放物線

数学において、放物線は鏡面対称でほぼ U 字型の平面曲線です。放物線は表面上は異なるいくつかの数学的記述に適合しますが、それらはすべてまったく同じ曲線を定義することが証明できます。

放物線の説明の 1 つに、点(焦点) と直線(準線) があります。焦点は準線上にありません。放物線は、準線と焦点から等距離にある平面上の点の軌跡です。放物線の別の説明は、円錐面と、円錐面に接する別の平面に平行な平面との交差から作成される円錐断面として表されます。 ^[a]

2次関数（ ）のグラフは、軸がy軸に平行な放物線です。逆に言えば、そのような放物線はすべて2次関数のグラフです。 ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle a\neq 0}$

準線に垂直で焦点を通る線 (つまり、放物線を真ん中で分割する線) は、「対称軸」と呼ばれます。放物線が対称軸と交差する点は「頂点」と呼ばれ、放物線が最も鋭く曲がる点です。対称軸に沿って測定された頂点と焦点の間の距離が「焦点距離」です。「直角」は、準線に平行で焦点を通る放物線の弦です。放物線は、上、下、左、右、またはその他の任意の方向に開くことができます。どの放物線も、他の放物線にぴったり合うように位置を変更したり、サイズを変更したりできます。つまり、すべての放物線は幾何学的に類似しています。

放物線には、光を反射する 材料で作られている場合、放物線の対称軸に平行に進み、その凹面に当たる光は、放物線のどこで反射が起こるかに関係なく、焦点に向かって反射されるという特性があります。逆に、焦点の点光源から発せられる光は、平行な（「コリメートされた」）ビームに反射され、放物線は対称軸に平行になります。音波やその他の波でも同じ効果が発生します。この反射特性は、放物線の多くの実用的な用途の基礎となっています。

パラボラは、パラボラアンテナやパラボラマイクロフォンから自動車のヘッドライト反射板、弾道ミサイルの設計まで、多くの重要な用途があります。物理学、工学、その他多くの分野 で頻繁に使用されます。

円錐曲線に関する最も古い著作は、紀元前4世紀のメナエクモスによるものである。彼は、立方体を2倍にする問題を放物線を使って解く方法を発見した。（ただし、この解法は、コンパスと定規による作図の要件を満たしていない。）放物線と線分で囲まれた面積、いわゆる「放物線分」は、紀元前3世紀にアルキメデスが著書『放物線の求積法』の中で、網羅的方法によって計算した。「放物線」という名前は、円錐曲線の多くの特性を発見したアポロニウスに由来する。これは「応用」を意味し、「面積の応用」という概念を指し、アポロニウスが証明したように、この曲線と関連している。^{[1]放物線やその他の円錐曲線の焦点-準線特性は、}パップスによるものである。

ガリレオは、重力による均一な加速の結果として、発射体の軌道が放物線を描くことを示しました。

反射望遠鏡が発明される前から、放物面反射鏡が像を作れるという考えはよく知られていました。^[2] 17世紀初頭から中期にかけて、ルネ・デカルト、マリン・メルセンヌ、^[3]ジェームズ・グレゴリーなど多くの数学者によって設計が提案されました。^[4]アイザック・ニュートンが1668年に最初の反射望遠鏡を作ったとき、製作の難しさから放物面鏡の使用を中止し、球面鏡を選択しました。放物面鏡は、現代のほとんどの反射望遠鏡や衛星放送受信アンテナ、レーダー受信機で使用されています。^[5]

放物線は、ユークリッド平面上の 点の集合（点の軌跡）として幾何学的に定義できます。

焦点から準線に下ろした垂線の中点は頂点と呼ばれ、その線は放物線の 対称軸となります。${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$${\displaystyle FV}$

直交座標を導入して準線が方程式 を持つとすると、方程式から点 について が得られます。 を解くと、 ${\displaystyle F=(0,f),\ f>0,}$${\displaystyle y=-f}$${\displaystyle P=(x,y)}$${\displaystyle |PF|^{2}=|Pl|^{2}}$${\displaystyle x^{2}+(yf)^{2}=(y+f)^{2}}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$$

この放物線はU字型（上が開いている）です。

焦点を通る水平弦（冒頭の図を参照）は大腿直筋と呼ばれ、その半分は半大腿直筋である。大腿直筋は準線と平行である。半大腿直筋は文字 で示される。図から次のことがわかる。 ${\displaystyle p}$$${\displaystyle p=2f.}$$

楕円と双曲線の2つの円錐曲線についても、同様にラタス直角が定義されます。ラタス直角は、円錐曲線の焦点を通り、準線に平行で、両方向とも曲線で終わる線です。いずれの場合も、 は頂点における接触円の半径です。放物線の場合、半ラタス直角 は、準線から焦点までの距離です。パラメータ を使用すると、放物線の方程式は次のように書き直すことができます 。${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle x^{2}=2py.}$$

より一般的には、頂点が、焦点が、準線がの場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$${\displaystyle y=v_{2}-f}$$${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$$

備考:

1. 放物線の場合は下向きに開きます。${\displaystyle f<0}$
2. 軸が y 軸に平行であるという仮定により、放物線を 2 次多項式のグラフとして考えることができます。逆に、任意の 2 次多項式のグラフは放物線です (次のセクションを参照)。
3. と を交換すると、 という形の方程式が得られます。これらの放物線は、 の場合左に開き、 の場合右に開きます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{2}=2px}$${\displaystyle p<0}$${\displaystyle p>0}$

焦点が、準線がの場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$${\displaystyle ax+by+c=0}$$${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$$

(式の左辺では、直線のヘッセ正規形を使用して距離を計算します)。 ${\displaystyle |Pl|}$

一般的な位置における放物線のパラメトリック方程式については、§ 単位放物線のアフィン像を参照してください。

放物線の暗黙の方程式は、 2次既約多項式によって定義されます。 つまり、 は線形多項式の 2乗になります。 $${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$$${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

