ポール・エルデシュ

パウル・エルデシュ（ハンガリー語: Erdős Pál [ ˈɛrdøːʃ ˈpaːl ]、1913年3月26日 - 1996年9月20日）はハンガリーの数学者。20世紀で最も多作な数学者の一人であり、数々の数学的予想を生み出した。エルデシュは離散数学、グラフ理論、数論、数学解析、近似理論、集合論、確率論における諸問題に取り組み、またそれらを提唱した。彼の研究の多くは離散数学に集中しており、この分野における多くの未解決問題を解決した。彼は、順序が必然的に現れる条件を研究するラムゼー理論を提唱し、その発展に貢献した。総じて、彼の研究は、数学の新たな分野を開拓したり探求したりするよりも、これまで未解決だった問題を解決することに重点を置いていた。

彼はアメリカとイスラエルの様々な大学で教鞭を執った。エルデシュの業績は多作で、生涯で約1,500の数学論文を発表し、その多くは他の数学者との共同研究であったため、彼は間違いなく歴史上最も多作な数学者と言えるだろう。^{[ a ]}このことから、共著論文の観点から数学者とエルデシュの間の最短経路のステップ数であるエルデシュ数が作成されました。

彼は、500人以上の共同研究者と共に研究を行うなど、数学を社会活動として実践したことで知られていただけでなく、その型破りなライフスタイルでも有名だった。彼は数学は社会的な活動であると固く信じ、他の数学者たちと数学論文を執筆することだけを目的として、放浪生活を送っていた。晩年になっても、彼は起きている時間のすべてを数学に捧げ、 1996年にワルシャワで開催された数学会議で亡くなった。

パウル・エルデシュは1913年3月26日、オーストリア＝ハンガリー帝国のブダペストで生まれた。^{[ 1 ]}アンナ（旧姓ヴィルヘルム）とラヨシュ・エルデシュ（旧姓エングランダー）の唯一の生存子である。 ^{[ 2 ] [ 3 ]} 3歳と5歳の2人の姉は、彼が生まれる数日前に猩紅熱で亡くなった。 ^{[ 4 ]}彼は裕福なハンガリー系ユダヤ人の家庭に生まれ、両親はともに高校の数学教師だった。数学への興味は幼い頃から芽生えた。父親が1914年から1920年にかけてオーストリア＝ハンガリー帝国の捕虜としてシベリアに捕らえられていたため、母親は家計を支えるために長時間働かなければならず、彼はドイツ人の家庭教師に育てられた。 ^{[ 5 ]父親は捕虜生活中に独学で英語を}学んだが、多くの単語の発音を間違えていた^。後にラヨシュが息子に英語を教えたとき、ポールは父親の発音を習得し、生涯にわたってその発音を使い続けた。^{[ 6 ]}

彼は両親が家に置いていた数学の教科書を通して独学で読み方を覚えた。5歳になる頃には、人の年齢が分かれば、その人が何秒生きてきたかを暗算で計算できた。^{[ 5 ]}姉妹が亡くなったため、彼は母親と親密な関係を築き、大学に行くまで二人は同じベッドで寝ていたと言われている。^{[ 7 ] [ 8 ]}

16歳の時、父親が彼に生涯のお気に入りとなる2つの科目、無限級数と集合論を紹介した。高校時代、エルデシュは「中等学校向け数学・物理雑誌」であるKöMaLに毎月掲載される問題に熱心に取り組んだ。^{[ 9 ]}

エルデシュは17歳の時に全国試験に合格し、ブダペスト大学で学び始めた。当時、ハンガリーの大学へのユダヤ人の入学は、ヌメルス・クラウススによって厳しく制限されていた。^{[ 6 ] [ 10 ]}

