 番目のエンティティの量、サイズ、体積、または数量です。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$

オレンジが 2 個とリンゴが 3 個ある場合、オレンジとリンゴの比率は 2:3 で、オレンジと果物の総数の比率は 2:5 です。これらの比率は分数でも表すことができます。オレンジの数はリンゴの 2/3 で、果物の 2/5 はオレンジです。オレンジジュース濃縮物を水で 1:4 の比率で薄める場合は、濃縮物 1 部に水 4 部を混ぜて合計 5 部になります。オレンジジュース濃縮物の量は水の量の 1/4 で、オレンジジュース濃縮物の量は液体全体の 1/5 です。比率と分数のどちらにおいても、何が何と比較されているかを明確にすることが重要であり、初心者はこの点でよく間違いを犯します。

2 つ以上の実体を持つ比率から分数を推測することもできますが、分数は 2 つの量しか比較できないため、2 つ以上の実体を持つ比率を 1 つの分数に完全に変換することはできません。別の分数を使用して、比率に含まれる任意の 2 つの実体の量を比較できます。たとえば、2:3:7 の比率から、2 番目の実体の量は3 番目の実体の量であると推測できます。 ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$

比率に含まれるすべての数量に同じ数を掛けても、その比率は有効です。たとえば、3:2 の比率は 12:8 と同じです。項を最小公分母に縮減するか、百分率 (パーセント)で表すのが一般的です。

混合物に物質 A、B、C、D が 5:9:4:2 の比率で含まれている場合、B 9 部に対して A が 5 部、C が 4 部、D が 2 部あります。5+9+4+2=20 なので、混合物全体は A が 5/20 (20 のうち 5 部)、B が 9/20、C が 4/20、D が 2/20 です。すべての数値を合計で割り、100 を掛けると、パーセンテージに変換されます。A が 25%、B が 45%、C が 20%、D が 10% (比率を 25:45:20:10 と書くことに相当)。

2 つ以上の比率の量が特定の状況におけるすべての量を包含する場合、「全体」は部分の合計を含むと言われます。たとえば、リンゴ 2 個とオレンジ 3 個が入っていて、他の果物が入っていないフルーツ バスケットは、リンゴ 2 個とオレンジ 3 個で構成されています。この場合、全体の 、つまり 40% はリンゴで、全体の 、つまり 60% はオレンジです。特定の量を「全体」と比較することを比率と呼びます。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$

比率が 2 つの値のみで構成されている場合は、分数、特に小数として表すことができます。たとえば、古いテレビのアスペクト比は4:3 で、幅が高さの 4/3 であることを意味します (これは 1.33:1 または小数点第 2 位を四捨五入した 1.33 と表すこともできます)。最近のワイドスクリーン テレビのアスペクト比は 16:9 で、小数点第 2 位を四捨五入した 1.78 です。人気のあるワイドスクリーン ムービー形式の 1 つは 2.35:1 または単に 2.35 です。比率を小数として表すと、比較が簡単になります。1.33、1.78、2.35 を比較すると、どの形式がより広い画像を提供しているかは明らかです。このような比較は、常に幅を高さに対して表すなど、比較される値が一貫している場合にのみ機能します。

比率は、各量をすべての量の共通因数で割ることで（分数と同様に） 簡約できます。分数の場合、比率の数が可能な限り最小の整数になる形式が最も単純な形式であると考えられます。

したがって、比率 40:60 は、比率 2:3 と意味的に同等であり、後者は前者から両方の量を 20 で割ることによって得られます。数学的には、40:60 = 2:3、または同等に 40:60∷2:3 と書きます。言葉で言えば、「40 は 60 に対して 2 は 3 である」となります。

両方の量が整数であり、それ以上（整数を使用して）減らすことができない比率は、最も単純な形式または最小の用語であると言われます。

異なる比率を比較できるようにするために、比率を 1: xまたはx :1の形式で表記すると便利な場合があります( x は必ずしも整数ではありません)。たとえば、比率 4:5 は 1:1.25 (両辺を 4 で割る) と表記できます。また、0.8:1 (両辺を 5 で割る) と表記することもできます。

文脈から意味が明らかな場合、この形式の比率は 1 と比率記号 (:) なしで記述されることがあります。ただし、数学的には、これは因数または乗数になります。

比は、通約不可能な量（分数値としてその比が無理数になる量）の間でも確立されることがあります。ピタゴラス学派によって発見された最も古い例は、正方形の対角線dの長さと辺sの長さの比で、正式には2 の平方根です。別の例としては、円の円周と直径の比があり、これはπと呼ばれ、単なる無理数ではなく超越数です。 ${\displaystyle a:d=1:{\sqrt {2}}.}$

