算術

算術は、加算、減算、乗算、除算などの数値演算を研究する数学の基本的な分野です。より広い意味では、累乗、平方根の抽出、対数計算も含まれます。

算術システムは、演算する数値の種類に基づいて区別できます。整数演算は、正と負の整数の計算です。有理数演算は、整数の分数の演算です。実数演算は、有理数と無理数の両方を含む実数の計算です。

もう 1 つの区別は、計算を実行するために採用されている数値システムに基づいています。10進法の計算が最も一般的です。10 進法では、0 から 9 までの基本数値とその組み合わせを使用して数値を表します。対照的に、 2 進法の計算はほとんどのコンピューターで使用され、数値を基本数値 0 と 1 の組み合わせとして表します。コンピューター計算は、コンピューターでの 2 進法の実装の特殊性を扱います。一部の計算システムは、区間計算や行列計算など、数値以外の数学的オブジェクトに対して動作します。

算術演算は、代数、微積分、統計学など、数学の多くの分野の基礎を形成します。物理学や経済学などの科学でも同様の役割を果たします。算術は、買い物の際のお釣りの計算や個人の財務管理など、日常生活の多くの側面に存在します。算術は、学生が出会う数学教育の最も初期の形態の 1 つです。その認知的および概念的基礎は、心理学と哲学によって研究されています。

算術の実践は少なくとも数千年、おそらく数万年前から行われています。エジプト人やシュメール人などの古代文明は、紀元前3000年頃に実用的な算術問題を解くための記数法を発明しました。紀元前7世紀から6世紀にかけて、古代ギリシャ人はより抽象的な数の研究を開始し、厳密な数学的証明の方法を導入しました。古代インド人はゼロの概念と十進法を考案し、中世にはアラブの数学者がこれをさらに洗練させて西洋世界に広めました。最初の機械式計算機は17世紀に発明されました。18世紀と19世紀には、現代の数論が発展し、算術の公理的基礎が定式化されました。20世紀には、電子計算機とコンピューターの出現により、算術計算の精度と速度に革命が起こりました。

算術は、数とその演算を研究する数学の基本的な分野です。特に、加算、減算、乗算、除算の算術演算を使用した数値計算を扱います。^[1]より広い意味では、累乗、根の抽出、対数も含まれます。^{[2] 「算術」という用語は、ラテン語の「} arithmetica 」に由来しており、これは古代ギリシャ語の「数」を意味するἀριθμός (arithmos) と「数える技術」を意味するἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne) に由来しています。 ^[3]

算術の正確な定義については意見が分かれている。狭義では、算術は自然数のみを扱う。^[4]しかし、より一般的な見解では、整数、有理数、実数、そして時には複素数の演算も算術の範囲に含める。^[5]算術を数値計算の分野に限定する定義もある。^{[6]より広い意味で理解すると、}数の概念がどのように発達したかの研究、数の特性と数同士の関係の分析、算術演算の公理的構造の検討も算術に含まれる。 ^[7]

算術は数論と密接に関連しており、一部の著者はこれらの用語を同義語として使用しています。^{[8]しかし、より具体的な意味では、数論は整数の研究に限定されており、}割り切れるかどうか、因数分解、素数かどうかなど、整数の性質と関係に焦点を当てています。^[9]伝統的に、数論は高等算術として知られています。^[10]

数字は量を数えたり大きさを測ったりするために使用される数学的対象です。すべての算術演算は数字に対して行われるため、数字は算術における基本的な要素です。数字にはさまざまな種類があり、それらを表す数値システムも異なります。 ^[11]

算術で使われる主な数の種類は、自然数、整数、整数、有理数、実数である。^[12]自然数は、1 から始まり無限大に至る整数である。0 と負の数は含まれない。自然数は計数数としても知られ、 と表すことができる。自然数の記号は である。^[a]整数は自然数と同一だが、0 を含む点が異なる。自然数は と表すことができ、記号は である。^{[14] [b]}数学者の中には、自然数の集合に 0 を含めることで自然数と整数を区別しない人もいる。^[16]整数の集合には、正と負の両方の整数が含まれる。記号は であり、 と表すことができる。^[17]${\displaystyle \{1,2,3,4,...\}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$

自然数と整数は、その使われ方に基づいて、基数と序数に区別することができます。1、2、3などの基数は、物体の量を表す数です。これらは「いくつあるか？」という質問に答えます。1番目、2番目、3番目などの序数は、一連の順序または位置を示します。これらは「どの位置にあるか？」という質問に答えます。^[18]

ある数が 2 つの整数の比として表せる場合、その数は有理数です。たとえば、有理数は分子と呼ばれる整数 1 を分母と呼ばれる整数 2 で割ることによって形成されます。他の例としては、や があります。有理数の集合には、分母が 1 である分数であるすべての整数が含まれます。有理数の記号は です。^{[19] 0.3 や 25.12 などの}小数は、分母が 10 の累乗であるため、有理数の特別な種類です。たとえば、0.3 は に等しく、25.12 は に等しいです。^[20]すべての有理数は、有限小数または循環小数に対応します。^{[21] [c]}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$${\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$

無理数は、2 つの整数の比では表せない数です。 無理数は、幾何学的な大きさを表すためによく使用されます。 たとえば、直角三角形の辺の長さが 1 の場合、その斜辺の長さは無理数 で表されます。πも無理数で、円の円周と直径の比を表します。^[22]無理数の 10 進数表現は、小数点の繰り返しがなく無限です。^[23]有理数の集合と無理数の集合は、実数の集合を構成します。実数の記号は です。^[24]さらに広い数のクラスには、複素数と四元数が含まれます。^[25]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

