ゲーム理論

ゲーム理論は、戦略的相互作用の数学的モデルの研究です。^{[1]ゲーム理論は}社会科学の多くの分野に応用されており、経済学、論理学、システム科学、コンピュータサイエンスで広く使用されています。^[2]当初、ゲーム理論は2人のゼロサムゲームを扱っていました。このゲームでは、参加者の利益または損失が、もう1人の参加者の損失と利益によって正確にバランスが取れています。1950年代には、非ゼロサムゲームの研究に拡張され、最終的には幅広い行動関係に適用されました。現在では、人間、動物、コンピュータにおける 合理的意思決定の科学を包括する用語となっています。

現代のゲーム理論は、二人のゼロ和ゲームにおける混合戦略均衡というアイデアと、ジョン・フォン・ノイマンによるその証明から始まった。フォン・ノイマンの最初の証明では、コンパクト凸集合への連続写像に関するブラウワーの不動点定理が使用され、これはゲーム理論と数理経済学の標準的な方法となった。彼の論文に続いて、オスカー・モルゲンシュテルンとの共著による『ゲームの理論と経済行動』（1944年）が発表され、複数のプレイヤーによる協力ゲームが検討された。^[3]第2版では期待効用の公理理論が提供され、数理統計学者と経済学者は不確実性下での意思決定を扱うことができるようになった。^[4]

ゲーム理論は 1950 年代に広範に開発され、 1970 年代に進化に明示的に適用されましたが、同様の開発は少なくとも 1930 年代にまで遡ります。ゲーム理論は、多くの分野で重要なツールとして広く認識されています。ジョン・メイナード・スミスは、1999 年に進化ゲーム理論の応用によりクラフォード賞を受賞し、2020 年現在、15 人のゲーム理論家がノーベル経済学賞を受賞しており、最近ではポール・ミルグロムとロバート・B・ウィルソンが受賞しています。

歴史上、ゲーム理論に基づく戦略は、少なくとも孫子の兵法書にまで遡る。^{[5] [6]} 『孫子兵法』の中で、孫子は次のように書いている。

相手を知り、自分を知れば、百戦危うからず、

他人を知らず、自分を知る、一つの勝利と一つの敗北、

相手を知らず、自分を知らず、あらゆる戦いで必ず敗北する

— 孫子

ゲームの数学に関する議論は、現代の数学的ゲーム理論が台頭するはるか以前に始まっていた。カルダノの著作『運のゲームについての書』は1564年頃に書かれ、1663年に死後に出版されたが、そこには運のゲームに関する基本的な考えが概説されている。1650年代には、パスカルとホイヘンスが運のゲームの構造についての推論において期待値の概念を展開した。パスカルは確率が等しい場合には均等に分割すべきだと主張し、ホイヘンスはその議論を拡張して、条件が等しい限りどの相手に対してもどのような賭けでもできるプレイヤーの戦略を検討した。^[7]ホイヘンスは後に1657年に 『運のゲームにおける推論について』として賭博計算を出版した。

1713年、ジャコバイト運動に熱心で、イギリスの外交官ジェームズ・ウォルデグレーブの叔父であったチャールズ・ウォルデグレーブに帰せられる手紙で、「ル・エル」と呼ばれるゲームが分析された。^{[8] [9]}ウォルデグレーブは、 2人用カードゲームにミニマックス 混合戦略の解法を提示し、この問題は現在ウォルデグレーブ問題として知られている。1838年、アントワーヌ・オーギュスタン・クールノーは複占を考慮し、そのゲームのナッシュ均衡となる解法を著書『富の理論の数学的原理の研究』で提示した。

1913年、エルンスト・ツェルメロは「集合論のチェス理論への応用について」を出版し、最適なチェス戦略は厳密に決定されることを証明した。これにより、より一般的な定理への道が開かれた。^[10]

1938年、デンマークの数理経済学者フレデリック・ツォイテンは、ブラウワーの不動点定理を用いて、数学モデルに勝利戦略があることを証明した。^[11] 1938年の著書Applications aux Jeux de Hasardとそれ以前のノートで、エミール・ボレルは、ペイオフ行列が対称である場合にのみ2人ゼロ和行列ゲームのミニマックス定理を証明し、非自明な無限ゲーム（英語ではブロットゲームとして知られる）の解法を提供した。ボレルは、有限の2人ゼロ和ゲームでは混合戦略均衡が存在しないと予想したが、この予想はフォン・ノイマンによって誤りであることが証明された。

ゲーム理論は、 1928年にジョン・フォン・ノイマンが論文「戦略ゲームの理論について」を発表した際に、独自の分野として登場した。 ^{[12] [13]}フォン・ノイマンの最初の証明では、コンパクト凸集合への連続写像に関するブラウワーの不動点定理が使用され、これはゲーム理論と数理経済学の標準的な方法となった。フォン・ノイマンのゲーム理論の研究は、オスカー・モルゲンシュテルンと共著した1944年の著書「ゲームの理論と経済行動」で最高潮に達した。^[14]この本の第2版では、ダニエル・ベルヌーイの古い効用理論（貨幣の効用理論）を独立した分野として生まれ変わらせた公理的な効用理論が提示された。この基礎的な研究には、2人によるゼロ和ゲームに対して相互に矛盾のない解を見つける方法が含まれている。その後の研究は主に協力ゲーム理論に焦点を当てたものとなった。これは、個人のグループが適切な戦略についての合意を強制できると仮定して、グループの最適戦略を分析するものである。^[15]

1950年に囚人のジレンマについての最初の数学的議論が登場し、ランド研究所のゲーム理論の研究の一環として、著名な数学者メリル・M・フラッドとメルビン・ドレッシャーによる実験が行われた。ランド研究所は、世界的核戦略への応用の可能性を考えて研究を進めた。^[16]同じ頃、ジョン・ナッシュは、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンが提案した基準よりも幅広いゲームに適用できる、ナッシュ均衡として知られるプレイヤーの戦略の相互一貫性の基準を開発した。ナッシュは、有限のn人プレイヤー、非ゼロ和（2人プレイヤーのゼロ和だけではない）の非協力ゲームはすべて、現在では混合戦略におけるナッシュ均衡として知られるものを持つことを証明した。

ゲーム理論は 1950 年代に活発な活動を見せ、コア、拡張形式ゲーム、架空プレイ、繰り返しゲーム、シャプレー値などの概念が開発されました。1950 年代には、ゲーム理論が哲学や政治科学に初めて応用された時期もありました。

1965年、ラインハルト・ゼルテンはサブゲーム完全均衡という解の概念を導入し、ナッシュ均衡をさらに改良しました。後に彼は震える手の完全性も導入しました。1994年、ナッシュ、ゼルテン、ハルサニは経済ゲーム理論への貢献により ノーベル経済学賞を受賞しました。

1970年代には、ジョン・メイナード・スミスの研究と彼の進化的に安定した戦略の結果として、ゲーム理論が生物学で広く応用されました。さらに、相関均衡、震える手の完全性、共通知識^[a]の概念が導入され、分析されました。

1994 年、ジョン・ナッシュはゲーム理論への貢献によりノーベル経済学賞を受賞しました。ナッシュのゲーム理論への最も有名な貢献は、非協力ゲームの解の概念であるナッシュ均衡の概念です。ナッシュ均衡とは、各プレイヤーに 1 つずつある戦略のセットであり、どのプレイヤーも一方的に戦略を変更することで報酬を向上させることはできません。

2005年、ゲーム理論家のトーマス・シェリングとロバート・オーマンがナッシュ、ゼルテン、ハルサニに続いてノーベル賞を受賞しました。シェリングは、進化型ゲーム理論の初期の例である動的モデルに取り組みました。オーマンは均衡学派にさらに貢献し、均衡粗大化と相関均衡を導入し、共通知識の仮定とその結果の広範な形式分析を展開しました。

2007年、レオニード・ハーウィッツ、エリック・マスキン、ロジャー・マイヤーソンは「メカニズム設計理論の基礎を築いた」としてノーベル経済学賞を受賞した。マイヤーソンの貢献には、適正均衡の概念や、重要な大学院教科書である『ゲーム理論、対立の分析』などがある。^{[1]ハーウィッツは、}インセンティブ両立性の概念を導入し、形式化した。

2012年、アルヴィン・E・ロスとロイド・S・シャプレーは「安定配分の理論と市場設計の実践」によりノーベル経済学賞を受賞した。2014年、ノーベル賞はゲーム理論家ジャン・ティロールに贈られた。

プレイヤーが外部から強制される拘束力のある約束（例えば契約法を通じて）を形成できる場合、そのゲームは協力的である。プレイヤーが同盟を形成できない場合、またはすべての合意が自己強制される必要がある場合（例えば信頼できる脅威を通じて）は、そのゲームは非協力的である。 ^[17]

協力ゲームは、どのような連合が形成されるか、グループが取る共同行動、そしてその結果生じる集団の利益を予測することに焦点を当てた協力ゲーム理論の枠組みを通して分析されることが多い。これは、ナッシュ均衡を分析して個々のプレイヤーの行動と利益を予測することに焦点を当てた非協力ゲーム理論とは異なる。^{[18] [19]}

