実数

数学において、実数は、距離、期間、温度などの連続した一次元の量を測定するために使用できる数です。ここで、連続とは、値のペアが任意の小さな差を持つことができることを意味します。^[a]すべての実数は、無限の小数展開によってほぼ一意に表すことができます。^{[b] [1]}

実数は微積分学（および数学の他の多くの分野）において基本的なものであり、特に極限、連続性、導関数の古典的な定義における役割によって重要な役割を果たしています。^[c]

実数の集合は、時には「実数」とも呼ばれ、伝統的に太字のRで表され、黒板太字の⁠ ⁠が使用されることが多い。^{[2] [3]} 17世紀にルネ・デカルトが使用した 形容詞realは、実数を-1の平方根などの虚数と区別する。^[4]${\displaystyle \mathbb {R} }$

実数には、整数−5や分数4 / 3などの有理数が含まれます。残りの実数は無理数と呼ばれます。一部の無理数（およびすべての有理数）は、平方根√2 = 1.414...などの整数係数を持つ多項式の根であり、これらは代数的数と呼ばれます。π = 3.1415...などのそうでない実数もあり、これらは超越数と呼ばれます。^[4]

実数は、数直線または実数直線と呼ばれる線上のすべての点として考えることができます。ここで、整数 ( ...、-2、-1、0、1、2、... )に対応する点は等間隔に配置されています。

逆に、解析幾何学は、線（特に軸線）上の点と実数を関連付け、幾何学的変位が対応する数値間の差に比例するようにします。

実数に関する上記の非公式な記述は、実数を含む定理の証明の正確さを保証するのに十分ではありません。より良い定義が必要であるという認識と、そのような定義の精緻化は、 19世紀の数学の主要な発展であり、実解析、つまり実関数と実数値列の研究の基礎となっています。現在の公理的な定義は、実数が唯一の（同型を除いて）デデキント完全順序体を形成するというものです。^[d]実数のその他の一般的な定義には、コーシー列（有理数の）同値類、デデキント切断、無限小数表現などがあります。これらの定義はすべて公理的な定義を満たしており、したがって同値です。

実数は、その基本的な性質によって完全に特徴付けられ、デデキント完全な順序体を形成すると要約できます。ここで、「完全に特徴付けられる」とは、任意の 2 つのデデキント完全順序体の間に一意の同型性があり、したがってそれらの要素がまったく同じ性質を持つことを意味します。これは、実数の定義方法を知らなくても、実数を操作して計算できることを意味します。これは、19 世紀後半に最初の正式な定義が提供される前の数世紀にわたって数学者と物理学者が行ってきたことです。これらの正式な定義の詳細とそれらの同値性の証明については、 実数の構成を参照してください。

実数は順序体を形成します。直感的に言えば、これは初等算術の方法と規則がそれらに適用されることを意味します。より正確には、加算と乗算の2 つの二項演算と、次の特性を持つ 全順序があります。

• 2 つの実数aとb を加算すると、 aとbの合計である実数が生成されます。${\displaystyle a+b,}$
• 2 つの実数aとbを掛け合わせると、またはで表され、 aとbの積である実数が生成されます。${\displaystyle ab,}$ ${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle a\times b,}$
• 加算と乗算は両方とも可換であり、すべての実数aとbに対して成り立ちます。${\displaystyle a+b=b+a}$${\displaystyle ab=ba}$
• 加算と乗算は両方とも結合法則に従います。つまり、すべての実数a、b、cに対してとなり、どちらの場合も括弧を省略できます。${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$
• 乗算は加算に対して分配的であり、これはすべての実数a、b、cに対して成り立つことを意味します。${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$
• ゼロと呼ばれる実数があり、0と表記されます。これは加法単位元であり、すべての実数aに対して成り立つことを意味します。${\displaystyle a+0=a}$
• 1で表される実数があり、これは乗法的単位元であり、任意の実数aに対して成り立つことを意味します。${\displaystyle a\times 1=a}$
• すべての実数aには加法逆数が存在します。これは、すべての実数aに対して が成り立つことを意味します。${\displaystyle -a.}$${\displaystyle a+(-a)=0}$
• すべての非ゼロの実数aには、またはで示される逆数が存在します。これは、すべての非ゼロの実数aに対して成り立つことを意味します。${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle {\frac {1}{a}}.}$${\displaystyle aa^{-1}=1}$
• 全順序は、2つの性質を意味するものとして表されます。2つの実数aとbが与えられたとき、またはのどちらか一方が真であり、かつならば、${\displaystyle a<b.}$${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle a=b}$${\displaystyle b<a}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<c,}$${\displaystyle a<c.}$
• この順序は加算と乗算と互換性があり、つまり任意の実数cに対してが成り立ち、が成り立ち、${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a+c<b+c}$${\displaystyle 0<ab}$${\displaystyle 0<a}$${\displaystyle 0<b.}$