数字は数を表す記号であり、数字体系は表現の枠組みである。^[26]数字体系には通常、特定の数を直接示す基本数字が限られている。この体系は、これらの基本数字を組み合わせて任意の数を表す方法を規定している。^[27]数字体系には、位置に基づくものと非位置に基づくものがある。初期の数字体系はすべて非位置に基づくものであった。^[28]非位置に基づく数字体系では、数字の値は数字内の位置に依存しない。^[29]

最も単純な非位置システムは一進法である。これは数字の1を表す記号を1つだけ使用する。より大きな数字はすべてこの記号を繰り返すことで表す。例えば、数字の7は1を表す記号を7回繰り返すことで表すことができる。このシステムでは大きな数字を書くのが面倒なので、多くの非位置システムでは大きな数字を直接表すために追加の記号が含まれている。 [ ^30]一進法のバリエーションは、へこみを使ったタリースティックやタリーマークで使用されている。^[31]

エジプトの象形文字は、より複雑な非位置的数字体系を持っていました。10、100、1000、10,000などの数字の追加の記号があります。これらの記号を組み合わせて合計すると、より大きな数字をより便利に表現できます。たとえば、10,405の数字は、10,000の記号を1回、100の記号を4回、1の記号を5回使用します。同様のよく知られたフレームワークはローマ数字システムです。これは、1、5、10、50、100、500、1000の数字を表す基本数字として、記号I、V、X、L、C、D、Mを持っています。^[33]

複合式における基本数字の位置がその値を決定する場合、その数値システムは位置的である。位置的数値システムには、異なる位置の乗数として機能する基数がある。後続の各位置では、基数がより高いべき乗に上げられる。ヒンドゥー-アラビア数字システムとも呼ばれる共通十進法では、基数は10である。これは、最初の数字が で乗じられ、次の数字が で乗じられ、ということを意味する。たとえば、十進数532は を表す。数字の位置の影響により、数字532は同じ数字であるにもかかわらず、数字325や253とは異なります。^[34]${\displaystyle 10^{0}}$${\displaystyle 10^{1}}$${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}}$

コンピュータの演算で広く使用されているもう一つの位置記数法は、基数が2である2進法である。これは、最初の桁が で乗算され、次の桁が で乗算され、以下同様に続くことを意味する。たとえば、数字13は2進法では1101と書かれ、 を表す。コンピューティングでは、2進法の各桁は1ビットに対応する。^{[35]最も古い位置記数は}古代バビロニア人によって開発され、基数が60であった。^[36]${\displaystyle 2^{0}}$${\displaystyle 2^{1}}$${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$

算術演算は、数値を組み合わせたり、変換したり、操作したりする方法であり、数値を入力と出力の両方に持つ関数です。 ^[37]算術における最も重要な演算は、加算、減算、乗算、除算です。^[38]その他の演算には、累乗、平方根の抽出、対数などがあります。^[39]これらの演算が数値ではなく変数に対して実行される場合、代数演算と呼ばれることがあります。^[40]

算術演算に関する2つの重要な概念は、単位元と逆元である。演算の単位元または中立元は、別の要素に適用されても変化しない。例えば、加算の単位元は0である。なぜなら、ある数と0を足しても同じ数になるからである。逆元は、別の要素と組み合わせたときに単位元になる要素である。例えば、数6の加法逆元は、それらの合計が0なので-6である。^[41]

逆元だけでなく、逆演算も存在する。非公式な意味では、ある演算が別の演算の逆とは、最初の演算を元に戻す場合である。例えば、減算は加算の逆である。なぜなら、 のように、2 番目の数を最初に加算し、続いて減算すると、数は元の値に戻るからである。より正式に定義すると、演算「 」は、次の条件を満たす場合、演算「 」の逆である。の場合のみ。^[42]${\displaystyle 13+4-4=13}$${\displaystyle \star}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle t\star s=r}$${\displaystyle r\circ s=t}$

交換法則と結合法則は、いくつかの算術演算を実行する順序を規定する法則です。演算が交換法則であるとは、引数の順序を変更しても結果に影響がない場合です。これは加算の場合に当てはまります。たとえば、は と同じです。結合法則は、一連の演算を実行する順序に影響を与える規則です。演算が結合法則であるとは、2 つの演算の系列で、どちらの演算を最初に実行しても問題がない場合です。これは乗算の場合に当てはまります。たとえば、 はと同じです。^[43]${\displaystyle 7+9}$${\displaystyle 9+7}$${\displaystyle (5\times 4)\times 2}$${\displaystyle 5\times (4\times 2)}$

加算は、加数と呼ばれる2つの数を合計と呼ばれる1つの数に結合する算術演算です。加算の記号は です。例としては、と があります。^[44]加算という用語は、複数の加算を連続して実行する場合に使用されます。^[45]計数とは、1を連続して加算するタイプの繰り返し加算です。^[46]${\displaystyle +}$${\displaystyle 2+2=4}$${\displaystyle 6.3+1.26=7.56}$

減算は加算の逆です。減算では、減数と呼ばれる1つの数が、被減数と呼ばれる別の数から引かれます。この演算の結果は差と呼ばれます。減算の記号は です。^[47]例としては、と があります。減算は、加算の特殊なケースとして扱われることが多く、正の数を減算する代わりに、負の数を加算することもできます。たとえば です。これにより、計算を実行するために必要な基本的な算術演算の数を減らすことで、数学的な計算を簡素化できます。^[48]${\displaystyle -}$${\displaystyle 14-8=6}$${\displaystyle 45-1.7=43.3}$${\displaystyle 14-8=14+(-8)}$

加法的な単位元は0であり、数の加法的な逆元はその数の負の数である。例えば、およびである。加法は交換法則と結合法則の両方を満たす。^[49]${\displaystyle 13+0=13}$${\displaystyle 13+(-13)=0}$