協力ゲーム理論は、連合の構造と利益のみを説明するため、高レベルのアプローチを提供しますが、非協力ゲーム理論は、戦略的相互作用が利益の分配にどのように影響するかについても考察します。非協力ゲーム理論はより一般的なため、外部からの協力の強制の可能性によりプレイヤーが利用できるすべての戦略を網羅するのに十分な仮定が立てられている限り、協力ゲームは非協力ゲーム理論のアプローチを通じて分析できます (逆は成り立ちません)。

対称ゲームとは、各プレイヤーが同じ選択をしたときに同じ報酬を得るゲームである。言い換えれば、プレイヤーのアイデンティティによって、他のプレイヤーが直面するゲームの結果が変わることはない。^{[20]一般的に研究されている2×2ゲームの多くは対称的である。}チキンゲーム、囚人のジレンマ、スタッグハントなどの標準的な表現はすべて対称ゲームである。

最も一般的に研究されている非対称ゲームは、両プレイヤーの戦略セットが同一ではないゲームです。たとえば、最後通牒ゲームや同様に独裁者ゲームでは、各プレイヤーの戦略が異なります。ただし、両プレイヤーの戦略が同一でありながら非対称であるゲームも可能です。たとえば、このセクションの図に示されているゲームは、両プレイヤーの戦略セットが同一であるにもかかわらず非対称です。

ゼロサムゲーム（より一般的には定和ゲーム）とは、プレイヤーの選択によって利用可能なリソースが増減しないゲームである。ゼロサムゲームでは、すべての戦略の組み合わせにおいて、ゲームに参加しているすべてのプレイヤーに合計利益が行き渡り、その合計は常にゼロになる（より非公式には、プレイヤーは他のプレイヤーと同等の犠牲を払ってのみ利益を得る）。^[21] ポーカーはゼロサムゲーム（ハウスの取り分の可能性を無視）の好例であり、対戦相手の負けた額と全く同じ額が勝つ。その他のゼロサムゲームには、マッチングペニーや、囲碁やチェスなどのほとんどの古典的なボードゲームが含まれる。

ゲーム理論家が研究する多くのゲーム (有名な囚人のジレンマを含む) は、結果の純額がゼロより大きいか小さいため、非ゼロ和ゲームです。非公式には、非ゼロ和ゲームでは、1 人のプレイヤーの利益が必ずしも別のプレイヤーの損失に対応するわけではありません。

さらに、定額ゲームは窃盗やギャンブルなどの行為に対応するが、貿易から潜在的な利益が得られる基本的な経済状況には対応しない。損失がプレイヤーの純利益を補うダミープレイヤー（「ボード」と呼ばれることが多い）を追加することで、定額ゲームを（おそらく非対称の）ゼロサムゲームに変換することができる。

同時ゲームとは、両方のプレイヤーが同時に動くか、または後のプレイヤーが前のプレイヤーの行動に気付いていない（事実上同時である）ゲームである。順次ゲーム（または動的ゲーム）とは、プレイヤーが同時に決定を下さず、プレイヤーの前の行動が他のプレイヤーの結果と決定に影響を与えるゲームである。^{[22]これは、前のプレイヤーのすべての行動に関する}完全な情報である必要はなく、非常にわずかな知識である可能性がある。たとえば、プレイヤーは前のプレイヤーが特定のアクションを実行しなかったことを知っているが、最初のプレイヤーが実際に実行した他の利用可能なアクションはどれかは知らない場合がある。

同時ゲームと逐次ゲームの違いは、上で説明したさまざまな表現に表れています。同時ゲームを表すには標準形式が使用され、逐次ゲームを表すには展開形式が使用されることがよくあります。展開形式から標準形式への変換は一方向であり、複数の展開形式ゲームが同じ標準形式に対応することを意味します。したがって、同時ゲームの均衡の概念は、逐次ゲームについての推論には不十分です。サブゲームの完全性を参照してください。

簡単に言うと、順次ゲームと同時ゲームの違いは次のとおりです。

逐次ゲームの重要なサブセットは、完全情報ゲームです。完全情報ゲームとは、ゲーム中のすべての動きにおいて、すべてのプレイヤーがゲームの過去の履歴と、他のすべてのプレイヤーが以前に行った動きを知っていることを意味します。不完全情報ゲームは、同時動きゲームなど、プレイヤーが対戦相手のすべての動きを知らない場合にプレイされます。^{[23]完全情報ゲームの例としては、}三目並べ、チェッカー、チェス、囲碁などがあります。^{[24] [25] [26]}

ポーカーやブリッジなど、多くのカードゲームは不完全情報ゲームです。^[27]完全情報は、ゲームプレイ中の各プレーヤーのシーケンス、戦略、および報酬に関する共通知識に関連する同様の概念である完全情報と混同されることがよくあります。 ^[28]完全情報では、すべてのプレーヤーが他のプレーヤーが利用できる戦略と報酬を知っている必要がありますが、必ずしも実行されるアクションを知っている必要はありません。一方、完全情報は、ゲームとプレーヤーのすべての側面に関する知識です。^{[29 ] ただし、}不完全情報ゲームは、「自然な動き」を導入することで不完全情報ゲームに縮小できます。 ^[30]

ナッシュ均衡の仮定の 1 つは、すべてのプレイヤーが他のプレイヤーの行動について正しい信念を持っているというものです。しかし、ゲーム理論では、参加者が対戦相手の特性を完全に理解していない状況が多くあります。交渉者は、相手が交渉対象をどのように評価しているかを知らないかもしれませんし、企業は、相手のコスト関数を知らないかもしれませんし、戦闘員は、相手の強みを知らないかもしれませんし、陪審員は、裁判で同僚が証拠をどのように解釈しているかを知らないかもしれません。場合によっては、参加者は相手の性格をよく知っているかもしれませんが、相手が自分の性格をどの程度知っているかを知らないかもしれません。^[31]

ベイジアンゲームとは、不完全な情報を持つ戦略ゲームを意味します。戦略ゲームでは、意思決定者はプレイヤーであり、すべてのプレイヤーは一連のアクションを実行します。不完全な情報仕様の中核部分は、状態の集合です。すべての状態は、プレイヤーの好みや詳細など、プレイヤーに関連する特性の集合を完全に記述します。プレイヤーが存在する可能性があると信じているすべての特徴の集合には、状態が存在する必要があります。^[32]

たとえば、プレイヤー 1 はプレイヤー 2 が自分とデートしたいのか、それとも離れたいのか確信が持てないが、プレイヤー 2 は以前と同様にプレイヤー 1 の好みを理解している場合です。具体的には、プレイヤー 1 は、プレイヤー 2 が自分とデートしたいのは 1/2 の確率で、離れたいのは 1/2 の確率であると信じているとします (この評価はおそらくプレイヤー 1 の経験から来ています。このような場合、プレイヤーは半分の確率で自分とデートしたいプレイヤーと、半分の確率で自分を避けたいプレイヤーに直面します)。確率が関係するため、この状況を分析するには、純粋な戦略的均衡にのみ関心があるとしても、プレイヤーのドローに対する好みを理解する必要があります。

最適な戦略を見つけるのが難しい理由が、可能な動きの多様性に起因するゲームは、組み合わせゲームと呼ばれます。例としては、チェスや囲碁などがあります。不完全な情報を伴うゲームも、バックギャモンのように、強い組み合わせ的特徴を持つことがあります。ゲームにおける組み合わせ的要素を扱う統一理論はありません。ただし、特定の問題を解決したり、一般的な質問に答えたりできる数学的なツールはあります。^[33]

完全情報ゲームは組合せゲーム理論で研究されており、この理論では超実数などの新しい表現法や、無限に長い一連の動きになる「ループ」ゲームなど、特定のタイプのゲームを解くための組合せ的および代数的（時には非構成的）証明法が開発されている。これらの方法は、従来の（または「経済的」）ゲーム理論で通常考慮されるものよりも高い組合せ複雑性を持つゲームを扱っている。^{[34] [35]}この方法で解かれた典型的なゲームはHexである。計算複雑性理論から派生した関連研究分野にゲーム複雑性があり、これは最適な戦略を見つける計算上の困難さを推定することに関係している。^[36]

人工知能の研究では、チェス、囲碁、バックギャモンなど、非常に複雑な組み合わせ構造を持つ完全情報ゲームと不完全情報ゲームの両方を扱ってきましたが、証明可能な最適戦略は見つかっていません。実用的な解決策には、アルファベータ剪定などの計算ヒューリスティックや、強化学習によって訓練された人工ニューラルネットワークの使用が含まれ、これにより、ゲームをコンピューティングの実践で扱いやすくなります。^{[33] [37]}

ゲーム理論の多くは、プレイヤー、動き、イベント、結果などが有限の数である有限の離散ゲームに関係しています。ただし、多くの概念は拡張できます。連続ゲームでは、プレイヤーは連続戦略セットから戦略を選択できます。たとえば、クールノー競争は通常、プレイヤーの戦略が分数を含む任意の非負の量であるものとしてモデル化されます。