上記の特性から、他にも多くの特性を推測することができます。特に、

• ${\displaystyle 0\cdot a=0}$あらゆる実数aに対して
• ${\displaystyle 0<1}$
• ${\displaystyle 0<a^{2}}$0以外の実数aに対して

上記の操作から推測できる、他のいくつかの操作も一般的に使用されています。

• 減算: 2つの実数aとbの減算は、 aとbの加法逆数 −bの和になります。つまり、$${\displaystyle ab=a+(-b).}$$
• 除算：実数aを非ゼロの実数bで除算することは、またはで表され、 aとbの逆数の乗法として定義されます。つまり、${\textstyle {\frac {a}{b}},}$${\displaystyle a/b}$$${\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{-1}.}$$
• 絶対値：実数aの絶対値は0からの距離を測るもので、次のように定義されます。${\displaystyle |a|,}$$${\displaystyle |a|=\max(a,-a).}$$

上記で考慮した全体の順序は、 「 aはbより小さい」と表記され、読み取られます。他の 3 つの順序関係もよく使用されます。 ${\displaystyle a<b}$

• より大きい: 「 aはbより大きい」と読み、次の場合にのみ定義されます。${\displaystyle a>b,}$${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle b<a.}$
• 以下: 「 aはb以下」または「aはbより大きくない」と読み、次のように定義されます。${\displaystyle a\leq b,}$${\displaystyle (a<b){\text{ または }}(a=b),}$${\displaystyle {\text{not }}(b<a).}$
• 以上: 「 aはb以上」または「aはb未満ではない」と読み、次のように定義されます。${\displaystyle a\geq b,}$${\displaystyle (b<a){\text{ または }}(a=b),}$${\displaystyle {\text{not }}(a<b).}$

実数0と1 は、一般に自然数 0と1と同一視されます。これにより、任意の自然数n は、 n 個の実数の合計が1であることがわかります。

この同一視は、負の整数（ は自然数）を、 と同一視される実数の加法逆数と同一視することによって行うことができます。同様に、有理数（pとqは整数で）は、 pとqと同一視される実数の除算と同一視されます。 ${\displaystyle -n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle -n}$${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p/q}$${\displaystyle q\neq 0}$

これらの同一視により、有理数の集合は実数の順序付き部分体になります。以下に説明するデデキント完全性は、 などの一部の実数が有理数ではないことを意味します。これらは無理数と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle {\sqrt {2}},}$

上記の同一視は理にかなっています。なぜなら、自然数、整数、実数は一般に、個々の性質によって定義されるのではなく、定義される特性 (公理) によって定義されるからです。したがって、自然数といくつかの実数の同一視は、これらの実数がペアノ公理を満たし、 1との加算が後継関数として採用されるという事実によって正当化されます。

形式的には、自然数から整数への順序付きモノイドの入射準同型、有理数から順序付き環の入射準同型、実数から順序付き体の入射準同型が存在する。これらの同一視は、各入射準同型の元と像を区別しないことから成り、したがって次のように書くことができる。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} .}$

これらの同一視は、形式的には表記法の乱用であり（形式的には、有理数は整数のペアの同値類であり、実数はコーシー級数の同値類であるため）、一般的には無害です。非常に特殊な状況でのみ、これらを避け、上記の準同型を明示的に使用して置き換える必要があります。これは、構成的数学とコンピュータプログラミングの場合に当てはまります。後者の場合、これらの準同型は、多くの場合コンパイラによって自動的に実行できる型変換として解釈されます。

前述の特性では、実数と有理数を区別していません。この区別は、デデキント完全性によって提供されます。これは、上限を持つすべての実数集合には、最小の上限が存在するというものです。これは次のことを意味します。実数集合が上限を持つとは、すべての に対してとなる実数が存在する場合です。そのような はの上限と呼ばれます。したがって、デデキント完全性とは、Sが上限を持つ場合、他のどの上限よりも小さい上限を持つことを意味します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle u}$${\displaystyle s\leq u}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S.}$