乗算は、乗数と被乗数と呼ばれる2つの数を積と呼ばれる1つの数に結合する算術演算です。 [ ^{50] [d]}乗算の記号は、、、*です。例としては、およびがあります。被乗数が自然数の場合、乗算は繰り返し加算と同じです。^[52]${\displaystyle \times }$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle 2\times 3=6}$${\displaystyle 0.3\cdot 5=1.5}$${\displaystyle 2\times 3=2+2+2}$

割り算は掛け算の逆です。割り算では、被除数と呼ばれる 1 つの数が、除数と呼ばれる別の数によって複数の等しい部分に分割されます。この演算の結果は商と呼ばれます。割り算の記号はとです。例としてはと があります。^{[53]割り算は、多くの場合、掛け算の特殊なケースとして扱われます。つまり、ある数で割る代わりに、その}逆数を掛けることもできます。ある数の逆数は、1 をその数で割ったものです。たとえば、です。^[54]${\displaystyle \div}$${\displaystyle }}$${\displaystyle 48\div 8=6}$${\displaystyle 29.4/1.4=21}$${\displaystyle 48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}}$

乗法単位元は1であり、数の乗法逆数はその数の逆数である。例えば、およびである。乗法は交換法則と結合法則の両方を満たす。^[55]${\displaystyle 13\times 1=13}$${\displaystyle 13\time {\tfrac {1}{13}}=1}$

指数法は、ある数を底として、別の数を指数として累乗する算術演算である。この演算の結果は累乗と呼ばれる。指数法は記号 ^ を使って表されることもあるが、より一般的な方法は底の直後に上付き文字で指数を書くことである。例としては、や^ がある。指数が自然数の場合、指数法は のように繰り返し乗算と同じである。^{[56] [e]}${\displaystyle 2^{4}=16}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3=27}$${\displaystyle 2^{4}=2\times 2\times 2\times 2}$

根号は分数指数を使った特別なタイプの累乗です。例えば、ある数の平方根はその数を 累乗することと同じであり、ある数の立方根はその数を 累乗することと同じです。例としては、およびがあります。^[58]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3}$

対数は指数の逆です。数を底とする対数は、 を生成するために累乗しなければならない指数です。たとえば、 なので、1000 の 10 を底とする対数は 3 です。を底とする対数は と表されるか、括弧なしで と表されるか、文脈から底がわかる場合は明示的に底を指定しなくても と表されます。したがって、前の例は と書くことができます。^[59]${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1000=10^{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \log_{b}(x)}$${\displaystyle \log_{b}x}$${\displaystyle \log x}$${\displaystyle \log _{10}1000=3}$

累乗と対数には、加算や乗算のような一般的な単位元や逆元はありません。指数に対する指数の中立元は のように 1 です。しかし、1 は底の中立元ではないため、累乗には一般的な単位元はありません。^[60]累乗と対数は交換法則でも結合法則でもありません。^[61]${\displaystyle 14^{1}=14}$

学術文献では、さまざまな種類の算術システムが議論されています。それらは、演算対象となる数値の種類、数値を表現するために使用する数値システム、および数値以外の数学的対象に演算を適用するかどうかに基づいて互いに異なります。^[62]

整数演算は、正負の整数の操作を扱う算術の分野です。^[63]単純な1桁の演算は、加算表や乗算表のように、すべての可能な組み合わせの結果を示す表に従うか、暗記することで実行できます。他の一般的な方法としては、口頭で数えることや指で数えることがあります。^[64]

1桁以上の数字の演算では、1桁の演算を連続して行うことで、異なる手法で結果を計算できます。たとえば、繰り上がり加算法では、2つの数字を上下に書きます。右端の数字から始めて、各桁の数字を加算します。合計の右端の数字は、それらの下に書きます。合計が2桁の数字の場合は、左端の数字 (「繰り上がり」と呼ばれます) を次の左の桁の数字に追加します。このプロセスは、すべての数字が追加されるまで繰り返されます。^[65]整数の加算に使用されるその他の方法は、数直線法、部分和法、および補正法です。^[66]同様の手法が減算にも使用されます。これも右端の数字から始めて、1桁の減算の結果が負の場合は、左側の列に「借り」または負の繰り上がりを使用します。^[67]

整数の乗算の基本的な手法では、加算を繰り返します。たとえば、 の積はとして計算できます。^[68]大きな数の乗算によく使用される手法は、ロング乗算と呼ばれます。この方法は、まず乗数を被乗数の上に書きます。計算は、まず乗数を被乗数の右端の桁にのみ掛けて、右端の列から始めて結果を下に書きます。同じことを被乗数の各桁に対して行い、それぞれの場合の結果は 1 つ左にシフトします。最終ステップとして、すべての個々の積を加算して、2 つの多桁の数の合計積を求めます。^[69]乗算に使用されるその他の手法には、グリッド法とラティス法があります。^[70]コンピューターサイエンスでは、Karatsuba アルゴリズム、Schönhage-Strassen アルゴリズム、Toom-Cook アルゴリズムなど、非常に大きな整数を効率的に乗算できる計算複雑度の低い乗算アルゴリズムが注目されています。^[71]除算によく使われる手法は長除算と呼ばれる。他の方法としては短除算やチャンキングなどがある。^[72]${\displaystyle 3\times 4}$${\displaystyle 3+3+3+3}$

整数演算は除算に対して閉じていない。つまり、ある整数を別の整数で割った場合、結果は必ずしも整数ではない。例えば、7を2で割ると、整数ではなく3.5になる。^[73]結果が整数であることを保証する1つの方法は、結果を整数に丸めることである。しかし、この方法では元の値が変わるため不正確になる。 ^[74]別の方法は、除算を部分的にのみ実行し、余りを保持することである。例えば、7を2で割ると、3で余りは1になる。これらの困難は、分数の正確な表現を可能にする有理数演算によって回避される。^[75]