連続追跡・回避ゲームなどの微分ゲームは、プレイヤーの状態変数の進化が微分方程式によって支配される連続ゲームです。微分ゲームで最適な戦略を見つける問題は、最適制御理論と密接に関連しています。特に、2 種類の戦略があります。オープン ループ戦略はポンチャギン最大原理を使用して見つけられ、クローズド ループ戦略はベルマンの動的計画法を使用して見つけられます。

微分ゲームの特別なケースとして、ランダムな時間範囲を持つゲームがある。^[38]このようなゲームでは、終了時間は与えられた確率分布関数を持つランダム変数である。したがって、プレイヤーはコスト関数の数学的期待値を最大化する。修正された最適化問題は、無限の時間間隔にわたる割引微分ゲームとして再定式化できることが示された。

進化ゲーム理論は、必ずしも合理的でも先見的でもないルールに従って時間の経過とともに戦略を調整するプレーヤーを研究します。^{[39]一般に、このようなルールに従った時間の経過に伴う戦略の進化は、現在の戦略プロファイルや最近のゲームのプレイ方法などの状態変数を持つ}マルコフ連鎖 としてモデル化されます。このようなルールには、模倣、最適化、適者生存などの特徴があります。

生物学では、このようなモデルは進化を表すことができ、子孫は親の戦略を採用し、より成功した戦略（つまり、より高い報酬に対応する）を採用した親はより多くの子孫を残します。社会科学では、このようなモデルは通常、生涯にわたって何度もゲームをプレイし、意識的または無意識的に時折戦略を調整するプレーヤーによる戦略的調整を表します。^[40]

確率的結果を伴う個々の意思決定問題は、「ワンプレイヤーゲーム」と見なされることがあります。これらは、意思決定理論、オペレーションズリサーチ、人工知能、特にAI計画（不確実性を含む）およびマルチエージェントシステムなどの関連分野内の同様のツールを使用してモデル化できます。これらの分野には異なる動機があるかもしれませんが、関連する数学は、たとえばマルコフ決定プロセス（MDP）を使用するなど、実質的に同じです。^[41]

確率的結果は、ランダムに行動し「偶然の動き」（「自然な動き」）をするプレイヤーを追加することで、ゲーム理論の観点からモデル化することもできます。^[42]このプレイヤーは、通常、2人用ゲームでは3人目のプレイヤーとはみなされず、ゲームで必要な場合にサイコロを振る役割を果たすだけです。

いくつかの問題では、確率的結果をモデル化する異なるアプローチが異なる解決策につながる可能性があります。たとえば、MDPとミニマックスソリューションのアプローチの違いは、後者は、固定された確率分布を与えられたこれらの動きについて期待して推論するのではなく、一連の敵対的な動きに対する最悪のケースを考慮することです。ミニマックスアプローチは、不確実性の確率モデルが利用できない場合に有利になる可能性がありますが、敵対者がそのようなイベントを強制的に発生させることができると想定すると、非常に起こりそうにない（しかしコストのかかる）イベントを過大評価し、そのようなシナリオでの戦略を劇的に左右する可能性があります。^[43]（この種のモデリングの問題、特に投資銀行での損失の予測と制限に関する詳細については、ブラックスワン理論を参照してください。）

確率的結果、敵対者、部分的またはノイズのある観測可能性（他のプレイヤーの動き）のすべての要素を含む一般的なモデルも研究されています。「ゴールドスタンダード」は部分的に観測可能な確率ゲーム（POSG）であると考えられていますが、POSG表現で計算可能な現実的な問題はほとんどありません。^[43]

これらは、別のゲーム、つまりターゲット ゲームまたは主題ゲームのルールを開発するゲームです。メタゲームは、開発されたルール セットの実用価値を最大化することを目指します。メタゲームの理論は、メカニズム設計理論 に関連しています。

メタゲーム分析という用語は、ナイジェル・ハワード^[44]によって開発された実践的なアプローチを指すためにも使用され、状況を戦略的ゲームとして枠組み化し、利害関係者が利用可能な選択肢を利用して目的を実現しようとするものです。その後の発展により、対立分析が定式化されました。

平均場ゲーム理論は、相互作用する小さなエージェントの非常に大きな集団における戦略的意思決定を研究するものです。この種の問題は、経済学の文献ではボヤン・ジョバノビッチとロバート・W・ローゼンタール、工学の文献ではピーター・E・ケインズ、数学者のピエール＝ルイ・ライオンズとジャン＝ミシェル・ラスリーによって検討されました。

ゲーム理論で研究されるゲームは、明確に定義された数学的対象である。ゲームを完全に定義するには、ゲームのプレイヤー、各決定ポイントで各プレイヤーが利用できる情報とアクション、各結果の見返りという要素を指定しなければならない。(エリック・ラスムセンは、これら 4 つの「必須要素」を頭字語「PAPI」で呼んでいる。) ^{[45] [46] [47] [48]}ゲーム理論家は通常、これらの要素と、選択した解決概念を使用して、各プレイヤーの均衡戦略のセットを推論し、これらの戦略を採用すると、どのプレイヤーも戦略から一方的に逸脱して利益を得ることができないようにする。これらの均衡戦略は、ゲームの均衡、つまり 1 つの結果が発生するか、または一連の結果が既知の確率で発生する安定した状態を決定する。

ほとんどの協力ゲームは特性関数形式で表現されますが、非協力ゲームを定義するには拡張形式と正規形式が使用されます。

拡張形式は、動きを時間順に並べたゲームを形式化するために使用できます。拡張形式のゲームは、ゲームツリーを使用して視覚化できます(ここに示すように)。ここで、各頂点(またはノード) は、プレーヤーの選択ポイントを表します。プレーヤーは、頂点にリストされている番号によって指定されます。頂点から伸びる線は、そのプレーヤーの可能なアクションを表します。報酬は、ツリーの下部で指定されます。拡張形式は、決定木のマルチプレーヤー一般化と見なすことができます。^[49]拡張形式のゲームを解くには、後方帰納法を使用する必要があります。これは、ゲームツリーを逆方向に作業して、合理的なプレーヤーがツリーの最後の頂点で何をするか、最後の動きをしたプレーヤーが合理的である場合に前の動きをしたプレーヤーが何をするかなどを決定することを含み、ツリーの最初の頂点に到達するまで続きます。^[50]

図のゲームは 2 人のプレイヤーで構成されています。この特定のゲームの構造 (つまり、順次意思決定と完全情報) では、プレイヤー 1 が最初にFまたはU (公平または不公平)のいずれかを選択して「移動」します。次に、プレイヤー 2 はプレイヤー 1の動きを観察し、 AまたはR (受け入れるか拒否するか)のいずれかを選択できます。プレイヤー 2 が選択を行うと、ゲームは終了したとみなされ、各プレイヤーはそれぞれの報酬を受け取ります。この報酬は画像では 2 つの数字で表され、最初の数字はプレイヤー 1 の報酬を表し、2 番目の数字はプレイヤー 2 の報酬を表します。プレイヤー 1 がU を選択し、次にプレイヤー 2 がA を選択したとします。プレイヤー1 は「8」の報酬を受け取ります (これは現実世界ではさまざまな方法で解釈できますが、最も単純なのは金銭ですが、8 日間の休暇や 8 か国を征服すること、または他のプレイヤーと同じゲームをプレイする機会が 8 回増えることなどを意味する場合もあります)。プレイヤー 2 は「2」の報酬を受け取ります。

拡張形式は、同時移動ゲームや不完全情報ゲームも捉えることができます。これを表現するには、異なる頂点を点線で結び、同じ情報セットの一部であることを示すか (つまり、プレイヤーは自分がどのポイントにいるのかを知らない)、それらの周囲に閉じた線を描きます (不完全情報セクションの例を参照)。

通常 (または戦略的形式) のゲームは、通常、プレーヤー、戦略、および報酬を示すマトリックスによって表されます (右の例を参照)。より一般的には、各プレーヤーの報酬をすべての可能なアクションの組み合わせに関連付ける任意の関数によって表すことができます。添付の​​例では、プレーヤーが 2 人いて、1 人が行を選択し、もう 1 人が列を選択します。各プレーヤーには 2 つの戦略があり、行の数と列の数によって指定されます。報酬は内部に提供されます。最初の数字は、行プレーヤー (この例ではプレーヤー 1) が受け取る報酬です。2 番目は、列プレーヤー (この例ではプレーヤー 2) の報酬です。プレーヤー 1 がUp をプレイし、プレーヤー 2 がLeft をプレイするとします。この場合、プレーヤー 1 は 4 の報酬を受け取り、プレーヤー 2 は 3 を受け取ります。

ゲームが通常の形式で提示される場合、各プレイヤーは同時に行動するか、少なくとも他のプレイヤーの行動を知らずに行動すると想定されます。プレイヤーが他のプレイヤーの選択について何らかの情報を持っている場合、ゲームは通常、拡張形式で提示されます。

