Loading article…
エミー・ネーター | |
|---|---|
 ネーター 1900年頃～1910年 | |
| 生まれる | アマリー・エミー・ノイター 1882年3月23日 |
| 死亡 | 1935年4月14日（53歳） |
| 国籍 | ドイツ語 |
| 母校 | エアランゲン大学 |
| 知られている | |
| 受賞歴 | アッカーマン・トイブナー記念賞(1932 年) |
| 科学者としてのキャリア | |
| フィールド | 数学と物理学 |
| 機関 | |
| 論文 | 三元双二次形式の不変量の完全システムについて (1907) |
| 博士課程の指導教員 | ポール・ゴーダン |
| 博士課程の学生 | |
アマーリエ・エミー・ネーター[a]（米: / ˈ n ʌ t ər /、英: / ˈ n ɜː t ə / ;独: [ˈnøːtɐ] ; 1882年3月23日 - 1935年4月14日）は、抽象代数学に多くの重要な貢献をしたドイツの数学者。彼女は、数理物理学において基礎となるネーターの第一定理と第二定理を証明した。[4]彼女は、パベル・アレクサンドロフ、アルベルト・アインシュタイン、ジャン・デュドネ、ヘルマン・ワイル、ノルベルト・ウィーナーによって、数学の歴史で最も重要な女性と評された。[5] [6] [7]彼女は、当時を代表する数学者の一人として、環、体、代数の理論を展開した。物理学において、ネーターの定理は、対称性と保存則の関係を説明する。[8]
ネーターはフランケン地方の町エアランゲンのユダヤ人家庭に生まれた。彼女の父は数学者マックス・ネーターだった。彼女は当初、必要な試験に合格したらフランス語と英語を教えようと思っていたが、代わりに父が講師を務めていたエアランゲン大学で数学を学んだ。1907年にポール・ゴルダンの指導の下で博士号を取得した後[9]、彼女はエアランゲン数学研究所で7年間無給で働いた。当時、女性は学術的な地位からほとんど排除されていた。1915年に彼女はデビッド・ヒルベルトとフェリックス・クラインに招かれ、数学研究の世界的中心地であるゲッティンゲン大学の数学科に加わった。しかし、哲学部の教授陣は反対し、彼女はヒルベルトの名で4年間講義をした。1919年に彼女の資格認定が承認され、彼女は私講師の地位を得ることができた[9]。
ネーターは1933年までゲッティンゲンの数学科の主要メンバーであり続けた。彼女の教え子たちは「ネーター・ボーイズ」と呼ばれることもあった。1924年、オランダの数学者B・L・ファン・デル・ヴェルデンが彼女の仲間に加わり、すぐにネーターの考えの第一人者となった。彼女の研究は、1931年に出版された彼の影響力の大きい教科書『現代代数学』第2巻の基礎となった。1932年にチューリッヒで開催された国際数学者会議での全体演説の頃には、彼女の代数学的洞察力は世界中で認められていた。翌年、ドイツのナチス政府はユダヤ人を大学の職から追放し、ネーターは米国に移住してペンシルベニア州のブリンマー大学に就任した。そこで彼女は、マリー・ヨハンナ・ヴァイス、ルース・シュタウファー、グレース・ショーバー・クイン、オルガ・タウスキー＝トッドなど、大学院生や博士研究員の女性たちを指導した。同時に、彼女はニュージャージー州プリンストンの高等研究所で講義と研究を行った。[9]
ネーターの数学的業績は3つの「時代」に分けられる。 [10]最初の時代（1908年 - 1919年）では、彼女は代数的不変量と数体の理論に貢献した。変分法における微分不変量に関する彼女の業績であるネーターの定理は、「現代物理学の発展を導く上で証明された最も重要な数学的定理の1つ」と呼ばれている。[11] 2番目の時代（1920年 - 1926年）では、「（抽象）代数の様相を変えた」研究を始めた。[12] 1921年の古典的な論文Idealtheorie in Ringbereichen（環領域におけるイデアルの理論）で、ネーターは可換環におけるイデアルの理論を幅広い応用を持つツールに発展させた。彼女は上昇連鎖条件を巧みに利用し、それを満たすオブジェクトは彼女にちなんでネーター的と名付けられている。第三期（1927年 - 1935年）には、非可換代数と超複素数に関する研究を発表し、群の表現論を加群とイデアルの理論と統合した。自身の出版物に加えて、ノイマンはアイデアを惜しみなく提供し、代数的位相幾何学など、主な研究からかけ離れた分野でも、他の数学者によって発表されたいくつかの研究分野の功績が認められている。
バイオグラフィー
若いころ
エミー・ネーターは1882年3月23日に生まれた。彼女は数学者マックス・ネーターとイダ・アマリア・カウフマンの4人の子供の長女で、両親はともにユダヤ人商人の家庭出身だった。[13]彼女のファーストネームは「アマーリエ」だったが、幼い頃からミドルネームを使い始め、成人してからも出版物でも常に「エミー・ネーター」という名前を使った。[a]
若い頃のネーターは、頭が良く人懐っこいことで知られていたが、学業では目立ったことはなかった。幼少期は近視で、軽い舌足らずで話していた。家族の友人が数年後に語った話によると、幼いネーターは子供のパーティーで頭の体操を素早く解き、幼い頃から論理的な洞察力を発揮していたという。[14]彼女は当時のほとんどの女の子と同じように料理や掃除を教わり、ピアノのレッスンも受けた。ダンスは大好きだったが、これらの活動に熱中することはなかった。[15]
彼女には3人の弟がいた。長男のアルフレート・ネーターは1883年に生まれ、1909年にエアランゲンで化学の博士号を取得したが、9年後に亡くなった。 [16] フリッツ・ネーターは1884年に生まれ、ミュンヘンで学び、応用数学に貢献した。彼は1941年にソ連で処刑された。 [17]末っ子のグスタフ・ロベルト・ネーターは1889年に生まれた。彼の生涯についてはほとんど知られていないが、彼は慢性的な病気に苦しみ、1928年に亡くなった。[18] [19]
教育
ネーターは早くからフランス語と英語に堪能であった。1900年の春、彼女はこれらの言語の教師試験を受け、総合点としてsehr gut（非常に良い）を獲得した。彼女の成績は女子校で言語を教える資格を与えたが、彼女は代わりに父親が教授を務めていたエアランゲン大学[ 20]で学業を続けることを選んだ。[21]
これは型破りな決定であった。2年前、大学の学術評議会は男女共学の教育を認めることは「すべての学問的秩序を覆す」と宣言していたからである。[22] 986人の学生を抱える大学でたった2人の女性のうちの1人であるノイマンは、授業に完全に参加することはできず、聴講のみを許され、講義を聞きたい教授の許可も個別に必要であった。これらの障害にもかかわらず、彼女は1903年7月14日にニュルンベルクのレアルギムナジウムで卒業試験に合格した。[20] [23] [24]
1903年から1904年の冬学期、彼女はゲッティンゲン大学で学び、天文学者のカール・シュヴァルツシルトや数学者のヘルマン・ミンコフスキー、オットー・ブルーメンタール、フェリックス・クライン、ダヴィド・ヒルベルトらの講義に出席した。[25]
1903年、バイエルン州の大学における女性の正規入学制限が撤廃された。[26]ネーターはエアランゲンに戻り、1904年10月に正式に大学に再入学し、数学だけに集中する意向を表明した。彼女は学年6人の女性（聴講生2人）のうちの1人であり、自分が選んだ学校では唯一の女性であった。[27]パウル・ゴルダンの指導の下、彼女は1907年に博士論文Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (三元双二次形式の不変量の完全システムについて) [28]を書き上げ、その年の後半に首席で卒業した。[29]ゴルダンは不変量研究者の「計算」学派の一員であり、ネーターの論文は300以上の明示的に解明された不変量のリストで終わっている。この不変量へのアプローチは、後にヒルベルトが開拓したより抽象的で一般的なアプローチに取って代わられた。[30] [ 31 ]このアプローチは好評だったが、後にノイマンは自身の論文とその後の類似の論文を「ゴミ」と評した。その後の彼女の研究はすべて完全に異なる分野であった。[31] [32]
エアランゲン大学
1908年から1915年まで、ネーターはエアランゲンの数学研究所で無給で教鞭をとり、時には病気で講義ができない父親のマックス・ネーターの代理を務めた。 [33] 1910年と1911年に、彼女は3変数からn変数への論文研究の拡張を発表した。 [34]
ゴルダンは1910年に引退し、[35]ノイマンは後任のエアハルト・シュミットとエルンスト・フィッシャーの下で教鞭を執った。フィッシャーは1911年にノイマンの後任となった。 [36]同僚のヘルマン・ワイルと伝記作家オーギュスト・ディックによると、フィッシャーはノイマンに重要な影響を与え、特に彼女にダフィト・ヒルベルトの著作を紹介した。[37] [38]ノイマンとフィッシャーは数学を大いに楽しみ、講義が終わってからも長時間にわたって議論することがよくあった。ノイマンは数学的な考えを続けるためにフィッシャーにポストカードを送ったことで知られている。[39] [40]
1913年から1916年にかけて、ノイマンはヒルベルトの方法を拡張し、有理関数の体や有限群の不変量などの数学的対象に適用した論文をいくつか発表した。[41]この段階でノイマンは抽象代数学に初めて触れ、この分野で画期的な貢献を果たした。[42]
エアランゲンで、ネーターは2人の博士課程の学生を指導した。[43]ハンス・ファルケンベルクとフリッツ・ザイデルマンは1911年と1916年に論文を発表した。 [44] [45]ネーターの重要な役割にもかかわらず、彼らは両方とも正式には彼女の父親の指導下にあった。博士号を取得した後、ファルケンベルクはブラウンシュヴァイクとケーニヒスベルクで過ごし、その後ギーセン大学の教授になった。 [46]ザイデルマンはミュンヘンの教授になった。[43]
ゲッティンゲン大学
ハビリテーションとネーターの定理
1915 年の春、ダヴィト・ヒルベルトとフェリックス・クラインは、ネーターをゲッティンゲン大学に復帰するよう招いた。彼女を採用しようとする彼らの試みは、哲学部の文献学者と歴史学者によって当初は阻止された。彼らは、女性は私立講師になるべきではないと主張した。この件に関する合同学部会議で、ある教員が抗議した。「我々の兵士たちが大学に戻ってきて、女性のもとで学ぶよう求められていると知ったら、彼らはどう思うだろうか」。[47] [48]ヒルベルトは、ネーターの資格だけが重要な問題であり、候補者の性別は関係ないと考え、憤慨して反対し、彼女の資格付与に反対する人々を叱責した。彼の正確な言葉は保存されていないが、彼の反対意見には、大学は「浴場ではない」という発言が含まれていたとよく言われている。[37] [47] [49] [50]パベル・アレクサンドロフの回想によれば、教員らのノイマンに対する反対は性差別だけでなく、彼女の社会民主主義的な政治信条やユダヤ人の祖先に対する反対にも基づいていた。[50]
ネーターは4月下旬にゲッティンゲンへ出発した。2週間後、母親がエアランゲンで急死した。母親は以前にも目の病気で治療を受けていたが、その病気の性質と死因は不明である。ほぼ同じ時期に、ネーターの父親は引退し、兄は第一次世界大戦に従軍するためドイツ軍に入隊した。彼女は主に高齢の父親の介護のため、数週間エアランゲンに戻った。[51]
ゲッティンゲンで教鞭をとり始めた最初の数年間、彼女は正式な職に就いておらず、無給であった。彼女の講義はしばしばヒルベルトの名で宣伝され、ネーターは「助力」を提供した。[52]
ゲッティンゲンに到着して間もなく、彼女は現在ノイマンの定理として知られる定理を証明してその能力を実証した。この定理は、物理システムのあらゆる微分可能な対称性には保存則が伴うということを示すものである。 [48] [53]この論文「不変変量問題」は、同僚のフェリックス・クラインが1918年7月26日にゲッティンゲンで開催された王立科学協会の会合で発表した。 [ 54] [55]ノイマンは協会の会員ではなかったので、おそらく自分では発表しなかったと思われる。[56]アメリカの物理学者レオン・M・レーダーマンとクリストファー・T・ヒルは、著書「対称性と美しい宇宙」の中で、ノイマンの定理は「現代物理学の発展を導く上で証明された最も重要な数学定理の1つであることは間違いなく、おそらくピタゴラスの定理と同等である」と主張している。[11]
第一次世界大戦が終わると、1918年から1919年にかけてのドイツ革命により、女性の権利拡大など、社会の意識に大きな変化がもたらされた。1919年、ゲッティンゲン大学はノイマンに教授資格（終身在職権の取得資格）の取得を許可した。5月下旬に口頭試験が行われ、1919年6月にノイマンは教授資格取得のための講義を無事に終えた。 [57]ノイマンは私講師となり、[58]その秋学期に自身の名前で初めて講義を行った。[59]彼女はまだその仕事に対して報酬を受け取っていなかった。[52]
3年後、彼女はプロイセンの科学・芸術・公教育大臣オットー・ベーリッツから手紙を受け取り、その中で彼は彼女に「非終身教授」（内部管理権と機能が制限された終身教授）の称号を授与した。 60 ]これは無給の「臨時」教授職であり、公務員職である上級の「普通」教授職ではなかった。彼女の仕事の重要性は認められたものの、この職には給料は支払われなかった。ネーターは1年後に代数学教授特別職に任命されるまで、講義の報酬を受け取らなかった。 [61] [62]
抽象代数の研究