指数を計算する簡単な方法は、繰り返し乗算することです。たとえば、 の指数乗はとして計算できます。^[76]大きな指数に使用されるより効率的な手法は、を二乗する指数乗です。これは、計算をいくつかの二乗演算に分解します。たとえば、指数乗はと書くことができます。繰り返し二乗演算を利用すると、通常の繰り返し乗算に必要な 64 の演算ではなく、7 つの個別の演算のみが必要になります。^[77]対数を計算する方法には、テイラー級数と連分数があります。^[78]整数演算は対数と負の指数の指数に対して閉じていないため、これらの演算の結果は常に整数になるとは限りません。^[79]${\displaystyle 3^{4}}$${\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3}$${\displaystyle 3^{65}}$${\displaystyle (((((3^{2})^{2})^{2})^{2})^{2})^{2}\times 3}$

数論は、整数の構造と特性、および整数間の関係と法則を研究する。^[80]現代数論の主な分野には、初等数論、解析数論、代数数論、および幾何数論がある。^[81]初等数論は、初等的な方法を使用して調査できる整数の側面を研究する。そのトピックには、割り切れるかどうか、因数分解、素数性などがある。^[82]対照的に、解析数論は、解析学と微積分の手法に依存している。解析数論は、素数の分布や、すべての偶数は2つの素数の和であるという主張などの問題を検討する。^[83]代数的数論は、代数構造を使用して、数の特性と数間の関係を分析する。例としては、整数環のような代数的数体における体と環の使用がある。幾何数論は、幾何学の概念を使用して数を研究する。たとえば、整数座標を持つ格子点が平面内でどのように動作するかを検討する。^[84]数論のさらなる分野には、確率論の方法を採用する確率数論、^[85]組合せ論の分野に依存する組合せ数論、^{[86]計算手法を用いて数論の問題に取り組む}計算数論、^[87]物理学、生物学、暗号学などの分野への数論の応用を検討する応用数論がある。^[88]

数論における影響力のある定理には、算術の基本定理、ユークリッドの定理、フェルマーの最終定理がある。^[89]算術の基本定理によれば、1 より大きい整数はすべて素数であるか、素数の一意の積として表すことができる。たとえば、数18 は素数ではなく、 と表すことができ、これらはすべて素数である。対照的に、数 19 は、他に素因数分解できない素数である。^[90]ユークリッドの定理は、素数は無限に存在することを述べている。^[91]フェルマーの最終定理は、 が より大きい場合、方程式を解くために、、、および に正の整数値は見つからないという主張である。^[92]${\displaystyle 2\times 3\times 3}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2}$

有理数演算は、 2 つの整数の比として表される数値の操作を扱う算術の分野です。^[93]有理数に対するほとんどの算術演算は、関係する数値の分子と分母に対して一連の整数算術演算を実行することによって計算できます。2 つの有理数の分母が同じ場合は、分子を加算して共通の分母を維持することで加算できます。たとえば、 です。減算にも同様の手順が使用されます。2 つの数値の分母が同じでない場合は、共通の分母を見つけるために変換する必要があります。これは、最初の数値を 2 番目の数値の分母でスケーリングし、2 番目の数値を最初の数値の分母でスケーリングすることで実現できます。たとえば、 です。^[94]${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$

2つの有理数は、それぞれ分子と分母を掛け合わせることで掛け算されます。つまり、 です。ある有理数を別の有理数で割るには、最初の数に2番目の数の逆数を掛け合わせます。つまり、2番目の数の分子と分母の位置が入れ替わります。たとえば、 です。^[95]整数演算とは異なり、有理数演算は、除数が0でない限り、除算に対して閉じています。^[96]${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}}$

整数演算と有理数演算はどちらも、べき乗と対数に対して閉じていない。^[97]分数指数を使ったべき乗を計算する方法の1つは、2つの別々の計算を実行することである。1つは指数の分子を使ったべき乗で、次に指数の分母に基づいて結果のn乗根を求める。たとえば、。最初の演算は、繰り返し乗算や2乗によるべき乗などの方法を使用して完了できます。2番目の演算のおおよその結果を得る1つの方法は、ニュートン法 を使用することです。これは、一連の手順を使用して、初期推定値を徐々に精緻化し、必要な精度レベルに達するまで続ける方法です。^[98]テイラー級数または連分数法は、対数の計算に利用できます。^[99]${\displaystyle 5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$

小数表記は、分母が10の累乗である有理数を表す特別な方法です。たとえば、有理数、、 は、小数表記では0.1、3.71、0.0044と表記されます。^[100]繰り上がり加算や長倍算などの整数計算方法の修正版を小数を使った計算に適用することができます。^[101]すべての有理数が小数表記で有限表現できるわけではありません。たとえば、有理数は無限個の3を持つ0.333...に相当します。このタイプの循環小数の短縮表記は0.3です。^[102]すべての循環小数は有理数を表します。^[103]${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$${\displaystyle {\tfrac {371}{100}}}$${\displaystyle {\tfrac {44}{10000}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

実数演算は、有理数と無理数の両方を扱う演算の分野です。無理数とは、2のルートやπのように、分数や反復小数では表現できない数です。^[104]有理数演算とは異なり、実数演算は、その底として正の数を使用する限り、累乗に対して閉じています。同じことは、対数の底が正であり1でない限り、正の実数の対数にも当てはまります。^[105]