前のセクションでは、原点を頂点とし、y軸を対称軸とする任意の放物線は関数のグラフとして考えることができること を示した。$${\displaystyle f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.}$$

放物線は上に向かって開いており、 は下に向かって開いています (図を参照)。上記のセクションから次のことがわかります。 ${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a<0}$

• 焦点は、​${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{4a}}\right)}$
• 焦点距離は 、半直腸は、${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• 頂点は、​${\displaystyle (0,0)}$
• 準線は次の式を持つ。${\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}$
• 点における接線の方程式は次のようになります。${\displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$${\displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$

放物線は方程式 を持つ単位放物線です。その焦点は、半直角、準線は方程式 を持ちます。 ${\displaystyle a=1}$${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)}$${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}}$

2次の一般関数は 平方完成で あり 、これは放物線の方程式である。 $${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.}$$ $${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},}$$

• 軸（ y軸に平行）${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
• 焦点距離 、半直腸、${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• 頂点、​ ${\displaystyle V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$
• 焦点、​ ${\displaystyle F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)}$
• 準線 、${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}}$
• 放物線がy軸と交差する点の座標は、${\displaystyle (0,c)}$
• y軸上の点における接線の方程式は次のようになります。${\displaystyle y=bx+c}$

ユークリッド平面上の 2 つのオブジェクトは、相似性、つまり剛体運動 (平行移動と回転) と均一なスケーリングの任意の組み合わせによって一方が他方に変換できる場合、相似です。

頂点を持つ放物線は、平行移動によって原点を頂点とする放物線に変換できます。次に、原点の周りで適切な回転を行うと、放物線はy軸を対称軸とする放物線に変換できます。したがって、放物線は剛体運動によって方程式 を持つ放物線に変換できます。このような放物線は、次に均一なスケーリングによって方程式 を持つ単位放物線に変換できます。したがって、任意の放物線は相似性によって単位放物線にマッピングできます。^[6]${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$${\displaystyle (x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle y=ax^{2},\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x,y)\to (ax,ay)}$${\displaystyle y=x^{2}}$

相似三角形を用いた合成アプローチもこの結果を立証するために使用できる。^[7]

一般的な結論としては、2つの円錐曲線（必ず同じ種類）は、同じ離心率を持つ場合にのみ相似であるということです。^[6]したがって、円（離心率はすべて0）のみが放物線（離心率はすべて1）とこの性質を共有し、一般的な楕円と双曲線は共有しません。

放物線を単位放物線に写像する単純なアフィン変換は他にもあります。たとえば、 です。しかし、この写像は相似ではなく、すべての放物線がアフィン同値であることを示しているだけです (§ 単位放物線のアフィン像として を参照)。 ${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle (x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)}$

x軸を対称軸とし、原点(0, 0)に頂点を1つ持ち、半直角が同じ円錐曲線の束は、離心率 を持つ方程式で表すことができます 。 ${\displaystyle p}$$${\displaystyle y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,}$$${\displaystyle e}$

• 円錐曲線は円（鉛筆の接触円）なので、${\displaystyle e=0}$
• 楕円の場合、${\displaystyle 0<e<1}$
• 放物線の場合、方程式は${\displaystyle e=1}$${\displaystyle y^{2}=2px,}$
• 双曲線の場合（図を参照）。${\displaystyle e>1}$

p > 0の場合、式(右開き)の放物線は の極座標表現 を持ちます。 ${\displaystyle y^{2}=2px}$$${\displaystyle r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}$$${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi }$

その頂点は、その焦点は です。 ${\displaystyle V=(0,0)}$${\displaystyle F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)}$

原点を焦点に移動すると、つまり、次の式が得られる。 ${\displaystyle F=(0,0)}$$${\displaystyle r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.}$$

注 1:この極形式を反転すると、放物線は心臓形の逆であることが示されます。

注 2: 2 番目の極形式は、焦点を持つ円錐曲線の特殊なケースです(図を参照)。 (は離心率です)。 ${\displaystyle F=(0,0)}$$${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}}$$${\displaystyle e}$

この図は、軸AVを持つ円錐を表しています。点 A はその頂点です。ピンクで示された円錐の傾斜断面は、円錐の側面と同じ角度θだけ軸から傾斜しています。放物線を円錐断面として定義すると、このピンク色の断面 EPD の境界は放物線になります。

円錐の軸に垂直な断面は、放物線の頂点 P を通過します。この断面は円形ですが、図に示すように斜めから見ると楕円形に見えます。中心は V で、PK は直径です。半径をr と呼びます 。

軸に垂直な円錐のもう 1 つの円形断面は、先ほど説明したものよりも頂点 A から離れています。この円錐の弦 DEは、放物線が円と交差する点を結びます。もう 1 つの弦BC はDEの垂直二等分線であり、結果として円の直径になります。この 2 つの弦と放物線の対称軸PM はすべて、点 M で交差します。

D と E を除くすべてのラベル付き点は同一平面にあります。これらは図全体の対称面にあります。これには上記で言及されていない点 F も含まれます。これは以下の § 焦点の位置で定義され、説明されています。

DMとEMの長さを x、PMの長さを yとします。

BMとCMの長さは次のとおりです。

弦BCとDEの交差弦定理を用いると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.}$$

代用: $${\displaystyle 4ry\cos \theta =x^{2}.}$$

並べ替え: $${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.}$$

任意の円錐と放物線では、rとθは定数ですが、xとyは、水平断面 BECD が作成される任意の高さに依存する変数です。この最後の式は、これらの変数の関係を示しています。これらは、P を原点とするピンク色の平面内のシステムにおける点 D と E の直交座標として解釈できます。式ではxが 2 乗されているため、D と E がy軸の反対側にあるという事実は重要ではありません。水平断面が円錐の頂点に向かって上または下に移動するか、頂点から離れて移動すると、D と E は放物線に沿って移動し、式に示されているxとyの関係を常に維持します。したがって、放物線は、式が満たされる点の軌跡であり、式の二次関数の 直交グラフになります。

