等比数列

数学において、等比級数とは、連続する項の比が一定である無限等比数列の項を和として表した級数のことである。例えば、次の級数である。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\cdots }$は公比を持つ等比数列です。$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$⁠は、 の和に収束します。${\displaystyle 1}$等比数列の各項は、その前の項と次の項の幾何平均であり、等差数列の各項が隣接する項の算術平均であるのと同様です

紀元前5世紀のギリシャの数学者ゼノンの時間と運動に関するパラドックスは幾何級数を用いたものとして解釈されてきたが、幾何級数は1世紀か2世紀後にギリシャの数学者によって正式に研究され、応用された。例えば、紀元前3世紀のアルキメデスは放物線の内側の面積を計算するために幾何級数を用いた。今日では、幾何級数は数理ファイナンス、フラクタルの面積計算、および様々なコンピュータサイエンスの分野で利用されている。

幾何級数は最も一般的には実数または複素数を含むが、行列値幾何級数、関数値幾何級数、${\displaystyle p}$-進数幾何級数、そして最も一般的には抽象代数体、環、半環の要素の幾何級数。

等比級数は、等比数列と呼ばれる特殊な数列から得られる数列です。等比数列とは、初項から次の項を前の項の定数倍して生成し、同じ定数でこのプロセスを続けることで得られる数列です。このような定数は公比と呼ばれます。^{[ a ]}とします。${\displaystyle a}$最初の項とし、${\displaystyle r}$等比数列の公比とする。有限項の場合、等比数列は までの要素から構成される。${\displaystyle n}$第 1 番目の項は次のように表記されます。${\textstyle a,ar,ar^{2},ar^{3},\ldots ,ar^{n}}$上記のすべての項を合計すると、有限等比級数が得られ、^{[ 1 ]のように表されます。}$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}.}$$

いつ${\displaystyle r>1}$成長率または拡大率と呼ばれることが多い。${\displaystyle 0<r<1}$これはしばしば減衰率または縮小率と呼ばれ、それが「率」であるという考えは、${\displaystyle k}$一種の離散時間変数として。アプリケーション分野に特定のタイプの成長、拡大、縮小、衰退を表す専門用語がある場合、その用語はしばしば命名にも使用されます。${\displaystyle r}$等比級数のパラメータ。例えば経済学では、物価水準の上昇率と下降率はインフレ率とデフレ率と呼ばれ、投資価値の上昇率は収益率と金利と呼ばれます。^{[ 2 ]}

のために${\displaystyle r\neq 1}$有限等比級数の和${\displaystyle S_{n}}$0番目の項から${\displaystyle n}$第 1 項は次のように定式化されます。^{[ 1 ]}$${\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}.}$$

等比数列に無限個の項がある場合、等比級数は次のようになります。^{[ 3 ]}$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}.}$$無限級数の結果は収束するか発散するかのいずれかになります。収束とは、無限に多くの項を合計した後に値が存在することを意味し、発散とは、合計した後に値がないことを意味します。等比級数の収束は、公比の値に応じて記述できます。たとえば、グランディ級数は発散する等比級数であり、次のように表すことができます。${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$、最初の項は${\displaystyle 1}$そして公比は${\displaystyle -1}$3つの異なる値を持つため、これは、繰り返しパターンを持つ小数は等比数列として解釈でき、それによって2つの整数の比の式に変換できます。^{[ 4 ]}例えば、繰り返し小数${\displaystyle 0.7777\ldots }$等比級数として表すことができる$${\displaystyle 0.7777\ldots ={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{2}}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)+\cdots ,}$$ここで最初の項は${\displaystyle a={\tfrac {7}{10}}}$そして公比は${\displaystyle r={\tfrac {1}{10}}}$。