1933年、エルデシュは、ジョージ・セケレス、エステル・クライン（後のセケレス）、生涯の友人であるマルタ・ヴァクスベルガー（後のスヴェド）、ジョージ・スヴェドを含む数人の学生とともに、シテ​​ィパークの匿名の彫像^{[ 11 ]}の前で頻繁に集まり、数学について議論した。クラインは、証明を提示する問題を提案し^{[ 12 ]} 、セケレスとエルデシュは、1935年にその結果を一般化した論文を書いた^{[ 13 ]。}エルデシュは、ジョージとエステル・セケレスの結婚につながったことから、元の問題を「ハッピーエンド問題」と名付けた^{[ 11 ] 。}

エルデシュは20歳になるまでにベルトランの公準の証明を見つけた。^{[ 10 ]} 1934年、21歳で数学の博士号を授与された。 ^{[ 10 ]}エルデシュの論文指導教官はリポト・フェイェールで、彼はジョン・フォン・ノイマン、ジョージ・ポリア、パール・トゥランの論文指導教官でもあった。^{[ 6 ]}

1934年、エルデシュはイギリスのマンチェスターにあるマンチェスター・ヴィクトリア大学で 博士研究員として働き始め、そこでGHハーディとスタニスワフ・ウラムに出会った。^{[ 6 ] [ 14 ]}

ユダヤ人であったためハンガリーは危険であり、彼は国を離れ、1938年にアメリカ合衆国に移住した。^{[ 10 ]} 1938年、彼はニュージャージー州プリンストンの高等研究所 で奨学生として最初のアメリカでの職に就き、その後10年間その職に就いた。マーク・カッツとアウレル・ウィントナーとの確率的数論に関する優れた論文、パール・トゥランとの近似理論に関する論文、ヴィトルト・フレヴィッチとの次元理論に関する論文にもかかわらず、彼のフェローシップは継続されず、エルデシュはペンシルベニア大学、ノートルダム大学、パデュー大学、スタンフォード大学、シラキュース大学で放浪の学者として職に就かざるを得なかった。^{[ 14 ]}彼は一つの場所に長く留まらず、死ぬまで数学機関を転々とした。

伝記作家のポール・ホフマンは、エルデシュを「おそらく世界で最も風変わりな数学者」と評したが、エルデシュは成人してからの人生のほとんどをスーツケース一つで過ごした。^{[ 15 ]}タイム誌は彼を「変わり者の変わり者」と呼んだ。^{[ 16 ]} 1950年代に共産主義シンパであるという告発に基づいて米国への入国を許可されなかった数年間を除いて、彼の人生は会議やセミナーから次の会議やセミナーへと移動する連続だった。^{[ 15 ]}訪問中、エルデシュはホストに宿泊場所、食事、洗濯、その他必要なものすべてを提供し、次の目的地への移動手段を手配することを期待していた。^{[ 15 ]}

1941年、エルデシュと他の2人は秘密のラジオ塔を偵察していたとして当局に逮捕された。エルデシュは警察に対し、立ち入り禁止の標識に気づくどころか「数学の定理について考えていた」と供述したと伝えられている。FBIは1970年代までエルデシュの監視とファイル作成を続けていたが、有罪となるような証拠は何も見つからなかった。^{[ 17 ]}

1943年、エルデシュはパデュー大学で非常勤講師として働き始めた。^{[ 18 ]}同年、スタニスワフ・ウラムはエルデシュをニューメキシコ州ロスアラモスのマンハッタン計画に、他の数学者や物理学者と共に参加するよう誘った。しかし、エルデシュは戦後ハンガリーに戻りたいという希望を表明した。^{[ 6 ]}

1948年末近く、エルデシュはハンガリーに一時帰国することができ、生き残った家族や友人たちと再会した。その後3年間、彼はイギリスとアメリカを頻繁に行き来し、 1952年にインディアナ州ノートルダム大学の臨時職に就いた。この職は、彼が望むときにいつでも共同研究のために旅行できる完全な自由を与えたが、大学や友人たちの励ましにもかかわらず、彼はその申し出を恒久的に受け入れることはなかった。^{[ 18 ]}当時ハンガリーはソ連とワルシャワ条約機構を結んでいた。ハンガリーは自国民の出入国の自由を制限していたが、1956年にエルデシュには自由に出入国できる特別な特権を与えた。

