自然のパターン

自然界のパターンとは、自然界に見られる目に見える形の規則性です。これらのパターンはさまざまな文脈で繰り返され、数学的にモデル化できる場合もあります。自然のパターンには、対称性、木、螺旋、蛇行、波、泡、モザイク模様、ひび割れ、縞などがあります。^[1]古代ギリシャの哲学者はパターンを研究し、プラトン、ピタゴラス、エンペドクレスらは自然界の秩序を説明しようとしました。現代の目に見えるパターンの理解は、時間の経過とともに徐々に発展してきました。

19世紀、ベルギーの物理学者ジョセフ・プラトーは石鹸の膜を研究し、極小曲面の概念を定式化しました。ドイツの生物学者で芸術家のエルンスト・ヘッケルは、数百の海洋生物を描いてその対称性を強調しました。スコットランドの生物学者ダーシー・トンプソンは、植物と動物の両方の成長パターンの研究の先駆者であり、単純な方程式で螺旋状の成長を説明できることを示しました。20世紀には、英国の数学者アラン・チューリングが、斑点や縞模様を生み出す形態形成のメカニズムを予測しました。ハンガリーの生物学者アリスティド・リンデンマイヤーとフランス系アメリカ人の数学者ブノワ・マンデルブロは、フラクタルの数学がどのように植物の成長パターンを作り出すことができるかを示しました。

数学、物理学、化学は、さまざまなレベルとスケールで自然界のパターンを説明することができます。生物のパターンは、自然選択と性選択という生物学的プロセスによって説明されます。パターン形成の研究では、コンピュータ モデルを使用して、さまざまなパターンをシミュレートします。

古代ギリシャの哲学者たちは、現代の概念を先取りして、自然界の秩序を説明しようとした。ピタゴラス（紀元前570年頃～紀元前495年頃）は、音楽のハーモニーのような自然界のパターンは数から生じると説明し、数を存在の基本的な構成要素とみなした。^[a] エンペドクレス（紀元前494年頃～紀元前434年頃）は、生物の構造に関するダーウィンの進化論的説明をある程度先取りしていた。 ^[b] プラトン（紀元前427年頃～紀元前347年頃）は、自然界の普遍性の存在を主張した。彼は、これらは理想的な形（εἶδος eidos ：「形」）で構成され、物理的物体はその不完全なコピーに過ぎないと考えていた。したがって、花はおおよそ円形かもしれないが、完全な円になることはない。^[2] テオプラストス（紀元前372年頃～紀元前287年頃）は「平らな葉を持つ植物は、葉が規則的に並んでいる」と記し、大プリニウス（紀元後23年～79年）は、葉が円形に並んでいることを記した。^[3]数世紀後、レオナルド・ダ・ヴィンチ（1452年～1519年）は、葉の模様が螺旋状に並んでいること、樹幹が年をとるにつれて年輪が連続して増えることに気づき、樹木の枝の断面積が満たすとされる法則を提唱した。^{[4] [3]}

1202年、レオナルド・フィボナッチは著書『算盤の書』でフィボナッチ数列を西洋世界に紹介した。^[5]フィボナッチは理想的なウサギの個体数の増加に関する思考実験を発表した。^[6]ヨハネス・ケプラー（1571年 - 1630年）は自然界にフィボナッチ数列が存在することを指摘し、それを用いていくつかの花の五角形の形状を説明した。^[3] 1658年、英国の医師で哲学者のトーマス・ブラウン卿は『キュロスの園』で「自然はいかにして幾何学化する」かについて論じ、数字の5を含むピタゴラス数秘術と、プラトンの形の五の目形パターンを引用した。この講演の中心となる章では、植物学における五の目形の例と観察が取り上げられている。^[7] 1754年、シャルル・ボネは、植物の螺旋状の葉序が、時計回りと反時計回りの両方の黄金比の系列で頻繁に表現されることを観察しました。^[3]葉序の数学的観察は、カール・フリードリヒ・シンパーと彼の友人アレクサンダー・ブラウンのそれぞれ1830年と1830年の研究に続きました。オーギュスト・ブラヴェと彼の兄弟ルイは、1837年に葉序比をフィボナッチ数列に関連付け、松ぼっくりとパイナップルにそれが現れることにも注目しました。^{[3]ドイツの心理学者}アドルフ・ツァイジングは、1854年の著書で、植物の各部分の配置、動物の骨格とその静脈と神経の分岐パターン、および結晶に表現される黄金比を研究しました。^{[8] [9] [10]}