収束性を判断するには、公比の大きさを調べればよい。${\displaystyle r}$一人で：

• もし${\displaystyle \vert r\vert <1}$級数の項はゼロに近づき（絶対値がどんどん小さくなり）、部分和の列は${\displaystyle S_{n}}$極限値に収束する${\textstyle {\frac {a}{1-r}}}$[ ^{3 ]​}
• もし${\displaystyle \vert r\vert >1}$級数の項はどんどん大きくなり、項の部分和もどんどん大きくなるので、級数は発散する。^{[ 3 ]}
• もし${\displaystyle \vert r\vert =1}$の場合、級数の項の大きさは大きくも小さくもならず、級数の部分和の列は収束しません。${\displaystyle r=1}$、シリーズのすべての項は同じで、${\displaystyle |S_{n}|}$無限に成長する。${\displaystyle r=-1}$項は2つの値をとる${\displaystyle a}$そして${\displaystyle -a}$交互に、したがって項の部分和の列は2つの値の間で振動する。${\displaystyle a}$および 0。 1 つの例は、グランディの級数に見られます。 公比が虚数単位の場合${\displaystyle r=i}$そして${\displaystyle a=1}$部分和は複素数間で周期的に循環する。${\displaystyle 1}$⁠、 ⁠${\displaystyle 1+i}$⁠、 ⁠${\displaystyle i}$⁠、 ⁠${\displaystyle 0}$⁠、 ⁠${\displaystyle 1}$⁠、 ⁠${\displaystyle 1+i}$⁠、 ⁠${\displaystyle i}$⁠、 ⁠${\displaystyle 0}$⁠、…、決して極限に収束しない。公比が1の根である場合${\displaystyle r=e^{2\pi ip/q}}$有理数の場合${\displaystyle p/q}$最低条件で、${\displaystyle a\neq 0}$数列の部分和は周期で無限に循環する。${\displaystyle q}$決して極限に収束しない。^{[ 5 ]}

収束速度は、数列が極限にどれだけ早く近づくかを示します。等比級数の場合、関連する数列は${\displaystyle S_{n}}$そしてその限界は${\displaystyle S}$—レートとオーダーは以下から見つけられます $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|S_{n+1}-S\right|}{\left|S_{n}-S\right|^{q}}},}$$ どこ${\displaystyle q}$収束次数を表します。${\textstyle |S_{n}-S|=\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|}$収束の順序を選択する${\displaystyle q=1}$結果: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {ar^{n+2}}{1-r}}\right|}{\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|^{1}}}=|r|.}$$ 級数が収束すると、収束速度は遅くなる。${\displaystyle |r|}$アプローチ${\displaystyle 1}$[ ^{6 ]}収束パターンは、^公比の符号または複素引数にも依存する。${\displaystyle r>0}$そして${\displaystyle |r|<1}$すると、すべての項は同じ符号を共有し、項の部分和は最終的な極限に単調に近づきます。${\displaystyle r<0}$そして${\displaystyle |r|<1}$等比数列の隣接する項は正と負が交互に現れ、部分和は${\displaystyle S_{n}}$項は最終的な限界値を超えて上下に振動する${\displaystyle S}$複雑な場合${\displaystyle r}$そして${\displaystyle |r|<1,}$の${\displaystyle S_{n}}$螺旋状に収束する。

収束の証明

収束は次のように証明される。最初の部分和${\displaystyle n+1}$等比数列の項、${\displaystyle r^{n}}$学期、 $${\displaystyle S_{n}=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k},}$$ 閉形式で与えられる $${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}a(n+1)&r=1\\a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ どこ${\displaystyle r}$は公比です。${\displaystyle r=1}$これは単なる単純な足し算であり、等差数列の一例です。部分和の公式は${\displaystyle S_{n}}$と${\displaystyle r\neq 1}$次のように導出できます。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n},\\rS_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n+1},\\S_{n}-rS_{n}&=ar^{0}-ar^{n+1},\\S_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n+1}\right),\\S_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),\end{aligned}}}$$ のために${\displaystyle r\neq 1}$。 として${\displaystyle r}$1に近づくと、多項式の除算またはロピタルの定理によってケースが回復されます${\displaystyle S_{n}=a(n+1)}$[ ^{10 ]​}

として${\displaystyle n}$が無限大に近づくとき、この部分和の数列が極限に収束するためには、 rの絶対値が1 未満でなければなりません。そうなると、級数は絶対収束します。すると、無限級数は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}-{\frac {a}{1-r}}\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n+1}\\&={\frac {a}{1-r}},\end{aligned}}}$$ のために${\displaystyle |r|<1}$[ ^{7 ]​}

この収束結果は、他の級数の項が適切な等比級数によって上から抑えられる場合、それらの級数の収束を証明するためにも広く応用されています。この証明戦略は、無限級数の収束のための比率判定法と根判定法の基礎となっています。 ^{[ 11 ]}