すべての展開形式ゲームには同等の正規形式ゲームが存在するが、正規形式への変換は表現のサイズが指数関数的に増大し、計算上非現実的になる可能性がある。^[51]

協力ゲーム理論では、特性関数は各連合の利益を列挙する。この定式化の起源は、ジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンの著書にある。^[要出典]

正式には、特性関数とは、プレイヤーのすべての可能な連合の集合から支払い集合への関数^[52]であり、を満たします。この関数は、プレイヤーの集合が連合を形成することによってどれだけの集団的利益を得ることができるかを記述します。 ${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v(\emptyset )=0}$

代替的なゲーム表現形式は、ゲームのいくつかのサブクラスで使用されたり、学際的な研究のニーズに合わせて調整されたりします。^[53]古典的なゲーム表現に加えて、いくつかの代替表現は時間に関連する側面もエンコードします。

応用数学の一手法として、ゲーム理論は人間や動物の行動の幅広い研究に利用されてきた。ゲーム理論はもともと経済学において、企業、市場、消費者の行動を含む経済行動の大規模な集合を理解するために開発された。ゲーム理論的分析は、 1838年にアントワーヌ・オーギュスタン・クールノーがクールノー複占の解決に初めて利用された。社会科学におけるゲーム理論の利用は拡大しており、ゲーム理論は政治、社会学、心理学的行動にも応用されている。^[68]

20世紀以前の博物学者、例えばチャールズ・ダーウィンもゲーム理論的な発言をしていたが、生物学におけるゲーム理論的分析の使用は、 1930年代のロナルド・フィッシャーの動物行動研究から始まった。この研究は「ゲーム理論」という名前が生まれる前のものだが、この分野と多くの重要な特徴を共有している。経済学の発展は、後にジョン・メイナード・スミスが1982年に著した『進化とゲーム理論』で生物学に大きく応用された。^[69]

ゲーム理論は、行動を記述、予測、説明するために使用されるだけでなく、倫理的または規範的な行動の理論を開発し、そのような行動を規定するためにも使用されています。^[70]経済学と哲学では、学者はゲーム理論を適用して、良いまたは適切な行動を理解するのに役立てています。ゲーム理論的アプローチは、言語哲学と科学哲学でも提案されています。^{[71]このタイプのゲーム理論的議論は、}プラトンにまで遡ることができます。^[72]ゲーム理論の別のバージョンである化学ゲーム理論は、プレーヤーの選択を「知識」と呼ばれる比喩的な化学反応分子として表します。^[73]  化学ゲーム理論は、結果を化学反応システムの平衡解として計算します。

ゲーム理論の主な用途は、人間の集団がどのように行動するかを記述し、モデル化することである。^[要出典]一部の^{[誰? ]}学者は、ゲームの均衡を見つけることによって、研究対象のゲームに類似した状況に直面したときに実際の人間集団がどのように行動するかを予測できると考えている。ゲーム理論のこの特定の見解は批判されてきた。ゲーム理論家によってなされた仮定は、現実世界の状況に適用された場合にしばしば破られると主張されている。ゲーム理論家は通常、プレイヤーが合理的に行動すると仮定するが、実際には、人間の合理性や行動は、ゲーム理論で使用される合理性モデルから逸脱することが多い。ゲーム理論家は、自分たちの仮定を物理学で使用される仮定と比較することによって対応している。したがって、彼らの仮定は常に成り立つわけではないが、物理学者が使用するモデルに似た合理的な科学的理想としてゲーム理論を扱うことができる。しかし、経験的研究によれば、ムカデゲーム、平均の2/3を推測するゲーム、独裁者ゲームなどの古典的なゲームでは、人々は定期的にナッシュ均衡をプレイしていないことが示されています。これらの実験の重要性と、実験の分析が関連する状況のすべての側面を完全に捉えているかどうかについては、現在も議論が続いています。^[b]

ジョン・メイナード・スミスとジョージ・R・プライスの研究に倣い、一部のゲーム理論家はこれらの問題を解決するために進化ゲーム理論に目を向けた。これらのモデルは、プレイヤー側の合理性がないか、または限定合理性があることを前提としている。進化ゲーム理論という名前にもかかわらず、必ずしも生物学的な意味での自然選択を前提としているわけではない。進化ゲーム理論には、生物学的進化と文化的進化の両方、および個人の学習モデル（たとえば、架空のプレイダイナミクス）も含まれる。

一部の学者は、ゲーム理論を人間の行動を予測するツールではなく、人々がどう行動すべきかの提案とみなしている。ゲームのナッシュ均衡に対応する戦略は、他のプレイヤーの行動に対する最善の対応を構成するため（彼らが（同じ）ナッシュ均衡にある場合）、ナッシュ均衡の一部である戦略を実行することは適切であると思われる。ゲーム理論のこのような規範的な使用法も批判の対象となっている。^[75]

ゲーム理論は、相互作用するエージェントの競合行動をモデル化するために数理経済学とビジネスで使用されている主要な手法です。^{[c] [76] [77] [78]}その応用範囲には、オークション、交渉、合併と買収の価格設定、^[79]公正な分割、複占、寡占、ソーシャルネットワークの形成、エージェントベースの計算経済学、^{[80] [81]}一般均衡、メカニズム設計、^{[82] [83] [84] [85] [86]}投票システムなど、幅広い経済現象とアプローチが含まれます。^[87]実験経済学、^{[88] [89] [90] [91] [92]}行動経済学、^{[93] [94] [95] [96] [97] [98]}情報経済学、^{[45] [46] [47] [48]}産業組織論、^{[99] [100] [101] [102]}政治経済学などの幅広い分野にわたっている。^{[103] [104] [105] [106]}

この研究は通常、 「解決概念」または「均衡」と呼ばれる特定の戦略セットに焦点を当てています。一般的な仮定は、プレーヤーが合理的に行動することです。非協力ゲームでは、これらの最も有名なものはナッシュ均衡です。戦略セットは、各戦略が他の戦略に対する最善の応答を表す場合、ナッシュ均衡です。すべてのプレーヤーがナッシュ均衡の戦略を実行している場合、他のプレーヤーが行っていることを考慮すると、自分の戦略が最善であるため、一方的に逸脱するインセンティブはありません。^{[107] [108]}

ゲームの報酬は、一般的に個々のプレイヤーの 効用を表すものと考えられています。

経済学におけるゲーム理論の典型的な論文は、特定の経済状況を抽象化したゲームを提示することから始まります。1つまたは複数の解決概念が選択され、著者は提示されたゲーム内のどの戦略セットが適切なタイプの均衡であるかを示します。経済学者やビジネス教授は、主に2つの用途（上記参照）を提案しています。記述的および規範的。^[70]

ゲーム理論は、経済学の特定の分野または分野である経営経済学でも広く使用されています。経営経済学の分野でのゲーム理論の重要な用途の 1 つは、企業間の戦略的相互作用の分析です。^[109]たとえば、企業は限られたリソースで市場で競争している場合があり、ゲーム理論は、マネージャーが自分の決定が競合他社や市場全体の結果にどのように影響するかを理解するのに役立ちます。ゲーム理論は、戦略的提携や合弁事業の形成など、企業間の協力を分析するためにも使用できます。経営経済学におけるゲーム理論のもう 1 つの用途は、価格設定戦略の分析です。たとえば、企業はゲーム理論を使用して、競合他社が価格設定の決定にどのように反応すると予想されるかに基づいて、最適な価格設定戦略を決定することができます。全体として、ゲーム理論は、経営経済学の文脈で戦略的相互作用と意思決定を分析するための便利なツールとして機能します。

英国調達・供給協会（ CIPS）は、ビジネス調達の文脈におけるゲーム理論の知識と使用を促進しています。^{[110] CIPSとTWSパートナーズは、}調達専門家の間でゲーム理論の理解、認識、応用を調査するために設計された一連の調査を実施しました。3回目の年次調査（2019年）の主な調査結果は次のとおりです。

• 調達活動へのゲーム理論の応用が増加している。当時は調査回答者全体で19%であった。
• 参加者の65%はゲーム理論の応用が拡大すると予測している。
• 回答者の70%は、ゲーム理論について「基本的な理解かそれ以下の理解しか持っていない」と答えている。
• 参加者の20％がゲーム理論の実地研修を受けていた。
• 回答者の50%は、新しいまたは改良されたソフトウェアソリューションが望ましいと回答した。
• 回答者の90％は仕事に必要なソフトウェアを持っていないと答えた。^[111]

賢明な意思決定は、プロジェクトの成功に不可欠です。プロジェクト管理では、ゲーム理論を使用して、投資家、プロジェクト マネージャー、請負業者、下請け業者、政府、顧客などのプレーヤーの意思決定プロセスをモデル化します。多くの場合、これらのプレーヤーは競合する利益を持ち、時にはその利益が他のプレーヤーに直接悪影響を及ぼすため、プロジェクト管理シナリオはゲーム理論でモデル化するのに適しています。

