リベル・アバカ

Liber AbaciまたはLiber Abbaci ^[1]（ラテン語で「計算の書」）は、レオナルド・ディ・ピサ（死後フィボナッチとして知られる）が1202年に著したラテン語の算術書である。ヨーロッパでアラビア数字を普及させたことで有名である。

『算盤の書』は、ヒンドゥー・アラビア数字体系を解説し、現代の「アラビア数字」に似た記号を使用した最初の西洋書の一つである。商人や数学者の両方の用途を取り上げることで、この体系の優位性とこれらの記号の使用を促進した。 ^[2]

この本の題名は「そろばんの書」と訳されることもあるが、シグラー（2002）は、これを「そろばん」と呼ばれる計算器具を指すと読むのは誤りだと指摘している。むしろ、「そろばん」という言葉は当時、あらゆる形式の計算を指すのに使われていた。「abbacus」という綴りは「b」を2つ使う（レオナルドがラテン語の原本で綴った綴り）もので、イタリアでは今でも、混乱を避けることができるヒンドゥー・アラビア数字を使った計算を指すのに使われている。この本ではそろばんを使わずに計算を行う方法が説明されており、オーレ（1948）が確認しているように、出版後数世紀にわたり、アルゴリズム主義者（ 『そろばんの書』で示された計算スタイルの信奉者）とそろばん主義者（ローマ数字と組み合わせてそろばんを使い続けた伝統主義者）は対立し続けた。数学史家カール・ボイヤーは著書『数学史』の中で、「算盤の書は算盤そのものに関するものではない」が、「代数的手法と算盤問題に関する非常に徹底した論文であり、その中ではヒンドゥー・アラビア数字の使用が強く推奨されている」と強調している。^[3]

最初のセクションでは、異なる表現システム間の変換方法を含む、ヒンドゥー-アラビア数字システムを紹介します。このセクションには、数が合成数であるかどうかをテストし、合成数である場合は因数分解するための試し割りに関する最初の既知の説明も含まれています。^[4]

第2セクションでは、通貨や計測値の変換、利益や利息の計算など、商業における例を示します。^[要出典]

第 3 セクションでは、いくつかの数学の問題について説明します。たとえば、(第 II.12 章)中国剰余定理、完全数、メルセンヌ素数、等差級数と正方錐数の公式などが含まれます。この章の別の例として、ウサギの個体数の増加があり、その解決には数列を生成する必要があります。この問題はレオナルドよりずっと前にさかのぼりますが、彼の著書に含まれていたため、今日ではフィボナッチ数列はレオナルドにちなんで名付けられています。^{[引用が必要]}

第 4 セクションでは、平方根などの無理数の近似値 (数値的および幾何学的) を導出します。 ^{[引用が必要]}

この本にはユークリッド幾何学の証明も含まれている。代数方程式を解くフィボナッチ法は、10世紀初頭のエジプトの数学者アブー・カーミル・シュジャー・イブン・アスラムの影響を示している。^[5]

『算盤の書』を読む際には、当時まで一般的に使用されていたエジプト分数と現在でも使用されている俗分数の中間の形であるフィボナッチの有理数表記法を理解しておくと役立ちます。^[6]

フィボナッチ記法は現代の分数記法と3つの重要な点で異なります。^[要出典]

1. 現代の記法では、分数は一般的に、例えば 7/3 のように、加える整数の右側に書きます。フィボナッチは同じ分数を左側に書きます。つまり、 です。^{[引用が必要]}${\displaystyle 2\,{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,2}$
2. フィボナッチは、分子と分母の列が同じ分数線を共有する合成分数表記法を使用しました。各項は、与えられた分子をその下と右側にあるすべての分母の積で割った追加の分数を表します。つまり、、およびです。表記は右から左に読みました。たとえば、29/30 は と書き、値 を表します。これは混合基数表記法の一種と見なすことができ、従来の度量衡および通貨システムを扱うのに非常に便利でした。たとえば、長さの単位では、1フィートは1ヤードの 1/3 であり、1インチは1 フィートの 1/12 であるため、5 ヤード、2 フィート、およびインチの量は合成分数、つまりヤードとして表すことができます。ただし、従来の測定単位の一般的な表記法は、同様に混合基数に基づいていますが、分母を明示的に書きません。フィボナッチ記法の明示的な分母により、都合の良いときに異なる問題に異なる基数を使うことができる。シグラーはまた、フィボナッチが分母がすべて 10 である合成分数を使用して、分数の現代の 10 進記法を先取りした例を指摘している。^[要出典]${\displaystyle {\tfrac {b\,\,a}{d\,\,c}}={\tfrac {a}{c}}+{\tfrac {b}{cd}}}$${\displaystyle {\tfrac {c\,\,b\,\,a}{f\,\,e\,\,d}}={\tfrac {a}{d}}+{\tfrac {b}{de}}+{\tfrac {c}{def}}}$${\displaystyle {\tfrac {1\,\,2\,\,4}{2\,\,3\,\,5}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{5}}+{\tfrac {2}{3\times 5}}+{\tfrac {1}{2\times 3\times 5}}}$${\displaystyle 7{\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {3\ \,7\,\,2}{4\,\,12\,\,3}}\,5}$
3. フィボナッチは、与えられた分数の合計を表すために、複数の分数を並べて書くこともあった。例えば、1/3+1/4 = 7/12 なので、 のような表記は、現在では帯分数、または単に仮分数としてより一般的に表記される数を表す。この形式の表記は、分数線を共有する分子と分母の列とは、線が目に見える切れ目によって区別できる。この形式で書かれた分数で分子がすべて 1 で、分母がすべて互いに異なる場合、結果は数のエジプト分数表現となる。この表記法は、合成分数表記法と組み合わせられることもあった。つまり、2 つの合成分数を並べて書くと、分数の合計を表す。^{[出典が必要]}${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\,{\tfrac {1}{3}}\,2}$${\displaystyle 2\,{\tfrac {7}{12}}}$${\displaystyle {\tfrac {31}{12}}}$