ノイマンの定理は古典力学と量子力学に大きな影響を与えたが、数学者の間では抽象代数学への貢献で最もよく知られている。ネイサン・ジェイコブソンはノイマンの論文集の序文で次のように書いている。
20世紀数学の最も特徴的な革新の一つである抽象代数の発展は、出版された論文、講義、そして同時代の人々への個人的な影響など、彼女の功績によるところが大きい。[63]
ネーターの代数学における研究は、1920年に弟子のヴェルナー・シュマイドラーと共同で、環の左イデアルと右イデアルを定義するイデアル理論に関する論文を発表したときに始まった。[42]
翌年、彼女は論文「Idealtheorie in Ringbereichen」を発表し[64]、 （数学的）イデアルに関する上昇連鎖条件を分析し、ラスカー・ノイマン定理をその完全な一般性において証明した。著名な代数学者アーヴィング・カプランスキーはこの研究を「革命的」と呼んだ。[65]この論文により、上昇連鎖条件を満たすオブジェクトをノイマン的オブジェクトと呼ぶようになった。[65] [66]
-Portr_12109.tif/lossy-page1-1280px-ETH-BIB-Waerden,_Bartel_Leendert_van_der_(1903-1996)-Portr_12109.tif.jpg)
1924年、若いオランダ人数学者、バルテル・レンダート・ファン・デル・ワールデンがゲッティンゲン大学に着任した。彼はすぐにネーターと共同研究を開始し、ネーターは抽象概念化の貴重な方法を提供した。ファン・デル・ワールデンは後に、彼女の独創性は「比較にならないほど絶対的」だったと述べている。[67]アムステルダムに戻った後、彼はこの分野の中心となる2巻本のテキストである『現代代数学』を執筆した。1931年に出版されたその第2巻は、ネーターの研究から多くの部分を借用している。 [68]ネーターは認知を求めなかったが、第7版に「 E.アルティンとE.ネーターの講義に一部基づく」という注釈を付け加えた。 [69] [70] [71] 1927年から、ネーターはエミール・アルティン、リヒャルト・ブラウアー、ヘルムート・ハッセと非可換代数について密接に研究した。[37] [68]
ファン・デル・ワールデンの訪問は、数学と物理学の研究の中心地となっていたゲッティンゲンに世界中から数学者が集まる一環だった。1923年にはロシアの数学者パベル・アレクサンドロフとパベル・ウリゾーンが最初の訪問者となった。 [72] 1926年から1930年の間、アレクサンドロフは大学で定期的に講義を行い、彼とネーターは良き友人となった。[73]彼は彼女を「デア・ネーター」と名付けた。「デア」はドイツ語の男性冠詞ではなく、蔑称として使われた。 [b] [73]彼女は彼がゲッティンゲンで正規の教授職を得られるように手配しようとしたが、ロックフェラー財団から1927年から1928年の学年度にプリンストン大学への奨学金を獲得するのを手伝うことしかできなかった。[73] [76]
大学院生
ゲッティンゲンでは、ノイマンは10人以上の博士課程の学生を指導したが[43]、ほとんどはエドムント・ランダウや他の学生と一緒に指導した。なぜなら、ノイマンは単独で博士論文を指導することは許されていなかったからである。 [77] [78]彼女の最初の指導教授は、1925年2月に博士論文を発表したグレーテ・ヘルマンであった。 [79]彼女は量子力学の基礎に関する研究で最もよく知られているが、彼女の博士論文は理想論への重要な貢献と見なされた。[80] [81]ヘルマンは後に、彼女の「博士論文の母」について敬意を込めて語った。[79]
同じ頃、ハインリヒ・グレルとルドルフ・ヘルツァーがネーターの指導の下で博士論文を執筆したが、後者は論文審査の直前に結核で亡くなった。 [79] [82] [83]グレルは1926年に論文審査を受け、イエナ大学とハレ大学で勤務したが、1935年に同性愛行為の告発により教員免許を失った。[43]その後、彼は復職し、 1948年にフンボルト大学の教授となった。[43] [79]
ネーターはその後、ヴェルナー・ウェーバー[84]とヤコブ・レヴィツキー[85]を指導し、2人は1929年に論文を発表した。 [86] [87]ウェーバーは、あまり目立たない数学者とみなされていたが、[77]後にゲッティンゲンからユダヤ人数学者を追い出す活動に参加することになる。[88]レヴィツキーは、最初はイェール大学で、その後パレスチナのエルサレム・ヘブライ大学で働き、環理論に多大な貢献をした（特にレヴィツキーの定理とホプキンス・レヴィツキーの定理）。[87]
ネーター少年には他にマックス・デューリング、ハンス・フィッティング、エルンスト・ヴィット、チウンツェ・C・ツェン、オットー・シリングがいる。デューリングはネーターの弟子の中で最も将来が有望視され、1930年に博士号を授与された。 [89] [90]彼はハンブルク、マルデン、ゲッティンゲンで研究し[c] 、数論幾何学への貢献で知られている。[92]フィッティングは1931年にアーベル群に関する論文で卒業し[93] 、群論、特にフィッティングの定理とフィッティングの補題に関する研究で記憶されている。[94]彼は骨の病気で31歳で亡くなった。[95]
ヴィットは当初ネーターの指導を受けていたが、1933年4月にその地位が剥奪され、代わりにグスタフ・ヘルグロッツの指導を受けることになった。[95]彼は1933年7月にリーマン・ロッホの定理とゼータ関数に関する論文で博士号を取得し、[96]その後も彼の名を冠したいくつかの研究を行った。[94]ツェンはツェンの定理を証明したことで最もよく知られており、同年12月に博士号を取得した。[97]彼は1935年に中国に戻り、国立浙江大学で教え始めたが、[94]わずか5年後に亡くなった。[d]シリングもネーターのもとで研究を始めたが、ネーターの国外転出により新しい指導教員を探さざるを得なくなった。彼はヘルムート・ハッセのもとで1934年にマールブルク大学で博士号を取得した。[94] [99]その後、彼はアメリカに移住する前に、ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジでポスドクとして働いた。 [43]
ネーターの他の弟子には、1927年に群論の論文で博士号を取得したヴィルヘルム・ドルンテ[100] 、1935年に体分割論の論文で博士号を取得したヴェルナー・フォルベック[43] 、1936年にp進理論の論文で博士号を取得したヴォルフガング・ヴィッヒマン[101]がいる。最初の2人についての情報はないが、ヴィッヒマンがネーターの解雇を取り消そうとする学生運動を支持したが失敗し[102] 、第二次世界大戦中に東部戦線で兵士として亡くなったことは知られている。[43]
ネーター学派
ネーターは、博士課程の学生以外にも、抽象代数学に対するネーターのアプローチを共有し、この分野の発展に貢献した数学者の親しい友人関係を築き上げました。 [103]このグループはしばしばネーター学派と呼ばれます。[104] [105]その一例は、ヴォルフガング・クルルとの親密な共同研究です。クルルは、 Hauptidealsatzと可換環の次元理論によって可換代数学を大きく発展させました。 [106]もう1人はゴットフリート・ケーテで、ネーターとクルルの方法を用いて超複素量の理論の発展に貢献しました。[106]
数学的な洞察力に加え、ノイマンは他人への配慮でも尊敬されていた。彼女は意見の異なる人に対して失礼な態度を取ることもあったが、それでも常に親切で、新入生を辛抱強く指導することで評判を得た。数学的な正確さに対する彼女の忠誠心は、ある同僚に「厳しい批評家」と評されたが、彼女は正確さへの要求と育成的な態度を両立させていた。[107]ノイマンの死亡記事で、ファン・デル・ヴェルデンは彼女を次のように評している。
彼女は全く自惚れがなく虚栄心も全くなく、決して自分の利益を主張せず、何よりも生徒たちの作品を奨励した。[67]
ネーターは授業時間を超えて、自分の教科と学生たちに献身的な態度を見せた。ある時、校舎が国の祝日で閉まっていた時、彼女は生徒たちを外の階段に集め、森の中を案内し、地元のコーヒーハウスで講義をした。[108]その後、ナチスドイツが彼女を教職から解雇した後、彼女は学生たちを自宅に招き、将来の計画や数学の概念について話し合った。[109]
影響力のある講演
ネーターの質素な生活は、当初は仕事に対する報酬が支払われなかったためであった。しかし、1923年に大学が彼女に少額の給与を支払い始めた後も、彼女は質素で質素な生活を送り続けた。彼女は後年、より多額の給与を受け取ったが、給与の半分を甥のゴットフリート・E・ネーターに遺贈するために貯金した。[110]
伝記作家によると、彼女は外見やマナーにはほとんど関心がなく、勉強に集中していたという。ノイマンに教えを受けた著名な代数学者オルガ・タウスキー＝トッドは、昼食会で数学の議論に熱中していたノイマンが、食事中に「激しく身振りを交え」、そして「食べ物を絶えずこぼし、それをドレスから拭い去っていたが、全く動揺していなかった」と述べている。[111]講義中に彼女がブラウスからハンカチを取り出し、髪がどんどん乱れていくのを無視すると、外見を気にする学生たちは顔をしかめた。2時間の授業の休憩中に2人の女子学生が彼女に近づいて心配を表明したが、彼女が他の学生と熱心に数学の議論をしているのを止められなかった。[112]
ネーターは講義の計画通りには講義しなかった。[67]彼女は早口で話し、その講義はカール・ルートヴィヒ・ジーゲルやポール・デュブレイルを含む多くの人から理解しにくいと思われた。[113] [114]彼女のスタイルを嫌う学生は疎外感を覚えることが多かった。[115]時折ネーターの講義に来る「部外者」は、たいてい30分ほどで教室を後にし、フラストレーションや混乱を募らせていた。常連の学生はそのような例についてこう語った。「敵は敗北し、一掃された。」[116]
彼女は講義を学生との自発的な議論の時間として利用し、数学の重要な問題をじっくり考え、明らかにした。彼女の最も重要な結果のいくつかはこれらの講義で生み出され、彼女の学生の講義ノートはファン・デル・ワールデンやデューリングの教科書などいくつかの重要な教科書の基礎となった。[67]ネーターは、熱心な学生たちに数学への熱意を伝え、彼らは彼女との活発な会話を楽しんだ。[117] [118]
彼女の同僚の何人かは彼女の講義に出席し、彼女は時々他の人（学生を含む）に彼女のアイデアの功績を認めたため、彼女の研究の多くは彼女の名前ではない論文に掲載されました。[68] [69]ネーターはゲッティンゲンで少なくとも5学期にわたる講義を行ったことが記録されています。[119]
- 1924 ～ 1925 年冬:グループ理論と超複雑数 Zahlen [群理論と超複素数]
- 1927 ～ 1928 年冬: Hyperkomplexe Grossen および Darstellungstheorie [超複雑量と表現理論]
- 1928 年夏:非可換代数[非可換代数]
- 1929 年夏:ニヒトコンミュータティブ算術[非可換算術]
- 1929 ～ 1930 年冬: Algebra der hyperkomplexen Grossen [超複素量の代数]
モスクワ国立大学
1928年から1929年の冬、ネーターはモスクワ国立大学への招待を受け入れ、そこでもP.S.アレクサンドロフと研究を続けた。研究を続けることに加え、彼女は抽象代数学と代数幾何学の授業も教えた。彼女は位相学者のレフ・ポンチャギンとニコライ・チェボタリョフと共に研究し、後に彼らは彼女のガロア理論の発展への貢献を称賛した。[120] [121] [122]
政治は彼女の人生の中心ではなかったが、ネーターは政治問題に強い関心を持ち、アレクサンドロフによれば、ロシア革命にかなりの支持を示した。彼女は特に、科学と数学の分野でのソ連の進歩を喜んだ。彼女は、それがボルシェビキ計画によって可能になった新しい機会の兆候だと考えた。この態度はドイツで問題を引き起こし、学生リーダーが「マルクス主義に傾倒したユダヤ人女性」と一緒に住んでいることに不満を述べた後、彼女は年金宿舎から追い出された。 [123] ヘルマン・ワイルは、「 1918年の革命後の荒れた時代、ネーターは多かれ少なかれ社会民主党の側にいた」と回想している。[37]彼女は1919年から1922年まで、短命に終わった分派政党である独立社会民主党のメンバーだった。論理学者で歴史家のコリン・マクラーティの言葉によれば、「彼女はボルシェビキではなかったが、そう呼ばれることを恐れていなかった」。[124]
ネーターはモスクワに戻る計画を立て、その努力をアレクサンドロフから支援された。1933年に彼女がドイツを離れた後、彼はソ連教育省を通じて彼女がモスクワ国立大学の教授職を得るのを手助けしようとした。この努力は失敗に終わったが、1930年代には2人は頻繁に文通し、1935年に彼女はソ連への帰国計画を立てた。[123]
認識
1932年、エミー・ネーターとエミール・アルティンは数学への貢献によりアッカーマン・トイプナー記念賞を受賞した。 [68]この賞には500 ℛ︁ℳ︁の賞金が含まれており 、この分野での彼女の多大な業績に対する待望の公式認定とみなされた。しかし、同僚たちは彼女がゲッティンゲン科学アカデミーに選出されず、 Ordentlicher Professor [125] [126] （教授）の地位に昇進しなかったことに不満を表明した。[60]