デデキント完全性は他の種類の完全性 (以下を参照) を意味しますが、いくつかの重要な結果ももたらします。

• アルキメデスの性質: すべての実数xに対して、次のような整数nが存在します(ただし、はx未満の整数の最小の上限です)。${\displaystyle x<n}$${\displaystyle n=u+1,}$${\displaystyle u}$
• 同様に、x が正の実数であれば、となる正の整数n が存在します。${\displaystyle 0<{\frac {1}{n}}<x}$
• 全ての正の実数xは正の平方根を持ちます。つまり、${\displaystyle r}$${\displaystyle r^{2}=x.}$
• 実係数を持つ奇数次の一変数多項式には、少なくとも 1 つの実根があります(先頭の係数が正の場合、多項式の値が負になる実数の最小の上限を取ります)。

最後の 2 つの特性は、実数が実閉体を形成すると要約されます。これは、代数の基本定理の実数版、つまり、実係数を持つすべての多項式は、次数が最大 2 の実係数を持つ多項式に因数分解できることを意味します。

実数を記述する最も一般的な方法は、その10 進数表現、つまり 0 から 9 までの整数と10 の累乗の積を表す 10進数の桁のシーケンスであり、左側には有限個の正の 10 の累乗、右側には無限個の負の 10 の累乗まで拡張されます。10進数表現が左側にk桁拡張される数xの場合、標準的な表記法は、10 の累乗の降順で桁を並べ、負でない 10 の累乗と負の 10 の累乗を小数点で区切って、無限の級数を表すことです。${\displaystyle b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots ,}$

${\displaystyle x=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots .}$

たとえば、円周定数kは 0など です。${\displaystyle \pi =3.14159\cdots ,}$ ${\displaystyle b_{0}=3,}$ ${\displaystyle a_{1}=1,}$ ${\displaystyle a_{2}=4,}$

より正式には、非負の実数xの10進表現は、非負の整数kと、無限列の0から9までの整数で構成される。

${\displaystyle b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots .}$

（慣例により、 ${\displaystyle k>0,}$${\displaystyle b_{k}\neq 0.}$

このような小数表現は、数列を切り捨てることによって得られる小数の最小の上限として実数を指定する。正の整数nが与えられた場合、数列のnの場所で切り捨てると有限部分和になる。

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}10^{-j}\end{aligned}}}$

数列によって定義される実数x は、デデキント完全性によって存在するの最小の上限です。 ${\displaystyle D_{n},}$

逆に、負でない実数xが与えられた場合、次のように帰納法によってxの10進表現を定義することができます。を となる最大の整数の10進表現として定義します（この整数はアルキメデスの性質により存在します）。次に、帰納法によって の小数点が定義されていると仮定すると、 となる最大の桁を として定義し、${\displaystyle b_{k}\cdots b_{0}}$${\displaystyle D_{0}}$${\displaystyle D_{0}\leq x}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle i<n,}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle D_{n-1}+a_{n}/10^{n}\leq a,}$${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+a_{n}/10^{n}.}$

実数の定義特性を使用すると、x が実数の最小の上限であることが示されます。したがって、結果として得られる数字のシーケンスは、xの10 進表現と呼ばれます。 ${\displaystyle D_{n}.}$

前の構成でを に置き換えると、別の 10 進表現が得られます。 xが という形式の小数でない限り、これら 2 つの表現は同一です。この場合、最初の 10 進表現では はすべて0 になり、2 番目の表現では はすべて9 になります (詳細については0.999... を参照してください)。 ${\displaystyle \leq x}$${\displaystyle <x}$${\textstyle {\frac {m}{10^{h}}}.}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n>h,}$${\displaystyle a_{n}}$

要約すると、実数と、末尾に無限に続く 9 を含まない 10 進数表現の間には 一対一の関係があります。

前述の考察は、 10を10に、9を10に置き換えるだけで、あらゆる基数に直接適用できます。 ${\displaystyle B\geq 2,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B-1.}$

実数を使用する主な理由は、多くの数列に極限があるためです。より正式には、実数は完全です（距離空間または一様空間の意味で、前のセクションの順序のデデキント完全性とは異なる意味です）。

実数の列 ( x n ) は、任意のε _> 0に対して整数N (場合によっては ε に依存する)が存在し、nとmがNより大きい場合すべて、距離| x _n − x _m |が ε より小さい場合、コーシー列と呼ばれます。この定義は、もともとコーシーによって提供されたもので、 x _nが最終的に互いに任意に近い値になり、近い値のままになるという事実を形式化したものです。