19世紀、ベルギーの物理学者ジョセフ・プラトー（1801–1883）は、与えられた境界を持つ極小曲面の存在という数学的問題を定式化し、現在では彼の名が付けられている。彼は石鹸の膜を集中的に研究し、泡の中で膜によって形成される構造を記述するプラトーの法則を定式化した。 ^[11]ケルビン卿は1887年に、等体積の細胞を泡として詰める最も効率的な方法の問題を特定した。彼の解決策は、プラトーの法則を満たすために、わずかに曲面を持つ二切立方ハニカムという1つの固体だけを使用することだった。1993年にデニス・ウィアーとロバート・フェランがウィアー・フェラン構造を提案するまで、これより良い解決策は見つからなかった。北京国家水泳センターは、2008年夏季オリンピックの外壁にこの構造を採用した。^[12]エルンスト・ヘッケル（1834-1919）は海洋生物、特に放散虫の美し​​いイラストを描き、その対称性を強調することで、偽ダーウィンの進化論を裏付けました。^[13]アメリカの写真家ウィルソン・ベントレーは1885年に初めて雪片の顕微鏡写真を撮影しました。 ^[14]

20世紀には、AHチャーチが1904年の著書で葉序のパターンを研究した。^[15] 1917年にダーシー・ウェントワース・トンプソンが『成長と形態について』を出版した。葉序とフィボナッチ数列の記述、植物の螺旋状の成長パターンにおける数学的関係は、動物の角や軟体動物の殻の螺旋状の成長パターンを簡単な方程式で記述できることを示した。^[16] 1952年、コンピューター科学者のアラン・チューリング（1912–1954）は『形態形成の化学的根拠』を執筆した。これは、形態形成と呼ばれるプロセスにおいて、生体にパターンを形成するために必要なメカニズムの分析である。^[17]彼は振動する 化学反応、特にベロウソフ・ジャボチンスキー反応を予測した。チューリングは、これらの活性剤-阻害剤のメカニズムが、動物の縞模様や斑点模様（「チューリングパターン」と呼ばれる）を生成し、植物の葉序に見られる螺旋模様に寄与していると示唆した。^[18] 1968年、ハンガリーの理論生物学者アリスティッド・リンデンマイヤー（1925-1989）は、フラクタルのスタイルで植物の成長パターンをモデル化するために使用できる形式文法であるLシステムを開発しました。^[19] Lシステムには、生成規則を使用して組み合わせて大きな記号の文字列を構築できる記号のアルファベットと、生成された文字列を幾何学的構造に変換するメカニズムがあります。ゴットフリート・ライプニッツ、ゲオルク・カントール、ヘルゲ・フォン・コッホ、ヴァツワフ・シェルピンスキらによるパターンの数学の何世紀にもわたる緩やかな発展の後、1975年に、ブノワ・マンデルブロは有名な論文「ブリテン島の海岸線の長さはどのくらいか？」を執筆しました。統計的自己相似性と分数次元、数学的思考をフラクタルの概念に結晶化しました。^[20]

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  フィボナッチ数列のパターンは、このクイーンサゴ、Cycas circinalisなどの植物に広く見られます。
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  2008 年北京オリンピックの国家水泳センターはウィアー・フェラン構造を採用しています。
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  ダーシー・トンプソンは、1917 年に出版した著書で成長と形態の研究の先駆者となった。

蘭、ハチドリ、孔雀の尾などの生物は、形、模様、色の美しさを備えた抽象的なデザインをしており、芸術家はそれに匹敵するものを作ろうと苦労しています。^[21]人々が自然界で感じる美しさには、さまざまなレベル、特に物理的にどのような模様が形成できるかを支配する数学や、生物の間では模様がどのように進化するかを支配する自然淘汰の影響に原因があります。^[22]

数学はあらゆる種類の抽象的なパターンや規則性を発見し、説明しようとします。^{[23] [24]} 自然界の視覚パターンは、カオス理論、フラクタル、対数螺旋、位相幾何学、その他の数学的パターンで説明できます。たとえば、Lシステムは、木の成長のさまざまなパターンの説得力のあるモデルを形成します。^[19]

物理法則は、数学の抽象概念を現実世界に適用し、しばしばそれが完璧であるかのように扱う。例えば、結晶は転位などの構造上の欠陥がなく、完全に対称である場合に完璧である。数学的に完全であるとは、現実の物体を近似することしかできない。^{[25]自然界の目に見えるパターンは}物理法則によって支配されており、例えば、蛇行は流体力学を使用して説明できる。