前のセクションで証明されているように、放物線の頂点が原点にあり、正のy方向に開いている場合、その方程式はy = ⁠× ²/4階⁠、ここでf は焦点距離です。 ^[b]これを上記の最後の式と比較すると、円錐内の放物線の焦点距離はr sin θであることがわかります。

上の図では、点 V は放物線の頂点から円錐の軸に下ろした垂線の足です。点 F は、点 V から放物線の平面に下ろした垂線の足です。^[c]対称性により、 F は放物線の対称軸上にあります。角 VPF はθの補角であり、角 PVF は角 VPF の補角であるため、角 PVF はθです。 PVの長さはrであるため、放物線の頂点から F までの距離はr sin θです。 この距離は、頂点から焦点までの距離である放物線の焦点距離に等しいことが上記で示されています。 したがって、焦点と点 F は、同じ線に沿って頂点から等距離にあり、同じ点であることを意味します。 したがって、上で定義した点 F は、放物線の焦点です。

この議論は、放物線を円錐曲線として定義することから始まりましたが、今では 2 次関数のグラフとして記述することに至っています。これは、これら 2 つの記述が同等であることを示しています。どちらもまったく同じ形状の曲線を定義します。

ダンデリン球を使用して別の証明を行うこともできます。これは計算なしで機能し、基本的な幾何学的考慮のみを使用します (以下の導出を参照)。

垂直からの傾きが円錐の母線（頂点と円錐表面上の点を含む線、つまり生成線）と同じである平面と直立円錐との交点は放物線（図の赤い曲線）になります。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{0}}$

この母線は、平面 に平行な円錐の唯一の母線です。そうでない場合、交差平面に平行な母線が 2 つあると、交差曲線は双曲線になります(または、交差平面に 2 つの母線がある場合は退化した双曲線になります)。交差平面に平行な母線がない場合、交差曲線は楕円または円(または点) になります。${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \pi }$

平面 を円錐の垂直軸と線を含む平面とします。平面 の垂直からの傾きは線と同じであり、横から見ると（つまり、平面 は平面 に垂直です）、となります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$

放物線の準線の性質を証明するために（上記の § 点の軌跡としての定義を参照）、ダンデリン球 を 使用します。これは、円と平面に沿った点 で円錐に接する球です。円を含む平面は、線 で平面 と交差します。平面、ダンデリン球、円錐で構成されるシステムには鏡映対称性があります（対称面は です）。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle l}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \sigma }$

円を含む平面は平面、および に垂直なので、それらの交線も平面 に垂直でなければなりません。線は平面 内にあるので、。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi \perp \sigma }$${\displaystyle l}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle l\perp m_{0}}$

は放物線の焦点であり、 は放物線の 準線であることがわかります。${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$

1. 交差曲線上の任意の点を とします。${\displaystyle P}$
2. を含む円錐の母線は点で円と交差します。${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$
3. 線分と線分は球に接しているので、長さは等しくなります。${\displaystyle {\overline {PF}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}}$${\displaystyle d}$
4. 母線は点で円と交差します。線分と は球 に接しているので、長さは等しくなります。${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\overline {ZD}}}$${\displaystyle {\overline {ZA}}}$${\displaystyle d}$
5. 線 を点 に平行で点 を通る線とします。、点 は平面内にあるため、線 は平面内にある必要があります。 であるため、これもわかっています。${\displaystyle q}$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{0}\perp l}$${\displaystyle q\perp l}$
6. 点 を点 から直線 への垂線の足とします。つまり、 は直線 の線分なので、 となります。${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle l}$${\displaystyle {\overline {PB}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}}$
7. 切片定理とから、であることがわかります。 なので、 であり、これは から焦点までの距離がから準線までの距離に等しいことを意味します。${\displaystyle {\overline {ZD}}={\overline {ZA}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PF}}}$${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PB}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle l}$

反射特性とは、放物線が光を反射できる場合、対称軸と平行に進入する光は焦点に向かって反射されるというものです。これは、光が光線状に進むという仮定に基づく幾何光学から導き出されます。

放物線y = x ²を考えてみましょう。すべての放物線は相似なので、この単純なケースは他のすべての放物線を代表します。

点 E は放物線上の任意の点です。焦点は F、頂点は A (原点)、線FA は 対称軸です。線ECは対称軸に平行で、 D でx軸と交差し、C で準線と交差します。点 B は線分FCの中点です。

頂点 A は焦点 F からも準線からも等距離にあります。 C は準線上にあるため、 F と C のy座標は絶対値が等しく、符号が反対です。 B はFCの中点です。そのx座標は D の半分、つまりx /2です。線BEの傾きはEDとBDの長さの商で、これは⁠× ²/x /2⁠ = 2 xです。しかし、 2 x はE における放物線の傾き（1 次導関数）でもあります。したがって、線BEは E における放物線の接線です。

EFとECの距離が等しいのは、 E が放物線上にあり、 F が焦点で、 C が準線上にあるためです。したがって、 B はFCの中点であるため、三角形 △FEB と △CEB は合同（3辺）であり、これはαでマークされた角度が合同であることを意味します。 （E の上の角度は垂直反対角 ∠BEC です。）これは、放物線に入り、対称軸に平行に移動して E に到達する光線が線BEで反射され、図の赤で示されているように線EFに沿って進むことを意味します（線が何らかの形で光を反射できると仮定）。BE はE における放物線の接線であるため、E における放物線の微小な弧によっても同じ反射が行われます。したがって、放物線に入り、放物線の対称軸に平行に移動して E に到達する光は、放物線によって焦点に向かって反射されます。

反射光に関するこの結論は、図の左側に示すように、放物線上のすべての点に適用されます。これが反射特性です。

上記の議論から単純に導き出せる他の定理もあります。

上記の証明と付随する図は、接線BE が角度 ∠FEC を二等分することを示しています。言い換えると、任意の点における放物線の接線は、その点と焦点を結び、準線に垂直な線の間の角度を二等分します。