数列 ( x _n )が極限 xに収束するのは、その要素が最終的にxに任意に近い値のままである場合、つまり、任意のε > 0に対して整数N (場合によっては ε に依存する) が存在し、 nがNより大きい場合、距離| x _n − x |が εより小さくなる場合です。

すべての収束する数列はコーシー数列であり、実数についてはその逆が成り立ち、これは実数の 位相空間が完全であることを意味します。

有理数の集合は完全ではありません。たとえば、各項に 2 の正の平方根の小数展開の数字を 1 つ追加する数列 (1; 1.4; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...) はコーシーですが、有理数には収束しません (実数では、対照的に、2 の正の平方根に収束します)。

実数の完全性は、微積分学、より一般的には数学的解析学の基礎となります。特に、数列がコーシー数列であるかどうかのテストにより、数列に極限があることを、計算することなく、また極限を知らなくても証明できます。

例えば、指数関数の標準級数

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

は、 すべてのxに対して実数に収束します。なぜなら、

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

N を十分に大きく選択することで、Mとは無関係に、任意の大きさに小さくすることができます。これにより、シーケンスがコーシーであることが証明され、収束し、任意のxに対して が明確に定義されていることがわかります。 ${\displaystyle e^{x}}$

実数はしばしば「完全な順序体」として説明されますが、この表現はいくつかの方法で解釈できます。

まず、順序は格子完全になり得ます。順序付き体は最大要素を持つことができないため、格子完全ではあり得ないことは容易にわかります(任意の要素zに対して、z + 1の方が大きい)。

さらに、順序はデデキント完全である可能性があります。§ 公理的アプローチを参照してください。そのセクションの最後にある一意性の結果は、「完全」の意味が意味される場合、「完全順序体」というフレーズで「the」という単語を使用することを正当化します。この完全性の意味は、デデキントカットからの実数の構築に最も密接に関連しています。なぜなら、その構築は順序体 (有理数) から始まり、標準的な方法でそのデデキント完備を形成するからです。

これら 2 つの完全性の概念は、体の構造を無視しています。ただし、順序付きグループ(この場合は、体の加法グループ) は一様構造を定義し、一様構造には完全性の概念があります。§ 完全性の説明は特別な場合です。(距離空間の定義は、実数の特性がすでにあることに依存しているため、ここでは、距離空間に関する関連したよりよく知られている概念ではなく、一様空間における完全性の概念を参照します。) が唯一の一様完全順序付き体であるというのは正しくありませんが、唯一の一様完全アルキメデス体であり、実際、「完全順序付き体」ではなく「完全アルキメデス体」というフレーズをよく耳にします。すべての一様完全アルキメデス体はデデキント完全でもあり (逆もまた同様)、「完全アルキメデス体」というフレーズで「the」を使用することは正当化されます。この完全性の感覚は、コーシー数列からの実数の構成（この記事で完全に実行される構成）に最も密接に関連しています。これは、アルキメデス体（有理数）から始まり、標準的な方法でその一様完備化を形成するためです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

しかし、「完全なアルキメデス体」という語句を最初に使用したのはデイヴィト・ヒルベルトで、彼は別の意味を込めていました。彼が意味したのは、実数は、他のすべてのアルキメデス体が の部分体であるという意味で、最大のアルキメデス体を形成するということです。したがって、 は、アルキメデス体でなくなることなく、これ以上何も追加できないという意味で「完全」です。この完全性の意味は、超実数から実数を構築することに最も密接に関連しています。なぜなら、その構築は、すべての順序付き体 (超実数) を含む適切なクラスから開始し、そこから最大のアルキメデスの部分体を選択するからです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

すべての実数の集合は、すべての自然数 {1, 2, 3, 4, ...}の集合とすべての実数の集合は両方とも無限集合であるが、実数から自然数への1 対 1 関数は存在しないという意味で、無数です。すべての実数の集合の濃度は によって表され、連続体の濃度と呼ばれます。これは、すべての自然数集合の濃度 ( 「アレフ ノート」と表され、そう呼ばれます)よりも確実に大きく、自然数集合の 冪集合の濃度に等しくなります。${\displaystyle {\mathfrak {c}}.}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

実数の部分集合に、その基数が厳密にそれより大きくかつ厳密にそれより小さいものは存在しないという主張は、連続体仮説(CH)として知られている。これは、現代数学の標準的な基礎である選択公理(ZFC)を含むツェルメロ-フランケル集合論の公理を用いて証明することも反証することもできない。実際、ZFC のモデルの中には CH を満たすものもあれば、違反するものもある。^[5]${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