この表記法の複雑さにより、数字をさまざまな方法で表記することができ、フィボナッチは、ある表現形式から別の表現形式に変換するいくつかの方法を説明しました。特に、第 II.7 章には、エジプト分数に対する貪欲アルゴリズム(フィボナッチ-シルベスター展開とも呼ばれる) を含む、仮分数をエジプト分数に変換する方法のリストが含まれています。^{[引用が必要]}

フィボナッチは『算盤の書』の中で、今日ではヒンドゥー・アラビア数字体系または10進法の位置表記法として知られる肯定的なモダス・インドルム（インド人の方法）を紹介し、次のように述べている。また、現代のアラビア数字に非常によく似た数字も導入した。^[要出典]

私の父は故郷を離れて、そこに頻繁に集まるピサの商人のために設立されたブギア税関の役人だったので、幼少の私を自分のところに連れてきて、私に有益で快適な将来を見つけさせようとしました。そこで父は私に数学を勉強させ、数日間教えさせたかったのです。そこでのインドの九図形の技法に関する素晴らしい指導から、その技法の紹介と知識が何よりも私を大いに喜ばせました。私は近くのエジプト、シリア、ギリシャ、シチリア、プロヴァンスから、その技法を学んだ人々から、そして彼らのさまざまな手法を学びました。その後、私は多くの研究のためにこれらの場所へかなり出かけ、集まった討論から学びました。しかし、全体として、アルゴリズムやピタゴラスの弧でさえ、インドの方法と比較すると、私はまだほとんど間違いだと考えていました。したがって、私はインドの方法を厳格に受け入れ、その研究に熱心に取り組み、自分の感覚からいくらか、そしてさらに微妙なユークリッド幾何学の技術からいくらかを加え、私が理解できた総計をこの本に適用し、私が盛り込んだほとんどすべてのことについて確かな証拠を示しながら、15の別々の章にまとめようと努力しました。その結果、この方法は他の方法よりも完成され、この科学は熱心な人々、そしてこれまで最低限の知識がなかった他の誰よりもイタリア人に教えられています。万が一、私が何かより適切でなかったり、必要だったりすることを省略した場合は、ご容赦ください。欠点のない人などいないし、すべてにおいて完全に慎重な人などいないのですから。^[7]

インドの9つの数字は、
9 8 7 6 5 4 3 2 1です。
これらの9つの数字と、アラブ人がゼフィールと呼ぶ記号0を使って、どんな数字でも書くことができます... ^[8]

言い換えれば、彼は著書の中で、0 から 9 までの数字と位取りの使用を提唱した。この頃までヨーロッパではローマ数字が使用されており、現代数学はほとんど不可能だった。したがって、この本は 10 進数の普及に重要な貢献をした。しかし、オーレが書いているように、ヒンドゥー アラビア数字の普及は「長期にわたる」ものであり、広く普及するまでにさらに数世紀を要し、16 世紀後半まで完了せず、印刷術の出現により 1500 年代に劇的に加速した。^{[引用が必要]}

この写本が初めて現れたのは1202年である。この版の写本は知られていない。マイケル・スコット に捧げられたLiber Abaciの改訂版は1227年に登場した。^{[9] [10]}このテキストの一部を含む写本が少なくとも19点現存している。^[11]この写本の完全版は13世紀と14世紀に3点存在する。^[12] 13世紀から15世紀の間には不完全な写本がさらに9点知られており、まだ特定されていないものもあるかもしれない。^{[12] [11]}

1857年のボンコンパーニのイタリア語訳まで、『算盤の書』の印刷版は知られていなかった。^[11]最初の完全な英語訳は2002年のシグラーのテキストであった。^[11]

• グリム、RE（1973）、「レオナルド・ピサーノ自伝」（PDF）、フィボナッチ季刊誌、11（1）：99–104。
• オーレ、オイステイン（1948）、数論とその歴史、マグロウヒルドーバー版も入手可能、1988年、ISBN 978-0-486-65620-5。 
• Sigler、LE (翻訳) (2002)、Fibonacci's Liber Abaci、Springer-Verlag、ISBN 0-387-95419-8。

ラテン語のウィキソースには、この記事に関連する原文があります:

リベル・アバチ

• ピサーノ、レオナルド (1202)、Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano in year Mccij [原稿]、ガリレオ博物館。