三角形△FBEと△CBEは合同なので、FBは接線BEに垂直です。Bは放物線の頂点の接線であるx軸上にあるので、放物線の接線と焦点からその接線に引いた垂線との交点は、放物線の頂点の接線上にあることになります。アニメーション図^[8]とペダル曲線を参照してください。

光が線CEに沿って進む場合、光は対称軸に平行に移動し、放物線の凸面 E に当たります。上の図から、この光は線分FEの延長線に沿って焦点から直接反射されることがわかります。

上記の鏡映二等分法と接線二等分法の特性の証明には、微積分法が使用されています。ここでは幾何学的な証明を示します。

この図では、 F は放物線の焦点で、 T と U はその準線上にあります。 P は放物線上の任意の点です。PTは準線に垂直で、線分MP は角 ∠FPT を二等分します。 Q は放物線上の別の点であり、QU は準線に垂直です。FP  =  PTかつFQ  =  QUであることがわかっています。明らかに、QT  >  QUなので、QT  >  FQ です。二等分線MP上のすべての点は F と T から等距離ですが、 Q は T よりも F に近いです。つまり、 Q はMPの左側、つまり焦点と同じ側にあります。 Q が放物線上の他の場所 (点 P を除く) にある場合も同じことが言え、点 P を除く放物線全体がMPの焦点側にあります。したがって、MP はP における放物線の接線です。これは角度 ∠FPT を二等分するので、接線二等分の性質が証明されます。

最後の段落の論理は、上記の反射特性の証明を修正するために適用できます。角度αが等しい 場合、線BE がE における放物線の接線であることが効果的に証明されます。反射特性は、前に示したとおりです。

焦点と準線による放物線の定義は、ピンと紐を使って描くときに使うことができる。^[9]

1. 放物線の焦点 と準線を選択します。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$
2. 三角定規の三角形を取り、長さのあるひもを用意します（図を参照）。${\displaystyle |AB|}$
3. 紐の一方の端を三角形の点にピンで留め、もう一方の端を焦点に留めます。${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$
4. 直角の 2 番目の辺が準線に沿って自由にスライドできるように三角形を配置します。
5. ペンを手に取り、紐を三角形にしっかりと固定します。
6. 三角形を準線に沿って動かすと、ペンは放物線の弧を描きます。これは(放物線の定義を参照)。${\displaystyle |PF|=|PB|}$

放物線は、無限遠直線上の点、つまり における接線を持つ非退化射影円錐のアフィン部分と考えることができます。パスカルの定理の 5 点、4 点、3 点の退化は、少なくとも 1 つの接線を扱う円錐の特性です。この接線を無限遠直線、その接点をy軸の無限遠点と見なすと、放物線に関する 3 つの命題が得られます。 ${\displaystyle Y_{\infty }}$${\displaystyle g_{\infty }}$${\displaystyle Y_{\infty }}$

放物線の次の性質は、相似性の不変量である接続、交差、平行の項のみを扱っています。したがって、方程式 を持つ単位放物線の性質を証明すれば十分です。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

任意の放物線は、適切な座標系で方程式によって記述できます。 ${\displaystyle y=ax^{2}}$

証明:単位放物線の簡単な計算。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

応用:放物線の 4 点特性は、点 の構築に使用できます。ただし、 と は与えられています。 ${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$${\displaystyle Q_{2}}$

注:放物線の 4 点特性は、パスカルの定理の 5 点退化のアフィン バージョンです。

放物線の 3 つの点を、方程式 と、割線 と直線 の交点、および割線と直線の交点とします(図を参照)。すると、点 における接線は直線 に平行になります。(直線および は放物線の軸に平行です。) ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{0}P_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{0}P_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

証明:単位放物線 に対して実行できます。簡単な計算で次のことがわかります。直線 の傾きは、点 における接線の傾きと同じです。 ${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle 2x_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$

応用:放物線の 3 点 1 接線の性質は、が与えられているときに、点 における接線の構築に使用できます。 ${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$

注:放物線の 3 点 1 接線特性は、パスカルの定理の 4 点退化のアフィン バージョンです。

放物線の2点を方程式、点 における接線と直線の交点を、点 における接線と直線の交点をとします(図を参照)。このとき、割線 は直線 に平行です。(直線と は放物線の軸に平行です。) ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

証明:単位放物線の簡単な計算。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

応用: 2 点 2 接線の性質は、と における接線が与えられている場合、点 における放物線の接線の構築に使用できます。 ${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$

注 1:放物線の 2 点 - 2 接線の性質は、パスカルの定理の 3 点退化のアフィンバージョンです。

注 2: 2 点 - 2 接線の性質は、放物線の次の性質と混同しないでください。放物線も 2 点と 2 接線を扱っていますが、パスカルの定理とは関係 ありません。

上記の記述では、点を構成するために放物線の軸方向の知識を前提としています。次の特性は、2 つの指定された点とその接線のみによって点を決定し、その結果、線は放物線の軸に平行になります。 ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$

させて

1. ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$放物線の2点を とし、その接線を とする。${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
2. ${\displaystyle Q_{1}}$接線の交点となる。${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
3. ${\displaystyle Q_{2}}$を通る平行線とを通る平行線との交点になります(図を参照)。${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$

すると、その線は放物線の軸に平行となり、次の式が成り立ちます。${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

証明:単位放物線に対して (上記の性質と同様に) 実行できます。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

応用:この特性は、2 つの点とその接線が与えられている場合、放物線の軸の方向を決定するために使用できます。別の方法として、2 つの平行弦の中点を決定する方法があります。平行弦のセクションを参照してください。

注:この性質は、非退化円錐の2つの透視三角形の定理のアフィンバージョンです。 ^[10]

