双曲四元数

抽象代数学において、双曲四元数の代数は、実数上の非結合代数であり、その要素は次の形式である。

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} \!}$

ここで、i、j、kの2乗は+1であり、{i、j、k}の異なる要素は反交換法則に従って乗算される。

双曲四元数の4次元代数は、より古く規模の大きい双四元数の代数の特徴の一部を取り入れています。どちらも、分割複素数平面と同型な部分代数を含んでいます。さらに、四元数代数Hが複素平面の和集合と見なせるのと同様に、双曲四元数代数も同じ実数直線を共有する分割複素数平面の束となります。

この概念を1890年代に提唱したのはアレクサンダー・マクファーレンであり、彼はまず1891年にアメリカ科学振興協会を通じて、次に1894年に5つの論文をまとめた著書『空間解析』を通じて、そして1900年にはリーハイ大学で一連の講義を通して、この概念を広めた。

四元数と同様に、双曲四元数の集合は実数上の4次元ベクトル空間を形成する。線形結合

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

双曲四元数であるとき ${\displaystyle a,b,c,}$そして${\displaystyle d}$は実数であり、基底セットは${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$以下の製品を取り扱っています。

${\displaystyle ij=k=-ji}$

${\displaystyle jk=i=-kj}$

${\displaystyle ki=j=-ik}$

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=+1}$

分配法則を用いると、これらの関係式を使って任意の2つの双曲四元数を乗算することができる。

通常の四元数とは異なり、双曲四元数は結合法則を満たしません。例えば、${\displaystyle (ij)j=kj=-i}$、 その間${\displaystyle i(jj)=i}$実際、この例は双曲四元数が代替代数ですらないことを示している。

最初の3つの関係式は、（非実数）基底要素の積が反可換であることを示している。この基底集合は群を形成しないが、集合は

${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

ループ、すなわち単位元を持つ準群を形成する。また、双曲四元数の集合Mの実軸を含む任意の部分平面は、分裂複素数の平面を形成することにも注意する。

${\displaystyle q^{*}=a-bi-cj-dk}$

は共役です${\displaystyle q}$すると製品は

${\displaystyle q(q^{*})=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}$

これは時空理論で使用される二次形式です。実際、事象pとqに対して、双線形形式

${\displaystyle \eta (p,q)=-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}}$

双曲四元数積pq *の実部の負として生じ、ミンコフスキー空間で使用されます。

単位元の集合U = { q  : qq * ≠ 0 } は乗法に関して閉じていないことに注意してください。詳細は参考文献（外部リンク）を参照してください。

双曲四元数は非結合環を形成する。この代数における結合性の破綻は、変換理論におけるこの代数の有用性を制限している。それにもかかわらず、この代数は数学モデルを提案することで解析的運動学に焦点を当てた。双曲四元数で単位ベクトルrを選択すると、r ² = +1 となる。平面${\displaystyle D_{r}=\lbrace t+xr:t,x\in R\rbrace }$双曲四元数乗算は、分割複素数平面と同型な可換かつ結合的な部分代数である。双曲ベクトル${\displaystyle \exp(ar)=\cosh(a)+r\sinh(a)}$D _rを変換します

${\displaystyle {\begin{aligned}t+xr&&\mapsto \quad &\exp(ar)(t+xr)\\&&=\quad &(\cosh(a)t+x\sinh(a))+(\sinh(a)t+x\cosh(a))r.\end{aligned}}}$

空間における方向rは任意であるため、この双曲四元数乗算は、ラピディティと呼ばれるパラメータaを用いて任意のローレンツブーストを表現できます。ただし、双曲四元数代数は、完全なローレンツ群を表現するには不十分です（代わりに双四元数を参照してください）。

1967年に1890年代のベクトル法に関する議論について書いた歴史家のマイケル・J・クロウは、次のようにコメントした。

マクファーレンのシステムのような妥協案であっても、別のベクトル解析システムの導入は、既存のシステムの支持者から歓迎されることはほとんどなく、さらに、おそらくまだ知識のない読者の理解を超えて問題を広げる結果となっただろう。^{[ 1 ]}

その後、マクファーレンは1900年にエジンバラ王立協会紀要に論文を発表した。その中で彼は双曲面上の双曲空間H3のモデルを扱っている^。

${\displaystyle H^{3}=\{q\in M:q(q^{*})=1\}.}$

この等方性モデルは双曲面モデルと呼ばれ、双曲四元数の環内のすべての双曲ベクトルから構成される。

1890年代は、ソフス・リーの連続群の影響を強く受けた。1パラメータ群の一例として、双曲角パラメータを持つ双曲ヴェルソルが挙げられる。このパラメータは、分割複素数の極分解の一部である。しかし、双曲四元数環を他と区別する、有限数学の驚くべき側面がある。