無理数は、繰り返されない無限の 10 進数の連続です。このため、やなどの算術演算の結果を表現する簡単で正確な方法がないことがよくあります。^[106]絶対精度が必要ない場合は、実数の算術演算を計算する問題は通常、切り捨てまたは丸めによって対処されます。切り捨てでは、左端の特定の桁が保持され、残りの桁は破棄されるかゼロに置き換えられます。たとえば、数π は、3.14159... から始まる無限の桁数を持ちます。この数を小数点以下 4 桁に切り捨てると、結果は 3.141 になります。丸めは同様のプロセスであり、次の桁が 5 以上の場合は最後に保持された桁が 1 つ増やされ、次の桁が 5 未満の場合は同じままになります。そのため、丸められた数は、元の数値の指定された精度の最良の近似値になります。例えば、πを小数点以下4桁に丸めると、次の数字が5なので3.142となり、3.142は3.141よりもπに近い。 ^[107]これらの方法により、コンピュータは実数の近似計算を効率的に実行できる。^[108]${\displaystyle {\sqrt {2}}+\pi }$${\displaystyle e\cdot {\sqrt {3}}}$

科学と工学において、数値は測定やモデリングから得られた物理量の推定値を表します。πや⁠⁠などの数学的に正確な数値とは異なり、科学的に関連する数値データは本質的に不正確であり、ある程度の測定の不確実性を伴います。^[109]各数値の値についての確実性の度合いを表現し、誤った精度を避ける基本的な方法の1つは、各測定値を、正確であると暗示される有効数字と呼ばれる特定の桁数に丸めることです。たとえば、巻尺で測定された人の身長は、最も近いセンチメートルまでしか正確にはわからないため、1.6217メートルではなく1.62メートルと表す必要があります。ヤードポンド法に変換する場合、この量は、測定の精度を明確に伝えるために、63.7795インチではなく、64インチまたは63.8インチに丸める必要があります。通常の10進法で数値が表記される場合、先頭のゼロは意味を持たず、小数点を使わずに表記された数値の末尾のゼロは暗黙的に意味を持たないものとみなされる。^[110]たとえば、0.056 と 1200 はそれぞれ有効桁数が 2 桁しかないが、40.00 は有効桁数が 4 桁である。有効桁数のみを使用して不確実性を表すことは、直感に反する微妙な点を伴い、比較的粗雑な方法である。概算誤差の推定値または上限を明示的に追跡することは、より洗練されたアプローチである。^{[111]この例では、人物の身長は}1.62 ± 0.005メートルまたは63.8 ± 0.2 インチと表される可能性がある。^[112]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

不確実な量を計算する場合、不確実性は計算される量に伝播されるべきである。2つ以上の量を加算または減算する場合、各加数の絶対不確実性を加算して、合計の絶対不確実性を得る。2つ以上の量を乗算または除算する場合、各因子の相対不確実性を加算して、積の相対不確実性を得る。 ^[113]不確実性を有効数字で表す場合、2つ以上の量を加算または減算した結果を加数の中で最も左側の最後の有効小数点に丸め、2つ以上の量を乗算または除算した結果を因子の中で最も小さい有効桁数に丸めることによって、不確実性を大まかに伝播させることができる。^{[114] （} 「有効数字 § 算術」を参照。）

不確実な値を扱うより洗練された方法として、区間演算とアフィン演算がある。区間演算は、区間上の演算を説明する。例えば測定誤差のために正確な大きさが分からない場合に、区間を使用して値の範囲を表すことができる。区間演算には、やのように、区間上の加算や乗算などの演算が含まれる。^[115]これはアフィン演算と密接に関連しており、アフィン演算は、区間ではなくアフィン形式で計算を実行することで、より正確な結果を得ることを目指している。アフィン形式は、数値と、その数値が実際の大きさからどの程度逸脱するかを説明する誤差項を組み合わせたものである。^[116]${\displaystyle [1,2]+[3,4]=[4,6]}$${\displaystyle [1,2]\times [3,4]=[3,8]}$

数値の精度は、正規化された科学的記数法を使用して一様に表現できます。これは、1 よりはるかに大きいまたは小さい数を簡潔に表す場合にも便利です。科学的記数法を使用すると、数は、仮数と呼ばれる 1 から 10 までの数と、指数 と呼ばれる 10 の整数乗との積に分解されます。仮数は、数の有効数字で構成され、先頭の数字 1 から 9 の後に小数点と数字 0 から 9 のシーケンスが続く形で記述されます。たとえば、数 8276000 の正規化された科学的記数法では、仮数 8.276 と指数 6 が使用され、数 0.00735 の正規化された科学的記数法では、仮数 7.35 と指数 -3 が使用されることになります。^[117]通常の10進表記では大きな数の末尾のゼロは暗黙的に意味を持たないものとみなされるが、科学的表記では仮数部のすべての桁が意味を持つものとみなされ、末尾のゼロを追加すると精度が上がる。例えば、1200という数字は暗黙的に有効桁数が2桁しかないが、⁠ ⁠という数字は明示的に有効桁数が3桁である。^[118]${\displaystyle 8.276\times 10^{6}}$${\displaystyle 7.35\times 10^{-3}}$${\displaystyle 1.20\times 10^{3}}$

コンピュータが実数演算を近似するために使用する一般的な方法は、浮動小数点演算と呼ばれます。これは、科学的記数法に似た実数を、仮数部、底、指数の 3 つの数値で表します。^[119]仮数の精度は、それを表現するために割り当てられたビット数によって制限されます。算術演算の結果、使用可能なビット数よりも多くのビットを必要とする数値になった場合、コンピュータは結果を最も近い表現可能な数値に丸めます。これにより、丸め誤差が発生します。^[120]この動作の結果として、浮動小数点演算は特定の算術法則に違反します。たとえば、浮動小数点加算は結合的ではありません。これは、導入される丸め誤差が加算の順序に依存する可能性があるためです。つまり、の結果は、の結果と異なる場合があることを意味します。^{[121]浮動小数点演算に使用される最も一般的な技術標準は、} IEEE 754と呼ばれます。とりわけ、数値の表現方法、算術演算と丸めの実行方法、エラーと例外の処理方法を決定します。^[122]計算速度が制限要因でない場合は、計算の精度がコンピュータのメモリによってのみ制限される任意精度算術を使用することが可能です。 ^[123]${\displaystyle (a+b)+c}$${\displaystyle a+(b+c)}$