1932年、ネーターの同僚たちは典型的な数学者風に彼女の50歳の誕生日を祝った。ヘルムート・ハッセは数学年報に彼女に寄稿した記事の中で、非可換代数のいくつかの側面は可換代数のそれよりも単純であるという彼女の疑いを、非可換相互法則を証明することで裏付けた。[127]これは彼女を大いに喜ばせた。彼はまた彼女に数学的な謎を送り、それを「m μν音節の謎」と名付けた。彼女はすぐにそれを解いたが、謎は失われてしまった。[125] [126]
.jpg/500px-Internationaler_Mathematikerkongress_Z%C3%BCrich_1932_-_ETH_BIB_Portr_10680-FL_(Johannes_Meiner).jpg)
同年9月、ネーターはチューリッヒの国際数学者会議で「超複雑系と可換代数および数論との関係」と題する全体演説 ( großer Vortrag ) を行った。会議には、ネーターの同僚であるヘルマン・ワイル、エドムント・ランダウ、ヴォルフガング・クルルを含む800人が出席した。公式参加者は420人で、全体演説は21件行われた。明らかに、ネーターが目立つように演説したのは、彼女の数学への貢献の重要性が認められたためである。1932年の会議は、彼女のキャリアの頂点と言われることもある。[126] [128]
ナチスドイツによるゲッティンゲンからの追放
1933年1月にアドルフ・ヒトラーがドイツ帝国総督になると、国内のナチスの活動は劇的に増加した。ゲッティンゲン大学では、ドイツ学生協会がユダヤ人に帰せられる「非ドイツ的精神」に対する攻撃を主導し、私講師でネーターの元学生ヴェルナー・ウェーバーの支援を受けた。反ユダヤ主義的な態度は、ユダヤ人教授に対する敵対的な雰囲気を生み出した。ある若い抗議者は、「アーリア人の学生はアーリア人の数学を求めているのであって、ユダヤ人の数学を求めているのではない」と主張したと伝えられている。[88]
ヒトラー政権の最初の措置の1つは、職業公務員の復権法であり、これはユダヤ人や政治的に疑わしい政府職員（大学教授を含む）を、第一次世界大戦に従軍して「ドイツへの忠誠を証明」しない限り、職から外すことを定めた。1933年4月、ネーターはプロイセン科学芸術公教育省から「1933年4月7日の公務員法第3項に基づき、ゲッティンゲン大学で教える権利を剥奪する」という通告を受け取った。[129] [130]マックス・ボルンやリチャード・クーラントを含むネーターの同僚数名も職を剥奪された。[129] [130]
ネーターは冷静に決断を受け入れ、この困難な時期に他の人々を支えた。ヘルマン・ワイルは後に「エミー・ネーターは、彼女の勇気、率直さ、自分の運命に対する無関心、和解の精神で、私たちを取り巻くあらゆる憎悪と卑劣さ、絶望と悲しみの真っ只中にあって、道徳的な慰めとなっていた」と書いている。 [88]ネーターは普段は数学に集中し、自分のアパートに学生を集めて類体理論について議論していた。学生の一人がナチスの準軍事組織突撃隊（SA）の制服を着て現れたときも、彼女は動揺の兆候を見せず、後にそのことを笑い飛ばしたと伝えられている。[129] [130]
ブリンマーとプリンストンの避難所
失業した教授数十名がドイツ国外で職を探し始めると、米国の同僚たちは彼らに援助と就職の機会を提供しようとした。プリンストン高等研究所はアルバート・アインシュタインとヘルマン・ワイルを任命し、他の者は合法的な移民に必要なスポンサーを見つけるために働いた。ネーターは、米国のブリンマー大学と英国のオックスフォード大学サマービル・カレッジという2つの教育機関の代表者から連絡を受けた。ロックフェラー財団との一連の交渉の後、ネーターのためにブリンマー大学への助成金が承認され、彼女は1933年後半からそこで職を得た。[131] [132]
ブリンマー大学で、ネーターはアンナ・ウィーラーと出会い、友人になった。ウィーラーはネーターが到着する直前にゲッティンゲンで学んでいた。大学におけるもう1人の支援者はブリンマー大学の学長マリオン・エドワーズ・パークで、彼女は地域の数学者たちを「ネーター博士の活動を見に行こう！」と熱心に招待した。[133] [134]
ブリン・マー大学在学中、ネーターは、4人のポスドク（グレース・ショーバー・クイン、マリー・ヨハンナ・ヴァイス、オルガ・タウスキー＝トッド、いずれも後に数学で成功したキャリアを積む）と博士課程の学生（ルース・シュタウファー）からなる、ネーター・ガールズと呼ばれるグループを結成した。[ 135 ]彼女たちは、ファン・デル・ワールデンの『現代代数I』とエーリッヒ・ヘッケの『代数的数論』の一部を熱心に学んだ。[137]シュタウファーはネーターが米国で受けた唯一の博士課程の学生だったが、彼女が卒業する直前にネーターは亡くなった。[138]彼女はリチャード・ブラウアーに指導を受け、1935年6月に分離正規拡大に関する論文で学位を取得した。[139] [140]博士号取得後、シュタウファーは短期間教師として働き、その後30年以上統計学者として働いた。[43] [139]
1934年、ネーターはエイブラハム・フレクスナーとオズワルド・ヴェブレンの招待によりプリンストン高等研究所で講義を始めた。[141]また、エイブラハム・アルバートやハリー・ヴァンディバーとも仕事をした。[142]しかし、彼女はプリンストン大学について、「女性は誰も入れない男子大学」では歓迎されないと述べた。[143]
アメリカでの生活は、支えてくれる同僚に囲まれ、好きな学問に熱中するなど楽しいものだった。[144] 1934年の夏、彼女はエミール・アルティンと弟のフリッツに会うために短期間ドイツに戻った。[145]フリッツは、ブレスラウ工科大学を解雇された後、ロシアのシベリア連邦管区トムスクの数学機械研究所に就職した。 [145]彼はその後、メドヴェージェフの森の虐殺で処刑された。[146]
かつての同僚の多くが大学から追い出されたにもかかわらず、彼女は「外国人学者」としてゲッティンゲンの図書館を利用することができた。何事もなく、ネーターは米国に戻り、ブリンマー大学で研究を続けた。[147] [148]
死
1935 年 4 月、医師らはノイアーの骨盤に腫瘍を発見した。手術による合併症を心配した医師らは、まず 2 日間の安静を命じた。手術中に、彼らは「大きなマスクメロンほどの大きさの」卵巣嚢胞を発見した。 [149]子宮に 2 つの小さな腫瘍があったが、良性のようで、手術を長引かせないために切除しなかった。3 日間、彼女は正常に回復したように見え、 4 日目には循環不全から急速に回復した。4 月 14 日、ノイアーは意識を失い、体温が 109 °F (42.8 °C) まで上昇し、死亡した。「ノイアー博士に何が起こったのかを言うのは容易ではない」と医師の 1 人が記している。「熱中枢があるはずの脳の基底部を襲った、何らかの異常で毒性のある感染症があった可能性がある」。彼女は 53 歳だった。[149]
ネーターの死後数日後、ブリンマー大学の友人や仲間が、カレッジ長パークの家で小さな追悼式を開いた。[150]ヘルマン・ワイルとリチャード・ブラウアーはプリンストンから駆けつけ、弔辞を述べた。[151]その後数か月で、世界中で追悼文が書かれるようになった。アルベルト・アインシュタインも、ファン・デル・ワールデン、ワイル、パベル・アレクサンドロフに加わり、哀悼の意を表した。[5]彼女の遺体は火葬され、遺灰はブリンマー大学のM・ケアリー・トーマス図書館回廊の周りの歩道の下に埋葬された。 [152] [153]
数学と物理学への貢献
ネーターの抽象代数学と位相幾何学の研究は数学に影響を与え、ネーターの定理は理論物理学と力学系に広範囲にわたる影響を及ぼした。ネーターは抽象的思考に対する鋭い傾向を示し、それが数学の問題に斬新で独創的な方法でアプローチすることを可能にした。[39]友人で同僚のヘルマン・ワイルは、彼女の学術的成果を3つの時代に分けて述べている。
（１）相対的依存の時代、1907年から1919年
（２）理想の一般理論を中心とした研究 1920-1926年
（３）非可換代数の研究、それらの線型変換による表現、およびそれらの可換数体とその算術の研究への応用
— ワイル 1935
最初の時代（1907-1919年）では、ネーターはポール・ゴルダンの指導の下で博士論文を執筆し、主に微分不変量と代数不変量を扱った。ゴルダンの後継者であるエルンスト・ジギスムント・フィッシャーとの密接な交流を通じて、彼女はダフィト・ヒルベルトの研究に親しむようになり、彼女の数学的視野は広がり、彼女の研究はより一般的で抽象的なものとなった。1915年にゲッティンゲンに移って間もなく、彼女は「現代物理学の発展を導く上で証明された最も重要な数学的定理の1つ」である2つのネーターの定理を証明した。 [11]
第二期（1920年 - 1926年）には、ネーターは数学的環の理論の開発に専念した。[154]第三期（1927年 - 1935年）には、非可換代数、線型変換、可換数体に焦点を当てた。[155]ネーターの第一期の成果は印象的で有用であったが、数学者の間での彼女の名声は、ヘルマン・ワイルとB.L.ファン・デル・ワールデンが彼女の死亡記事で言及しているように、第二期と第三期の画期的な研究によるところが大きい。[37] [67]
これらの時代に、彼女は単に先人の数学者のアイデアや手法を応用したのではなく、むしろ将来の数学者が使用することになる数学的定義の新しい体系を作り上げていた。特に、彼女はリヒャルト・デデキントの初期の業績を一般化した、環のイデアルに関する全く新しい理論を開発した。彼女はまた、上昇連鎖条件、つまり彼女の手によって強力な結果をもたらした単純な有限性条件を開発したことでも有名である。[156]こうした条件とイデアル理論によって、ノイマンは多くの古い結果を一般化し、父親が研究していた代数的不変量や後述する消去法理論などの古い問題を新しい観点から扱うことができた。
歴史的背景
1832年からネーターが亡くなる1935年までの1世紀に、数学、特に代数学の分野は大きな革命を経験し、その余波は今も感じられます。以前の世紀の数学者は、3次方程式、4次方程式、5次方程式などの特定の種類の方程式を解く実用的な方法や、コンパスと定規を使用して正多角形を作成するという関連問題に取り組んでいました。カール・フリードリヒ・ガウスが1832年に5のような素数はガウス整数に因数分解できることを証明したことに始まり、[157]エヴァリスト・ガロアが1832年に導入した順列群（彼の死去により、その論文は1846年にリウヴィルによって出版された）、ウィリアム・ローワン・ハミルトンが1843年に四元数を記述したこと、そしてアーサー・ケイリーが1854年に群のより現代的な定義を行ったことに始まり、研究はますます普遍的な規則によって定義されるますます抽象的なシステムの特性を決定することへと移っていった。ネーターの数学への最も重要な貢献は、この新しい分野である抽象代数の発展であった。[158]。
抽象代数の背景と数学の用語（概念数学）
抽象代数学における最も基本的なオブジェクトの 2 つは、群と環です。
- グループは、要素の集合と、最初の要素と 2 番目の要素を組み合わせて 3 番目の要素を返す単一の演算から構成されます。グループを決定するには、演算が特定の制約を満たす必要があります。演算は閉じている必要があります(関連付けられたセットの任意の要素のペアに適用された場合、生成された要素もそのセットのメンバーである必要があります)、結合的である必要があります、単位元(演算を使用して別の要素と組み合わせると、数値に 1 を掛けるなどして元の要素になる要素)が存在する必要があります。また、すべての要素に対して逆元が存在する必要があります。[159] [160]
- 同様に、環は一組の元を持ちますが、今度は演算が2 つあります。最初の演算は、その集合を可換群にするものでなければなりません。また、2 番目の演算は最初の演算に関して結合的かつ分配的です。可換である場合もそうでない場合もあります。つまり、演算を最初の元と 2 番目の元に適用した結果は、2 番目と 1 番目の元に適用した場合と同じであり、元の順序は関係ありません。[161]ゼロでない元がすべて逆元( ax = xa = 1となる元x)を持つ場合、その環は除算環と呼ばれます。体は可換[e]除算環として定義されます。たとえば、整数は、その元が整数である可換環を形成し、結合演算は加算と乗算です。任意の整数のペアを加算または乗算すると、常に別の整数が得られ、最初の演算である加算は可換である。つまり、環の任意の要素aとbについて、 a + b = b + aである。2 番目の演算である乗算も可換であるが、他の環では必ずしも真ではない。つまり、aと bを組み合わせたものは、 bとaを組み合わせたものとは異なる可能性がある。非可換環の例には、行列や四元数がある。整数は除算環を形成しない。なぜなら、2 番目の演算は常に反転できるとは限らないためである。たとえば、 3 a = 1となる整数aは存在しない。[162] [163]
整数には、すべての可換環に一般化できない追加の特性がある。重要な例としては、すべての正の整数は一意に素数に因数分解できるという算術の基本定理がある。[164]他の環では因数分解が一意にできるとは限らないが、ノイマンは多くの環のイデアルに対して、現在ラスカー・ノイマン定理と呼ばれている一意の因数分解定理を発見した。[165]ノイマンの研究の多くは、すべての環に当てはまる特性を決定すること、古い整数定理の新しい類似物を考案すること、および環の特定の特性を生み出すために必要な仮定の最小セットを決定することにあった。[要出典]