赤狩りとマッカーシズムの結果、^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]} 1954年、米国移民帰化局はハンガリー国民であるエルデシュの米国への再入国ビザを拒否した。^{[ 22 ]}公式の理由は、彼がその後米国から中国に帰国した中国人の数学者と文通していたことと、エルデシュの1941年のFBIの記録であった。^{[ 18 ]} 彼は1960年代初頭に定期的に米国移民局に再検討を求め、最終的に1963年11月にビザが発給された。この間、彼はイスラエルで約10年間過ごした。^{[ 18 ]}彼はエルサレムのヘブライ大学で3か月間職を与えられ、その後ハイファのテクニオンで「常任客員教授」の職を与えられた。^{[ 23 ]}

1963年、米国移民帰化局はエルデシュにビザを発給し、彼はアメリカの教育機関で教鞭を執り、またアメリカへ旅行するようになった。10年後の1973年、60歳になったエルデシュは自らハンガリーを離れた。^{[ 24 ]}

1985年、彼は南オーストラリア州アデレードにある2つの大学、フリンダース大学^{[ 25 ]}とアデレード大学を訪れた。後者では、当時10歳だった将来有望な数学者テレンス・タオと出会った。エルデシュは子供たちと交流することを楽しんでいたと言われている[26]。彼のオーストラリア旅行は、長年の^{友人であり}共同研究者でもあるハンガリーの数学者ジョージ・セケレスによって促されたものだった^{[ 27 ]}。

エルデシュの問題

エルデシュは、既存の問題を解決するだけでなく、新しい問題を提起することでも知られていました。エルンスト・シュトラウスは彼を「問題提起者の絶対王者」と呼びました。^{[ 45 ]} エルデシュは、キャリアを通じて、未解決の問題の解決に対して報酬を支払いました。^{[ 46 ]}報酬は、彼自身や他の数学者の現在の思考では到底解決できないと感じた問題には25ドル、取り組むのが難しく数学的に重要な問題には1万ドルまでありました。 ^{[ 47 ]}これらの問題の中には、その後解決されたものもあり、最も高額な報酬が支払われた問題、つまり素数ギャップに関するエルデシュの予想は2014年に解決され、1万ドルが支払われました。^{[ 48 ]}

未解決の問題は少なくとも1000個残っていると考えられているが、公式または包括的なリストはない。エルデシュの死後もオファーは有効であり、ロナルド・グラハムが（非公式の）解決策の管理者であり、解決者はエルデシュが生前に署名したオリジナルの小切手（記念品としてのみ、換金不可）か、グラハムからの換金可能な小切手を受け取ることができた。^{[ 49 ]}グラハムの管理者としての役割は後に組み合わせ論財団が引き継ぎ、^{[ 50 ]}現在はスティーブ・バトラーが議長を務めている。イギリスの数学者トーマス・ブルームは2024年にエルデシュの問題専用のウェブサイトを開設した。 ^{[ 51 ]}

これらの問題の中で、おそらく数学的に最も注目すべきは、等差数列に関するエルデシュ予想であろう。

整数列の逆数の和が発散する場合、その数列には任意の長さの等差数列が含まれる。

もしこれが真実であれば、数論における他のいくつかの未解決問題を解決することになるだろう。ただし、この予想の主な帰結の一つである、素数には任意の長さの等差数列が含まれるという点は、その後グリーン・タオの定理として独立に証明されている。この問題の解決に対する報酬は現在5,000米ドルである。^{[ 52 ]}

エルデシュ賞で最もよく知られている問題は、おそらくコラッツ予想、別名3N +  1 問題でしょう。エルデシュは解決策に500ドルを提供しました。^{[ 53 ]}