算数の形式は、計算を行うために用いられる道具によっても区別することができ、通常のペンと紙の使用以外にも多くのアプローチが含まれる。暗算は、外部の道具を使わず、心のみに頼る。代わりに、視覚化、記憶、​​および特定の計算技術を利用して算数の問題を解く。^[124]そのような技術の1つが補償法であり、これは計算を容易にするために数字を変更し、その後結果を調整するというものである。たとえば、 を計算する代わりに、端数を使用する方が簡単かどうかを計算する。次のステップでは、結果に加算して、以前の調整を補償する。^[125]暗算は、生徒の数的能力を訓練するために初等教育でよく教えられている。^[126]${\displaystyle 85-47}$${\displaystyle 85-50}$${\displaystyle 3}$

人間の身体も計算の道具として使うことができる。指を使って数えることは、幼児に数字や簡単な計算を教えるためによく使われる。最も基本的な形式では、伸ばした指の数が表す量に対応し、足し算や引き算などの算術演算は指を伸ばしたり引っ込めたりすることで行われる。このシステムは小さな数に限られているが、より高度なシステムではより大きな量を表すために異なるアプローチが採用されている。^[127]人間の声は、言葉で数える際の計算補助として使われる。^[128]

集計記号は、身体以外の外部ツールに基づく単純なシステムです。数量を記録するために、表面に描かれた線または木の棒の刻み目に依存します。集計記号のいくつかの形式では、読みやすくするために、線が5つのグループに配置されています。 ^[129]そろばんは、数値を表し、計算を実行するより高度なツールです。そろばんは通常、いくつかのビーズが付いた一連の棒で構成されています。各ビーズは数量を表し、ビーズを棒の一方の端からもう一方の端に移動すると、数量が数えられます。計算は、最終的なビーズのパターンで結果が明らかになるまで、ビーズの位置を操作することによって行われます。^[130]関連する補助具には、置かれたボード上の領域によって値が決まるトークンを使用するカウンティングボード^[131]や、異なる数を表すために水平方向と垂直方向のパターンに配置されたカウンティングロッドがあります。 [ ^{132] [f]扇形} 計算尺と計算尺は、異なるスケール間の幾何学的関係を利用して基本的な算術演算と高度な算術演算の両方を実行する、より洗練された計算機器です。 [ ^{134] [g]印刷された表は、対数や}三角関数などの演算結果を調べるための補助として特に適しています。^[136]

機械式計算機は、手動の計算プロセスを自動化します。ダイヤルを回したり、キーを押したりして数字を入力するための何らかの入力デバイスをユーザーに提供します。計算を実行し、結果を表示するために、通常はギア、レバー、ホイールで構成される内部機構が含まれています。 ^[137]電子計算機やコンピューターの場合、この手順は、機械部品をマイクロプロセッサなどの電子回路に置き換えることでさらに洗練され、電気信号を組み合わせて変換して計算を実行します。^[138]

他にも多くの種類の算術があります。モジュラー算術は有限の数値集合に対して行われます。演算の結果、この有限集合外の数値になった場合、その数値は集合内に戻されます。これは時計の針が一周期を終えた後、再び最初から動き出すのと似ています。この調整が行われる数値はモジュラスと呼ばれます。たとえば、通常の時計のモジュラスは 12 です。4 に 9 を足した場合、結果は 13 ではなく 1 になります。同じ原理は、減算、乗算、除算などの他の演算にも適用されます。^[139]

算術のいくつかの形式は、数値以外の数学的対象に対して実行される演算を扱います。区間算術は区間に対する演算を記述します。^{[140]ベクトル算術と行列算術は、}ベクトル加算や行列乗算など、ベクトルと行列に対する算術演算を記述します。^[141]

算術システムは、それが依存する数値システムに基づいて分類することができます。たとえば、10進算術は10進法による算術演算を表します。他の例としては、 2進算術、8進算術、16進算術があります。 ^[142]

複合単位演算は、複合単位を持つ量に対して実行される算術演算を表します。これには、単一単位量と複合単位量の間の変換を制御するための追加の演算が含まれます。たとえば、減算演算は、複合量1時間90分を単一単位量150分に変換するために使用されます。^[143]

非ディオファントス算術は、伝統的な算術的直感に反する算術体系であり、およびのような方程式が含まれる。[ ^144]これらは、現代物理学や日常生活におけるいくつかの現実世界の状況を表すために使用できる。たとえば、方程式は、1つの雨滴を別の雨滴に追加すると、2つの別々の実体ではなく1つになるという観察を説明するために使用できる。^[145]${\displaystyle 1+1=1}$${\displaystyle 2+2=5}$${\displaystyle 1+1=1}$

算術の公理的基礎は、公理と呼ばれる法則の小さな集合を提供し、そこから数値の基本的な性質と演算を導き出そうとするものである。これらは、数学的証明を厳密に定式化するために使用できる、論理的に一貫性のある体系的な枠組みを構成する。よく知られている2つのアプローチは、デデキント・ペアノ公理と集合論的構成である。^[146]