位相空間として、実数は分離可能です。これは、可算な有理数の集合が実数に稠密であるためです。無理数も実数に稠密ですが、不可算であり、実数と同じ濃度を持ちます。

実数は距離空間を形成します。つまり、 xとyの間の距離は絶対値 | x − y |として定義されます。実数は全順序集合であるため、順序位相も持ちます。計量から生じる位相と順序から生じる位相は同一ですが、位相の表現は異なります。つまり、順序位相では順序付けられた区間として、計量位相ではイプシロン球として表現されます。デデキント切断の構成では順序位相の表現が使用され、コーシー列の構成では計量位相の表現が使用されます。実数は、ハウスドルフ次元が 1 の、縮約可能(したがって連結かつ単連結)、分離可能で完全な距離空間を形成します。実数は局所的にコンパクト ですが、コンパクトではありません。実数を一意に指定するさまざまなプロパティがあります。たとえば、すべての無制限、連結、および分離可能な順序位相は、必然的に実数と同相です。

非負の実数はすべてにおいて平方根を持ちますが、負の数には平方根はありません。これは、の位数がその代数構造によって決定されることを示しています。また、奇数次数の多項式はすべて、少なくとも 1 つの実根を持ちます。この 2 つの特性により、実閉体の代表的な例が作られます。これを証明するのが、代数 の基本定理の証明の前半です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

実数は標準測度であるルベーグ測度を持ちます。これは、単位区間[0;1] が測度 1 を持つように正規化された位相群としての構造上のハール測度です。ルベーグ測定可能でない実数の集合 (例:ヴィタリ集合)が存在します。

実数の上限公理は、実数のサブセットを参照するため、2 階の論理ステートメントです。実数を 1 階論理だけで特徴付けることはできません。レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、実数自体とまったく同じ 1 階論理の文を満たす実数の可算な稠密なサブセットが存在することを意味します。超実数の集合は、 と同じ 1 階の文を満たします。 と同じ 1 階の文を満たす順序付き体は、の非標準モデルと呼ばれます。これが非標準解析が機能する理由です。ある非標準モデルで 1 階のステートメントを証明することによって ( で証明するよりも簡単な場合があります)、同じステートメントが についても真であることがわかります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

実数体は有理数体の拡大体であるため、 上のベクトル空間と見なすことができます。選択公理を含むツェルメロ–フランケル集合論は、このベクトル空間の基底の存在を保証します。つまり、実数の集合Bが存在し、すべての実数は、有理係数のみを使用して、この集合の要素の有限線形結合として一意に表すことができ、 Bの要素はどれも他の要素の有理線形結合ではないということです。ただし、この存在定理は純粋に理論的なものであり、そのような基底は明示的に説明されたことはありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

整列定理は、選択公理が仮定されれば、実数が整列可能であることを意味している。すなわち、 の空でない部分集合のすべてにこの順序付けにおける最小元が存在するという性質を持つ、 上の全順序が存在する。(実数の標準的な順序付け ≤ は、例えば開区間にはこの順序付けにおける最小元が含まれないため、整列ではない。) 繰り返すと、このような整列の存在は、明示的に記述されていないため、純粋に理論的なものである。ZFの公理に加えてV=Lを仮定すると、実数の整列は式によって明示的に定義可能であることが示される。^[6]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

実数は、計算可能か計算不可能か、アルゴリズム的にランダムかそうでないか、算術的にランダムかそうでないかのいずれかです。

単純な分数は紀元前1000年頃のエジプト人によって使用されていました。紀元前600年頃のヴェーダの「シュルバ・スートラ」（「和音の規則」）には、無理数が初めて「使用された」ものと思われるものが含まれています。無理数の概念は、 2や61などの特定の数の平方根を正確に決定できないことを認識していたマナヴァ（紀元前750年頃-690年）などの初期のインドの数学者によって暗黙のうちに受け入れられていました。 ^[7]

紀元前500年頃、ピタゴラス率いるギリシャの数学者たちも、 2の平方根が無理数であることを認識していました。

ギリシャの数学者にとって、数は自然数だけだった。実数は「比率」と呼ばれ、2つの長さの比、または単位長さと呼ばれる別の長さで測った長さの尺度である。2つの長さが「通約可能」であるとは、両方を整数で測れる単位がある場合、つまり現代の用語で言えば、その比率が有理数である場合である。クニドスのエウドクソス（紀元前390年〜340年頃）は、2つの無理数の比率が等しいという定義を、デデキントカット（2,000年以上後に導入された）に似た方法で示したが、長さと自然数の乗算以外の算術演算は使用しなかった（クニドスのエウドクソスを参照）。これは実数の最初の定義とみなすことができる。