群は、群表現を通じて研究されることが多い。[166]最も一般的な形式では、群表現は、群の選択、集合、および集合に対する群の作用、つまり、群の要素と集合の要素を取って集合の要素を返す操作から構成される。ほとんどの場合、集合はベクトル空間であり、群はベクトル空間の対称性を記述する。たとえば、空間の剛体回転を表現する群がある。回転は空間の対称性の一種である。なぜなら、物理法則自体は好ましい方向を選択しないからである。[167]ノイマンは、物理学の不変量に関する研究で、この種の対称性を使用した。[168]
環を研究する強力な方法は、そのモジュールを通して研究することです。モジュールは、環の選択、別の集合（通常は環の基礎集合とは別で、モジュールの基礎集合と呼ばれます）、モジュールの基礎集合の要素のペアに対する操作、および環の要素とモジュールの要素を受け取り、モジュールの要素を返す操作で構成されます。[169]
モジュールとその演算の基底集合は、グループを形成しなければならない。モジュールは、グループ表現の環論的バージョンである。つまり、2 番目の環演算とモジュール要素のペアに対する演算を無視すると、グループ表現が決定される。モジュールの本当の有用性は、存在するモジュールの種類とそれらの相互作用によって、環自体からは明らかではない方法で環の構造が明らかになることである。この重要な特殊なケースは代数である。[f]代数は、2 つの環の選択と、各環から要素を取り、2 番目の環の要素を返す演算で構成される。この演算により、2 番目の環は最初の環に対するモジュールになる。[170]
「要素」や「結合演算」などの言葉は非常に一般的であり、多くの現実世界および抽象的な状況に適用できます。1つ（または2つ）の演算のすべての規則に従うものの集合は、定義によりグループ（またはリング）であり、グループ（またはリング）に関するすべての定理に従います。整数、および加算と乗算の演算は、1つの例にすぎません。たとえば、要素は論理命題である可能性があり、最初の結合演算は排他的または2番目は論理積です。[171]抽象代数の定理は、一般的なため強力です。多くのシステムを管理します。非常に少ないプロパティで定義されたオブジェクトについてはほとんど結論を出せないと思われるかもしれませんが、まさにそこに、特定のプロパティセットから結論を出せる最大のものを発見する、または逆に、特定の観察の原因となる最小限のプロパティセットを特定するというノイマンの才能がありました。ほとんどの数学者とは異なり、彼女は既知の例から一般化することで抽象化を行いませんでした。むしろ彼女は抽象概念を直接扱った。ファン・デル・ヴェルデンはノイマンの死亡記事の中で次のように回想している。
エミー・ネーターが研究を通して従っていた格言は、次のように定式化できるだろう。「数値、関数、演算間の関係は、特定の対象から切り離され、普遍的に有効な概念として定式化された後にのみ、透明で、一般的に適用可能で、完全に生産的になる。」[172]
これは、ノイマンの特徴である「純粋に概念的な数学」である。このスタイルの数学は、特に（当時は新しい）抽象代数の分野で他の数学者によって採用された。[173]
第一期（1908年～1919年）
代数的不変量理論
ノイマンの初期の業績の多くは、不変式理論、主に代数不変式理論に関連していた。不変式理論は、一連の変換の下で一定（不変）のままである表現を扱う。日常的な例としては、剛体の物差しを回転させると、端点の座標は変化するが、長さは変わらない。より洗練された不変式の例としては、2進二次形式x· A x + y· B x + y· C yの判別式 B 2 − 4 ACが挙げられる。ここで、xとyはベクトルであり、「·」はベクトルのドット積または「内積」である。 A、B、およびC はベクトル（通常は行列）上の線型演算子である。判別式は、行列式ad − bc = 1を伴う線型置換x → a x + b yおよびy → c x + d yによって変化しないため、「不変」と呼ばれる。これらの置換は特殊線型群SL 2を形成する。[g]
SL 2の作用によって変化しないA、B、Cのすべての多項式を求めることができます。これらは 2 項二次形式の不変量と呼ばれ、判別式の多項式になります。より一般的には、高次の同次多項式A 0 x r y 0 + ... + A r x 0 y rの不変量を求めることができます。これは係数A 0、 ...、 A rの特定の多項式になります。さらに一般的には、2 つ以上の変数の同次多項式に対して同様の質問をすることができます。[引用が必要]
不変量理論の主な目標の 1 つは、「有限基底問題」を解くことでした。任意の 2 つの不変量の和または積は不変量であり、有限基底問題は、生成元と呼ばれる不変量の有限リストから始めて、生成元を加算または乗算することで、すべての不変量を取得できるかどうかを問うものでした。たとえば、判別式は、2 進二次形式の不変量に対して有限基底 (1 つの要素を持つ) を与えます。[引用が必要]
ネーターの指導教官、ポール・ゴルダンは「不変式理論の王」として知られ、数学への彼の主な貢献は、2変数の同次多項式の不変量に対する有限基底問題を1870年に解決したことだ。[174] [175]彼は、すべての不変量とその生成元を見つけるための構成的方法を与えることでこれを証明したが、3つ以上の変数の不変量に対してこの構成的アプローチを実行することはできなかった。1890年に、ダヴィド・ヒルベルトは、任意の数の変数の同次多項式の不変量に対して同様の命題を証明した。[176] [177]さらに、彼の方法は、特殊線型群だけでなく、特殊直交群などのその部分群の一部にも適用できた。[178]
ネーターはゴルダンの先導に従い、不変理論に関する博士論文といくつかの他の出版物を執筆した。彼女はゴルダンの結果を拡張し、ヒルベルトの研究も基盤とした。後に彼女はこの研究を軽蔑し、あまり興味を引かず、詳細を忘れてしまったことを認めた。[179]ヘルマン・ワイルは次のように書いている。
[A] 彼女の最初の論文、博士論文、そして成熟期の作品の間には、これ以上の対照はほとんど想像できない。なぜなら、前者は形式的計算の極端な例であり、後者は数学における概念的公理的思考の極端で壮大な例を構成しているからである。[180]
ガロア理論
ガロア理論は、方程式の根を置換する数体の変換に関するものである。[ 181 ]係数が何らかの基底体から引き出された、次数nの変数xの多項式方程式を考える。基底体 は、たとえば、実数体、有理数体、または7 を法とする整数体である。この多項式の評価が 0 になるようなx の選択がある場合とない場合がある。そのような選択がある場合、それを根 と呼ぶ。[182]たとえば、多項式がx 2 + 1で、体が実数である場合、多項式には根がない。なぜなら、 xのどの選択でも多項式は 1 以上になるからである。[183] ただし、体が拡張されている場合、多項式は根を得る可能性があり、 [184]十分に拡張されている場合、常に次数に等しい数の根を持つ。[185]
前の例を続けると、もし体を拡大すると、多項式は2つの根+ iと− i を得る。ここでi は虚数単位、つまりi 2 = −1である。より一般的には、多項式をその根に因数分解できる拡大体は、多項式の分解体として知られている。 [186]
多項式のガロア群は、多項式の基底体と根を保存する分割体のすべての変換の集合である。[187] （これらの変換は自己同型と呼ばれる。） x 2 + 1のガロア群は、2 つの要素で構成される。すべての複素数をそれ自身に送る恒等変換と、+ iを− iに送る複素共役である。ガロア群は基底体を変えないので、多項式の係数は変わらないため、すべての根の集合は変わらない。ただし、各根は別の根に移動できるため、変換によってn 個の根の相互の置換が決定される。ガロア群の重要性は、ガロア理論の基本定理に由来する。この定理は、基底体と分割体の間にある体がガロア群の部分群と 1 対 1 で対応していることを証明する。[188]
1918年、ノイマンは逆ガロア問題に関する論文を発表した。[189]ノイマンは、与えられた体のガロア変換群とその拡大を決定する代わりに、体と群が与えられたとき、その群をガロア群として持つ体の拡大を見つけることが常に可能かどうかを問うた。彼女はこれを「ノイマンの問題」に還元し、これは体k ( x 1 , ..., x n )に作用する置換 群S nの部分群Gの固定体が常に体kの純粋超越拡大であるかどうかを問うものである。 （彼女は1913年の論文[190]で初めてこの問題に言及し、そこでは同僚のフィッシャーの問題であるとしている。）彼女はこれが n = 2、3、または4のいずれの場合でも成り立つことを示した。1969年にリチャード・スワンは、 n = 47でGが位数47の巡回群であるノイマンの問題の反例を発見した [191] （ただし、この群は他の方法で有理数上のガロア群として実現できる）。逆ガロア問題は未解決のままである。[192]
物理
ノイマンは1915年にデイヴィッド・ヒルベルトとフェリックス・クラインによってゲッティンゲン に招かれた。彼らは、彼女の不変理論に関する専門知識を一般相対性理論[193]の理解に役立てたいと考えていた。一般相対性理論は、主にアルベルト・アインシュタインが開発した重力の幾何学的理論である。ヒルベルトは、重力エネルギー自体が重力の影響を受けるため、一般相対性理論ではエネルギー保存則が破れているように見えると観察していた。ノイマンは1918年の論文でこのパラドックスの解決法と現代理論物理学の基本的なツールを提示した。 [194]この論文では2つの定理が提示され、そのうちの最初の定理はノイマンの定理として知られている。[195]これらの定理を組み合わせると、一般相対性理論の問題が解決されるだけでなく、何らかの連続的な対称性を持つすべての物理法則システムの保存量も決定されます。[196]彼女の研究を受け取ったアインシュタインはヒルベルトに次のように書いている。
昨日、私はノイマンさんから不変量に関する非常に興味深い論文を受け取りました。このようなことがこのように一般的な方法で理解できることに感銘を受けました。ゲッティンゲンの古参の人たちはノイマンさんから何か教訓を得るべきです！彼女は自分のことをよく知っているようです。[197]
例えば、物理システムが空間内でどのように配置されているかに関係なく、同じ動作をする場合、それを支配する物理法則は回転対称です。この対称性から、ノイマンの定理はシステムの角運動量が保存される必要があることを示しています。 [168] [198]物理システム自体は対称である必要はありません。宇宙で回転するギザギザの小惑星は、その非対称性にもかかわらず角運動量を保存します。むしろ、システムを支配する物理法則の対称性が保存則の原因です。別の例として、物理実験が任意の場所と任意の時間で同じ結果をもたらす場合、その法則は空間と時間の連続的な変換に対して対称です。ノイマンの定理により、これらの対称性は、それぞれこのシステム内の線形運動量とエネルギーの保存則を説明します。 [199]
当時の物理学者たちは、ノイマンが基礎としたソフス・リーの連続群の理論をよく知らなかった。多くの物理学者がノイマンの定理を初めて知ったのは、その特殊なケースのみを提示したエドワード・リー・ヒルの論文からであった。そのため、彼女の結果の全容はすぐには理解されなかった。 [200]しかし、20世紀後半には、ノイマンの定理は、保存則についての洞察と実用的な計算ツールの両方から、現代の理論物理学の基本的なツールとなった。彼女の定理により、研究者は物理系の観察された対称性から保存量を決定することができる。逆に言えば、それは仮説的な物理法則のクラスに基づく物理系の記述を容易にする。例として、新しい物理現象が発見されたとしよう。ノイマンの定理は、現象の理論モデルに対するテストを提供します。理論が連続対称性を持つ場合、ノイマンの定理は理論が保存量を持つことを保証し、理論が正しいためには、この保存が実験で観察可能でなければなりません。[8]
第二期（1920年～1926年）
昇順および降順の連鎖条件
この時代に、ノイマンは昇順（Teilerkettensatz）または降順（Vielfachenkettensatz）連鎖条件を巧みに使用して有名になった。[156]集合Sの空でない 部分集合 A 1、A 2、A 3、…の列は、通常、それぞれが次の部分集合の部分集合である場合に 昇順であると言われる。
逆に、 Sの部分集合のシーケンスは、それぞれが次の部分集合を含む場合、 降順であると呼ばれます。
連鎖が有限個のステップの後に定数になるのは、すべてのm ≥ nに対してnが存在する場合である。与えられた集合の部分集合の集合が昇順連鎖条件を満たすのは、任意の昇順シーケンスが有限個のステップの後に定数になる場合である。[201]降順連鎖条件を満たすのは、任意の降順シーケンスが有限個のステップの後に定数になる場合である。[202]
昇順および降順の連鎖条件は一般的なもので、多くの種類の数学的オブジェクトに適用できます。表面的にはそれほど強力ではないように見えるかもしれません。しかし、ネーターはそのような条件を最大限に活用する方法を示しました。たとえば、連鎖条件を使用して、サブオブジェクトのすべてのセットに最大/最小の要素があることや、複雑なオブジェクトがより少数の要素で生成できることを示すことができます。これらの結論は、証明の重要なステップとなることがよくあります。[引用が必要]
抽象代数学の多くの種類のオブジェクトは連鎖条件を満たすことができ、通常、それらが上昇連鎖条件を満たす場合、彼女にちなんでネーターと呼ばれます。 [203]定義により、ネーター環は左イデアルと右イデアルで上昇連鎖条件を満たしますが、ネーター群は、厳密に上昇する部分群の連鎖がすべて有限であるグループとして定義されます。ネーター加群は、厳密に上昇する部分加群の連鎖がすべて有限数のステップの後に定数になる加群です。 [204]ネーター空間は、開集合が上昇連鎖条件を満たす位相空間です。[h]この定義により、ネーター環のスペクトルはネーター位相空間になります。 [205] [206]