生物学では、自然選択は、カモフラージュ^[26]、 性選択^[26]、擬態[ ^27]、清掃共生[ ²⁸ ]などのさまざまな種類のシグナリングなど、いくつかの理由から生物のパターンの発達を引き起こす可能性があります。植物では、ユリのような昆虫受粉 花の形、色、パターンは、ミツバチなどの昆虫を引き付けるために進化しました。放射状の色と縞模様は、紫外線でのみ見えるものもあり、遠くからでも見える蜜ガイドとして機能します。 ^[29]

対称性は生物に広く見られます。動物は主に左右対称または鏡面対称で、植物の葉や蘭などの一部の花も同様です。^[30]植物は放射状または回転対称であることが多く、多くの花やイソギンチャクなどの一部の動物も同様です。棘皮動物にはヒトデ、ウニ、ウミユリなどのグループがあり、五回対称性が見られます。^[31]

無生物の中では、雪の結晶が6回対称性を示す。それぞれの結晶の構造は、結晶化の際のさまざまな条件の記録を形成し、6本の腕のそれぞれでほぼ同じ成長パターンを示す。^[32] 結晶は一般にさまざまな対称性と晶癖を持つ。結晶は立方体や八面体になるが、真の結晶は5回対称性を持つことはできない（準結晶とは異なり）。^[33]回転対称性は、無生物のさまざまなスケールで見られ、水滴が池に落ちたときに形成される王冠型の飛沫模様や、 ^[34]土星のような惑星の球形と環などがある。^[35]

対称性にはさまざまな原因がある。放射状対称性は、成体が動かないイソギンチャクのような生物に適している。餌や脅威はどの方向からでもやってくる可能性があるからだ。しかし、一方向に移動する動物は必然的に上下、頭と尾の端を持ち、したがって左と右を持つ。頭部は口と感覚器官を備えて特殊化し（頭化）、体は左右対称になる（内臓はそうである必要はないが）。^[36]さらに不可解なのは、棘皮動物がなぜ五回（五放射状）対称なのかという理由である。初期の棘皮動物は左右対称であり、その幼生は今でもそうだ。サムラルとレイは、古い対称性が失われたのは発達的原因と生態学的原因の両方があったと主張している。^[37]氷の卵の場合、適度に強い風によって吹き付けられる水の穏やかな撹拌によって、種子粒子の上に同心円状の氷の層が形成され、それが凍結流の中を転がりながら浮遊するボールに成長します。^[38]

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  動物は、このトラのように、鏡像対称または左右対称を示すことがよくあります。
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  このヒトデのような棘皮動物は五回対称性を持っています。
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  五回対称性は、多くの花や、このセイヨウカリンのようないくつかの果物に見られます。
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  雪の結晶は6回対称性を持っています。
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  立方晶系の結晶構造を示す蛍石。
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  水しぶきは放射状対称に近い。
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  菱形十二面体の結晶癖を示すガーネット。
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  イソギンチャクは回転対称性を持っています。
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  ボルボックスは球対称性を持っています。
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  氷の卵は風や海流によって転がされて球状の対称性を獲得します。

木の枝分かれのパターンは、イタリアルネサンス期のレオナルド・ダ・ヴィンチによって描写されています。『絵画論』の中で、彼は次のように述べています。

木の高さのどの段階においても、枝を合わせると、その下の幹の太さと同じ太さになります。^[39]

より一般的なバージョンでは、親枝が2つ以上の子枝に分かれる場合、子枝の表面積の合計は親枝の表面積と同じになります。^[40]同等の定式化は、親枝が2つの子枝に分かれる場合、親枝と2つの子枝の断面直径が直角三角形を形成するというものです。1つの説明は、これにより木が強風に耐えることができるというものです。^[40]生体力学モデルのシミュレーションは、この規則と一致しています。^[41]

フラクタルとは、無限に自己相似で、フラクタル次元を持つ反復的な数学的構成である。^{[20] [42] [43]}自然界では無限の反復は不可能なので、すべての「フラクタル」パターンは近似値にすぎない。例えば、シダやセリ科の植物の葉は、2、3、または4レベルでのみ自己相似（羽状）である。シダのような成長パターンは、コケムシ、サンゴ、エアーシダ、セルチュラリア・アルゲンテアなどのヒドロ虫類、および無生物、特に放電などの植物や動物に見られる。リンデンマイヤーシステムフラクタルは、分岐角度、ノードまたは分岐点間の距離（ノード間長）、分岐点あたりの枝数など、少数のパラメータを変化させることで、さまざまな樹木の成長パターンをモデル化できる。 ^[19]