中世には、ゼロ、負の数、整数、分数が最初にインドと中国の数学者によって受け入れられ、次にアラビアの数学者によって受け入れられました。アラビアの数学者はまた、無理数を代数的対象として扱った最初の人々でもありました（後者は代数の発達によって可能になりました）。^{[8]アラビアの数学者は、「}数」と「大きさ」の概念を、より一般的な実数の概念に統合しました。^[9]エジプトの数学者アブー・カーミル・シュジャー・イブン・アスラム （ 850年頃–930年）は、無理数を二次方程式の解として、または方程式の係数（多くの場合、平方根、立方根、4乗根の形をとります）として受け入れた最初の人物でした。^[10]ヨーロッパでは、数値単位と一致しないそのような数は、無理数またはsurd（「耳が聞こえない」）と呼ばれていました。

16 世紀に、シモン・ステヴィンは現代の10 進表記法の基礎を築き、この点では有理数と無理数に違いはないと主張しました。

17 世紀に、デカルトは多項式の根を表すために「実数」という用語を導入し、「虚数」と区別しました。

18世紀と19世紀には、無理数と超越数に関する研究が盛んに行われた。ランバート（1761）は、 πは有理数ではあり得ないという欠陥のある証明を与えた。ルジャンドル（1794）は証明を完成させ^[11]、πは有理数の平方根ではないことを示した。^[12] リウヴィル（1840）は、 eもe ²も整数二次方程式の根にはなり得ないことを示し、超越数の存在を確立した。カントール（1873）はこの証明を拡張し、大幅に簡略化した。^[13] エルミート（1873）はeが超越数であることを証明し、リンデマン（1882）はπが超越数であることを示した。リンデマンの証明は、ワイエルシュトラス（1885）、ヒルベルト（1893）、フルヴィッツ^[14]、ゴルダン^[15]によって大幅に簡略化された。

2の平方根のような有理数の間には多くの点が存在するという概念は、古代ギリシャ人にはよく知られていた。連続した数直線の存在は自明であると考えられていたが、現在では完全性と呼ばれているこの連続性の性質は理解されていなかった。幾何学のために開発された厳密さは、1800年代まで数の概念には及ばなかった。^[16]

微積分の開発者は、実数と極限を厳密に定義せずに使用しました。コーシーは、 Cours d'Analyse (1821)で微積分を厳密にしましたが、実数を定義せずに使用し、すべてのコーシー数列には極限があり、この極限は実数であると証明なしに仮定しました。

1854年、ベルンハルト・リーマンはフーリエ級数法における微積分の限界を強調し、実数の厳密な定義の必要性を示した。^{[17] : 672}

1858年のリヒャルト・デデキントに始まり、ヘルマン・ハンケル、シャルル・メレー、エドゥアルト・ハイネなど数人の数学者が実数の定義に取り組み、 1872年に実数の2つの独立した定義が発表された。1つはデデキントによるデデキント切断、もう1つはゲオルク・カントールによるコーシー列の同値類である。^[18]これらの定義ではいくつかの問題が未解決のまま残され、数学の基礎的な危機の一因となった。第一に、両方の定義は有理数、したがって自然数が厳密に定義されていることを前提としているが、これは数年後にペアノの公理によって行われた。第二に、両方の定義は無限集合（デデキント切断とコーシー列の元の集合）を含み、カントールの集合論は数年後に発表された。第三に、これらの定義は無限集合上の量化を意味しており、これは一階述語の古典的な論理では形式化できません。これが、20世紀前半に 高階論理が開発された理由の1つです。

1874 年にカントールは、実数全体の集合は無限に非可算であるが、代数的数全体の集合は無限に可算であることを示した。カントールの最初の非可算性の証明は、 1891 年に発表された有名な対角線上の議論とは異なっていた。

実数系は、後述する同型性までは公理的に定義できます。実数系を構築する方法も多数ありますが、一般的なアプローチとしては、自然数から始めて、有理数を代数的に定義し、最後に実数をそのコーシー列の同値類として、または有理数の特定のサブセットであるデデキント切断として定義します。^{[19]別のアプローチは、ユークリッド幾何学の厳密な公理化（たとえばヒルベルトや}タルスキ）から始めて、実数系を幾何学的に定義することです。実数のこれらの構成はすべて、結果として得られる数体系が同型 であるという意味で同等であることが示されています。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})}$