また、2つの（主に）長さaとbの黄金比もよく知られており、これは比率によって定義されます。

${\displaystyle a:b=(a+b):a\quad }$または、同等に${\displaystyle \quad a:b=(1+b/a):1.}$

比率を分数として、値xを持つものとしてとらえると、次の式が得られます。 ${\displaystyle a:b}$

${\displaystyle x=1+{\tfrac {1}{x}}\quad }$または${\displaystyle \quad x^{2}-x-1=0,}$

これは正の無理数解を持ちます。したがって、黄金比となるためには、aとb の少なくとも 1 つは無理数でなければなりません。数学における黄金比の出現例としては、連続する 2 つのフィボナッチ数の比の極限値があります。これらの比はすべて 2 つの整数の比であり、したがって有理数ですが、これらの有理数比のシーケンスの極限は無理数黄金比です。 ${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

同様に、aとbの白銀比は、

${\displaystyle a:b=(2a+b):a\quad (=(2+b/a):1),}$対応する${\displaystyle x^{2}-2x-1=0.}$

この方程式には正の無理数解があるため、白銀比の 2 つの量aとbのうち少なくとも 1 つは無理数でなければなりません。${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}},}$

オッズ(ギャンブルの場合) は比率で表されます。たとえば、「7 対 3 反対」(7:3) のオッズは、イベントが発生する可能性が 3 回あるのに対し、イベントが発生しない可能性が 7 回あることを意味します。成功の確率は 30% です。10 回の試行ごとに、3 回の勝利と 7 回の敗北が予想されます。

比率は単位がない場合があります。たとえば、同じ次元の単位で量を関連付ける場合、測定単位が最初は異なっていてもかまいません。たとえば、1 分 : 40 秒の比率は、最初の値を 60 秒に変更することで削減でき、比率は60 秒 : 40 秒になります。単位が同じになると、単位を省略して比率を 3:2 に減らすことができます。

一方、無次元でない商もあり、これは速度（比とも呼ばれる）としても知られています。^{[23] [24]} 化学では、質量濃度比は通常、重量/体積分率として表されます。たとえば、濃度3% w/vは通常、溶液100mLあたり3gの物質を意味します。これは、重量/重量または体積/体積分率のような無次元比に変換することはできません。

頂点 A、B、Cと辺AB、BC、CAを持つ三角形に対する点の位置は、三角座標として拡張比形式で表現されることが多いです。

重心座標では、座標α、β、γの点は、頂点に重りを付けた場合に三角形の形状とサイズの重さのない金属板が正確にバランスする点であり、AとBの重さの比はα  : β 、 BとCの重さの比はβ  : γであり、したがってAとCの重さの比はα  : γです。

三線座標では、座標がx  : y  : zの点では、辺BC (頂点Aの向かい側) と辺CA (頂点Bの向かい側) への垂直距離はx  : y の比率であり、辺CAと辺AB (頂点Cの向かい側)への距離はy  : z の比率であり、したがって辺BCと辺ABへの距離はx  : z の比率です。

すべての情報は比率で表現されるため ( α、β、γ、x、y、 zで表される個々の数値自体には意味がありません)、三角形のサイズに関係なく、重心座標または三線座標を使用した三角形分析が適用されます。

• 複比
• 希釈率
• 変位長さ比
• 無次元量
• 財務比率
• 変化の倍数
• インターバル（音楽）
• オッズ比
• 部数表記
• 価格性能比
• 比例性（数学）
• 比率分布
• 比率推定器
• レート（数学）
• 比率（Twitter）
• レート比率
• 相対リスク
• 3つのルール（数学）
• 縮尺（地図）
• スケール（比率）
• 性比
• 超比
• スロープ

• 「比率」ペニー百科事典第19巻、有用知識普及協会（1841年）チャールズ・ナイト社、ロンドン、307頁以降
• 「比率」新国際百科事典第 19 巻第 2 版 (1916 年) Dodd Mead & Co. pp270-271
• 「比率と比例」実用数学の基礎、ジョージ・ウェントワース、デイヴィッド・ユージン・スミス、ハーバート・ドルーリー・ハーパー（1922年）ギン・アンド・カンパニー、pp. 55ff
• ユークリッド原論第2巻13巻。サー・トーマス・リトル・ヒース訳（1908年）。ケンブリッジ大学出版局。1908年。112ページ以降。{{cite book}}: CS1 メンテナンス: その他 (リンク)
• DEスミス『数学史』第2巻、 Ginn and Company（1925年）477頁以降。1958年にDover Publicationsにより再版。

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