フラクタルのようなパターンは自然界に広く見られ、雲、河川網、断層線、山、海岸線、^[44] 動物の色彩、雪片、^[45] 結晶、^[46] 血管の分岐、^[47] プルキンエ細胞、^[48] アクチン細胞骨格、^[49]海の波など、さまざまな現象に見られます。^[50]

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  特定の木の成長パターンは、これらのリンデンマイヤー システムフラクタルに似ています。
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  バオバブの木の枝分かれのパターン
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  セリの葉は2羽状または3羽状であり、無限ではない。
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  フラクタル螺旋：自己相似形を示すロマネスコブロッコリー
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  アンジェリカの花頭、球でできた球（自己相似）
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  木:リヒテンベルク図:アクリルポリマーブロックの高電圧絶縁破壊
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  樹木:樹枝状の銅結晶 (顕微鏡で)

螺旋は植物や一部の動物、特に軟体動物によく見られます。例えば、頭足動物のオウムガイでは、殻の各部屋が隣の部屋の近似コピーであり、一定の係数で拡大縮小され、対数螺旋に配置されています。^[51]フラクタルに関する現代の理解では、成長螺旋は自己相似性の特殊なケースと見なすことができます。^[52]

植物の螺旋は、茎における葉の配置である葉序や、ヒマワリのような複合花頭と種子頭、パイナップル^{[15] [54] : 337}やスネークフルーツのような果実構造などの他の部分の配置（寄生^[53] ）に見ることができます。また、複数の螺旋が時計回りと反時計回りの両方に走る松ぼっくりの鱗片のパターンにも見られます。これらの配置は、数学、物理学、化学、生物学のさまざまなレベルで説明でき、それぞれが個別に正しいが、すべてが一緒に必要である。^{[55]葉序の螺旋は}フィボナッチ比から生成できます。フィボナッチ数列は1、1、2、3、5、8、13...（後続の数字はそれぞれ前の2つの数字の合計）です。たとえば、葉が茎に交互に付く場合、螺旋の1回転で2つの葉に触れるため、パターンまたは比率は1/2です。ヘーゼルナッツではその比率は1/3、アプリコットでは2/5、洋ナシでは3/8、アーモンドでは5/13である。^[56]

ヒマワリやデイジーのような円盤状葉序では、小花はフェルマーの螺旋に沿って配置されるが、連続する小花は黄金角137.508°（円を黄金比で分割）だけ離れているため、このことは隠されている。花頭が成熟してすべての要素が同じサイズになると、この間隔はフィボナッチ数個のより明白な螺旋を作り出す。^[57]

物理学の観点から見ると、らせんは最もエネルギーの少ない構成であり^[58]、動的システムにおける自己組織化プロセスを通じて自発的に出現します。^[59]化学の観点から見ると、らせんは活性化と抑制の両方を含む反応拡散プロセスによって生成されます。葉序は、分裂組織の成長を活性化する植物ホルモンであるオーキシンの濃度を操作するタンパク質と、茎の周りの芽の相対的な角度を制御する他のメカニズムによって制御されます。^{[60]生物学的な観点からは、与えられた空間で葉をできるだけ離して配置することは、特に}光合成のための太陽光などの資源へのアクセスを最大化するため、自然選択によって好まれます。^[54]

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  フィボナッチ螺旋
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  ビッグホーン羊、Ovis canadensis
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  螺旋：螺旋アロエ（Aloe polyphylla）の葉序
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  オウムガイの殻の対数成長螺旋
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  フェルマーの螺旋：ヒマワリの種子頭（Helianthus annuus）
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  多重フィボナッチ螺旋：赤キャベツの断面
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  Trochoidea liebetrutiの螺旋状の殻
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  水滴は回転する濡れたボールから等角の螺旋状に飛び散る

数学では、動的システムがカオス的であるとは、初期条件に対して（非常に）敏感である場合（いわゆる「バタフライ効果」^{[61] ）、}位相混合と高密度 周期軌道の数学的特性を必要とする。^[62]

フラクタルと並んで、カオス理論は自然界のパターンに本質的に普遍的な影響を与えるものとして位置づけられる。カオスとフラクタルの間には関係があり、カオス系の奇妙なアトラクターはフラクタル次元を持っている。^[63]パターンを生成する単純な数学的ルールの集合であるセルオートマトンの中には、カオス的な振る舞いをするものがある。スティーブン・ウルフラムのルール30が特に有名である。^[64]