デデキント・ペアノ公理は、自然数の算術の公理化を提供する。その基本原理は、リチャード・デデキントによって最初に定式化され、後にジュゼッペ・ペアノによって洗練されました。0、自然数、後続数などの少数の基本的な数学概念のみに依存しています。^[h]ペアノ公理は、これらの概念が互いにどのように関連しているかを決定します。他のすべての算術概念は、これらの基本概念に基づいて定義できます。^[147]

1. 0は自然数です。
2. すべての自然数には、後続の数も自然数として存在します。
3. 2 つの異なる自然数の次数は決して同一ではありません。
4. 0 は自然数の後続数ではありません。
5. 集合に0とそれに続くすべての数が含まれる場合、その集合にはすべての自然数が含まれる。^{[148] [i]}

0より大きい数は、後続関数を繰り返し適用することで表現されます。たとえば、はであり、はです。算術演算は、後続関数の適用方法に影響を与えるメカニズムとして定義できます。たとえば、任意の数に加算することは、この数に後続関数を2回適用することと同じです。^[150]${\displaystyle s}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle s(0)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle s(s(s(0)))}$${\displaystyle 2}$

算術のさまざまな公理化は集合論に依存している。それらは自然数をカバーするが、整数、有理数、および実数にも拡張できる。各自然数は一意の集合によって表される。0 は通常、空集合 として定義される。後続の各数は、前の数と、前の数を含む集合との和集合として定義できる。たとえば、、、および。[ ^151]整数は、 2 番目の数が最初の数から減算される自然数の順序付きペアとして定義できる。たとえば、ペア (9, 0) は数 9 を表し、ペア (0, 9) は数 -9 を表す。^[152]有理数は、最初の数が分子を表し、2 番目の数が分母を表す整数のペアとして定義される。たとえば、ペア (3, 7) は有理数 を表す。^{[153]実数を構築する 1 つの方法は、}デデキント切断の概念に依存している。このアプローチによれば、各実数はすべての有理数を2つの集合に分割して表され、1つは表される実数以下のすべての数、もう1つは残りの数を表す。 ^[154]算術演算は、入力数を表す集合に対してさまざまな集合論的変換を実行して、結果を表す集合に到達する関数として定義される。^[155]${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{0\}}$${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0,1\}}$${\displaystyle 3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$

算数の最も古い形態は、数量を記録するために使用された数え上げや集計記号にまで遡ることがあります。一部の歴史家は、レボンボの骨（約43,000年前）とイシャンゴの骨（約22,000～30,000年前）が最古の算術遺物であると主張していますが、この解釈には異論があります。^[156]しかし、基本的な数感覚はこれらの発見よりも古く、言語の発達以前に存在していた可能性もあります。^[157]

古代文明の出現により、紀元前3000年頃から、より複雑で構造化された算術のアプローチが発展し始めました。これは、保管品の追跡、土地の所有権の管理、交換の手配の必要性が高まったために必要になりました。^[158]すべての主要な古代文明は、数字の表現を容易にするために、非位数記数法を開発しました。また、加算や減算などの演算用の記号があり、分数を認識していました。例としては、エジプトの象形文字や、シュメール、中国、インドで発明された記数法があります。^[159]最初の位数記数法は、紀元前1800年頃からバビロニア人によって開発されました。これは、大きな数の表現とその計算をより効率的にしたため、以前の記数法よりも大幅に改善されました。 ^[160] そろばんは、複雑な計算を効率的に行うための手段として、古代から手動の計算ツールとして利用されてきました。^[161]

初期の文明では、数字は主に商業活動や納税記録などの具体的な実用目的で使用されていましたが、数字自体の抽象的な概念は欠けていました。^{[162]これは、}古代ギリシャの数学者によって変化しました。彼らは、数字が特定の問題にどのように適用されるかを研究するのではなく、数字の抽象的な性質を探求し始めました。 ^[163]もう1つの新しい特徴は、数学的な真実を確立し、理論を検証するために証明を使用したことです。 [164] さらなる貢献は、偶数、奇数、素数など、さまざまな数のクラスを区別したことです。^{[165]これには、特定の幾何学的長さの数が}無理数であり、したがって分数として表すことができないという発見が含まれていました。 ^[166]紀元前7世紀と6世紀のミレトスのタレスとピタゴラスの著作は、ギリシャ数学の始まりと見なされることが多いです。 ^[167]ディオファントスは数論への多大な貢献と代数方程式への算術演算の応用の研究により、紀元前3世紀のギリシャの算術において影響力のある人物であった。^[168]

古代インド人は、計算に使う数字としてゼロの概念を最初に考案した。その正確な演算規則は、紀元628年頃にブラフマグプタによって書き留められた。 ^[169]ゼロまたはゼロの概念はそれ以前から存在していたが、算術演算の対象とは考えられていなかった。^{[170]ブラフマグプタはさらに、}負の数を使った計算と、それを信用や負債などの問題に適用することについて詳細な議論を行った。 ^[171]負の数の概念自体はかなり古く、紀元前1千年紀に中国の数学で初めて研究された。 ^[172]

インドの数学者は、今日使用されている位置十進法、特に空の位置や欠けている位置の代わりにゼロの数字という概念も開発しました。^[173]たとえば、その演算の詳細な処理は、西暦6世紀初頭頃にアリヤバータによって提供されています。 ^{[174]インドの十進法は}、イスラムの黄金時代に、アル＝フワーリズミーなどのアラブの数学者によってさらに洗練され、非整数に拡張されました。彼の研究は、当時ローマ数字システムに依存していた西洋世界に十進記数法を紹介する上で影響力がありました。^[175]そこで、12世紀から13世紀にかけて生きたレオナルド・フィボナッチなどの数学者によって普及されました。フィボナッチ数列も開発しました。^[176]中世からルネサンスにかけて、商業の実用的な計算を網羅した多くの一般的な教科書が出版されました。^[177] 16世紀、数学者ジェロラモ・カルダーノは三次方程式を解く方法として複素数の概念を考案した。^[178]