エルデシュは1983年に5万ドルのウルフ賞を含む多くの賞を受賞しました。しかし、彼の生活様式はお金にほとんど依存せず、「数学会議での講演で得たお金のほとんどを、学生の支援や、彼が提起した問題の解決に対する賞金として寄付した」のです。^{[ 18 ]}

晩年の数十年間で、彼は少なくとも15の名誉博士号を授与された。彼は米国科学アカデミーや英国王立協会を含む8か国の科学アカデミーの会員となった。^{[ 56 ]}死の直前、彼は同僚のエイドリアン・ボンディに対する不当な扱いだと考えたため、ウォータールー大学からの名誉学位を返上した。^{[ 57 ] [ 58 ]}

彼は1977年にオランダ王立芸術科学アカデミーの外国人会員となった。^{[ 59 ]}

その他の賞や栄誉には以下が含まれる：^{[ 18 ]}

• 1951年AMSコール賞（数論部門）
• 1957年英国数学コロキウム基調講演者
• ロンドン数学会名誉会員（1973年）
• 1983年国際数学者会議の講演者

エルデシュの家族の多くは、第二次世界大戦中のブダペストでのホロコーストで、叔母2人、叔父2人、父親を含めて殺害された。生き残ったのは母親だけだった。当時、彼はアメリカに住み、プリンストン高等研究所で働いていた。 ^{[ 10 ] [ 74 ]}しかし、プリンストンでの研究員としての任期は、エルデシュが研究所の基準に合わなかったため、当初予定されていた1年ではなく6ヶ月しか延長されなかった。研究所側は彼を「粗野で型破り」だと考えていた。^{[ 6 ]}

エルデシュは結婚せず、子供もいなかった。^{[ 2 ]}

エルデシュの名前にはハンガリー語の「ő」（二重の鋭アクセントが付いた「o」）が含まれていますが、しばしば「間違いか、または印刷上の必要性から」ErdosまたはErdösと表記されます。 ^{[ 75 ]}

同僚のアルフレッド・レーニは「数学者とはコーヒーを定理に変える機械である」 ^{[ 76 ]}と言い、エルデシュは大量のコーヒーを飲んでいた。この言葉はしばしば誤ってエルデシュのものとされているが^{[ 77 ]} 、エルデシュ自身はレーニの言葉だと述べている^{[ 78 ]} 。 1971年に母親が亡くなった後、友人たちの心配をよそに、エルデシュは抗うつ剤とアンフェタミンを服用し始めた。友人の一人（ロン・グラハム）は、エルデシュが1ヶ月間服用をやめられないと500ドル賭けた。エルデシュは賭けに勝ったが、服用が自分の業績に影響を与えたと不満を漏らした。「君は僕が中毒者ではないことを証明してくれた。でも、仕事が全く進まなかった。朝起きて、真っ白な紙をじっと見つめるだけだった。普通の人と同じように、何も思いつかなかった。君のせいで数学は1ヶ月遅れたよ。」^{[ 79 ]}賭けに勝った後、彼はすぐにリタリンとベンゼドリンの使用を再開した。^{[ 80 ]}

彼は独自の語彙を持っていたが、不可知論的無神論者として、^{[ 81 ] [ 82 ]}神が数学定理の最良かつ最も優雅な証明を書き留めた本を視覚化した「The Book」について語った。 ^{[ 83 ]}彼は少なくとも1970年代後半から「The Book」という表現を使用しており、^{[ 84 ]} 1985年の講演では「神を信じる必要はないが、The Bookは信じるべきだ」と述べた。彼は神の存在を疑っていた。^{[ 85 ]}彼は冗談で彼をSF（「Supreme Fascist」の略）と呼び、靴下やハンガリーのパスポートを隠していること、そして最も優雅な数学的証明を自分の中に留めていることを非難した。特に美しい数学的証明を見ると、「これはThe Bookからのものだ！」と叫んだ。これが後に『 Proofs from the Book』というタイトルの本を執筆するきっかけとなった。^{[ 86 ]}