等比級数と同様に、 べき級数には 、等比級数に対応する連続するべき乗に累乗された共通変数を表す 1 つのパラメータがあります。 ${\displaystyle r}$しかし、追加のパラメータがあります ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,}$数列の各項に対して、各項の異なる係数に対して 1 つずつ ${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},\ldots }$単一の追加パラメータではなく ${\displaystyle a}$ すべての項について、共通係数は ${\displaystyle r^{k}}$ 等比級数の各項において。したがって、等比級数は、係数の列が次の条件を満たすべき級数のクラスとみなすことができる。 ${\displaystyle a_{k}=a}$ すべての人々のために ${\displaystyle k}$ そして ${\displaystyle x=r}$[ ^{12 ]​}

この特殊なクラスの冪級数は、例えば組み合わせ論における通常の母関数の研究  や 解析学における発散級数の和など、数学において重要な役割を果たします 。他の多くの冪級数は幾何級数の変換や組み合わせとして表すことができ、幾何級数の公式はそれらの冪級数の公式を計算するための便利なツールにもなります。^{[ 13 ] [ 14 ]}

べき級数として、幾何級数の収束半径は1 である。 ^{[ 15 ]}これは、コーシー・アダマールの定理と、$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1}$$いかなる場合でも${\displaystyle a}$または無限級数の収束の比率判定法の結果として、$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {|ar^{n+1}|}{|ar^{n}|}}=|r|}$$ 収束は、${\displaystyle |r|<1.}$しかし、比率判定法とコーシー・アダマールの定理はどちらも幾何級数の公式を論理的に先行する結果として用いて証明されているため、そのような推論は微妙に循環論法となるだろう。^{[ 16 ]}

前述のように、幾何級数は経済学の分野で応用できます。幾何級数の公比は、物価水準の上昇率と下降率を表すことができ、これらはインフレ率とデフレ率と呼ばれます。一方、投資価値の上昇率には、収益率や金利が含まれます。より具体的には、数理ファイナンスやアクチュアリー数学において、幾何級数は貨幣の時間価値にも応用できます。つまり、永久年金、すなわち将来にわたって毎年支払われる金額の現在価値を表すために使用できます。この種の計算は、住宅ローンなどのローンの年率を計算するために使用されます。また、安定した成長率を仮定した場合の、予想される株式配当の現在価値や金融資産の終末価値を推定するためにも使用できます。しかし、金利が一定であるという仮定は一般的に誤りであり、永久年金の発行者が支払いを継続する能力を失ったり、支払いの約束を終了したりする可能性があるため、支払いが永久に続く可能性は低い。したがって、このような推定は、実際の現在の価値の科学的な予測ではなく、意思決定のためのヒューリスティックなガイドラインにすぎない。 ^{[ 2 ]}

アルキメデスの『放物線の求積法』 [ ^{17 ]で}放物線と直線で囲まれた面積を求めることに加えて、幾何級数は、無限に多くの正三角形の和集合として表されるコッホ雪片の面積を求める際にも適用できます（図を参照）。緑色の三角形の各辺は正確に${\textstyle {\frac {1}{3}}}$大きな青い三角形の一辺と同じ大きさで、したがって正確に${\textstyle {\frac {1}{9}}}$その領域。同様に、各黄色の三角形には${\textstyle {\frac {1}{9}}}$緑色の三角形の面積など。これらの三角形はすべて等比数列で表すことができます。青色の三角形の面積が第1項、3つの緑色の三角形の面積が第2項、12個の黄色の三角形の面積が第3項、といった具合です。最初の1を除くと、この数列には共通の比率があります。${\textstyle r={\frac {4}{9}}}$、青い三角形を面積の単位とすると、雪の結晶の総面積は次のようになります。^{[ 18 ]}$${\displaystyle 1+3\left({\frac {1}{9}}\right)+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots =1+{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}={\frac {8}{5}}.}$$

2500年前、ギリシャの数学者たちは、無限に続く正の数のリストは無限大になると信じていました。そこで、エレアのゼノンは次のようなパラドックスを考案しました。ある場所から別の場所へ歩くには、まずその場所までの距離の半分を歩き、次に残りの距離の半分を歩き、さらにその残りの距離の半分を歩く、というように、無限に多くの区間を歩いてから目的地に到着しなければなりません。そうすることで、彼は一定の距離を、それぞれの長さがゼロより大きい、半分に分割された残りの距離の無限に続くリストに分割しました。ゼノンのパラドックスは、無限に続く正の数のリストは無限大になるという彼らの仮定が間違っていることをギリシャ人に明らかにしました。^{[ 19 ]}

ユークリッド原論第9巻命題35の図解。

アルキメデスによる放物線セグメントを無限個の三角形に分割する実験

ユークリッドの『原論』は、世界で最も古くから継続的に使用されている数学の教科書という特徴を持ち、第9巻命題35には有限等比級数の和の証明が含まれており、隣の図に示されている。^{[ 20 ]}この命題は次のように引用されている。