すべての実数の 集合を表すとします。すると、次のようになります。${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 集合は体であり、加算と乗算が定義され、通常のプロパティを持つことを意味します。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 体は順序付けられている、つまり、すべての実数x、y、zに対して全順序≥ が存在する。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • x ≥ yならばx + z ≥ y + z である。
  • x ≥ 0 かつy ≥ 0の場合、xy ≥ 0 です。
• 順序はデデキント完全です。つまり、に上限がある の空でない部分集合Sはすべて、 に最小の上限(つまり、上限)を持ちます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

最後の特性は実数には適用されますが、有理数（または他のより特殊な順序体）には適用されません。たとえば、には有理数の上限（たとえば、1.42）がありますが、 は有理数ではない ため、最小の有理数の上限はありません。${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

これらの特性は、整数の集合には実数における上限がないというアルキメデスの特性（他の完全性の定義では示されない）を意味します。実際、これが偽であれば、整数には最小の上限Nがあり、N – 1 は上限ではなくなり、n > N – 1となる整数nが存在することになり、したがってn + 1 > Nとなり、 Nの上限特性と矛盾します。

実数は、上記の性質によって一意に指定されます。より正確には、任意の 2 つのデデキント完全順序体とが与えられた場合、から への唯一の体同型が存在します。この一意性により、これらを本質的に同じ数学的対象として考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R_{2}} }$

の別の公理化については、タルスキの実数の公理化を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

実数は有理数の完備化として構成することができ、(3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) のような 10 進展開または 2 進展開で定義された数列が、一意の実数 (この場合はπ )に収束します。実数の詳細とその他の構成については、「実数の構成」を参照してください。

物理科学では、万有引力定数などのほとんどの物理定数や、位置、質量、速度、電荷などの物理変数は、実数を使用してモデル化されます。実際、古典力学、電磁気学、量子力学、一般相対性理論、標準モデルなどの基本的な物理理論は、実数に基づく数学的構造、通常は滑らかな多様体またはヒルベルト空間を使用して記述されますが、実際の物理量の測定には有限の精度と精密さがあります。

物理学者は、より基本的な理論では実数を連続体を形成しない量に置き換えるだろうと時折示唆しているが、そのような提案は依然として推測の域を出ない。^[20]

実数は集合論のツェルメロ・フランケル公理​​化を用いて形式化されることが最も多いが、数学者の中には他の数学の論理的基礎を用いて実数を研究する人もいる。特に、実数は逆数学や構成的数学でも研究されている。^[21]

エドウィン・ヒューイット、エイブラハム・ロビンソンらによって開発された超実数は、無限小数と無限数を導入することによって実数の集合を拡張し、ライプニッツ、オイラー、コーシーらの本来の直観に近い方法で無限小計算を構築できるようにした。

エドワード・ネルソンの内部集合論は、単項述語「標準」を導入することで、ツェルメロ・フランケル集合論を構文的に豊かにします。このアプローチでは、無限小は実数の集合の（非「標準」の）要素です（ロビンソンの理論のように、その拡張の要素であるのではなく）。

連続体仮説は、実数の集合の濃度は、つまり整数の濃度 の後の最小の無限基数であると仮定します。ポール・コーエンは1963 年に、これが集合論の他の公理とは独立した公理であることを証明しました。つまり、矛盾なく、連続体仮説またはその否定のいずれかを集合論の公理として選択できます。 ${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

電子計算機やコンピュータは、有限のコンピュータが無限の桁数やその他の無限の表現を直接保存できないため、任意の実数で動作することはできません。また、通常は、操作が不便な任意の定義可能な実数で動作することもありません。

代わりに、コンピュータは通常、浮動小数点数と呼ばれる有限精度の近似値で動作します。これは科学的記数法に似た表現です。達成可能な精度は、各数値に割り当てられたデータ記憶領域によって制限されます。数値は固定小数点数、浮動小数点数、任意精度数、またはその他の表現のいずれであってもです。ほとんどの科学的計算では、バイナリ浮動小数点演算が使用されます。これは、多くの場合、10進数で約 16桁の精度を持つ64 ビット表現です。実数は通常の算術規則を満たしていますが、浮動小数点数は満たしていません。数値解析の分野では、近似演算で実装された 数値アルゴリズムの安定性と精度を研究します。