シュタイナーは、非退化円錐曲線を構築するための次の手順を確立しました (シュタイナー円錐曲線を参照)。

この手順は、放物線上の点の簡単な構築に使用できます。 ${\displaystyle y=ax^{2}}$

• 頂点にある鉛筆と、 y軸に平行な線の集合を考えます。 ${\displaystyle S(0,0)}$${\displaystyle \Pi _{y}}$
  1. を放物線上の点とし、 とします。${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle A=(0,y_{0})}$${\displaystyle B=(x_{0},0)}$
  2. 線分はn 個の等間隔の線分に分割され、この分割が線分に（方向 に）投影されます（図を参照）。この投影により、鉛筆 から鉛筆 への射影写像が生成されます。${\displaystyle {\overline {BP}}}$${\displaystyle BA}$${\displaystyle {\overline {AP}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Pi _{y}}$
  3. 直線とy軸のi番目の平行線との交点は放物線上の点です。${\displaystyle SB_{i}}$

証明:簡単な計算。

注:シュタイナーの生成は楕円と双曲線にも利用できます。

双対放物線は、通常の放物線の接線の集合で構成されます。

シュタイナー円錐生成は、点と線の意味を変更することで、双対円錐の生成に適用できます。

双対放物線の要素を生成するには、まず

1. 3つの点が直線上にない場合、${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$
2. 線分を等間隔の線分に分割し、図に示すように数字を追加します。${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle n}$
3. すると、その線は放物線の接線となり、二重放物線の要素となります。${\displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc }$
4. 放物線は、制御点を持つ 2 次ベジェ曲線です。${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$

証明は、 2 次ベジェ曲線に対する de Casteljau アルゴリズムの結果です。

方程式を持つ放物線は、異なるx座標を持つ3 つの点によって一意に決定されます。係数を決定するための通常の手順は、点の座標を方程式に挿入することです。結果は 3 つの方程式の線形システムであり、たとえばガウス消去法やクラメールの定理によって解くことができます。別の方法としては、放物線の 円周角定理を使用します。${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$${\displaystyle a,b,c}$

以下では、2本の直線の角度は、放物線の準線に対する直線の傾きの差で測定されます。つまり、放物線方程式の場合、2本の直線の等式間の角度は次のように測定されます。${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}}$${\displaystyle m_{1}-m_{2}.}$

円の円周角定理と同様に、放物線の円周角定理もある。^{[11] [12]}

(証明: 簡単な計算: 点が放物線上にある場合、座標を変換して方程式 を得ることができ、点が放物線上にある場合は が得られます。) ${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle {\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}}$

結果として、異なるx座標を持つ3点によって決定される放物線の方程式（ ）は（2つのx座標が等しい場合、それらの点を通る x軸に平行な準線を持つ放物線は存在しない）となる。1つ に依存する分母を掛けると、より標準的な形式が得られる。 ${\displaystyle {\color {green}x},{\color {red}y}}$${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,}$$${\displaystyle {\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$${\displaystyle {\color {green}x},}$$${\displaystyle (x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.}$$

適切な座標系では、任意の放物線は方程式で記述できます。ある点における接線の方程式は、 接線の集合上の放物線の点の集合上の 関数を取得します 。${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}}$$${\displaystyle y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.}$$$${\displaystyle (x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}}$$

明らかに、この関数は のすべての点の集合に拡張することができ、の点と直線の間の一対一写像は方程式 で表されます。逆写像は です。 この関係は放物線の極-極関係 と呼ばれ、点は極で、対応する直線はその極 です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).}$$

計算により、放物線の極と極の関係の次の特性を確認します。

• 放物線上の点（極）の場合、極座標はこの点における接線です（図を参照）。${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• 放物線の外側にある極の場合、その極と放物線との交点は、通過する 2 つの接線の接触点になります(図を参照)。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{2},\ p_{2}}$
• 放物線内の点の場合、極座標は放物線と共通する点を持ちません (図:および を参照)。${\displaystyle P_{3},\ p_{3}}$${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$
• 2 本の極線 (たとえば ) の交点は、それらの極を結ぶ線の極です (例: )。${\displaystyle p_{3},p_{4}}$${\displaystyle P_{3},P_{4}}$
• 放物線の焦点と準線は極と極のペアです。

注意:極-極関係は楕円と双曲線にも存在します。

対称線が放物線と点 Q で交差し、焦点を点 F 、点 Q からの距離をfとする。対称線に焦点を通して引いた垂線が放物線と点 T で交差するとする。すると、(1) F から T までの距離は2 fであり、(2) 放物線の点 T における接線は対称線と 45° の角度で交差する。^{[13] : 26}

放物線の 2 つの接線が互いに垂直である場合、それらは準線上で交差します。逆に、準線上で交差する 2 つの接線は垂直です。言い換えると、準線上のどの点でも放物線全体が直角をなします。

放物線の3つの接線が三角形を形成するとします。ランバートの定理によれば、放物線の焦点は三角形の外接円上にあります。 ^{[14] [8] : 系20}

ツッカーマンのランバートの定理の逆は、三角形を囲む3本の線分が与えられたとき、そのうち2本の線分が三角形の外接円を焦点とする放物線に接している場合、3本目の線分もその放物線に接しているというものである。^[15]

弦が対称軸に垂直に放物線と交差しているとします。弦が放物線と交差する点間の弦の長さをc、対称軸に沿って測った放物線の頂点から弦までの距離をdとします。放物線の 焦点距離fは次のように表されます。$${\displaystyle f={\frac {c^{2}}{16d}}.}$$

放物線と弦（図参照）で囲まれた面積は、それを囲む平行四辺形の面積の3分の2です。平行四辺形の1辺は弦で、反対側は放物線の接線です。^{[16] [17]}他の平行辺の傾きは面積とは無関係です。ここでのように、他の平行辺は放物線の対称軸と平行に描かれることが多いですが、これは任意です。

この定理と同等だが細部が異なる定理が、紀元前3世紀にアルキメデスによって導き出されました。彼は平行四辺形ではなく三角形の面積を使用しました。^[d] 「放物線の求積法」を参照してください。

弦の長さがbで放物線の対称軸に垂直で、放物線の頂点から弦までの垂線の距離がhの場合、平行四辺形はbとhの辺を持つ長方形です。放物線と弦で囲まれた放物線の 面積Aは、$${\displaystyle A={\frac {2}{3}}bh.}$$

この式は三角形の面積と比較することができます: ⁠1/2⁠ bh .