連鎖条件は、しばしば部分対象によって「継承」される。例えば、ネーター空間のすべての部分空間はそれ自体ネーターである。ネーター群のすべての部分群と商群はネーターである。そして、必要な変更を加えて、ネーター加群の部分加群と商加群についても同じことが成り立つ。[207]連鎖条件は、ネーター対象の組み合わせや拡張によって継承されることもある。例えば、ネーター環の有限直和はネーターであり、ネーター環上の形式冪級数の環もネーターである。 [208]
このような連鎖条件の別の応用は、数学的帰納法 の一般化であるネーター帰納法（ well-founded induction とも呼ばれる）である。これは、オブジェクトのコレクションに関する一般的なステートメントを、そのコレクション内の特定のオブジェクトに関するステートメントに還元するために頻繁に使用される。S が部分的に順序付けられた集合であると仮定する。 Sのオブジェクトに関するステートメントを証明する 1 つの方法は、反例の存在を仮定して矛盾を演繹し、それによって元のステートメントの逆説を証明することである。 ネーター帰納法の基本的な前提は、 Sの空でないすべての部分集合に最小要素が含まれるというものである。特に、すべての反例の集合には、最小要素、つまり最小反例が含まれる。したがって、元のステートメントを証明するには、一見はるかに弱いことを証明するだけで十分である。つまり、任意の反例に対して、より小さな反例が存在する。[出典が必要]
可換環、イデアル、加群
ノイマンの論文「環域におけるイデアルの理論」（1921年）[64]は、一般可換環論の基礎となり、可換環の最初の一般的な定義の一つを与えている。[209]彼女の論文以前は、可換代数のほとんどの結果は、体上の多項式環や代数的整数の環など、可換環の特別な例に限定されていた。ノイマンは、イデアル上の上昇連鎖条件を満たす環では、すべてのイデアルが有限生成であることを証明した。1943年、フランスの数学者クロード・シュヴァレーは、この性質を説明するためにノイマン環という用語を作った。 [209] 1921年のノイマンの論文の主要な結果は、ラスカー・ノイマン定理であり、これは多項式環のイデアルの一次分解に関するラスカーの定理をすべてのノイマン環に拡張したものである。[42] [210]ラスカー・ノイマン定理は、任意の正の整数は素数の積として表すことができ、この分解は一意であるという算術の基本定理の一般化と見なすことができる。 [211]
ネーターの著作『代数的数と関数体におけるイデアル理論の抽象的構造』 (1927年) [212]は、イデアルが素イデアルに一意に因数分解される環(現在ではデデキント域と呼ばれる)を特徴付けた。[213]ネーターは、これらの環が5つの条件で特徴付けられることを示した。すなわち、環は昇順および降順連鎖条件を満たすこと、環は単位元を持ち零因子を持たないこと、環は関連する分数体において整閉であることである。 [213] [214]この論文には、現在では同型定理と呼ばれるものも含まれており[215]、これはいくつかの基本的な自然同型性や、ネーター加群およびアルティン加群に関するその他の基本的な結果を記述している。[216]
消去法
1923年から1924年にかけて、ノイマンは自身の理想論を消去論に適用した。その定式化は彼女の弟子であるクルト・ヘンツェルトに帰せられる。彼女は多項式の因数分解に関する基本定理が直接応用できることを示した。[217] [218] [219]伝統的に、消去論は多項式方程式系から1つ以上の変数を消去することに関係しており、多くの場合は帰結法によって行われる。[220]
例えば、方程式系は次のような形で表されることが多い。
- MV = 0
ここで、行列（または線形変換）M（変数xなし）とベクトルv （ xの非ゼロ乗のみを持つ）を掛けたものは、ゼロベクトル0に等しくなります。したがって、行列Mの行列式はゼロでなければならず、変数xが消去された 新しい方程式が提供されます。
有限群の不変理論
ヒルベルトの元々の非構成的有限基底問題解法のような手法は、群作用の不変量に関する定量的な情報を得るのに使うことができず、さらに、群作用すべてに当てはまるものではなかった。1915 年の論文[221]で、ノイマンは、特性 0 の体上の有限次元ベクトル空間に作用する変換の有限群Gに対する有限基底問題の解を見出した。彼女の解は、不変量の環が、次数が有限群の位数以下である同次不変量によって生成されることを示している。これはノイマンの境界と呼ばれる。彼女の論文では、ノイマンの境界の 2 つの証明が与えられており、どちらも体の特性が(群Gの位数の階乗)と互いに素である場合にも有効である。体の特性が数 を割り切る場合、生成子の次数はノイマンの境界を満たす必要はありません。 [222]しかし、体の特性が を割り切るが を割り切らない場合にこの境界が正しいかどうかをノイマンは決定できませんでした。長年、この特定のケースでこの境界の真偽を決定することは「ノイマンのギャップ」と呼ばれる未解決の問題でした。これは最終的に、2000 年にフライシュマンと 2001 年にフォガティによって独立に解決され、両者ともこの境界が正しいことを示しました。[223] [224]
1926年の論文[225]で、ノイマンはヒルベルトの定理を任意の体上の有限群の表現に拡張した。ヒルベルトの研究から導かれなかった新しいケースは、体の標数が群の位数を割り切る場合である。ノイマンの結果は後にウィリアム・ハボウシュによってマンフォード予想の証明によってすべての簡約群に拡張された。[226]この論文でノイマンはノイマン正規化補題も導入し、体k上の有限生成領域 Aには代数的に独立した元の集合{ x 1 , ..., x n }があり、 A はk [ x 1 , ..., x n ]上で整式となることを示した。
トポロジー
ヘルマン・ワイルが死亡記事で述べたように、ノイマンの位相幾何学への貢献は、彼女のアイデアの寛大さと、彼女の洞察が数学の分野全体を変革する可能性を示している。[37]位相幾何学では、数学者は、変形下でも不変である物体の特性、たとえば物体の連結性などを研究する。古いジョークに「位相幾何学者はドーナツとコーヒーマグを区別できない」というものがある。なぜなら、それらは継続的に変形して互いに入り込む可能性があるからだ。[227]
ネーターは、それ以前の組合せ論的位相幾何学から代数的位相幾何学の発展につながった基本的なアイデア、特にホモロジー群のアイデアを生み出したとされている。[228]アレクサンドロフによれば、ネーターは1926年と1927年の夏に彼とハインツ・ホップが行った講義に出席し、「彼女は絶えず、しばしば深く微妙な観察を行った」[229]としており、次のように続けている。
... 彼女が初めて組合せ位相幾何学の体系的な構成に出会ったとき、彼女はすぐに、与えられた多面体の代数的複体とサイクルの群、およびゼロに相同なサイクルからなるサイクル群の部分群を直接研究する価値があることに気付きました。ベッティ数の通常の定義の代わりに、彼女はベッティ群を、すべてのサイクルの群をゼロに相同なサイクルの部分群で割った補数（商）群としてすぐに定義することを提案しました。この観察は今では自明のようですが、当時（1925-1928年）には、これはまったく新しい視点でした。[230]
トポロジーを代数的に研究するというネーターの提案は、ホップ、アレクサンドロフらによってすぐに採用され、[230]ゲッティンゲンの数学者の間で頻繁に議論される話題となった。[231]ネーターは、ベッティ群のアイディアによってオイラー・ポアンカレ公式が理解しやすくなると指摘し、この主題に関するホップ自身の研究[232]は「エミー・ネーターのこれらの発言の影響を受けている」。[233]ネーターは、1926年の出版物で、自身のトポロジーのアイディアを余談としてのみ言及しており、[234]そこでは群論の応用として引用している。[235]
この代数的位相幾何学へのアプローチはオーストリアでも独自に発展した。1926年から1927年にかけてウィーンで行われた講義で、レオポルド・ヴィートリスは、ヴァルター・マイヤーによって1928年に公理的定義に発展したホモロジー群を定義した。 [236]
第三期（1927年～1935年）
超複素数と表現論
19世紀から20世紀初頭にかけて、超複素数と群の表現に関する研究は数多く行われたが、ばらばらであった。ノイマンはこれらの初期の結果を統合し、群と代数の最初の一般表現論を提示した。[237] [238]ノイマンによるこの単一の研究は、現代代数学の新しい時代を先導し、その発展に根本的な重要性をもたらしたと言われている。[239]
簡単に言えば、ノイマンは結合代数の構造理論と群の表現理論を、昇順連鎖条件を満たす環の加群とイデアルの単一の算術理論に統合した。[238]
非可換代数
ネーターは代数学の分野でも数多くの進歩を遂げた。エミール・アルティン、リヒャルト・ブラウアー、ヘルムート・ハッセとともに中心単純代数の理論を創始した。[240]
ノイマン、ヘルムート・ハッセ、リチャード・ブラウアーによる論文は、除算が可能な代数体系である除算代数[241]に関するものである。彼らは2つの重要な定理を証明した。局所大域定理は、数体上の有限次元中心除算代数が局所的にどこでも分裂するならば、大域的にも分裂する（したがって自明である）ことを述べ、この定理から主定理（「主要定理」）を導いた。
これらの定理により、与えられた数体上の有限次元中心分割代数をすべて分類することができる。ノイマンによるその後の論文では、より一般的な定理の特殊なケースとして、分割代数Dのすべての極大部分体は分割体であることを示した。[242]この論文には、体kのk上の有限次元中心単純代数への拡張の任意の 2 つの埋め込みが共役であるというスコーレム・ノイマン定理も含まれている。ブラウアー・ノイマン定理[243]は、体上の中心分割代数の分割体の特徴付けを与える。[244]
遺産
ネーターの研究は理論物理学と数学の発展に引き続き関連しており、彼女は20世紀で最も重要な数学者の一人であると考えられています。[153] [245]
ノイマンは生前から今日に至るまで、パベル・アレクサンドロフ[247] 、ヘルマン・ワイル[248]、ジャン・デュドネ[249]などの数学者によって、歴史上最も偉大な女性数学者[6] [7] [246]と評されてきた。
アルバート・アインシュタインはニューヨークタイムズに宛てた手紙の中でこう書いている。[5]
最も有能な現存する数学者たちの判断によれば、ノイマン・フロイラインは、女性の高等教育が始まって以来、これまでに生み出された最も重要な数学的創造的天才でした。最も才能ある数学者たちが何世紀にもわたって取り組んできた代数学の領域で、彼女は、現代の若い世代の数学者の発展に非常に重要であることが証明された方法を発見しました。
同僚の代数学者BL・ファン・デル・ワールデンは死亡記事で、ネーターの数学的独創性は「比較の余地がないほど絶対的」だったと述べており[250]、ヘルマン・ワイルは「彼女の研究によって[抽象]代数学の様相が一変した」と述べた[12] 。数学者で歴史家のジェレミー・グレイは、抽象代数学の教科書には必ずネーターの貢献の証拠が載っていると書いている。「数学者は単に彼女のやり方で環論をやっているだけだ」[203]。現在では多くのものに彼女の名前が付けられており、その中には多くの数学的対象[203]や小惑星7001ネーター[251]がある。
参照
注記
- ^ ab エミーはラフネームであり、2つの公式名のうちの2番目で、日常的に使用されることを意図しています。これは、1907年にノイアーがエアランゲン大学に提出した履歴書に見ることができます。 [1] [2]エミーは、誤ってアマーリエの短縮形として報告されたり、エミリーと誤って報告されたりすることがあります。たとえば、後者はリー・スモーリンがリアリティ・クラブの手紙で使用しました。[3]
- ^ このニックネームは必ずしも善意で使われたわけではない。[74]ノイアーの死亡記事でヘルマンは次のように述べている。
あなたの天才の力は性別の境界を超越しているようでした。だからこそ、ゲッティンゲンの私たちは畏怖の念を抱き、あなたを男性形の「デア・ネーター」と呼んでいたのです。[37] [75]
- ^ 1933年にネーターがドイツを去ることを余儀なくされたとき、彼女は大学がデューリングを後任に任命することを望んだが[91]、彼がそこで教え始めたのは1950年になってからだった[90]。
- ^ ツェンの死亡日については諸説ある。キンバーリング（1981、41ページ）は「1939年か40年ごろ」と述べ、ディン、カン、タン（1999）は1940年11月に死亡したとしているが、地元の新聞は死亡日を1940年10月1日と記録している。[98]
- ^ 命名法は一貫していません。
- ^ 代数学という言葉は、数学内の科目と代数学の科目で研究される対象の両方を意味します。
- ^すべての可逆な線型変換の 一般線型群の下では不変量は存在しない。なぜなら、これらの変換はスケール係数による乗算になる可能性があるからである。これを改善するために、古典的な不変量理論では、スケール係数まで不変な形式である相対不変量も考慮した。
- ^ あるいはその閉集合が降順連鎖条件を満たすもの。[205]
参考文献
- ^ Noether 1983、p. iii.