渦列は、流体（主に空気や水）の流れが障害物を通過する際に不安定に分離することによって生じるジグザグの渦巻き模様です。 ^[65]滑らかな（層流）流れは、障害物の大きさや流れの速度が流体の 粘性に比べて十分に大きくなると崩壊し始めます。

蛇行とは、川やその他の水路の曲がりくねった湾曲部で、水などの流体が湾曲部を流れることで形成される。経路がわずかに曲がるとすぐに、らせん状の流れが砂や砂利などの物質を川の向こう側の曲がりくねった内側に引きずり込むため、各ループのサイズと曲率が増加する。ループの外側はきれいで保護されていないため、侵食が加速し、強力な正のフィードバックループで蛇行がさらに増加する。^[66]

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  カオス：腹足類 軟体動物の殻、金色の円錐形の布、コヌス織物は、ルール30 セルオートマトンに似ている
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  流れ：ファンフェルナンデス諸島の雲の渦巻き通り
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  蛇行：宇宙から見たリオネグロ川の広大な氾濫原にある劇的な蛇行跡と三日月形の湖
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  曲がりくねった道：キューバ、リオ・カウトの曲がりくねった道
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  蛇行: 曲がりくねった蛇の這い
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  蛇行サンゴ: 対称脳サンゴ、Diploria strigosa

波は、移動しながらエネルギーを運ぶ擾乱である。機械波は空気や水などの媒体を伝播し、通過するときに媒体を振動させる。 ^[67] 風波は海面波であり、大きな水域に特徴的な無秩序なパターンを作り出すが、その統計的挙動は風波モデルで予測できる。^[68]水や風の波が砂の上を通過すると、さざ波のパターンが作られる。風が大きな砂域を吹き抜けると、砂丘が形成され、タクラマカン砂漠のように広大な砂丘地帯になることもある。砂丘は、三日月形、非常に長い直線、星形、ドーム形、放物線形、縦長またはセイフ（「剣」）形など、さまざまなパターンを形成することがある。^[69]

バルハン砂丘は、砂漠の砂に風が作用して形成される。三日月形の 2 つの角と滑り面は、風下を向いている。砂は、水平から約 15 度の角度にある風上面を吹き抜け、滑り面に落下し、砂の安息角である約 35 度まで堆積する。滑り面が安息角を超えると、砂は雪崩を起こす。これは非線形の挙動である。つまり、少量の砂をたくさん追加しても、特に何も起こらないが、その後、さらに少量を追加すると、突然大量の砂が雪崩を起こす。^{[70]この非線形性を除けば、バルハンはむしろ}孤立波のように動作する。^[71]

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  波: 船の航跡に砕ける波
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  砂丘：宇宙から見たタクラマカン砂漠の砂丘
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  砂丘:バルハン三日月砂丘
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  アフガニスタン、シスタン州で風による波紋と断層撮影

シャボン玉は球体を形成し、これは最小の面積（最小表面積）を持つ表面です。これは、閉じた体積に対して表面積が最小となる表面です。2つのシャボン玉が一緒になる場合はより複雑な形状になります。両方のシャボン玉の外側の表面は球状で、小さいシャボン玉が大きなシャボン玉の中にわずかに膨らんでいるため、これらの表面は3つ目の球面によって結合されます。^[11]

泡は気泡の塊で、自然界には様々な材質の泡が存在する。石鹸膜でできた泡はプラトーの法則に従う。プラトーの法則によれば、3枚の石鹸膜が各辺で120°で交わり、4枚の石鹸膜が各頂点で約109.5°の四面体角で交わる。プラトーの法則ではさらに、膜が滑らかで連続的であること、またどの点でも平均曲率が一定であることも求められる。例えば、膜は一方向（例えば左から右）には上向きに湾曲し、別の方向（例えば前から後ろ）には下向きに湾曲することで、平均してほぼ平坦なままである可​​能性がある。^{[72] [73]}表面が最小限の構造はテントとして使用できる。

生きた細胞のスケールでは、泡沫模様は一般的で、放散虫、海綿動物の 骨針、珪質鞭毛藻の 外骨格、ウニCidaris rugosaの方解石骨格はすべて、プラトー泡沫境界の鉱物鋳型に似ている。^{[74] [75]}エルンスト・ヘッケルが描いた美しい海洋生物である放散虫Aulonia hexagonaの骨格は、まるで六角形で構成された球体のように見えるが、これは数学的に不可能である。オイラー特性によれば、凸多面体の場合、面の数と頂点（角）の数の合計は、辺の数に 2 を加えた数に等しい。この公式の結果、六角形で構成された閉じた多面体には、サッカーボール、バックミンスター・フラー測地線ドーム、フラーレン分子のように、正確に 12 個の五角形が含まれる必要がある。これは、六角形のメッシュは金網のように平らですが、五角形が追加されるごとにメッシュが曲がる（角が少なくなるため、メッシュが引き込まれる）ことに注意することで視覚化できます。^[76]