Piraveenan (2019) ^[112]は、レビューの中で、ゲーム理論を使用してプロジェクト管理シナリオをモデル化する例をいくつか示しています。たとえば、投資家には通常、複数の投資オプションがあり、各オプションは異なるプロジェクトにつながる可能性が高いため、プロジェクト憲章を作成する前に、投資オプションの 1 つを選択する必要があります。同様に、建設プロジェクトなど、下請け業者が関与する大規模なプロジェクトでは、メイン コントラクター (プロジェクト マネージャー) と下請け業者の間、または下請け業者同士の間で複雑な相互作用があり、通常は複数の意思決定ポイントがあります。たとえば、請負業者と下請け業者の間の契約に曖昧さがある場合、各社は、プロジェクト全体、つまりプロジェクトにおける自社の利害を損なうことなく、自分の主張をどれだけ強く主張するかを決定する必要があります。同様に、競合組織のプロジェクトが開始されると、マーケティング担当者は、競争に直面しても最大限の牽引力を得るために、プロジェクト、または結果として得られる製品やサービスをマーケティングする最適なタイミングと戦略を決定する必要があります。これらのシナリオのそれぞれにおいて、必要な決定は、何らかの形で意思決定者の利益と競合する利益を持つ他のプレイヤーの決定に依存するため、理想的にはゲーム理論を使用してモデル化できます。

ピラヴィーナン^[112]は、2人用ゲームは主にプロジェクト管理シナリオをモデル化するために使用され、これらのプレーヤーのアイデンティティに基づいて、5つの異なるタイプのゲームがプロジェクト管理で使用されていると要約しています。

• 政府・民間セクターゲーム（官民パートナーシップをモデル化したゲーム）
• 請負業者対請負業者のゲーム
• 請負業者と下請け業者のゲーム
• 下請け業者と下請け業者のゲーム
• 他のプレイヤーが参加するゲーム

ゲームの種類に関しては、協力型と非協力型、通常形式と拡張形式、ゼロサムと非ゼロサムの両方が、さまざまなプロジェクト管理シナリオをモデル化するために使用されます。

ゲーム理論の政治学への応用は、公正な分割、政治経済学、公共選択、戦争交渉、積極的政治理論、社会的選択理論などの重複する領域に焦点を当てています。これらの各領域において、研究者は、プレイヤーが有権者、国家、特別利益団体、政治家であることが多いゲーム理論モデルを開発しました。^[113]

ゲーム理論を政治学に応用した初期の例は、アンソニー・ダウンズによるものである。1957年の著書『民主主義の経済理論^』[114]で、彼はホテリングの企業立地モデルを政治プロセスに適用している。ダウンズモデルでは、政治候補者は1次元の政策空間上でイデオロギーにコミットする。ダウンズはまず、有権者が十分な情報を得た場合、政治候補者が中間層の有権者が好むイデオロギーに収束する様子を示したが、その後、有権者は合理的に無知なままでいることを選択するため、候補者の分散が生じると主張している。ゲーム理論は、1962年にジョン・F・ケネディ大統領時代のキューバ危機に適用された。 ^[115]

また、ゲーム理論はあらゆる形態の政治政府の安定性を説明するとも提案されている。例えば、最も単純な君主制の場合、国王はたった一人の人間であり、国民全員、あるいはかなりの数の国民を個人的に物理的に支配することによって権威を維持することはできない。主権による支配は、代わりに、すべての国民が、国王（または他の確立された政府）を命令に従う人物とみなすことを期待しているという認識によって説明される。君主を交代させるための市民間のコミュニケーションの調整は、君主を交代させるための陰謀は一般に犯罪として処罰されるため、事実上禁止されている。^[116] したがって、囚人のジレンマのバリエーションでモデル化できるプロセスでは、安定期には、すべての市民が集団で行動した方がよいとわかっていても、どの市民も君主を交代させることを合理的だとは思わないだろう。^[要出典]

民主的平和に対するゲーム理論的な説明は、民主主義国における公開討論は、その意図に関する明確で信頼できる情報を他国に伝えるというものである。対照的に、非民主的な指導者の意図、譲歩がどのような効果をもたらすか、約束が守られるかどうかを知ることは難しい。したがって、紛争当事者の少なくとも一方が非民主主義国である場合、不信感と譲歩への不本意が生じることになる。^[117]

しかし、ゲーム理論は、たとえ指導者が戦闘のコストを認識していたとしても、2 つの国が戦争に突入する可能性があると予測しています。戦争は情報の非対称性から生じる可能性があります。2 つの国が保有する軍事資源の量を偽るインセンティブを持つ可能性があり、戦闘に頼らずに紛争をうまく解決できない可能性があります。さらに、戦争はコミットメントの問題から発生する可能性があります。2 つの国が平和的手段で紛争を解決したいが、それぞれがその和解条件を撤回したい場合、戦争に頼る以外に選択肢がない可能性があります。最後に、問題の不可分性から戦争が発生する場合があります。^[118]

ゲーム理論は、国家に適用される新しい規則や法律がある場合の国の反応を予測するのにも役立ちます。一例として、ピーター・ジョン・ウッド（2013）による、気候変動を軽減するために各国が何ができるかを調査した研究があります。ウッドは、温室効果ガスの排出を削減するために他国と条約を結ぶことでこれが達成できると考えました。しかし、彼はこのアイデアは各国に囚人のジレンマを生み出すため機能しないと結論付けました。^[119]

ゲーム理論は、防衛アプリケーションに関連する意思決定シナリオをモデル化するために広く使用されている。^[120] 防衛設定でゲーム理論を適用した研究のほとんどは、指揮統制戦争に関するものであり、さらに (i) 資源配分戦争、(ii) 情報戦争、(iii) 兵器管理戦争、および (iv) 敵監視戦争を扱う研究に分類できます。^[120] 研究された問題の多くは、感知と追跡に関するもので、たとえば、敵の潜水艦を追跡しようとする水上艦と追跡を回避しようとする潜水艦、および両方の船舶によってアクティブ化される方位、速度、およびセンサー技術に関して行われる相互依存的な意思決定などです。Ho ら^{[120] は}、防衛アプリケーションでのゲーム理論の使用に関する最新の技術を簡潔にまとめ、検討されているシナリオでのゲーム理論の利点と限界を強調しています。

経済学とは異なり、生物学におけるゲームの報酬は、適応度に対応すると解釈されることが多い。さらに、合理性の概念に対応する均衡よりも、進化の力によって維持される均衡に焦点が当てられてきた。生物学で最もよく知られている均衡は、進化的に安定な戦略(ESS) として知られ、(Maynard Smith & Price 1973) で初めて導入された。その最初の動機にはナッシュ均衡の精神的要件は何も含まれていなかったが、すべての ESS はナッシュ均衡である。

生物学では、ゲーム理論はさまざまな現象を理解するためのモデルとして使用されてきました。ゲーム理論は、おおよそ 1:1 の性比の進化 (および安定性) を説明するために最初に使用されました。(Fisher 1930) は、1:1 の性比は、孫の数を最大化しようとしていると考えられる個体に作用する進化の力の結果であると示唆しました。

さらに、生物学者は進化ゲーム理論とESSを使用して、動物のコミュニケーションの出現を説明してきました。^[121]シグナリングゲームやその他のコミュニケーションゲームの分析により、動物間のコミュニケーションの進化に関する洞察が得られました。たとえば、多くの種の群れ行動、つまり多数の獲物がより大きな捕食者を攻撃する行動は、自発的な創発組織の例であると思われます。アリもファッションに似たフィードフォワード行動を示すことが示されています（ポール・オーメロッドの「バタフライ・エコノミクス」を参照）。

生物学者は、チキンゲームを利用して、戦闘行動と縄張り意識を分析してきました。^[122]

メイナード・スミスは『進化とゲーム理論』の序文で、「逆説的に、ゲーム理論は、もともと経済行動の分野のために設計されたものよりも、生物学に応用しやすいことが判明した」と述べている。進化ゲーム理論は、自然界の多くの一見矛盾した現象を説明するために使用されてきた。^[123]

こうした現象の 1 つに、生物学的利他主義があります。これは、生物が他の生物に利益をもたらし、自分自身には不利益となるような行動をしているように見える状況です。このような行動は意識的なものではなく、全体的な適応度を高めるための進化的適応であると思われるため、従来の利他主義の概念とは異なります。その例としては、一晩の狩りで得た血を吐き出して餌を食べられなかった群れの仲間に与える吸血コウモリ、生涯女王蜂の世話をして交尾をしない働き蜂、捕食者が近づいてくると群れの仲間に警告し、たとえそれが個体の生存の可能性を危険にさらす場合でも警告するベルベットモンキーなどがあります。 ^[124]これらの行動はすべて、群れの全体的な適応度を高めますが、個体にコストがかかります。