- ^ トールミエン、コーデュラ。 「エミー・ネーター (1882–1935) – Lebensläufe」。physikerinnen.de。 2007 年 9 月 29 日のオリジナルからアーカイブ。2024 年4 月 13 日に取得。
- ^ スモーリン、リー(1999 年 3 月 21 日)。「リー・スモーリン、W・ダニエル・ヒリス著『特殊相対性理論: 光より速く走れないのはなぜか』について語る; ヒリスの回答」。Edge.org。Edge Foundation, Inc. 2012年 7 月 30 日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012 年3 月 6 日閲覧。
しかし、専門家以外でこの理論やその考案者であるドイツの偉大な数学者エミリー・ネーターについて聞いたことがある人はほとんどいないと思います。...これには、保存量は自然法則の対称性と関係があるというエミリー・ネーターの洞察も必要です。
- ^ Conover, Emily (2018年6月12日). 「数学者エミー・ネーターは、その短い生涯の中で物理学の様相を変えた」. Science News . 2023年3月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年7月2日閲覧。
- ^ abc アインシュタイン、アルバート（1935年5月1日）。「故エミー・ネーター：アインシュタイン教授が数学者仲間に感謝の意を表す」。ニューヨーク・タイムズ（1935年5月4日発行） 。 2008年4月13日閲覧。MacTutor 数学史アーカイブにオンラインで転記されています。
- ^ ab Alexandrov 1981、p. 100。
- ^ キンバリング 1982より。
- ^ ab ネエマン、ユヴァル、「エミー・ネーターの定理が21世紀の物理学に与えた影響」テイヒャー、1999 年、83 ～ 101 ページ。
- ^ abc Ogilvie & Harvey 2000、949ページ。
- ^ ワイル 1935
- ^ abc Lederman & Hill 2004、73ページ。
- ^ ディック 1981、128 ページ
- ^ ディック 1981、7-8ページ。
- ^ ディック 1981、9-10頁。
- ^ ディック 1981、10-11ページ。
- ^ ディック 1981、15ページ。
- ^ ディック 1981、15、19-20頁。
- ^ ディック 1981、25、45ページ。
- ^ キンバーリング1981年5ページ。
- ^ ディック 1981、11-12ページ。
- ^ ディック 1981、15-16ページ。
- ^ キンバーリング1981年、10ページ。
- ^ キンバーリング1981年、8-10頁。
- ^ レダーマン＆ヒル 2004、71ページ。
- ^ ディック 1981、14ページ。
- ^ Rowe 2021、18頁。
- ^ ディック 1981、14-15ページ。
- ^ Noether 1908より。
- ^ ディック 1981、16-18ページ。
- ^ メルツバッハ1983年、164ページ。
- ^ キンバリング1981、pp.10-11より。
- ^ ディック 1981、13-17ページ。
- ^ ディック 1981、18、24ページ。
- ^ コスマン-シュワルツバッハ、2011、p. 44.
- ^ ディック 1981、23ページ。
- ^ Rowe 2021、22頁。
- ^ abcdefg ワイル 1935.
- ^ ディック 1981、23-24ページ。
- ^ キンバリング1981、pp.11-12より。
- ^ ディック 1981、18-24ページ。
- ^ Rowe 2021、29–35頁。
- ^ abc Rowe & Koreuber 2020、27ページ。
- ^ abcdefghi O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2014 年 11 月)、「Emmy Noether の博士課程の学生」、MacTutor 数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
- ^ ファルケンベルグ 1912年。
- ^ ザイデルマン 1917年。
- ^ ディック 1981、16ページ。
- ^ キンバリング1981、14ページより。
- ^ ab Lederman & Hill 2004、p.72より。
- ^ Rowe & Koreuber 2020、75-76ページ。
- ^ ディック 1981、32ページ。
- ^ ディック 1981、24-26頁。
- ^ Byers 2006、91-92ページ。
- ^ バイアーズ 2006、86ページ。
- ^ Noether 1918c、235ページ。
- ^ Rowe & Koreuber 2020、3ページ。
- ^ バイアーズ 1996、2ページ。
- ^ ディック 1981、32-24ページ。
- ^ コスマン-シュワルツバッハ、2011、p. 49.
- ^ ディック1981、36-37頁。
- ^ ディック1981、188ページ。
- ^ キンバーリング1981年、14-18頁。
- ^ ディック1981、33-34頁。
- ^ ノイマン 1983.
- ^ Noether 1921より。
- ^ キンバリング1981、18ページより。
- ^ ディック 1981、44-45頁。
- ^ abcde van der Waerden 1935年。
- ^ abcd オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「エミー・アマリー・ノイアー」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
- ^ ab Lederman & Hill 2004、p.74より。
- ^ ディック 1981、57-58頁。
- ^ キンバーリング1981年、19ページ。
- ^ キンバーリング1981年、24ページ。
- ^ abc キンバリング 1981、24-25頁。
- ^ Rowe & Koreuber 2020、14ページ。
- ^ Rowe & Koreuber 2020、214頁。
- ^ ディック 1981、61-63ページ。
- ^ シーガル2003、128ページより。
- ^ Dick 1981、pp. 51–53。p. 51 を参照：「... 1925 年 2 月に E. Noether と E. Landau の指導の下で試験を受けた Grete Hermann。p. 52–53 も参照：「1929 年に Werner Weber が博士号を取得しました... 審査員は E. Landau と E. Noether でした。」p. 53 にも、「2 週間後に Jakob Levitzki が続き... 彼も Noether と Landau の指導を受けました。」
- ^ abcd ディック1981、51ページ。
- ^ ヘルマン 1926年。
- ^ Rowe 2021、99頁。
- ^ グレル 1927年。
- ^ ヘルツァー 1927年。
- ^ ウェーバー 1930年。
- ^ レヴィツキ 1931年。
- ^ シーガル2003、128-129頁。
- ^ ディック 1981、53ページ。
- ^ abc キンバリング 1981、29ページ。
- ^ デューリング 1932年。
- ^ キンバリング1981、p.40より。
- ^ ディック 1981、54ページ。
- ^ ディック 1981、53-54頁。
- ^ フィッティング1933年。
- ^ abcd キンバリング 1981、41ページ。
- ^ ディック 1981、55ページ。
- ^ ウィット 1935年。
- ^ ツェン 1933.
- ^ “十月份甯屬要聞” [10月の寧州主なニュース].新寧遠月刊 Xin Ningyuan Yuekang [New Ningyuan Monthly] (中国語). Vol. 1、いいえ。 3.西昌、西康。 1940 年 11 月 25 日。p. 51.
一日國立西康技藝專科學校教授曾烱之博士在西康衞生院病逝。
- ^ シリング 1935年。
- ^ ドルンテ 1929年。
- ^ ヴィッヒマン 1936年。
- ^ Rowe 2021、200頁。
- ^ Rowe & Koreuber 2020、32ページ。
- ^ ディック 1981、56-57頁。
- ^ Rowe 2021、p. x.
- ^ ディック 1981、57ページ。
- ^ ディック 1981、37-49頁。
- ^ マックレーン1981年、71ページ。
- ^ ディック 1981、76ページ。
- ^ ディック 1981年、46-48頁。
- ^ タウスキー1981、80ページ。
- ^ ディック 1981、40-41頁。
- ^ Rowe & Koreuber 2020、p.21、122。
- ^ ディック1981、37-38頁。
- ^ マックレーン1981年77ページ。
- ^ ディック 1981、41ページ。
- ^ Rowe & Koreuber 2020、36、99頁。
- ^ ディック 1981、38ページ。
- ^ シャルラウ、ヴィンフリート、エミー・ネーターの代数理論への貢献Teicher 1999、p.49を参照。
- ^ ディック 1981、63-64ページ。
- ^ キンバーリング1981年、26ページ。
- ^ アレクサンドロフ、1981、108–110 ページ。
- ^ ab アレクサンドロフ、1981 年、106–109 ページ。
- ^ マクラティ 2005年。
- ^ ディック1981、72-73頁を参照。
- ^ abc キンバリング 1981、26-27頁。
- ^ ハッセ1933、731ページ。
- ^ ディック 1981、74-75ページ。
- ^ abc ディック1981、75-76頁。
- ^ abc キンバリング 1981、28-29頁。
- ^ ディック 1981、78-79ページ。
- ^ キンバーリング1981、30-31ページ。
- ^ キンバーリング1981、32-33ページ。
- ^ ディック 1981、80ページ。
- ^ Rowe 2021、222頁。
- ^ Rowe 2021、223頁。
- ^ ディック 1981、80-81頁。
- ^ ディック 1981、85-86頁。
- ^ ab Rowe 2021、p.251。
- ^ シュタウファー 1936年。
- ^ “Emmy Noether at the Institute for Advanced Study”. StoryMaps . ArcGIS . 2019年12月7日. 2024年4月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年8月28日閲覧。
- ^ ディック 1981、81-82ページ。
- ^ ディック 1981、81ページ。
- ^ ディック 1981、83ページ。
- ^ ディック 1981、82-83ページを参照。
- ^ オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.、「フリッツ・アレクサンダー・エルンスト・ネーター」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学。
- ^ ディック 1981、82ページ。
- ^ キンバーリング1981年、34ページ。
- ^ キンバリング1981、37-38頁より。
- ^ Rowe 2021、252頁。
- ^ Rowe 2021、252、257頁。
- ^ キンバーリング1981、39ページ。
- ^ ab Chodos, Alan, ed. (2013年3月). 「今月の物理学史：1882年3月23日：エミー・ネーターの誕生」. APSNews . 22 (3).アメリカ物理学会. 2024年7月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年8月28日閲覧。
- ^ ギルマー1981年、131ページ。
- ^ キンバーリング1981年、10-23頁。
- ^ ab Rowe & Koreuber 2020、pp. 27–30。p. 27を参照：「1921年、ノイマンは、上昇連鎖条件を満たすイデアルを持つ環を扱った有名な論文を発表しました。」p. 30を参照：「抽象代数における連鎖条件の役割は、彼女の今では古典的な論文[1921]から始まり、[1927]の独創的な研究で最高潮に達します。」フランスの数学者からの「かなりの懐疑論」にもかかわらず、1920年代にパベル・アレクサンドロフとヘルムート・ハッセが彼女のアイデアを強力に支持したことについてはp. 28を参照。
- ^ ガウス、カール F. (1832)。 「Theoria residuorum biquadraticorum – Commentatio secunda」。通信社会登録科学。ゲッティンゲン（ラテン語）。7：1～34。Werke [ CF ガウス全集]に転載。ヒルデスハイム:ゲオルク・オルムス・フェルラーク。 1973 年。93 ～ 148 ページ。
- ^ ノイマン1987、168ページ。
- ^ ラング 2005、p.16、II.§1。
- ^ スチュワート2015、18-19頁。
- ^ スチュワート2015、182ページ。
- ^ スチュワート2015、183ページ。
- ^ Gowers et al. 2008、284ページ。
- ^ ガワーズら。 2008 年、699 ～ 700 ページ。
- ^ オソフスキー 1994.
- ^ Zee 2016、89-92頁。
- ^ ペレス1993、215-229頁。
- ^ ab Zee 2016、180ページ。
- ^ Gowers et al. 2008、285ページ。
- ^ ラング2002、121ページ。
- ^ Givant & Halmos 2009、14–15 ページ。
- ^ ディック 1981、101ページ。
- ^ Gowers et al. 2008、801ページ。
- ^ ノイマン1914、11ページ。
- ^ ゴーダン 1870.