あるいは、コンピュータ代数システムは、無理数の有理数または小数近似値ではなく、それらの記号式（ またはなど）を操作することによって、無理数を正確に演算することができます。 ^[22]しかし、正確な記号演算にも限界があります。たとえば、計算コストが高く、2つの記号式が等しいかどうかを一般には判断できません（定数問題）。また、算術演算によって単一の数値の表現サイズが指数関数的に増大する可能性があり（たとえば、有理数を2乗すると分子と分母の桁数が約2倍になり、多項式を2乗すると項数が約2倍になります）、有限のコンピュータストレージを圧倒する可能性があります。^[23]${\textstyle {\sqrt {2}},}$ ${\textstyle \arctan 5,}$${\textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx}$

実数は、その桁を生成するアルゴリズムが存在する場合、計算可能と呼ばれます。アルゴリズムは可算個しかなく^[24] 、実数は非可算個であるため、ほとんどすべての実数は計算できません。さらに、2 つの計算可能な数の等号は決定不可能な問題です。一部の構成主義者は、計算可能な実数のみが存在することを認めています。定義可能な数の集合はより広いですが、それでも可算数のみです。

集合論、特に記述集合論では、実数は技術的に不便な位相特性（連結性）を持つため、ベール空間は実数の代わりとして使用されます。ベール空間の要素は「実数」と呼ばれます。

実数全体の集合は (黒板太字) または R (直立太字) で表されます。実数は自然に体の構造を備えているため、実数の代数的性質を検討する際には、実数体という表現がよく使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

正の実数と負の実数の集合は、それぞれ および と表記されることが多い[ 25 ] ^。また、や も使用される^[26] 。負でない実数は と表記されることもあるが、この集合は と表記されることが多い^[25]。フランス数学では、正の実数と負の実数には通常ゼロが含まれ、これらの集合はそれぞれ とと表記される^[26]。この理解では、ゼロを含まないそれぞれの集合は、厳密に正の実数と厳密に負の実数と呼ばれ、 とと表記される^[26]。${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$${\displaystyle \mathbb {R_{+}} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}.}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}.}$

この表記は、(実座標空間)のn個の要素の組の集合を指し、 のn個のコピーの直積と同一視できます。これは実数体上のn次元ベクトル空間で、しばしばn次元の座標空間と呼ばれます。この空間は、 n次元ユークリッド空間で直交座標系が選択されるとすぐに、n次元ユークリッド空間と同一視できます。この同一視では、ユークリッド空間の点は、その直交座標の組と同一視されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

数学では、実数は形容詞として使用され、基礎となる体が実数体（または実体）であることを意味します。たとえば、実数行列、実多項式、実リー代数などです。この単語は名詞としても使用され、実数を意味します（「すべての実数の集合」など）。

実数は、いくつかの異なる方向に一般化および拡張できます。

• 複素数はすべての多項式方程式の解を含むため、実数とは異なり代数的に閉じた体です。ただし、複素数は順序付き体ではありません。
• アフィン拡張された実数系は、 2つの要素+∞と−∞を追加します。これはコンパクトな空間です。これはもはや体ではなく、加法群でもありませんが、それでも全順序を持ちます。さらに、完全な格子です。
• 実射影直線は∞という1 つの値のみを追加します。また、コンパクトな空間でもあります。この場合も、体ではなく、加法群でもありません。ただし、非ゼロ元をゼロで割ることは可能です。分離関係によって記述される巡回順序を持ちます。
• 長い実数直線は、実数直線のℵ ₁ * + ℵ ₁コピーと 1 つの点 (ここで、 ℵ ₁ * はℵ ₁の逆の順序付けを表します)を貼り付けて、実数と「局所的に」同一であるが、何らかの理由でより長い順序セットを作成します。たとえば、長い実数直線にはℵ ₁の順序保存埋め込みがありますが、実数には存在しません。長い実数直線は、完全かつ局所的にアルキメデスである最大の順序セットです。前の 2 つの例と同様に、このセットはもはや体また​​は加法グループではありません。
• 実数を拡張した順序体は超実数と超実数です。どちらも無限小数と無限大数を含むため、非アルキメデスの順序体です。
• ヒルベルト空間上の自己随伴作用素（例えば、自己随伴正方複素行列）は、多くの点で実数を一般化します。つまり、実数は順序付け可能（ただし、完全に順序付けはされない）、完全、すべての固有値が実数、実結合代数を形成します。正定値作用素は正の実数に対応し、正規作用素は複素数に対応します。

• 実数の完全性
• 連分数
• 定義可能な実数
• 正の実数
• 実分析