基礎${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$双曲四元数のベクトル空間は乗算に関して閉じていない。例えば、${\displaystyle ji=-\!k}$それにもかかわらず、セットは${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k,\,-\!1,\,-\!i,\,-\!j,\,-\!k\}}$乗法に関して閉じている。結合法則を除く抽象群のすべての性質を満たし、有限であるため、ラテン方陣または準群、周辺的な数学的構造である。準群理論に見られる乗法の結合法則の喪失は、すべての線形変換が結合的に合成されるため、線形代数とは矛盾する。しかし、1890年代には物理学者たちが平方の変異を提唱していた。${\displaystyle i}$、${\displaystyle j}$、 そして${\displaystyle k}$である${\displaystyle +1}$の代わりに${\displaystyle -1}$ イェール大学の物理学者ウィラード・ギブスは、自身の3次元ベクトルシステムにプラス1の平方数を加えたパンフレットを出版した。^{[ 2 ]}イギリスのオリバー・ヘヴィサイドは、業界紙「エレクトリシャン」に正の平方数を提唱するコラムを執筆した。1892年、彼はその研究成果を「王立協会紀要A」にまとめた^{[ 3 ]。}そこで彼は自身のベクトルシステムが

四元数を用いずに四元数の要素を表し、表記法を極限まで簡略化し、スカラー積の前の非常に不便なマイナス符号をなくした。

マクファーレンの双曲四元数の出現にはそれなりの動機があったものの、不快な非結合性が反発を招いた。カーギル・ギルストン・ノットは次のような意見を述べるに至った。

定理（ノット^{[ 4 ]} 1892）

基底の4代数の場合${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$結合法則が成り立ち、非対角積がハミルトンの規則で与えられるならば、${\displaystyle i^{2}=-\!1=j^{2}=k^{2}}$。

証拠：

${\displaystyle j=ki=(-ji)i=-j(ii)}$、 それで${\displaystyle i^{2}=-1}$文字を順番に表示します${\displaystyle i}$、${\displaystyle j}$、${\displaystyle k}$取得する${\displaystyle i^{2}=-1=j^{2}=k^{2}}$証明終了。

この定理は、2x2 実数行列の積を記述したWK クリフォードの『Elements of Dynamic』（1978 年）の欠陥を明らかにした。 ^{[ 5 ]}そのシステムでは、いくつかの基底正方形は正の単位元であるが、クリフォードは正方形の対称群ではなく、四元数群のように乗算される異なる基底要素を持っていた。この定理は、物理学者や電気技師の呼びかけに対する抵抗を正当化した。準群は 1890 年代に大きな波紋を呼んだ。特に、ネイチャー誌は、ノットの研究の要約 2 つと他の数人のベクトル理論家の研究の要約 1 つを掲載することで、既知の事柄を示すのに好都合だった。マイケル J. クロウは、著書『A History of Vector Analysis』の第 6 章をさまざまな発表された見解に捧げ、双曲四元数について言及している。

マクファーレンは、四元数システムよりもギブス・ヘヴィサイドシステムにより調和した新しいベクトル解析システムを構築した。…彼は…2つのベクトルの完全な積を定義したが、これはスカラー部分が古いシステムのように負ではなく正である点を除いて、完全な四元数積に匹敵するものであった。^{[ 1 ]}

1899年、チャールズ・ジャスパー・ジョリーは双曲四元数と非結合性の性質に注目し^{[ 6 ]、}その起源をオリバー・ヘヴィサイドに帰した。

双曲四元数は、物理学の代数として、通常の四元数が物理学に関して主張していたことを覆しました。数学に関しては、双曲四元数は、当時そのような構造が呼ばれていた別の超複素数です。1890年代までに、リヒャルト・デデキントは可換代数に環の概念を導入し、ベクトル空間の概念はジュゼッペ・ペアノによって抽象化されていました。1899年、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは包括性を提唱し、普遍代数を推進しました。準群と体上の代数の概念は、双曲四元数を記述する数学的構造の例です。

エジンバラ王立協会紀要は1900年に「双曲四元数」という論文を発表した。この論文の中で、マクファーレンは複素四元数に戻ることで乗法の結合法則を回復した。その際、彼は後にヴォルフガング・パウリによって有名になったいくつかの表現を用いた。マクファーレンは次のように書いている。

${\displaystyle ij=k{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle jk=i{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle ki=j{\sqrt {-1}},}$

パウリ行列は以下を満たす

$\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{3}{\sqrt {-1}}}$

$\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{1}{\sqrt {-1}}}$

$\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{2}{\sqrt {-1}}}$

同じ複素化された四元数を参照しながら。

論文の冒頭の文は「四元数が球面三角法と密接に関係していることはよく知られており、実際、四元数によってこの分野は代数学の一分野に還元される」である。この記述は、ドット積とクロス積に基づく縮約四元数システムを扱う現代の著作『ベクトル解析』を参照することで検証できる。マクファーレンの論文では、双曲四元数の代数を通して「正双曲面の表面上の三角法」を生成しようとする試みがなされており、これは現在、8次元の結合環で再識別されている。この試みは、181ページの9つの図によって強化されている。これらの図は、彼の「空間解析」方法の記述力を示している。例えば、図7は、今日特殊相対性理論で参照系の速度変化と同時性の相対性を議論するために用いられる一般的なミンコフスキー図である。

173ページで、マクファーレンは自身の四元数変数に関するより詳細な理論を展開している。対照的に、フェリックス・クラインは四元数と空間回転の理論を超えて考察しようとしていないように見えると指摘している。