四未知なるものの翡翠鏡

このセクションでは、天元書、つまり未知数の問題について説明します。

質問：黄帆と支脚の積が24歩、垂直辺と斜辺の和が9歩である場合、底辺の値はいくらですか？

答え：3歩

単位元を基底とする （つまり、基底を未知数xとする）。

huangfangとzhi jiの積= 24なので

その中で

黄帆は次のように定義されます。${\displaystyle (a+bc)}$^{[ 4 ]}

志志：${\displaystyle ab}$

したがって ${\displaystyle (a+bc)ab=24}$

さらに、垂直辺と斜辺の合計は

${\displaystyle b+c=9}$

未知の単位tianを垂直として設定します

${\displaystyle x=a}$

次に、ピタゴラスの定理を用いてcとbを分離します。${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\Longleftrightarrow c^{2}-b^{2}=a^{2}\Longleftrightarrow (cb)(c+b)=a^{2}\Longleftrightarrow cb={\frac {a^{2}}{c+b}}={\frac {x^{2}}{9}}}$^{[ 4 ]}

それによって、次のものが得られます。

${\displaystyle 2c=(c+b)+(cb)=9+{\frac {x^{2}}{9}}}$

${\displaystyle 2b=(c+b)-(cb)=9-{\frac {x^{2}}{9}}}$^{[ 4 ]}

これら全てを組み合わせると、次の式が得られます。

（${\displaystyle x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888}$）

太

これを解いて、x=3を得る。

太ユニタリ

方程式: ${\displaystyle -2y^{2}-xy^{2}+2xy+2x^{2}y+x^{3}=0}$;

与えられたものから

太

方程式: $2y^{2}-xy^{2}+2xy+x^{3}=0$;

我々は以下を得る：

太

$8x+4x²=0$

そして

太

$2x^2+x^3=0$

消去法により、二次方程式が得られる。

${\displaystyle x^{2}-2x-8=0}$

解決： ${\displaystyle x=4}$。

3つの未知数を含む問題の解法テンプレート

朱世傑は消去法を詳細に説明した。彼の例は科学文献で頻繁に引用されている。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

次のように3つの方程式を立てる

太

${\displaystyle -yzy^{2}x-x+xyz=0}$.... 私

${\displaystyle -y-z+xx^{2​​}+xz=0}$.....II

太

${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$....III

IIとIIIの間の未知数の除去

変数交換の操作によって

我々は得る

太

${\displaystyle -x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y}$...IV

そして

太

${\displaystyle -2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}}$.... V

IVとVの間の未知数を消去すると、3次方程式が得られる。

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

この3次方程式を解いて、${\displaystyle x=5}$;

変数を元に戻す

我々は、仮説が5歩であることを確認した。

このセクションでは、4つの未知数を含む連立方程式を扱います。

${\displaystyle {\begin{cases}-2y+x+z=0\\-y^{2}x+4y+2x-x^{2}+4z+xz=0\\x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\\2y-w+2x=0\end{cases}}}$

未知数を順次消去して

${\displaystyle 4x^{2}-7x-686=0}$

これを解いて14歩を得る

このセクションには18問の問題があります。

問題18

10次​​多項式の方程式を求めます。

${\displaystyle 16x^{10}-64x^{9}+160x^{8}-384x^{7}+512x^{6}-544x^{5}+456x^{4}+126x^{3}+3x^{2}-4x-177162=0}$

その根はx = 3 であり、これに 4 を掛けると 12 になります。これが最終的な答えです。

このセクションには18問の問題があります

このセクションには9つの問題があります

このセクションには6つの問題があります

このセクションには7つの問題があります

このセクションには13問の問題があります

このセクションには8つの問題があります

問題1

質問：寸法不明の長方形の町があり、各辺に門が1つずつあります。南門から240歩のところに仏塔があります。西門から180歩歩いた人が仏塔を見ることができ、そこから南東の角に向かって240歩歩くと仏塔に着きます。長方形の町の長さと幅はどれくらいですか？ 回答：長さ120歩、幅1

天元単位を長さの半分とすると、4次方程式が得られる。

${\displaystyle x^{4}+480x^{3}-270000x^{2}+15552000x+1866240000=0}$^{[ 8 ]}

これを解くと、x = 240 歩となり、したがって長さ = 2x = 480 歩 = 1 li と 120 歩となります。

同様に、tian yuan unitary(x) を幅の半分とします。

方程式が得られます。

${\displaystyle x^{4}+360x^{3}-270000x^{2}+20736000x+1866240000=0}$^{[ 9 ]}

これを解くと、x = 180 歩、長さ = 360 歩 = 1 li となります。

問題7

海島算井の峡谷の深さ（以降、横棒を使用）と同一。

問題8

海島算井 の透明な池の深さと同一。

問題番号5は、世界で最も初期の4次補間公式である。

召喚された男たち ：${\displaystyle na+{\tfrac {1}{2!}}n(n-1)b+{\tfrac {1}{3!}}n(n-1)(n-2)c+{\tfrac {1}{4!}}n(n-1)(n-2)(n-3)d}$^{[ 10 ]}

その中で

• a = 1次差分
• b = 2次差分
• c = 3次差分
• d = 4次差分

このセクションには、三角形の杭、長方形の杭に関する20問の問題が含まれています。

問題1

三角形の山の合計を求めます

${\displaystyle 1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)}$

果物の山の価値は次のとおりです。

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+\cdots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}}$

朱世傑は、x=nとすることで天元書を用いてこの問題を解決した。

そして式を得た

${\displaystyle v={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}(3x+5)x(x+1)(x+2)}$

与えられた条件から${\displaystyle v=1320}$したがって

${\displaystyle 3x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0}$^{[ 11 ]}

解いて${\displaystyle x=n=9}$。

したがって、

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320}$。

未知数が4つの問題が6問。

質問2

4 つの未知数を含む方程式のセットが得られます。^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}-3y^{2}+8y-8x+8z=0\\4y^{2}-8xy+3x^{2}-8yz+6xz+3z^{2}=0\\y^{2}+x^{2}-z^{2}=0\\2y+4x+2z-w=0\end{cases}}}$