最初の機械式計算機は17世紀に開発され、ブレーズ・パスカルの計算機やゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの段階式計算機など、複雑な数学計算を大幅に容易にしました。^{[180] 17世紀には、}ジョン・ネイピアによる対数の発見もありました。^[181]

18世紀と19世紀には、レオンハルト・オイラーやカール・フリードリヒ・ガウスなどの数学者が現代の数論の基礎を築きました。^{[182]この時期のもう一つの発展は、}ゲオルク・カントールの集合論や自然数算術の公理化として使われるデデキント・ペアノの公理など、算術の形式化と基礎に関する研究でした。 ^[183] ​​ コンピュータと電子計算機は20世紀に初めて開発されました。それらの広範な使用により、複雑な算術計算でさえも計算できる精度と速度の両方に革命が起こりました。^[184]

算数教育は初等教育の一部です。これは、子供たちが最初に出会う数学教育の1つです。初等算数の目的は、生徒に基本的な数の感覚を与え、加算、減算、乗算、除算などの基本的な数値演算に慣れさせることです。^{[185]通常、}ビーズを数える、クラスを同じサイズの子供たちのグループに分ける、商品を購入するときにお釣りを計算するなどの具体的なシナリオに関連して導入されます。初期の算数教育でよく使用されるツールは、数直線、加算表と乗算表、数えブロック、そろばんなどです。 ^[186]

後の段階では、より抽象的な理解に焦点を当て、負の数、分数、実数、複素数などのさまざまな種類の数を学生に紹介します。さらに、指数、根の抽出、対数などのより高度な数値演算をカバーします。^[187]また、幾何学的形状の記述への応用や代数における変数の使用など、算術演算が数学の他の分野でどのように使用されているかを示します。もう1つの側面は、複雑な算術問題を解くためのアルゴリズムと計算機の使用を学生に教えることです。 ^[188]

算数の心理学は、人間や動物が数字について学び、それを表現して、計算に使用する方法に興味を持っています。数学の問題がどのように理解され解決されるか、また算数の能力が知覚、記憶、判断、意思決定とどのように関連しているかを調べます。^[189]たとえば、具体的なアイテムの集合が知覚で最初にどのように遭遇し、その後どのように数字と関連付けられるかを調べます。^[190]さらに別の研究分野は、数値計算と表現を形成するための言語の使用との関係に関するものです。^[191]心理学は、生来の能力としての算数の生物学的起源も探究します。これは、世界をうまく表現し、空間ナビゲーションなどのタスクを実行するために必要な算術のような操作を実行する、言語以前および記号以前の認知プロセスに関するものです。^[192]

心理学で研究されている概念の1つに数的リテラシーがある。これは、数値概念を理解し、それを具体的な状況に適用し、推論する能力である。これには、基本的な数感覚と、量を推定および比較する能力が含まれる。さらに、数体系で数字を記号的に表す能力、数値データを解釈する能力、算術計算を評価する能力も含まれる。^{[193]数的リテラシーは、多くの学術分野で重要なスキルである。数的リテラシーの欠如は、学業の成功を妨げ、}住宅ローン計画や保険契約を誤解するなど、日常生活で誤った経済的決定につながる可能性がある。^[194]

算術の哲学は、数と算術演算の基礎となる基本的な概念と原理を研究する。数の性質と存在論的地位、算術と言語および論理との関係、そして算術知識を獲得する方法を探求する。^[195]

プラトン主義によれば、数は心から独立した存在であり、時空の外に抽象的対象として存在し、因果関係を持たない。 ^{[196] [j]}この見解は、数学的対象は精神的構築物であると主張する直観主義者によって否定されている。^[198]さらに、数学的真理は論理的真理に還元できると主張する論理主義や、^[199]形式主義という理論があり、数学的原理は記号を操作する規則であり、規則が支配する活動の外部の実体に対応するとは主張しない。^[200]

算数の認識論において伝統的に支配的な見解は、算数の真理は先験的に知ることができるというものである。これは、感覚的経験に頼る必要なしに思考だけで知ることができることを意味する。^[201]この見解の支持者の中には、算数の知識は生得的であると主張する者もいれば、数学的真理を把握できる何らかの形の合理的直観が存在すると主張する者もいる。 ^[202]より最近の代替見解は、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインのような自然主義哲学者によって示唆され、彼らは数学的原理は最終的には経験科学によって記述される感覚的世界に根ざした高レベルの一般化であると主張している。^[203]

算術は多くの分野に関連しています。日常生活では、買い物の際のお釣りを計算したり、個人の財務を管理したり、人数に合わせて料理のレシピを調整したりする必要があります。ビジネスでは、損益を計算したり、市場動向を分析したりするために算術を使用します。工学分野では、数量を測定したり、荷重や力を計算し、構造を設計したりするために算術が使用されます。^[204] 暗号化は、算術演算を利用してデータやメッセージを暗号化することで機密情報を保護します。 ^[205]

算術は、数値演算に依存する数学の多くの分野と密接に関係しています。代数学は、変数を使用して方程式を解くために算術原理に依存しています。これらの原理は、変化率や曲線の下の領域を決定するための微積分においても重要な役割を果たします。幾何学では算術演算を使用して図形の特性を測定し、統計学では数値データを分析するために算術演算を使用します。^[206]算術演算は数学全体で関連性があるため、算術の影響は物理学、コンピューターサイエンス、経済学などのほとんどの科学に及んでいます。これらの演算は計算、問題解決、データ分析、アルゴリズムに使用され、科学研究、技術開発、経済モデル化に不可欠なものとなっています。^[207]

• アルゴリズム
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