進化ゲーム理論では、この利他主義を血縁選択の考え方で説明する。利他主義者は助ける個体を差別し、近親者をひいきする。ハミルトンの法則は、この選択の背後にある進化論的根拠をc < b × rという等式で説明する。ここで、利他主義者のコストc は、受益者の利益bに血縁係数rを乗じた値よりも小さくなければならない。2 つの生物の血縁関係が近いほど、多くの同じ対立遺伝子を共有するため、利他主義の発生率が上昇する。つまり、利他的な個体は、近親者の対立遺伝子が子孫の生存を通じて受け継がれるようにすることで、同じ数の対立遺伝子が受け継がれるため、自分自身が子孫を持つ選択肢を放棄できる。たとえば、兄弟を助けること (二倍体動物の場合) の係数は1 ⁄ 2である。これは、個体が (平均して) 兄弟の子孫の対立遺伝子の半分を共有するためである。兄弟の子孫のうち十分な数が成人まで生き残ることを保証することは、利他的な個体が子孫を生む必要性を排除する。^[124]係数の値は競技場の範囲に大きく依存する。例えば、誰を好むかの選択にすべての遺伝的生物（すべての親戚だけではない）が含まれる場合、すべての人間の間の相違は競技場の多様性の約1％のみを占めると仮定すると、より小さなフィールドで1 ⁄ 2であった係数は0.995になる。同様に、遺伝的性質以外の情報（例えば、エピジェネティクス、宗教、科学など）が時間を通じて存続すると考えられる場合、競技場はさらに広くなり、相違は小さくなる。

ゲーム理論は論理学とコンピュータサイエンスにおいてますます重要な役割を果たすようになってきている。いくつかの論理理論はゲームセマンティクスを基礎としている。さらに、コンピュータ科学者はゲームを使ってインタラクティブな計算をモデル化してきた。また、ゲーム理論はマルチエージェントシステムの分野に理論的基礎を提供している。^[125]

これとは別に、ゲーム理論はオンラインアルゴリズム、特にkサーバー問題において役割を果たしてきました。kサーバー問題は、過去には移動コストのあるゲームや要求応答ゲームと呼ばれていました。^[126] ヤオの原理は、ランダム化アルゴリズム、特にオンラインアルゴリズムの計算複雑性の下限を証明するためのゲーム理論的手法です。

インターネットの出現は、ゲーム、市場、計算オークション、ピアツーピアシステム、セキュリティおよび情報市場における均衡を見つけるためのアルゴリズムの開発を促進しました。アルゴリズムゲーム理論^[86]とその中のアルゴリズムメカニズム設計^[85]は、計算アルゴリズム設計と複雑システムの分析を経済理論と組み合わせます。^{[127] [128] [129]}

ゲーム理論は哲学においてさまざまな用途に用いられてきた。WVOクワイン (1960, 1967)の 2 つの論文に応えて、ルイス (1969) はゲーム理論を用いて慣習の哲学的説明を展開した。その過程で、彼は初めて共通知識の分析を行い、それを調整ゲームにおけるプレイの分析に使用した。さらに、彼はシグナリング ゲームの観点から意味を理解できると初めて示唆した。この後者の示唆は、ルイス以来、多くの哲学者によって追求されてきた。^{[130] [131]}ルイス (1969) の慣習のゲーム理論的説明に続いて、エドナ ウルマン マルガリット (1977) とビッキエリ(2006) は、混合動機ゲームを調整ゲームに変換した結果生じるナッシュ均衡として社会規範を定義する理論を展開した。^{[132] [133]}

ゲーム理論は、哲学者たちに相互作用的認識論の観点から考えるよう迫ってきた。つまり、集団が共通の信念や知識を持つことが何を意味するのか、そして、この知識がエージェントの相互作用から生じる社会的結果にどのような影響を及ぼすのかを考えることだ。この分野で研究してきた哲学者には、ビッキエリ（1989、1993）、^{[134] [135]} スカイムズ（1990）、^[136]スタルナカー（1999） ^[137]がいる。

ゲーム理論と倫理学の統合はRBブレイスウェイトによって推進された。^[138]ゲーム理論の厳密な数学的分析が、より不正確な哲学的議論を形式化するのに役立つかもしれないという期待があった。しかし、この期待は限られた範囲でしか実現されなかった。^[139]

倫理学では、何人かの著者（特にデイヴィッド・ゴーティエ、グレゴリー・カフカ、ジーン・ハンプトン）^が、トマス・ホッブスの自己利益から道徳を導き出すというプロジェクトを追及しようと試みた。囚人のジレンマの^ようなゲームは道徳と自己利益の間に明らかな対立を呈するため、自己利益のために協力が求められる理由を説明することは、このプロジェクトの重要な要素である。この一般的な戦略は、政治哲学における一般的な社会契約観の要素である（例として、ゴーティエ（1986）およびカフカ（1986）を参照）。^[d]

他の著者は、道徳に関する人間の態度とそれに対応する動物の行動の出現を説明するために、進化ゲーム理論を使用しようとしました。これらの著者は、囚人のジレンマ、鹿狩り、ナッシュ交渉ゲームなど、いくつかのゲームを道徳に関する態度の出現の説明として検討しました (たとえば、Skyrms (1996、2004) および Sober と Wilson (1998) を参照)。

特定の病気に対するワクチン接種の決定は、多くの場合、個人によって行われ、決定を下す際には、さまざまな要因やパラメータ（病気の発生率や蔓延、病気にかかることに関連する認識されたリスクと実際のリスク、死亡率、ワクチン接種に関連する認識されたリスクと実際のリスク、ワクチン接種の経済的コストなど）が考慮される可能性があるため、ゲーム理論は社会におけるワクチン接種の普及をモデル化し予測するために使用されてきました。^{[140] [141]}

ゲーム理論はAI/MLの分野でさまざまな用途に使用されています。不確実な環境で複雑な決定を下すことができる自律システムの開発によく使用されます。^[142] AI/MLコンテキストでのゲーム理論の応用分野には、マルチエージェントシステムの形成、強化学習、^[143]メカニズム設計などがあります。 ^[144]ゲーム理論を使用して他のエージェントの行動をモデル化し、その行動を予測することで、AI/MLシステムはより良い決定を下し、より効果的に動作することができます。^[145]

ウィリアム・パウンドストーンは1993年の著書『囚人のジレンマ』の中でこのゲームについて次のように述べている。^[146]

犯罪組織の 2 人のメンバー、A と B が逮捕され、投獄されました。各囚人は独房に監禁され、パートナーとの連絡手段はありません。主たる罪状は懲役 10 年の判決につながりますが、警察には有罪判決を下す証拠がありません。警察は両者に軽い罪状で懲役 2 年の判決を下す予定ですが、各囚人にファウスト的な取引を持ちかけます。つまり、どちらかが主たる罪状を自白し、もう一方を裏切った場合、赦免されて釈放されますが、もう一方は軽い罪状で 2 年間ではなく、刑期のすべてを服役しなければなりません。

支配的な戦略（したがって、あらゆる相手の戦略に対する最善の対応）は、相手を裏切ることであり、これは確実な原則と一致している。^[147]しかし、両方の囚人が沈黙を守ることは、相互の裏切りよりも両者にとって大きな報酬をもたらすだろう。

「男女の戦い」とは、人間関係、キャリア、社会的役割など、人生のさまざまな領域における男性と女性の間の認識された対立を説明するために使用される用語です。この対立は、映画やテレビ番組などの大衆文化では、男女間のユーモラスまたはドラマチックな競争として描かれることがよくあります。この対立は、ゲーム理論のフレームワークで表現できます。これは非協力ゲームの例です。

「男女の戦い」の例は、大衆メディアにおける人間関係の描写に見ることができる。そこでは、男性と女性は根本的に異なり、互いに対立しているように描かれることが多い。例えば、一部のロマンティックコメディでは、男性と女性の主人公が愛と人間関係に関して反対の見解を持っているように描かれ、一緒にいるためにはこれらの違いを克服しなければならない。^[148]

このゲームでは、純粋戦略のナッシュ均衡が 2 つあります。1 つは両方のプレイヤーが同じ戦略を選択する場合、もう 1 つはプレイヤーが異なるオプションを選択する場合です。ゲームが混合戦略でプレイされ、各プレイヤーがランダムに戦略を選択する場合、ナッシュ均衡の数は無限にあります。ただし、「男女の戦い」ゲームのコンテキストでは、ゲームは純粋戦略でプレイされると想定されるのが一般的です。^[149]

最後通牒ゲームは経済実験の人気の手段となっている。初期の記述は1961年にノーベル賞受賞者のジョン・ハーサニによるものである^。[150]

提案者というプレイヤーには、ある金額が与えられます。提案者は、その金額を別のプレイヤーである応答者（合計金額を知っている）と分けるという任務を負います。提案者が決定を伝えると、応答者はそれを受け入れるか拒否するかを選択できます。応答者が受け入れた場合、お金は提案に従って分割されます。応答者が拒否した場合、両方のプレイヤーは何も受け取りません。両方のプレイヤーは、応答者が提案を受け入れるか拒否するかの結果について事前に知っています。このゲームは、社会的受容、公平性、寛大さがプレイヤーの決定にどのように影響するかを示しています。^[151]