一般に、囲まれた面積は次のように計算できます。まず、放物線上で、傾きが弦の傾きと等しい点を見つけます。これは微積分法で、または放物線の対称軸に平行で弦の中点を通る線を使用して行うことができます。必要な点は、この線が放物線と交差する点です。^[e]次に、 「点から線までの距離」に示されている公式を使用して、この点から弦までの垂直距離を計算します。これに弦の長さを掛けて平行四辺形の面積を求め、さらに 2/3 を掛けて必要な囲まれた面積を求めます。

上記の議論から導かれる帰結は、放物線に複数の平行弦がある場合、それらの中点はすべて対称軸に平行な線上に位置するということです。放物線の接線がこれらの弦の端点を通って描かれると、2 つの接線は対称軸に平行な同じ線上で交差します (放物線の軸方向を参照)。^[f]

点 X が焦点距離fの放物線上にあり、点 X から放物線の対称軸までの垂線距離がpである場合、放物線の弧の長さは、すべて同じ単位で表されていると仮定すると、次のようにfとpから計算できます。^[g] $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$$

この量s は、X と放物線の頂点の間の円弧の長さです。

X と放物線の反対側の対称点との間の円弧の長さは2 sです。

垂直距離p には、対称軸 X のどちら側にあるかを示すために、正または負の符号を付けることができます。pの符号を逆にすると、 hとsの符号も、絶対値は変わらず反転します。 これらの量に符号が付いている場合、放物線上の任意の 2 点間の弧の長さは、常にsの値の差で示されます。 対数の特性を使用すると、計算を簡略化できます。 $${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$$

これは、たとえば、放物面反射鏡や放物面トラフを作成するために必要な材料のサイズを計算する場合に役立ちます。

この計算は、どの方向の放物線にも使用できます。対称軸がy軸に平行である状況に限定されません。

S は焦点、V は放物線 VG の主頂点です。SV に垂直な VX を描きます。

VG 上の任意の点 B を取り、B から VX へ垂線 BQ を下ろします。BQ と交差する垂線 ST を描き、必要に応じて延長し、T で描きます。B で垂線 BJ を描き、J で VX と交差します。

放物線の場合、線分VBV、弦VBと弧VBで囲まれた面積は、∆VBQ / 3に等しく、 でもあります。 ${\displaystyle BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}}$

放物線扇形の面積。 ${\displaystyle SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}}$

三角形TSBと三角形QBJは相似なので、 $${\displaystyle VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.}$$

したがって、放物線扇形の面積は、上で求めたように、VJ の長さから求めることができます。 ${\displaystyle SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}}$

S、V、Bを通る円はJも通ります。

逆に、扇形 SVB の面積が指定された値に等しくなるように放物線 VG 上の点 B を探す場合は、VX 上の点 J を決定し、S、V、J を通る円を描きます。SJ は直径なので、円の中心はその中点にあり、SV の垂直二等分線上にあり、SV から VJ の半分の距離にあります。必要な点 B は、この円が放物線と交差する点です。

S 方向の反比例二乗の力によって物体が放物線の軌道を描く場合、点 B が前進するにつれて面積 SVB は一定の割合で増加します。したがって、B が放物線に沿って移動すると、J は VX に沿って一定速度で移動します。

物体が SV に対して垂直に動いている頂点での速度がvである場合、 J の速度は3 v /4に等しくなります。

この構成は、どちらの半径も軸 SV と一致しない場合も含め、次のように簡単に拡張できます。A を VG 上の V と B の間の固定点とし、点 H を A における SA への垂線との VX 上の交点とします。上記から、放物扇形の面積は. ${\displaystyle SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}}$

逆に、特定の領域 SAB の点 B を求める必要がある場合は、前と同じように HJ と点 B から点 J を求めます。ニュートンの『プリンキピア』の第 1 巻、命題 16、系 6 により、焦点に向かう力をもった放物線に沿って移動する物体の速度は、半径の平方根に反比例します。A での速度がvの場合、頂点 V での速度は であり、点 J は一定速度 で移動します。 ${\displaystyle {\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v}$${\displaystyle {\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}}$

上記の構成はアイザック・ニュートンによって考案され、『自然哲学の数学的原理』第 1 巻に命題 30 として記載されています。

放物線の焦点距離は頂点における 曲率半径の半分です。

証拠

• 
  画像は反転されています。AB はx軸です。C は原点です。O は中心です。A は( x , y )です。OA = OC = Rです。PA = xです。CP = y です。OP = ( R − y )です。その他の点や線は、この目的には無関係です。
• 
  頂点の曲率半径は焦点距離の 2 倍です。上の図に示されている測定値は、焦点距離の 4 倍である大直角の単位です。
• 

半径Rで中心が点(0, R )である円上の点( x , y )を考える。円は原点を通る。点が原点に近い場合、ピタゴラスの定理により、 $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}}$$

しかし、（x、y）が原点に非常に近い場合、x軸は円の接線であるため、yはxに比べて非常に小さく、y ^2は他の項と比較して無視できます。したがって、原点に非常に近い

これを放物線と比較してみましょう

頂点が原点にあり、上向きに開いており、焦点距離はfです(この記事の前のセクションを参照)。

式(1)と式(2)は、 R = 2 fの場合には等しくなります。したがって、これは円と放物線が原点に極めて近い位置で一致する条件です。放物線の頂点である原点における曲率半径は焦点距離の2倍です。

帰結

球体の小さな部分である凹面鏡は、ほぼ放物面鏡のように動作し、平行光を球体の中心と表面の中間の点に焦点を合わせます。

放物線の別の定義では、アフィン変換を使用します。

ユークリッド平面のアフィン変換は の形を持ち、 は正則行列（行列式は0ではない）、 は任意のベクトルである。 が行列 の列ベクトルである場合、単位放物線は放物線に写像される 。 ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$$

• ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$放物線の点である。
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$は点における接線ベクトルであり、${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$放物線の軸（頂点を通る対称軸）と平行です。

一般に、アフィン変換が相似でない限り、2 つのベクトルは垂直ではなく、頂点ではありません。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$

点における接線ベクトルはです。頂点では接線ベクトルは に直交します。したがって、頂点のパラメータは方程式の解で あり 、頂点は ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,}$$$${\displaystyle t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},}$$$${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

焦点距離は適切なパラメータ変換によって決定できます（放物線の幾何学的形状は変化しません）。焦点距離は、 したがって放物線の 焦点は$${\displaystyle f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.}$$$${\displaystyle F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

のパラメトリック表現をクラメールの定理で解き、 を使用すると、次の暗黙表現が得られる。 ${\displaystyle \;t,t^{2}\;}$${\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;}$$${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.}$$

このセクションの放物線の定義は、空間内のベクトルを許容する場合、空間内であっても任意の放物線のパラメトリック表現を与えます。 ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

2次ベジェ曲線は、制御点と呼ばれる3つの点、によって定義される曲線です。 ${\displaystyle {\vec {c}}(t)}$${\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}}$${\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}}$${\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}}$$

この曲線は放物線の弧です（§ 単位放物線のアフィン像を参照）。

数値積分法の1つは、関数のグラフを放物線の弧に置き換え、放物線の弧を積分する方法です。放物線は3つの点によって決まります。1つの弧の式は $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).}$$

この方法はシンプソンの法則と呼ばれます。

次の二次曲面には平面断面として放物線が含まれています。

• 楕円錐、
• 放物面円筒、
• 楕円放物面、
• 双曲放物面、
• 一枚の双曲面、
• 2枚の双曲面。

• 
  楕円錐
• 
  放物面円筒
• 
  楕円放物面
• 
  双曲放物面
• 
  一枚の双曲面
• 
  2枚の双曲面

放物線は三等分線として使用できます。つまり、定規とコンパスを使用して任意の角度を正確に三等分できます。これは、コンパスと定規の作図のみで角度の三等分が不可能であることと矛盾しません。コンパスと定規の作図に関する従来の規則では放物線の使用は許可されていないためです。

を三等分するには、頂点が座標系の原点にくるように、 x軸上に辺を置きます。座標系には、放物線 も含まれます。原点の周りの半径 1 の単位円は、角のもう一方の辺 と交差し、この交点からy軸に垂線を引きます。その垂線の中点を通るy軸に平行な線と、 の単位円の接線は、で交差します。 の周りの半径 の円は、放物線 で交差します。 からx軸への垂線は、単位円 で交差し、のちょうど 3 分の 1 になります。 ${\displaystyle \angle AOB}$${\displaystyle OB}$${\displaystyle O}$${\displaystyle y=2x^{2}}$${\displaystyle OA}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle OC}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \angle P_{2}OB}$${\displaystyle \angle AOB}$

この構成の正しさは、 のx座標がであることを示すことによって確認できます。 の周りの円と放物線によって与えられた方程式系を解くと、3 次方程式 が得られます。次に、 3 倍角の公式により、 が実際にその 3 次方程式の解であることが示されます。 ${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \cos(\alpha )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0}$ ${\displaystyle \cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )}$${\displaystyle \cos(\alpha )}$

この三等分法はルネ・デカルトが著書『幾何学』（1637年）で述べたものである。 ^[18]

実数を任意の体で置き換えても、放物線の多くの幾何学的性質は依然として有効です。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

1. 線は最大 2 つの点で交差します。
2. どの点でも、その線は接線になります。${\displaystyle (x_{0},x_{0}^{2})}$${\displaystyle y=2x_{0}x-x_{0}^{2}}$

場が特性 2 (つまり、) を持つ場合、本質的に新しい現象が発生します。つまり、接線はすべて平行です。 ${\displaystyle 1+1=0}$

代数幾何学では、放物線は、座標が( x、x ²、x ³、 ...、x ⁿ )である有理正規曲線によって一般化されます。標準放物線はn = 2の場合で、 n = 3の場合はねじれ 3 次曲線として知られています。入力変数が 1 つ以上ある場合、ベロネーゼ多様体によってさらに一般化されます。

二次形式理論では、放物面は二次形式x ²（または他のスケーリング）のグラフであり、楕円放物面は正定値二次形式x ² + y ² （またはスケーリング）のグラフであり、双曲放物面は不定値二次形式 x ² − y ²のグラフです。より多くの変数に一般化すると、そのようなオブジェクトがさらに生成されます。

pの他の値に対する曲線y = x ^pは、伝統的に高次放物線と呼ばれ、元々はpとq が両方とも正の整数であるときにx ^p = ky ^qの形式で暗黙的に扱われ、その形式では代数曲線と見なされていました。これらは、xの正の分数べきに対する明示的な式y = x ^{p / q}に対応します。負の分数べきは暗黙の方程式x ^p y ^q = kに対応し、伝統的に高次双曲線と呼ばれています。解析的には、x は無理数べき乗（ xが正の値の場合）にもなり、解析特性はxが有理数べき乗された場合に類似していますが、結果として得られる曲線はもはや代数的ではなく、代数幾何学で解析することはできません。

自然界では、放物線と放物面の近似はさまざまな状況で見られます。物理学の歴史における放物線の最もよく知られた例は、空気抵抗のない均一な重力場の影響下で運動する粒子または物体の軌道です(たとえば、空気摩擦を無視して空中を飛ぶボール)。

発射体の放物線軌道は、 17世紀初頭にガリレオが傾斜面を転がるボールの実験で発見した。彼は後に、著書『二つの新学問についての対話』でこれを数学的に証明した。^{[19] [h]}飛び込み台から飛び込むダイバーのように空間に広がった物体の場合、物体自体は回転しながら複雑な運動をするが、物体の重心はそれでも放物線に沿って動く。物理世界のすべての場合と同様に、軌道は常に放物線の近似値となる。たとえば空気抵抗があると常に形が歪むが、低速では形は放物線によく近似する。弾道学などの高速では形が大きく歪んで放物線に似なくなる。