- ^ ワイル1944、618-621頁。
- ^ ヒルベルト1890年、531ページ。
- ^ ヒルベルト1890年、532ページ。
- ^ ディック 1981、16-18、155-156頁。
- ^ ディック 1981、120ページ。
- ^ スチュワート 2015、108～111ページ
- ^ スチュワート2015、22-23頁。
- ^ スチュワート2015、23、39頁。
- ^ スチュワート2015、39、129頁。
- ^ スチュワート2015、44、129、148頁。
- ^ スチュワート 2015、129-130ページ
- ^ スチュワート 2015、112-114ページ
- ^ スチュワート 2015、pp. 114–116、151–153
- ^ ネーター 1918.
- ^ ネーター 1913.
- ^ スワン1969年、148ページ。
- ^ マレ＆マツァット 1999.
- ^ Gowers et al. 2008、800ページ。
- ^ ノイマン 1918b
- ^ コスマン-シュワルツバッハ、2011、p. 25
- ^ Lynch, Peter (2015年6月18日). 「Emmy Noether's beautiful theorem」. ThatsMaths . 2023年12月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年8月28日閲覧。
- ^ キンバーリング 1981、13 ページ
- ^ レダーマン＆ヒル 2004、97-116頁。
- ^ テイラー2005、268-272頁。
- ^ Kosmann-Schwarzbach 2011、pp. 26、101–102
- ^ グッドアール＆ウォーフィールド・ジュニア 2004年、1ページ。
- ^ アティヤとマクドナルド、1994 年、p. 74.
- ^ abc Gray 2018、294頁。
- ^ グッドアール＆ウォーフィールドジュニア 2004年、1-3頁。
- ^ ハーツホーン 1977、5ページより。
- ^ アティヤとマクドナルド、1994 年、p. 79.
- ^ ラング2002、414ページ。
- ^ ラング2002、415-416頁。
- ^ ギルマー 1981、p. 133より
- ^ Rowe 2021、p.xvi。
- ^ オソフスキー 1994
- ^ ネーター 1927.
- ^ Noether 1983、13ページを参照。
- ^ Rowe 2021、96頁。
- ^ ロウ2021、286-287頁。
- ^ ノイマン1983、14ページ。
- ^ ノイマン 1923.
- ^ ノイマン 1923b.
- ^ ノイマン 1924.
- ^ Cox、Little、O'Shea 2015、121ページ。
- ^ ネーター 1915.
- ^ フライシュマン2000、24ページ。
- ^ フライシュマン2000、25ページ。
- ^ フォガティ 2001、5ページ。
- ^ ネーター 1926.
- ^ ハボウシュ 1975年。
- ^ ハバード＆ウェスト 1991、204ページ。
- ^ ヒルトン 1988、284 ページ。
- ^ ディック 1981、173ページ。
- ^ ディック1981、174ページ。
- ^ ヒルツェブルッフ、フリードリヒ、エミー・ネーターと位相幾何学テイチャー 1999、pp.57-61
- ^ ホップ 1928.
- ^ ディック 1981、174-175頁。
- ^ ノイマン 1926b.
- ^ ヒルツェブルッフ、フリードリヒ、エミー・ネーターと位相幾何学Teicher 1999、63ページ
- ^ ヒルツェブルッフ、フリードリヒ、エミー・ネーターと位相幾何学テイチャー 1999、pp. 61-63
- ^ ノイマン 1929.
- ^ ab Rowe 2021、127頁。
- ^ ファン・デル・ワールデン、1985年、p. 244.
- ^ ラム1981、152-153ページ。
- ^ ブラウアー、ハッセ＆ネーター、1932年。
- ^ ノイマン 1933.
- ^ ブラウアーとノイアー 1927年。
- ^ ロケット2005年、6ページ。
- ^ Plumer, Brad (2016年3月23日). 「エミー・ネーターは数学に革命を起こしたが、生涯を通じて性差別に直面し続けた」Vox . 2024年9月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年11月2日閲覧。
- ^ ジェームズ2002、321ページ。
- ^ ディック 1981、154ページ。
- ^ ディック 1981、152ページ。
- ^ ノイマン1987、167ページ。
- ^ ディック 1981、100ページ。
- ^ シュマデル2003、270ページ。
出典
- アレクサンドロフ、パベル S. (1981)。「エミー・ネーターを偲んで」。ブリューワー、ジェームズ W、スミス、マーサ K. (編)。エミー・ネーター: 彼女の生涯と仕事へのトリビュート。ニューヨーク:マルセル・デッカー。pp . 99–111。ISBN 978-0-8247-1550-2. OCLC 7837628.
- アティヤ、マイケル、マクドナルド、イアン G. (1994)。可換代数入門。アディソン・ウェズリーおよびアバロン出版。ISBN 978-0201407518。
- Byers, Nina (1996 年 12 月). E. Noether による対称性と保存則の深いつながりの発見. Emmy Noether の遺産に関するシンポジウムの議事録. イスラエル: Bar-Ilan 大学. arXiv : physics/9807044 . Bibcode :1998physics...7044B.
- バイアーズ、ニーナ(2006)。「エミー・ネーター」。バイアーズ、ニーナ、ウィリアムズ、ゲイリー (編)。『影から抜け出す: 20 世紀物理学への女性の貢献』。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-82197-1。
- Cox, David A. ; Little, John B. ; O'Shea, Donal (2015) 。イデアル、多様体、アルゴリズム: 計算代数幾何学と可換代数の入門。数学の学部テキスト(第 4 版)。Springer。doi : 10.1007 / 978-3-319-16721-3。ISBN 978-3-319-16721-3。
- マックス・デューリング(1932)。 「Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen」[代数関数の算術理論について]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。106：77-102。土井：10.1007/BF01455878。
- ディック、オーギュスト（1981年）。エミー・ネーター：1882-1935。ブロッチャー、HI訳。ボストン：ビルクハウザー。doi ： 10.1007 / 978-1-4684-0535-4。ISBN 978-3-7643-3019-4。
- 丁, 詩孫;カン・ミンチャン; Tan、Eng-Tjioe (1999)。 「Chiungtze C. Tsen (1898–1940) と Tsen の定理」。ロッキーマウンテン数学ジャーナル。29 (4): 1237–1269。土井：10.1216/rmjm/1181070406。ISSN 0035-7596。MR1743370 。
- ヴィルヘルム・デルンテ（1929年）。 「Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegriff」[グループの一般化された概念に関する研究]。Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)。29：1-19。土井：10.1007/BF01180515。
- ファルケンベルク、ハンス（1912年）。 Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen [非線形微分方程式の解の影響] (博士論文) (ドイツ語)。
- フィッティング、ハンス(1933)。 「自己同型理論 - アーベル群の環と非可換群における類似体」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。107 : 514–542。土井：10.1007/BF01448909。
- フライシュマン、ピーター( 2000)。「有限群の不変理論におけるノイマン境界」。数学の進歩。156 (1): 23–32。doi : 10.1006/ aima.2000.1952。MR 1800251 。
- Fogarty, John (2001). 「有限群の多項式不変量に対するノイマンの境界について」.アメリカ数学会電子研究発表. 7 (2): 5–7. doi : 10.1090/S1079-6762-01-00088-9 . MR 1826990.
- ギルマー、ロバート (1981)。「可換環理論」。ブリューワー、ジェームズ W.、スミス、マーサ K. (編)。エミー・ネーター: 彼女の生涯と仕事へのトリビュート。ニューヨーク:マルセル・デッカー。pp. 131–143。ISBN 978-0-8247-1550-2。
- ギヴァント、スティーブン、ハルモス、ポール・リチャード( 2009)。ブール代数入門。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-40293-2。
- Goodearl, Ken R.; Warfield Jr., RB (2004)。「非可換ノイザン環入門」ロンドン数学会学生用テキスト（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-511-21192-8。
- ポール・ゴーダン（1870年）。 "Die simultanen Systeme binärer Formen"。Mathematische Annalen (ドイツ語)。2 (2): 227–280。土井：10.1007/BF01444021。S2CID 119558943。2014 年 9 月 3 日のオリジナルからアーカイブ。
- ガワーズ、ティモシー、バローグリーン、ジューン、リーダー、イムレ、編 (2008)。プリンストン数学コンパニオン。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-11880-2。
- グレイ、ジェレミー(2018)。抽象代数の歴史。Springer 学部数学シリーズ。Springer。doi : 10.1007 / 978-3-319-94773-0。ISBN 978-3-319-94772-3。
- グレル、ハインリヒ (1927)。 「Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe」[さまざまな指輪の理想間の関係]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。97 : 490–523。土井：10.1007/BF01447879。
- Haboush, William J. (1975). 「還元群は幾何学的に還元的である」Annals of Mathematics . 102 (1): 67–83. doi :10.2307/1970974. JSTOR 1970974.
- ハッセ、ヘルムート(1933)。 「Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。107 : 731–760。土井：10.1007/BF01448916。S2CID 128305900。2016 年 3 月 5 日時点のオリジナルからアーカイブ。
- ハーツホーン、ロビン(1977)。代数幾何学。数学の大学院テキスト。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社。ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
- グレーテのヘルマン（1926年）。 「Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. (Unter Benutzung nachgelassener Sätze von K. Hentzelt)」 [多項式の理想理論における有限ステップ数の問題。 (後期クルト・ヘンツェルトの定理を使用)]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。95 : 736–788。土井：10.1007/BF01206635。
- デイヴィッド・ヒルベルト（1890年12月）。 「Ueber die Theorie der algebraischen Formen」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。36 (4): 473–534。土井：10.1007/BF01208503。S2CID 179177713。2014 年 9 月 3 日のオリジナルからアーカイブ。
- ヒルトン、ピーター(1988)。 「今世紀におけるホモロジーおよびホモトピー理論の簡潔で主観的な歴史」。数学雑誌。60 (5): 282–291。doi :10.1080 / 0025570X.1988.11977391。JSTOR 2689545。
- ルドルフ、ヘルツァー (1927)。 「Zur Theorie der primären Ringe」[主環の理論について]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。96 : 719–735。土井：10.1007/BF01209197。
- ホップ、ハインツ(1928)。 「Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen。数学物理学クラス(ドイツ語)。2：127-136。
- ハバード、ジョン H. ;ウェスト、ビバリー H. (1991)。微分方程式: 動的システムアプローチ。パート II: 高次元システム。応用数学テキスト。第 5巻。Springer。ISBN 978-0-38-794377-0。
- ジェームズ、ヨアン(2002)。「エミー・ネーター (1882–1935)」。オイラーからフォン・ノイマンまでの注目すべき数学者。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。pp. 321–326。ISBN 978-0-521-81777-6。
- キンバリング、クラーク(1981)。「エミー・ネーターとその影響」。ブリューワー、ジェームズ・W、スミス、マーサ・K (編)。エミー・ネーター: 彼女の生涯と作品へのトリビュート。ニューヨーク:マルセル・デッカー。pp. 3–61。ISBN 978-0-8247-1550-2。
- Kimberling, Clark (1982 年 3 月). 「エミー・ネーター、最も偉大な女性数学者」(PDF) . Mathematics Teacher . 84 (3). バージニア州レストン: National Council of Teachers of Mathematics: 246–249. doi :10.5951/MT.75.3.0246.