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  シャボン玉の泡:メタンの 2 つの CH 結合のように、4 つの辺が各頂点で 109.5° に近い角度で交わります。
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  ヘッケルが『自然の芸術』（1904年）で描いた放散虫。
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  ヘッケルのスプメラリア。これらの放散虫の骨格は泡のような形をしています。
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  バックミンスターフラーレンC ₆₀ :リチャード・スモーリーとその同僚は1985 年にフラーレン分子を合成しました。
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  ブロコソーム（ヨコバイによって生成される分泌微粒子）は、多くの場合、フラーレンの形状に近い形状をしています。
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  表面泡内の均等な球体（気泡）
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  サーカステントは最小限の表面積に近似します。

モザイク模様は、平らな表面全体にタイルを繰り返すことで形成されるパターンです。タイルの壁紙グループは17グループあります。^{[77]芸術やデザインでは一般的ですが、正確に繰り返されるタイル模様を生物で見つけることはそれほど簡単ではありません。社会性}スズメバチの紙の巣の細胞や、ミツバチが作る蜂の巣のワックス細胞はよく知られた例です。動物では、硬骨魚、爬虫類、センザンコウ、またはサラクのような果物は、重なり合った鱗または骨皮で保護されており、これらは多かれ少なかれ正確に繰り返される単位を形成しますが、実際には鱗のサイズが連続的に変化していることがよくあります。花では、ヘビの頭ヒョウモン、Fritillaria meleagrisの花びらにモザイク状の市松模様があります。鉱物の構造は、規則的に繰り返される3次元配列の良い例です。数十万の鉱物が知られているにもかかわらず、結晶構造、結晶系、点群によって定義される結晶中の原子の配置の種類はかなり限られている。例えば、 3次元空間の7つの格子系に対して、ブラヴェ格子は正確に14個存在する。 ^[78]

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  結晶:岩塩の立方体結晶。立方晶系、等方六八面体結晶対称性
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  配列：ハニカムは自然なモザイク模様である
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  階段状の結晶習性を示すビスマスホッパー結晶。
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  タイル：ヒョウモンフクロウのモザイク模様の花
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  タイリング: ゴキブリ、Rutilus rut​​ilusの重なり合う鱗
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  タイル張り：スネークフルーツまたはサラク（Salacca zalacca）の重なり合った鱗片
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  モザイク状の舗装：タスマン半島の珍しい岩石層

亀裂は、応力を緩和するために材料に形成される直線状の開口部である。弾性材料が均一に伸びたり縮んだりすると、最終的に破断強度に達し、その後突然全方向に破損し、120 度の接合部を持つ亀裂が生じるため、3 つの亀裂が 1 つの節点で合流する。逆に、非弾性材料が破損すると、応力を緩和するために直線状の亀裂が形成される。同じ方向へのさらなる応力は、既存の亀裂を単に開くだけである。直角の応力は、古い亀裂に対して 90 度の新しい亀裂を生じさせる可能性がある。したがって、亀裂のパターンは、材料が弾性であるかどうかを示す。^[79]オークの樹皮のような丈夫な繊維質材料では、通常どおり応力を緩和するために亀裂が形成されるが、その成長が強い弾性繊維の束によって妨げられるため、亀裂は長くは成長しない。樹木の種類ごとに細胞レベルと分子レベルで独自の構造があるため、樹皮の裂け目のパターンはそれぞれ異なる。^[80]

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  古い陶器の表面、主に90°のひび割れがある白い釉薬
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  主に90°の亀裂があるカッチ湿原の非弾性泥の乾燥
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  90°の亀裂を持つ縞模様の斑れい岩、スカイ島スガー・ナ・ストリ付近
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  シチリア島の弾性泥の乾燥（主に120°の亀裂）
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  ジャイアンツ・コーズウェイの冷却玄武岩。主に120°の垂直の亀裂が六角柱を形成している。
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  枝分かれした縦の亀裂（および横の葉の傷跡）のあるヤシの幹