「もし、比例関係にある多数の数が存在し、最初の数に等しい数が2番目と最後の数から引かれるならば、2番目の数が最初の数に等しい余りを持つように、最後の数がそれ以前のすべての数に等しい余りを持つことになる。」

アルキメデスは著書『放物線の求積法』の中で、等比級数の和を用いて放物線と直線で囲まれた面積を計算しました。アルキメデスの定理によれば、放物線の下の総面積は次のようになります。${\textstyle {\frac {4}{3}}}$青い三角形の面積について。彼の方法は、隣の図に示すように、その領域を無限に多くの三角形に分割することだった。彼は、各緑の三角形が${\textstyle {\frac {1}{8}}}$青い三角形の面積、各黄色い三角形は${\textstyle {\frac {1}{8}}}$緑色の三角形の面積など。青色の三角形の面積が1であると仮定すると、全体の面積は無限級数の和になります。 $${\displaystyle 1+2\left({\frac {1}{8}}\right)+4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}+8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}+\cdots .}$$ ここで、最初の項は青い三角形の面積を表し、2番目の項は2つの緑の三角形の面積を表し、3番目の項は4つの黄色の三角形の面積を表し、以下同様です。分数を簡略化すると次のようになります。 $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots ,}$$ 公比が等しい等比数列${\displaystyle r={\tfrac {1}{4}}}$そしてその合計は次のようになります。^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\ ={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.}$$

ニコル・オレーム^{[ 21 ]}は調和級数の発散の優雅でシンプルな証明に加えて、ガブリエルの階段として知られる算術幾何級数^{[ 22 ]}が$${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+{\frac {6}{64}}+{\frac {7}{128}}+\cdots =2.}$$

実数と複素数のパラメータを持つ等比級数${\displaystyle a}$そして${\displaystyle r}$最も一般的なのは、関数、行列、およびなどのより一般的な用語の等比数列です。${\displaystyle p}$-進数も応用されています。 ^{[ 23 ]}パラメータが与えられた幾何級数を表現するために使用される数学演算は、単純に加算と繰り返し乗算であるため、現代代数学の文脈では、任意の環または体からのパラメータを持つ幾何級数を定義することは。 ^{[ 24 ]}半環からのパラメータを持つ幾何級数へのさらなる一般化はより珍しいですが、応用もあります。たとえば、有理級数によるオートマタの変換のように、変換関数の不動点反復の研究などです。 ^{[ 25 ]}

これらの一般的な等比級数の収束を分析するには、加算と乗算に加えて、級数の部分和間の距離を表す何らかの尺度も必要になります。これにより、関数級数における一様収束と点ごとの収束の区別など、収束の問題に新たな微妙な点が生じ、級数の収束など、実数からの直観とは大きく異なる結果となる可能性があります。${\displaystyle 1+2+4+8+\cdots }$と${\displaystyle a=1}$そして${\displaystyle r=2}$に$${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}=-1}$$2進数の収束指標として2進絶対値を用いる場合、共通係数の2進絶対値は${\displaystyle |r|_{2}=|2|_{2}={\tfrac {1}{2}}}$、これは実数の絶対値の観点からは直感に反するが（${\displaystyle |2|=2,}$当然のことながら）、 p進解析の文脈では十分に正当化される。^{[ 23 ]}

パラメータの乗算が可換でない場合（特に量子力学では、行列や一般的な物理演算子ではしばしばそうではない）、幾何級数の標準的な書き方は、

$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,}$$

右から乗算することは、別の方法と区別する必要があるかもしれない。

$${\displaystyle a+ra+r^{2}a+r^{3}a+\cdots ,}$$

左から乗算し、また対称的に

$${\displaystyle a+r^{\frac {1}{2}}ar^{\frac {1}{2}}+rar+r^{\frac {3}{2}}ar^{\frac {3}{2}}+\cdots ,}$$

両側に半分を掛ける。これらの選択は、伊藤積分と確率微分積分における微小時間スケールでのドリフトと拡散の相互干渉の順序が異なる場合のように、応用において異なる長所と短所を持つ重要な代替案に対応する可能性がある。

• 「等比数列」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
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• カッセルマン、ビル。「幾何級数の幾何学的解釈」 。2007年9月29日にオリジナル（アプレット）からアーカイブされました。
• 「幾何級数」マイケル・シュライバー著、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト、2007年。