最後通牒ゲームには、独裁者ゲームというバリエーションがあります。独裁者ゲームでは、応答者が提案者の提案を拒否する権限を持たないことを除いて、これらはほとんど同じです。

信頼ゲームは、経済的な決定に対する信頼を測定するために設計された実験です。これは「投資ゲーム」とも呼ばれ、信頼を調査し、自己利益の「合理性」ではなくその重要性を実証するために設計されています。このゲームは、1995年にバーグ・ジョイス、ジョン・ディックハウト、ケビン・マッケイブによって設計されました。^[152]

このゲームでは、あるプレイヤー（投資家）に一定額のお金が与えられ、その内いくらを他のプレイヤー（受託者）に渡すかを決めなければならない。渡された金額は実験者によって3倍にされる。受託者は3倍になった金額のうちいくらを投資家に返すかを決める。もし受取人が完全に自己利益だけを考えていれば、何も返さないはずだ。しかし、実験が進むにつれてそれは真実ではなくなる。結果は、人々は相互関係があると信じて、ある程度のお金を危険にさらすことで信頼を置くことをいとわないことを示唆している。^[153]

クールノー競争モデルでは、プレーヤーは同質の製品の生産量を独立して同時に選択し、限界費用は各企業で異なり、企業の見返りは利益である。生産費用は公開情報であり、企業は他の企業が生産すると予想される量に基づいて利益を最大化する生産量を見つけ、独占企業のように行動することを目指す。このゲームでは、企業は独占量で生産したいが、逸脱して生産量を増やす高いインセンティブがあり、それによって市場均衡価格が下がる。^[23]たとえば、独占量が少なく価格が高い場合、企業は利益を最大化するために生産を増やす目的で独占量から逸脱する誘惑に駆られる可能性がある。^[23]ただし、このオプションは最高の見返りを提供しない。なぜなら、企業の利益最大化能力は市場シェアと市場需要の弾力性に依存するからである。^[154]クールノー均衡は、各企業が他の企業のアウトプットに基づいて最善の反応を示し、逸脱するインセンティブなしに反応関数に基づいて活動しているときに達成されます。^[23]ゲーム内では、クールノー均衡が達成されると、企業はナッシュ均衡に達します。

ベルトラン競争は、同質の製品と一定の限界費用を前提とし、プレーヤーが価格を選択する。^[23]価格競争の均衡は、競争相手の費用に関する完全な情報を前提として、価格が限界費用に等しい場合である。したがって、同質の製品で価格が低いものが市場シェアのすべてを獲得するため、企業は均衡から逸脱するインセンティブを持つ。これはコスト優位性として知られている。^[155]

• シルヴィア・ナサールの1998年の著書^[156]に基づいて、ゲーム理論家であり数学者であるジョン・ナッシュの生涯を描いたこの作品は、 2001年に伝記映画『ビューティフル・マインド』として映画化され、ラッセル・クロウがナッシュ役を演じた^[157]。
• ロバート・A・ハインラインの1959年の軍事SF小説『宇宙の戦士』では、 「ゲーム理論」と「ゲームの理論」について言及されている。^{[158] 1997年}の同名映画では、登場人物のカール・ジェンキンスは、軍事情報部の任務は「ゲームと理論」であると述べている。
• 1964年の映画「博士の異常な愛情」は、抑止理論に関するゲーム理論的な考えを風刺している。例えば、核抑止力は、核攻撃が検知された場合に壊滅的な報復を行うという脅威に依存している。ゲーム理論家は、そのような脅威はサブゲーム不完全均衡につながる可能性があるという意味で、信頼性に欠けると主張するかもしれない。この映画はこの考えをさらに一歩進め、ソ連が脅威を公表することなく壊滅的な核攻撃を行うことを決定的に約束している。^[159]
• 1980年代のパワーポップバンド、ゲーム・セオリーは、シンガーソングライターのスコット・ミラーによって結成された。彼はバンド名を「敵に対して最も適切な行動を計算し 、失敗を最小限に抑える研究」を暗示していると説明した。^[160]
• 2005年の日本の漫画、2007年のテレビシリーズである『ライアーゲーム』では、各エピソードで主人公たちがゲーム理論から導き出されたゲームや問題を提示し、登場人物たちが適用する戦略によってそれが実証される。 ^[161]
• レン・デイトンの1974 年の小説『スパイ物語』は、冷戦時代の軍事演習に関するゲーム理論の要素を探求しています。
• 2008 年に劉慈欣が書いた小説『暗黒の森』は、地球外生命体、人類、ゲーム理論の関係を探求しています。
• 2008 年の映画「ダークナイト」の主な敵役であるジョーカーは、ゲーム理論の概念を提示します。特に、2 つの異なるフェリーの乗客に、自分のフェリーを救うためにもう一方のフェリーを爆破するよう求めるシーンでの囚人のジレンマが顕著です。
• 2018年の映画『クレイジー・リッチ！ 』では、ヒロインのレイチェル・チューはニューヨーク大学の経済学とゲーム理論の教授である。映画の冒頭で、彼女はニューヨーク大学の教室で助手とポーカーをしていて、はったりで勝つ。^[162]そして映画のクライマックスでは、彼女はボーイフレンドの反対する母親エレノアと麻雀をし、わざとエレノアに負けるが、結果的に彼女の承認を得る。^[163]
• 2017年の映画『モリーズ・ゲーム』では、ポーカー経験の浅いブラッドが、気づかないうちに非合理的な賭けの決定を下し、対戦相手のハーランがナッシュ均衡戦略から逸脱する原因となり、ハーランが負けて大きな損失を被るという展開となっている。^[164]

• 応用倫理学 – 道徳的考慮の実践的応用
• 帯域幅共有ゲーム – リソース割り当てゲームの一種
• Chainstore paradox – Game theory paradox
• Collective intentionality – Intentionality that occurs when two or more individuals undertake a task together
• Core (game theory) – term in game theoryPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Glossary of game theory – List of definitions of terms and concepts used in game theory
• Intra-household bargaining – negotiations between members of a household to reach decisionsPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Kingmaker scenario – an endgame situation where a player who is unable to win has the capacity to determine which player among others will winPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Law and economics – Application of economic theory to analysis of legal systems
• Mutual assured destruction – Doctrine of military strategy
• Outline of artificial intelligence – Overview of and topical guide to artificial intelligence
• Parrondo's paradox – Paradox in game theory
• Precautionary principle – Risk management strategy
• Quantum refereed game
• Risk management – Identification, evaluation and control of risks
• Self-confirming equilibrium
• Tragedy of the commons – Self-interests causing depletion of a shared resource
• Traveler's dilemma – non-zero-sum game thought experimentPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Wilson doctrine (economics) – Argument in economic theory
• Compositional game theory

Lists

• List of cognitive biases
• List of emerging technologies
• List of games in game theory

• Ben-David, S.; Borodin, A.; Karp, R.; Tardos, G.; Wigderson, A. (January 1994). "On the power of randomization in on-line algorithms". Algorithmica. 11 (1): 2–14. doi:10.1007/BF01294260. S2CID 26771869.
• Downs, Anthony (1957), An Economic theory of Democracy, New York: Harper
• Fisher, Sir Ronald Aylmer (1930). The Genetical Theory of Natural Selection. Clarendon Press.
• Gauthier, David (1986), Morals by agreement, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-824992-4
• Grim, Patrick; Kokalis, Trina; Alai-Tafti, Ali; Kilb, Nicholas; St Denis, Paul (2004), "Making meaning happen", Journal of Experimental & Theoretical Artificial Intelligence, 16 (4): 209–243, doi:10.1080/09528130412331294715, S2CID 5737352
• Harper, David; Maynard Smith, John (2003), Animal signals, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852685-8
• Howard, Nigel (1971), Paradoxes of Rationality: Games, Metagames, and Political Behavior, Cambridge, MA: The MIT Press, ISBN 978-0-262-58237-7
• Kavka, Gregory S. (1986). Hobbesian Moral and Political Theory. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02765-4.
• Lewis, David (1969), Convention: A Philosophical Study, ISBN 978-0-631-23257-5 (2002 edition)
• Maynard Smith, John; Price, George R. (1973), "The logic of animal conflict", Nature, 246 (5427): 15–18, Bibcode:1973Natur.246...15S, doi:10.1038/246015a0, S2CID 4224989
• Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994), A course in game theory, MIT Press, ISBN 978-0-262-65040-3. A modern introduction at the graduate level.
• Poundstone, William (1993). Prisoner's Dilemma (1st Anchor Books ed.). New York: Anchor. ISBN 0-385-41580-X.
• Quine, W.v.O (1967), "Truth by Convention", Philosophica Essays for A.N. Whitehead, Russel and Russel Publishers, ISBN 978-0-8462-0970-6
• Quine, W.v.O (1960), "Carnap and Logical Truth", Synthese, 12 (4): 350–374, doi:10.1007/BF00485423, S2CID 46979744
• Skyrms, Brian (1996), Evolution of the social contract, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55583-8
• Skyrms, Brian (2004), The stag hunt and the evolution of social structure, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53392-8
• Sober, Elliott; Wilson, David Sloan (1998), Unto others: the evolution and psychology of unselfish behavior, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-93047-6
• Webb, James N. (2007), Game theory: decisions, interaction and evolution, Undergraduate mathematics, Springer, ISBN 978-1-84628-423-6 Consistent treatment of game types usually claimed by different applied fields, e.g. Markov decision processes.