ヒョウやテントウムシには斑点があり、エンゼルフィッシュやシマウマには縞模様がある。^[81]これらの模様には進化論的な説明がある。つまり、模様のある動物の子孫が生き残って繁殖する可能性を高める機能があるのだ。動物の模様の機能の一つはカモフラージュである。^[26]例えば、見えにくいヒョウはより多くの獲物を捕まえる。もう一つの機能はシグナル伝達である。 ^[27]例えば、テントウムシが目立つ警告色をしていて、また不快なほど苦味や毒性があったり、他の不快な昆虫に擬態していたり​​すると、視覚で狩りをする捕食性の鳥に襲われる可能性が低くなる。若い鳥はテントウムシのような警告模様の昆虫を見つけて食べようとするかもしれないが、これは一度だけで、すぐに苦味のある昆虫を吐き出すので、その場にいる他のテントウムシは邪魔されない。ヒョウやテントウムシの若い鳥は、どういうわけか斑点を作る遺伝子を受け継いで生き残る。しかし、これらの進化論的・機能的議論は、なぜこれらの動物がパターンを必要とするのかを説明する一方で、パターンがどのように形成されるのかを説明していない。^[81]

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  ダイコン蝶、Colobura dirce
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  グレビーシマウマ、Equus grevyi
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  ロイヤルエンゼルフィッシュ、Pygoplites diacanthus
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  ヒョウ、Panthera pardus pardus
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  GG ジェイコブソンによるテントウムシの配列
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  コウイカの繁殖パターン

アラン・チューリング^[17]と、後に数理生物学者のジェームズ・マレー^[82]は、斑点や縞模様を自発的に作り出すメカニズム、すなわち反応拡散システムについて説明した。^{[83]若い生物の細胞には、化学信号である}モルフォゲンによってオンになる遺伝子があり、その結果、ある種の構造、たとえば皮膚の暗い色素斑が成長する。モルフォゲンがあらゆる場所に存在すれば、黒ヒョウのように均一な色素沈着となる。しかし、不均一に分布していると、斑点や縞模様が生じる可能性がある。チューリングは、モルフォゲン自体の生成をフィードバック制御できるのではないかと示唆した。これにより、モルフォゲンが体中に拡散する際に、その量が継続的に変動する可能性がある。定在波パターン（斑点や縞模様を生み出す）を作り出すには、第2のメカニズムが必要である。つまり、モルフォゲンの生成をオフにする阻害化学物質で、それ自体がモルフォゲンよりも速く体内を拡散し、活性化因子-阻害因子スキームを生み出す。ベロウソフ・ジャボチンスキー反応は、この種のスキーム、つまり化学振動子の非生物学的な例である。^[83]

その後の研究では、シマウマの縞模様、キリンの斑点、ジャガーの斑点（暗い破線で囲まれた中程度の暗色の斑点）、テントウムシの殻の模様（斑点と縞模様のさまざまな幾何学的配置、図を参照）など、多様なパターンの説得力のあるモデルを作成することができました。^{[84]チューリングの研究から開発された} リチャード・プラムの活性化抑制モデルは、6つの変数を使用して、最も単純な中央の色素斑から、同心円状の斑点、バー、シェブロン、アイスポット、中央の斑点のペア、対になった斑点の列、およびドットの配列に至るまで、羽毛内の9つの基本的な色素パターンの観察範囲を説明します。^{[85] [86]}より精巧なモデルは、ホロホロチョウNumida meleagrisの複雑な羽毛パターンをシミュレートし、個々の羽毛が基部のバーから遠位端のドットの配列への移行を特徴としています。これらには、空間と時間の両方で相互作用する2つの抑制信号によって生成される振動が必要です。^[86]

タイガー・ブッシュ^[87]やモミの波^[88]の植生景観では、他の理由でパターンが形成されることもあります。タイガー・ブッシュの縞模様は、降雨量によって植物の成長が制限される乾燥した斜面で発生します。ほぼ水平に伸びる植生の縞模様は、そのすぐ上の裸地から雨水を効果的に集めます。^[87]モミの波は、風による撹乱の後、再生期の山の斜面の森林で発生します。木が倒れると、それまで木に守られていた木が露出し、今度は被害を受けやすくなるため、風下の隙間が広がる傾向があります。一方、風上では、残った背の高い木の風の陰に守られて若い木が成長します。^[88]自然のパターンは、時には動物によって形成されることもあります。例えば、アメリカ北西部のミマ・マウンドやその他の地域は、長年にわたるホリネズミの穴掘り活動によって形成されたものと思われます。^[89]一方、ナミビアのいわゆるフェアリー・サークルは、砂漠の植物の間で水をめぐる競争とともに、競合するシロアリのグループの相互作用によって形成されたものと思われます。^[90]