17 世紀と 18 世紀にアイザック ニュートン卿が説明した物理学の理論によれば、放物線が発生する可能性がある別の仮説的な状況は、 2 体軌道、たとえば太陽の重力の影響下にある小惑星やその他の物体の軌道である場合です。放物線軌道は自然界には発生しません。単純な軌道は、最も一般的には双曲線または楕円に似ています。放物線軌道は、これら 2 種類の理想的な軌道の中間的な退化したケースです。放物線軌道をたどる物体は、周回する物体の脱出速度とまったく同じ速度で移動します。楕円軌道または双曲線軌道の物体は、それぞれ脱出速度よりも遅い速度または速い速度で移動します。長周期彗星は、太陽系の内部を移動しながら太陽の脱出速度に近い速度で移動するため、その軌道はほぼ放物線になります。

放物線の近似値は、単純な吊り橋の主ケーブルの形状にも見られます。吊り橋のチェーンの曲線は常に放物線と懸垂線の中間の曲線になりますが、実際には、荷重（つまり道路）の重量がケーブル自体の重量よりもはるかに大きいため、曲線は一般に放物線に近くなり、計算では放物線の2次多項式が使用されます。^{[20] [21]}均一な荷重（水平に吊り下げられたデッキなど）の影響下では、通常は懸垂線形状のケーブルは放物線に向かって変形します（懸垂線 § 吊り橋の曲線を参照）。非弾性チェーンとは異なり、応力がかかっていない長さがゼロの自由に垂れ下がったバネは放物線の形状をとります。吊り橋のケーブルは、理想的には純粋に張力を受けており、曲げなどの他の力を受ける必要はありません。同様に、放物線アーチの構造は純粋に圧縮されています。

放物面は物理的な状況でもいくつか登場する。最もよく知られている例は放物面反射鏡で、これは光や他の形態の電磁放射を共通の焦点に集中させる鏡または類似の反射装置、あるいは逆に焦点の点光源からの光を平行ビームにコリメートするものである。放物面反射鏡の原理は紀元前3世紀に幾何学者アルキメデスによって発見されたと考えられている。疑わしい伝説によると^{[22]アルキメデスは}シラクサをローマ艦隊から守るために放物面鏡を製作し、太陽光線を集中させてローマ船の甲板に火をつけたという。この原理は17世紀に望遠鏡に応用された。今日、放物面反射鏡は世界中の多くの場所でマイクロ波や衛星放送受信アンテナや送信アンテナ として一般的に見られる。

パラボラ マイクでは、パラボラ反射鏡を使用してマイクに音を集中させ、高度な指向性性能を実現します。

放物面は、容器に閉じ込められ、中心軸の周りを回転する液体の表面にも見られます。この場合、遠心力によって液体が容器の壁を登り、放物面を形成します。これが液体鏡望遠鏡の原理です。

NASAの「ヴォミット・コメット」など、実験目的で無重力状態を作り出すために使用される航空機は、自由落下中の物体の進路を追跡するために、短時間、垂直放物線の軌道をたどり、ほとんどの目的で無重力と同じ効果を生み出します。

• 
  毎秒 25 枚の画像でストロボ フラッシュを使用して撮影された、跳ねるボール。ボールは、バウンドするたびに、特に最初のバウンドの後は、著しく非球形になります。これにより、スピンと空気抵抗が加わり、外側に広がる曲線は、予想される完全な放物線からわずかにずれます。
• 
  噴水の放物線状の軌跡。
• 
  コホーテク彗星が太陽系内部を通過した際の軌道（赤色）は、ほぼ放物線状を呈している。青色の軌道は地球の軌道である。
• 
  吊り橋の支持ケーブルは放物線と懸垂線の中間の曲線を描きます。
• 
  ナイアガラ川にかかるレインボーブリッジは、カナダ(左) とアメリカ(右) を結んでいます。放物線状のアーチは圧縮されており、道路の重量を支えています。
• 
  建築で使用される放物線状のアーチ
• 
  回転する液体の表面によって形成される放物線形状。密度の異なる 2 つの液体が、2 枚の透明プラスチック シート間の狭い空間を完全に満たします。シート間の隙間は、底部、側面、上部で閉じられています。アセンブリ全体は、中心を通る垂直軸の周りを回転します。(回転炉を参照)
• 
  パラボラ反射鏡付きソーラークッカー
• 
  パラボラアンテナ
• 
  アメリカの大学フットボールの試合で使用される、光学的に透明なプラスチック反射鏡を備えたパラボラマイク。
• 
  太陽エネルギーを集めるための放物面トラフの配列
• 
  エジソンのサーチライトはカートに取り付けられていました。このライトには放物面反射鏡が付いていました。
• 
  無重力をシミュレートするために放物線軌道を飛行する飛行機に乗る物理学者スティーブン・ホーキング

• 退化した円錐曲線
• ドーム § 放物面ドーム
• 放物型偏微分方程式
• 二次方程式
• 二次関数
• 普遍放物線定数
• 共焦点円錐曲線 § 共焦点放物線

• ロックウッド、EH（1961）。『曲線の本』ケンブリッジ大学出版局。

• 「放物線」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「パラボラ」。マスワールド。
• インタラクティブな放物線ドラッグフォーカス、対称軸、準線、標準および頂点形式を参照
• アルキメデスの三角形と、結び目を切るときの放物線の二乗
• カット・ザ・ノットにおける放物線の2つの接線
• 直線の包絡線としての放物線
• カット・ザ・ノットのパラボリックミラー
• 結び目を切ると3つの放物線が接する
• 切断時の放物線の焦点特性
• カット・ザ・ノットのパラボラ・アズ・エンベロープ II
• インタラクティブな動的ジオメトリ スケッチである Dynamic Geometry Sketches における放物線の類似性。
• フランス・ファン・スホーテン：数学オーフェニンゲン、1659