• Aumann, Robert J (1987), "game theory", The New Palgrave: A Dictionary of Economics, vol. 2, pp. 460–82.
• Camerer, Colin (2003), "Introduction", Behavioral Game Theory: Experiments in Strategic Interaction, Russell Sage Foundation, pp. 1–25, ISBN 978-0-691-09039-9, archived from the original on 14 May 2011, retrieved 9 February 2011, Description.
• Dutta, Prajit K. (1999), Strategies and games: theory and practice, MIT Press, ISBN 978-0-262-04169-0. Suitable for undergraduate and business students.
• Fernandez, L F.; Bierman, H S. (1998), Game theory with economic applications, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-84758-1. Suitable for upper-level undergraduates.
• Gaffal, Margit; Padilla Gálvez, Jesús (2014). Dynamics of Rational Negotiation: Game Theory, Language Games and Forms of Life. Springer.
• Gibbons, Robert D. (1992), Game theory for applied economists, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00395-5. Suitable for advanced undergraduates.
  • Published in Europe as Gibbons, Robert (2001), A Primer in Game Theory, London: Harvester Wheatsheaf, ISBN 978-0-7450-1159-2.
• Gintis, Herbert (2000), Game theory evolving: a problem-centered introduction to modeling strategic behavior, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00943-8
• Green, Jerry R.; Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D. (1995), Microeconomic theory, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-507340-9. Presents game theory in formal way suitable for graduate level.
• Joseph E. Harrington (2008) Games, strategies, and decision making, Worth, ISBN 0-7167-6630-2. Textbook suitable for undergraduates in applied fields; numerous examples, fewer formalisms in concept presentation.
• Isaacs, Rufus (1999), Differential Games: A Mathematical Theory With Applications to Warfare and Pursuit, Control and Optimization, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-40682-4
• Maschler, Michael; Solan, Eilon; Zamir, Shmuel (2013), Game Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-1-108-49345-1. Undergraduate textbook.
• Miller, James H. (2003), Game theory at work: how to use game theory to outthink and outmaneuver your competition, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-140020-6. Suitable for a general audience.
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009), Multiagent Systems: Algorithmic, Game-Theoretic, and Logical Foundations, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89943-7, retrieved 8 March 2016
• Watson, Joel (2013), Strategy: An Introduction to Game Theory (3rd edition), New York: W.W. Norton and Co., ISBN 978-0-393-91838-0. A leading textbook at the advanced undergraduate level.
• McCain, Roger A. (2010). Game Theory: A Nontechnical Introduction to the Analysis of Strategy. World Scientific. ISBN 978-981-4289-65-8.

• Aumann, R. J.; Shapley, L. S. (1974), Values of Non-Atomic Games, Princeton University Press
• Cournot, A. Augustin (1838), "Recherches sur les principles mathematiques de la théorie des richesses", Libraire des Sciences Politiques et Sociales
• Edgeworth, Francis Y. (1881), Mathematical Psychics, London: Kegan Paul
• Farquharson, Robin (1969), Theory of Voting, Blackwell (Yale U.P. in the U.S.), ISBN 978-0-631-12460-3
• Luce, R. Duncan; Raiffa, Howard (1957), Games and decisions: introduction and critical survey, New York: Wiley

• reprinted edition: R. Duncan Luce; Howard Raiffa (1989), Games and decisions: introduction and critical survey, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-65943-5

• Maynard Smith, John (1982), Evolution and the theory of games, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28884-2
• Nash, John (1950), "Equilibrium points in n-person games", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 36 (1): 48–49, Bibcode:1950PNAS...36...48N, doi:10.1073/pnas.36.1.48, PMC 1063129, PMID 16588946
• Shapley, L.S. (1953), A Value for n-person Games, In: Contributions to the Theory of Games volume II, H. W. Kuhn and A. W. Tucker (eds.)
• Shapley, L. S. (October 1953). "Stochastic Games". Proceedings of the National Academy of Sciences. 39 (10): 1095–1100. Bibcode:1953PNAS...39.1095S. doi:10.1073/pnas.39.10.1095. PMC 1063912. PMID 16589380.
• von Neumann, John (1928), "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele", Mathematische Annalen, 100 (1): 295–320, doi:10.1007/bf01448847, S2CID 122961988 English translation: "On the Theory of Games of Strategy," in A. W. Tucker and R. D. Luce, ed. (1959), Contributions to the Theory of Games, v. 4, p. 42. Princeton University Press.
• von Neumann, John; Morgenstern, Oskar (1944), "Theory of games and economic behavior", Nature, 157 (3981), Princeton University Press: 172, Bibcode:1946Natur.157..172R, doi:10.1038/157172a0, S2CID 29754824
• Zermelo, Ernst (1913), "Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels", Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians, 2: 501–4

• Allan Gibbard, "Manipulation of voting schemes: a general result", Econometrica, Vol. 41, No. 4 (1973), pp. 587–601.
• McDonald, John (1950–1996), Strategy in Poker, Business & War, W. W. Norton, ISBN 978-0-393-31457-1. A layman's introduction.
• Papayoanou, Paul (2010), Game Theory for Business: A Primer in Strategic Gaming, Probabilistic, ISBN 978-0-9647938-7-3.
• Satterthwaite, Mark Allen (April 1975). "Strategy-proofness and Arrow's conditions: Existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions" (PDF). Journal of Economic Theory. 10 (2): 187–217. doi:10.1016/0022-0531(75)90050-2.
• Siegfried, Tom (2006), A Beautiful Math, Joseph Henry Press, ISBN 978-0-309-10192-9
• Skyrms, Brian (1990), The Dynamics of Rational Deliberation, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-21885-7

• Thrall, Robert M.; Lucas, William F. (1963), "${\displaystyle n}$-person games in partition function form", Naval Research Logistics Quarterly, 10 (4): 281–298, doi:10.1002/nav.3800100126
• Dolev, Shlomi; Panagopoulou, Panagiota N.; Rabie, Mikaël; Schiller, Elad M.; Spirakis, Paul G. (2011). "Rationality authority for provable rational behavior". Proceedings of the 30th annual ACM SIGACT-SIGOPS symposium on Principles of distributed computing. pp. 289–290. doi:10.1145/1993806.1993858. ISBN 978-1-4503-0719-2.
• Chastain, Erick; Livnat, Adi; Papadimitriou, Christos; Vazirani, Umesh (June 2014), "Algorithms, games, and evolution", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 111 (29): 10620–10623, Bibcode:2014PNAS..11110620C, doi:10.1073/pnas.1406556111, PMC 4115542, PMID 24979793

• James Miller (2015): Introductory Game Theory Videos.
• "Games, theory of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Paul Walker: History of Game Theory Page.
• David Levine: Game Theory. Papers, Lecture Notes and much more stuff.
• Alvin Roth:"Game Theory and Experimental Economics page". Archived from the original on 15 August 2000. Retrieved 13 September 2003. — Comprehensive list of links to game theory information on the Web
• Adam Kalai: Game Theory and Computer Science — Lecture notes on Game Theory and Computer Science
• Mike Shor: GameTheory.net — Lecture notes, interactive illustrations and other information.
• Jim Ratliff's Graduate Course in Game Theory (lecture notes).
• Don Ross: Review Of Game Theory in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Bruno Verbeek and Christopher Morris: Game Theory and Ethics
• Elmer G. Wiens: Game Theory — Introduction, worked examples, play online two-person zero-sum games.
• Marek M. Kaminski: Game Theory and Politics Archived 20 October 2006 at the Wayback Machine — Syllabuses and lecture notes for game theory and political science.
• Websites on game theory and social interactions
• Kesten Green's Conflict Forecasting at the Wayback Machine (archived 11 April 2011) — See Papers for evidence on the accuracy of forecasts from game theory and other methods Archived 15 September 2019 at the Wayback Machine.
• McKelvey, Richard D., McLennan, Andrew M., and Turocy, Theodore L. (2007) Gambit: Software Tools for Game Theory.
• Benjamin Polak: Open Course on Game Theory at Yale Archived 3 August 2010 at the Wayback Machine videos of the course
• Benjamin Moritz, Bernhard Könsgen, Danny Bures, Ronni Wiersch, (2007) Spieltheorie-Software.de: An application for Game Theory implemented in JAVA.
• Antonin Kucera: Stochastic Two-Player Games.
• Yu-Chi Ho: What is Mathematical Game Theory; What is Mathematical Game Theory (#2); What is Mathematical Game Theory (#3); What is Mathematical Game Theory (#4)-Many person game theory; What is Mathematical Game Theory ?( #5) – Finale, summing up, and my own view