毎年凍結と融解を繰り返す活発な上層を持つ永久凍土では、円形、網目状、氷のくさび形の多角形、階段状、縞模様などの模様の地面が形成される。熱収縮により収縮亀裂が形成される。融解時には水が亀裂を埋め、次に凍結すると膨張して氷を形成し、亀裂をくさび形に広げる。これらの亀裂は結合して多角形やその他の形状を形成することがある。^[91]

脊椎動物の脳に生じる亀裂パターンは、 2つの幾何学的パラメータ（皮質の相対的な接線方向の膨張と皮質の相対的な厚さ）に依存する物理的プロセスによる制約膨張によって引き起こされます。滑らかな層状ゲルから始まる脳のモデルでは、溶媒を追加した後、外層（皮質を表す）が膨張して生じる圧縮機械力によってパターンが生じた、同様の脳回（ピーク）と脳溝（谷）のパターンが実証されています。コンピューターシミュレーションの数値モデルは、表面の折り畳みパターンが脳の大型化で増加するという自然および実験的観察を裏付けています。[ ^{92] [93]}

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  オオフグ、テトラオドン・ムブ
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  フグの皮の模様の詳細
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  ベロウソフ・ジャボチンスキー反応のシミュレーションのスナップショット
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  ホロホロチョウ（Numida meleagris）は、羽毛の内側と体側の両方で、縞模様から斑点模様へと羽が変化します。
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  ニジェールのタイガーブッシュ 高原の航空写真
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  ニューハンプシャー州ホワイトマウンテンのモミの波
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  模様のある地面：カナダ、トゥクトヤクトゥク近郊の溶けたピンゴとそれを囲む氷のくさび形の多角形
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  ナミビアのマリエンフルスタル地域の妖精の輪
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  脳回と脳溝のパターンを示す人間の脳（上面図）

• 発生生物学
• 出現
• 植物の進化の歴史
• 数学と芸術
• 形態形成
• パターン形成
• ウィドマ​​ンシュテッテンパターン

脚注

引用

先駆的な作家

ラテン語のウィキソースには、この記事に関連する原文があります:

リベル・アバチ

• フィボナッチ、レオナルド。リベル・アバチ、1202年。
  • ———— シグラー、ローレンス・E・フィボナッチ訳『算盤の書』 、シュプリンガー、2002年。
• ヘッケル、エルンスト。Kunstformen der Natur (自然の中の芸術形式)、1899 ～ 1904 年。
• トンプソン、ダーシー・ウェントワース。成長と形態について。ケンブリッジ、1917年。

一般書籍

• アダム、ジョン A. 自然の中の数学：自然界のパターンのモデリング。プリンストン大学出版局、2006 年。
• ボール、フィリップ（2009a）。自然のパターン：3部構成のタペストリー。1：形状。オックスフォード大学出版局。
• ボール、フィリップ（2009b）。自然のパターン：3部構成のタペストリー。2：流れ。オックスフォード大学出版局。
• ボール、フィリップ（2009c）。自然のパターン：3部構成のタペストリー。3. 枝。オックスフォード大学出版局。
• ボール、フィリップ。自然のパターン。シカゴ、2016年。
• マーフィー、パット、ニール、ウィリアム。自然の設計。クロニクルブックス、1993年。
• ローゼンバーグ、デイヴィッド（2011年）。『美の生存：芸術、科学、進化』ブルームズベリー・プレス。
• スティーブンス、ピーター S. (1974)。自然のパターン。リトル、ブラウン＆カンパニー。
• スチュワート、イアン(2001)。雪の結晶はどんな形？自然界の不思議な数字。ワイデンフェルド＆ニコルソン。

自然からのパターン（芸術として）

• エドマイヤー、バーナード。『地球のパターン』。ファイドン・プレス、2007年。
• マクナブ、マギー。『自然によるデザイン：デザインにおける普遍的な形態と原理の活用』ニューライダーズ、2012年。
• 中村茂樹。パターンソースブック：自然にインスパイアされた250のパターン。第1巻と第2巻。ロックポート、2009年。
• オニール、ポリー。表面とテクスチャ：ビジュアルソースブック。ブラック、2008年。
• ポーター、エリオット、グレイク、ジェームズ。自然の混沌。バイキングペンギン、1990年。

• フィボナッチ数列と黄金比
• 葉序: 植物のパターン形成を数学的に研究するためのインタラクティブなサイト