- コスマン・シュワルツバッハ、イヴェット（2011）。『ノイマンの定理：20世紀における不変性と保存則』数学と物理科学の歴史における資料と研究。シュワルツバッハ、バートラム・ユージン訳。シュプリンガー。doi ：10.1007 / 978-0-387-87868-3。ISBN 978-0-387-87867-6。
- ラム・ツィット・ユエン(1981)。「表現理論」。ブリューワー、ジェームズ・W、スミス、マーサ・K (編)。エミー・ネーター: 彼女の生涯と仕事へのトリビュート。ニューヨーク:マルセル・デッカー。pp. 145–156。ISBN 978-0-8247-1550-2。
- ラング、セルジュ(2002)。代数(第 3 版)。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-1-4613-0041-0。
- ラング、セルジュ(2005)。学部代数(第 3 版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-0-387-22025-3。
- レダーマン、レオン M. ;ヒル、クリストファー T. (2004)。対称性と美しい宇宙。アマースト: プロメテウス ブックス。ISBN 978-1-59102-242-8。
- レヴィツキー、ヤコブ(1931)。 「Über vollständig reduzible Ringe und Unterringe」[完全に還元可能なリングとサブリングについて]。Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)。33 : 663–691。土井：10.1007/BF01174374。
- マック・レーン、サンダース(1981)。「ゲッティンゲン大学の数学 1831-1933」。ブリューワー、ジェームズ W.、スミス、マーサ K. (編)。エミー・ネーター: 彼女の生涯と仕事へのトリビュート。ニューヨーク:マルセル・デッカー。pp . 65-78。ISBN 978-0-8247-1550-2。
- ギュンター・マル; Matzat、Bernd Heinrich (1999)、逆ガロア理論、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62890-3、MR 1711577
- Merzbach, Uta C. (1983)。「エミー・ネーター：歴史的背景」。Srinivasan, Bhama、Sally, Judith D. (編)。ブリンマーのエミー・ネーター：エミー・ネーター生誕100周年を記念して数学者女性協会が主催したシンポジウムの議事録。ニューヨーク、NY：Springer。pp. 161–171。doi : 10.1007 /978-1-4612-5547-5_12。ISBN 978-1-4612-5547-5。
- マクラティ、コリン(2005)。「良識ある性格特性としての悪趣味: エミー・ネーターと独立社会民主党」(PDF)。文脈における科学。18 (3): 429–450。doi :10.1017/S0269889705000608 。
- Noether, Gottfried E. (1987). Grinstein, LS; Campbell, PJ (編). Women of Mathematics . ニューヨーク: Greenwood Press . ISBN 978-0-313-24849-8。
- ネーター、マックス(1914)。 「ポール・ゴーダン」。数学アンナレン。75 (1): 1-41。土井：10.1007/BF01564521。S2CID 179178051。2014 年 9 月 4 日時点のオリジナルからアーカイブ。
- オギルビー、マリリン、ハーヴェイ、ジョイ（2000年）。科学界における女性伝記辞典：古代から20世紀半ばまでの先駆者たち。第2巻（L-Z）。ニューヨークおよびロンドン：ラウトレッジ。ISBN 978-0-2038-0145-1。
- オソフスキー、バーバラ L. ( 1994)。「ノイマン・ラスカー一次分解の再考」。アメリカ数学月刊誌。101 (8): 759–768。doi :10.1080/00029890.1994.11997022。
- ペレス、アッシャー（1993）。量子理論：概念と方法。クルーワー。ISBN 0-7923-2549-4。
- ピーター・ロケット（2005）。歴史的観点から見たブラウアー・ハッセ・ネーターの定理。 Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften。 Vol. 15. CiteSeerX 10.1.1.72.4101。MR 2222818。Zbl 1060.01009 。
- Rowe, David E. (2021).エミー・ネーター – 並外れた数学者。シャム、スイス：Springer。ISBN 978-3-030-63810-8。
- Rowe, David E. ; Koreuber, Mechthild (2020)。Proving It Her Way: Emmy Noether, a Life in Mathematics。シャム、スイス：Springer。ISBN 978-3-030-62811-6。
- シュマデル、ルッツ D. (2003)。小惑星名辞典（増補改訂第5版）。ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-00238-3。
- シーガル、サンフォード L. (2003)。『ナチス支配下の数学者たち』（イラスト版）。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-69-100451-8。
- ザイデルマン、フリッツ (1917)。 「Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich」 [任意の合理性領域に影響を与える 3 次方程式と双 2 次方程式の完全なセット]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。78 (1-4): 230-233。土井：10.1007/BF01457100。hdl : 2027/uc1.b2611861。
- オットー・シリング(1935)。 「超複素数系の算術と代数体の間の特定の関係について」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。111 : 372–398。土井：10.1007/BF01472227。
- スタウファー、ルース (1936年7 月)。「分離可能な正規拡大体における正規基底の構築」。アメリカ数学ジャーナル。58 (3): 585–597。doi :10.2307/2370977。JSTOR 2370977 。
- スチュワート、イアン（2015年）。ガロア理論（第4版）。CRC Press。ISBN 978-1-4822-4582-0。
- スワン、リチャード G (1969)。「不変有理関数とスティーンロッドの問題」。Inventionses Mathematicae。7 ( 2 ): 148–158。Bibcode : 1969InMat ...7..148S。doi : 10.1007/BF01389798。S2CID 121951942 。
- タウスキー、オルガ(1981)。「エミー・ネーターについての私の個人的な思い出」。ブリューワー、ジェームズ・W、スミス、マーサ・K (編)。エミー・ネーター: 彼女の生涯と仕事へのトリビュート。ニューヨーク:マルセル・デッカー。pp . 79–92。ISBN 978-0-8247-1550-2。
- テイラー、ジョン R. (2005)。古典力学。大学科学図書。ISBN 978-1-8913-8922-1。
- テイチャー、ミナ編 (1999)。エミー・ネーターの遺産。イスラエル数学会議議事録。バー・イラン大学、アメリカ数学会、オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-851045-1. OCLC 223099225.
- ツェン、長ツェ C. (1933)。 "Divisionsalgebren über Funktionenkörpern" [関数体上の除算代数]。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、Mathematisch-Physikalische Klasse (ドイツ語)。1933 : 335–339。
- ファン・デル・ワールデン、BL（1935年）。 「Nachruf auf Emmy Neether」[エミー・ネーターの死亡記事]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。111 : 469–474。土井：10.1007/BF01472233。S2CID 179178055。1981年にDickに再録。
- ——— (1985). 代数学の歴史: アル・ホリズミーからエミー・ネーターまで. ベルリン: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-51599-6. ISBN 978-0-387-13610-3。
- ウェーバー、ヴェルナー(1930 年 12 月)。 "idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durchquadratische Formen" [二次形式による任意の自然数の表現可能性のイデア理論的解釈]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。102 : 740–767。土井：10.1007/BF01782375。
- ワイル、ヘルマン（1935）、「エミー・ネーター」、スクリプタ・マセマティカ、3（3）：201-220ディック（1981）の付録として再版。
- ——— (1944)、「デイヴィッド・ヒルベルトと彼の数学的研究」、アメリカ数学会報、50 (9): 612–654、doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08178-0、MR 0011274
- ヴォルフガング・ヴィヒマン (1936)。 「Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen」[非可換代数における p-進理論の応用]。Monatshefte für Mathematik (ドイツ語)。44 : 203–224。土井：10.1007/BF01699316。
- ウィット、エルンスト(1935)。 「Riemann-Rochscher Satz und Z-Funktion im Hyperkomplexen」[超複素数におけるリーマン-ロッホの定理とゼータ関数]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。110：12～28。土井：10.1007/BF01448015。
- ジー、アンソニー（2016）。物理学者のための群論入門。プリンストン大学出版。ISBN 978-0-691-16269-0。
エミー・ネーターの作品集
- Noether、Emmy (1908)、「Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form」[三項双二次形式の不変量の完全なシステムについて]、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、1908 (134)、DE : 23 –90 と 2 つのテーブル、土井:10.1515/crll.1908.134.23、S2CID 119967160、2013 年 3 月 8 日のオリジナルからアーカイブ
- ——— (1913)、「Rationale Funktionenkörper」[有理関数体]、J. Ber. D. DMV (ドイツ語)、22 : 316–319、2013年3月8日時点のオリジナルよりアーカイブ
- ——— (1915)、「Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen」[有限群の不変量に対する有限性定理] (PDF)、Mathematische Annalen (ドイツ語)、77 : 89–92、doi :10.1007/BF01456821、S2CID 121213008
- ——— (1918)、「Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe」[規定群による方程式]、Mathematische Annalen (ドイツ語)、78 (1–4): 221–229、doi :10.1007/BF01457099、S2CID 122353858、からアーカイブオリジナルは9月3日2014年
- ——— (1918b)。 「不変変分問題」 [不変変分問題]。ナクル。 D.ケーニッヒ。ゲゼルシュ。 D.ウィス。（ドイツ語で）。918 (3)。マサチューセッツ州ゲッティンゲン、タベル訳: 235–257。arXiv :物理学/0503066。ビブコード:1971TTSP....1..186N。土井：10.1080/00411457108231446。S2CID 119019843。
- ——— (1918c)。 「不変変分問題」 [不変変分問題]。ナクル。 D.ケーニッヒ。ゲゼルシュ。 D.ウィス。（ドイツ語で）。918。ゲッティンゲン: 235–257。 2008 年 7 月 5 日のオリジナルからアーカイブ。オリジナルのドイツ語画像とタヴェルの英語訳へのリンク
- ——— (1921)、「Idealtheorie in Ringbereichen」[環領域のイデアルの理論]、Mathematische Annalen (ドイツ語)、83 (1): 24–66、Bibcode :1921MatAn..83...24N、doi :10.1007/bf01464225、S2CID 121594471、 2014年9月3日の オリジナル(PDF)からアーカイブ
- ——— (1923)、「Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten」(PDF)、Mathematische Annalen (ドイツ語)、88 (1–2): 53–79、doi :10.1007/BF01448441、S2CID 122226025
- ——— (1923b)、「Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie」(PDF)、Mathematische Annalen (ドイツ語)、90 (3–4)、ドイツ: 229–261、doi :10.1007/BF01455443、S2CID 121239880
- ——— (1924)、「Eliminationstheorie und Idealtheorie」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (ドイツ語)、33 : 116–120、2013 年 3 月 8 日のオリジナルからアーカイブ
- ——— (1926)、「Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher lineer Gruppen der Charakteristik p」[特性pの有限線形群の不変量の有限性の証明]、Nachr。ゲス。 Wiss (ドイツ語): 28–35、2013 年 3 月 8 日のオリジナルからアーカイブ
- ——— (1926b)、「Ableitung der Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie」[群理論からの初等約数理論の導出]、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (ドイツ語)、34 (Abt. 2): 104、アーカイブからオリジナルは 2013 年 3 月 8 日
- ——— (1927)、「Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern」[代数体におけるイデアル理論の抽象構造]、Mathematische Annalen (ドイツ語)、96 (1): 26–61、doi :10.1007/BF01209152、S2CID 121288299、2014年 9 月 3 日の オリジナル(PDF)からアーカイブ
- リチャード・ブラウアー;ネーター、エミー (1927)、「Über minimume Zerfällungskörper irreduzibler Darstellungen」[既約表現の最小分割体について]、Sitz。ベル。 D. プロイス。アカド。 D.ウィス。 (ドイツ語): 221–228
- Neether、Emmy (1929)、「Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie」[超複雑量と表現の理論]、Mathematische Annalen (ドイツ語)、30 : 641–692、doi :10.1007/BF01187794、S2CID 120464373、アーカイブ済み2016 年 3 月 29 日のオリジナルより
- リチャード・ブラウアー;ヘルムート・ハッセ;ネーター、エミー (1932)、「Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren」[代数理論における主定理の証明]、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、1932 (167): 399–404 、土肥:10.1515/crll.1932.167.399、S2CID 199545542
- ネーター、エミー (1933)、「Nichtkommutative Algebren」[非可換代数]、Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)、37 : 514–541、doi :10.1007/BF01474591、S2CID 186227754
- ——— (1983)、ジェイコブソン、ネイサン(編)、Gesammelte Abhandlungen [論文集] (ドイツ語)、ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. viii、777、ISBN 978-3-540-11504-5、MR 0703862
さらに読む
書籍
- フィリップス、リー（2024年）。『アインシュタインの家庭教師：エミー・ネーターと現代物理学の発明の物語』。パブリックアフェアーズ。ISBN 9781541702974。
- レンマーマイヤー、フランツ。ピーター、ロケット編。 (2006)。ヘルムート・ハッセとエミー・ネーター – Die Korrespondenz 1925–1935 [ヘルムート・ハッセとエミー・ネーター – 通信 1925–1935 ] (PDF)。ゲッティンゲン大学。土井: 10.17875/gup2006-49。ISBN 978-3-938616-35-2。
記事
- アンジャー、ナタリー（2012年3月26日）。「あなたが聞いたことのない偉大な数学者」ニューヨークタイムズ。 2024年1月27日閲覧。
- Blue, Meredith (2001). ガロア理論とノイマンの問題(PDF)。アメリカ数学会第34回年次大会。MAAフロリダ支部。 2008年5月29日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2018年6月9日閲覧。
- フィリップス、リー（2015年5月26日）。「物理学の進路を変えたが就職できなかった女性数学者」Ars Technica。カリフォルニア州：コンデナスト。 2024年1月27日閲覧。
- 「数学における女性特集号」（PDF）。アメリカ数学会の通知。38 （7） 。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会：701–773。1991年9月。ISSN 0002-9920。
- シェン・チンナ（2019年9月）。「ナチスドイツからの難民学者：エミー・ネーターとブリンマー大学」。数学インテリジェンサー。41 （ 3 ）：52–65。doi ： 10.1007 /s00283-018-9852-0。S2CID 128009850。
オンライン伝記
- Byers, Nina (2001年3月16日)、「Emmy Noether」、20世紀物理学への女性の貢献、UCLA、2008年2月12日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2024年1月27日閲覧。。
- テイラー、マンディ（2023年2月22日）、「エミー・ネーター」、女性数学者の伝記、アグネス・スコット・カレッジ、2024年1月27日閲覧。
外部リンク
エミー・ネーター Wikipediaの姉妹プロジェクト
コモンズからのメディア
ウィキクォートからの引用
ウィキデータからのデータ
- 数学系譜プロジェクトのエミー・ネーター
- BBCの「In Our Time」に出演するエミー・ネーター
- 歴史家コルデュラ・トルミエンのウェブサイトに掲載されている、ネーターのエアランゲン大学入学願書と履歴書3通
- ネーターによるブリンマー大学学長パーク博士への手紙 – ブリンマー大学図書館特別コレクション
- ハンナ・クンシュが撮影したノイアーの写真 – ブリンマー大学図書館特別コレクション
- ネーターの写真 – オーバーヴォルバッハ数学研究所の写真コレクションオーバーヴォルバッハ
- クラーク・キンバーリングのウェブサイトから、ノイマンの同僚や知人の写真