エルデシュの語彙のその他の特徴的な要素には、次のものがある。^{[ 80 ]}

• 子供たちは「イプシロン」と呼ばれていた。これは、数学、特に微積分において、極めて小さな正の量がギリシャ文字（ε）で表されるのが一般的であるためである。
• 女性は「ボス」であり、結婚することで男性を「奴隷」として「捕らえる」存在だった。離婚した男性は「解放される」存在だった。
• 数学をやめた人は「死んだ」ことになり、死んだ人は「去った」ことになった。
• アルコール飲料は「毒」だった。
• クラシック音楽を除けば、音楽は「騒音」だった。
• 二流の研究者と見なされることは、「ニュートン」のような存在であることと同義だった。
• 数学の講義をすることは、「説教をする」ことだった。
• 数学の講義は「説教」だった。^{[ 87 ]}
• 学生に口頭試験を受けさせることは、彼らを「拷問」することだった。

彼は多くの国にニックネームを付け、例えばアメリカ合衆国は「サムランド」（アンクル・サムにちなんで）^{[ 80 ]}、ソビエト連邦は「ジョードム」（ヨシフ・スターリンにちなんで）^{[ 80 ]}などとした。彼は、老齢（bud̩d̩hā）と愚かさ（buddhū）という言葉がほとんど同じ発音であるため、ヒンディー語が最高の言語だと主張した。 ^{[ 88 ]}

1996年9月20日、83歳でワルシャワでの会議に出席中に心臓発作を起こし亡くなった。^{[ 90 ]}この状況は彼が望んでいた死に方に近いものだった。彼はかつてこう言った。

講義中に黒板で重要な証明を終えようとしているとき、聴衆の一人が「一般の場合はどうなるんですか？」と叫ぶ。私は聴衆の方を向いて微笑み、「それは次の世代に任せます」と言って、そのまま倒れる。^{[ 90 ]}

彼はブダペストのユダヤ人コズマ通り墓地で両親の隣に埋葬されている。^{[ 91 ]}彼は墓碑銘として「ついにバカになるのをやめた」と提案した（ハンガリー語: "Végre nem butulok tovább"）。^{[ 92 ]}

• ポール・エルデシュにちなんで名付けられたトピック一覧 ― 予想、数、賞、定理など
• 箱作りゲーム
• 被覆システム– 残留物クラスのコレクション 
• 次元（グラフ理論）– グラフに関連付けられた整数 
• 偶数回路定理
• 友情グラフ– 頂点を共有する三角形のグラフ 
• ハンガリーの数学― ハンガリーにおける数学の歴史と発展 
• 最小重複問題
• 確率的方法― 数学的証明のための非構成的方法 
• 確率的数論– 数論の分野 
• 火星人（科学者）– ハンガリーの著名な科学者グループ 
• モンティ・ホール問題- 彼はサヴァントの答えに反論したが、最終的には自分が間違っていたことを認めた。

• アイグナー、マルティン；ツィーグラー、ギュンター（2014）。『THE BOOK』の校正刷り。ベルリン；ニューヨーク：シュプリンガー。doi ：10.1007 /978-3-662-44205-0。ISBN 978-3-662-44204-3。

• Google Scholarにインデックス登録されているポール・エルデシュの出版物
• 数学系譜プロジェクトにおけるポール・エルデシュ
• エルデシュの（ほぼ）すべての論文を検索可能なコレクション
• エルデシュが提案した問題のデータベース
• オークランド大学のエルデシュ数プロジェクト
• 数字だけを愛した男、ポール・ホフマンによる公開講演
• ファン・チョン著「グラフ理論におけるポール・エルデシュの未解決問題」