べき乗シリーズ

数学において、べき級数（1変数）は、形式の 無限級数であり 、ここで、n_はn番目の項の係数、 cは定数です。べき級数は数学的解析で役立ち、無限に微分可能な関数のテイラー級数として現れます。実際、ボレルの定理は、すべてのべき級数が何らかの滑らかな関数のテイラー級数であることを意味しています。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(xc\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(xc)+a_{2}(xc)^{2}+\dots }$$

多くの場合、c（級数の中心）はゼロに等しくなります。例えば、マクローリン級数を考える場合などです。このような場合、べき級数はより単純な形をとります。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .}$$

数学的解析における役割を超えて、べき級数は、組合せ論において生成関数（形式的なべき級数の一種）として、また電子工学（ Z変換という名前で）においても登場する。実数の一般的な10進表記も、整数係数を持ち、引数x が1 ⁄ 10に固定されたべき級数の例として見ることができる。数論において、 p進数の概念も、べき級数の概念と密接に関連している。

d次の多項式は、任意の中心c の周りのべき級数として表すことができます。ここで、 dより高い次数の項はすべて係数がゼロです。たとえば、多項式は中心の周りのべき級数として次のよう に表すことができます。または、 中心の周りのべき級数として次のように表すことができます。 ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$${\textstyle c=0}$$${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }$$${\textstyle c=1}$$${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots }$$

これはf(x)のテイラー展開が ${\textstyle x=1}$

$${\displaystyle f(x)=f(1)+{\frac {f'(1)}{1!}}(x-1)+{\frac {f''(1)}{2!}}(x-1)^{2}+{\frac {f'''(1)}{3!}}(x-1)^{3}+\cdots ,}$$

および非ゼロ導関数は なので、および は定数です。 ${\textstyle f(x=1)=1+2+3=6}$${\textstyle f'(x)=2x+2}$${\textstyle f'(1)=4}$${\textstyle f''(x)=2}$

あるいは、他の任意の中心c の周りでも展開が可能です。^[1] べき級数は多項式ではありませんが、べき級数を「無限次多項式」のように見ることができます。

に対して有効な等比級数公式は 、指数関数公式 や正弦公式と 同様に、べき級数の最も重要な例の1つである。 $${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$$${\textstyle |x|<1}$$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$$$${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$

すべての実数xに対して有効です。

これらのべき級数もテイラー級数の例です。

負のべき乗はべき級数では許されません。たとえば、はべき級数とはみなされません (ただし、ローラン級数です)。同様に、 などの分数べき乗は許されません (ただし、ピュイズー級数を参照してください)。係数はに依存できません。したがって、たとえば は べき級数ではありません。 ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$${\textstyle a_{n}}$${\textstyle x}$$${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots }$$

べき級数は変数xのいくつかの数値に対して収束し、これには常にx = cが含まれる（通常通り、次のように評価される） 。${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}$${\displaystyle (xc)^{0}}$1 であり、級数の和はx = cに対して となる。この級数は、xの他の値に対しては発散することがある。cが唯一の収束点でない場合は、0 < r ≤ ∞を満たす数r が常に存在し、 | x – c | < rのときは必ず収束し、 | x – c | > r のときは必ず発散する。数rは、べき級数の 収束半径と呼ばれ、一般には、 または、同値 として与えられる （これはコーシー・アダマールの定理である。表記法の説明については、上極限と下極限を参照）。この極限が存在する場合は、関係式 も満たされる。 ${\displaystyle a_{0}}$$${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$$$${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$$$${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$$

| x – c | < rとなる複素数の集合は、その級数の収束円板と呼ばれます。級数は、その収束円板内で絶対収束し、収束円板の すべてのコンパクト部分集合上で一様に収束します。

| x – c | = rの場合、級数の収束に関する一般的な記述はありません。しかし、アーベルの定理によれば、級数が| z – c | = rとなるような値zに対して収束する場合、 x = zに対する級数の和は、x = c + t ( z – c )に対する級数の和の極限となります。ここで、tは t未満の実数です。1傾向がある1 .

2つの関数fとgを同じ中心cの周りのべき級数に分解すると、関数の和または差のべき級数は項ごとの加減算によって得られる。 つまり 、 $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}$$$${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}}$$$${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(xc)^{n}.}$$

2 つのべき級数と が同じ収束半径を持つ場合、 にもこの収束半径があるというのは正しくありません。およびの場合、両方の級数の収束半径は同じ 1 ですが、 級数の収束半径は 3 です。 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$

2つのべき級数の和は、少なくとも、2つの級数の収束半径のうち小さい方の収束半径を持ちます（上記の例に見られるように、どちらよりも大きくなることもあります）。^[2]

およびに対して同じ定義を用いると、関数の積と商のべき級数は次のようにして得られます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}}$$

このシーケンスは、シーケンスとの畳み込みとして知られています。${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$

除算の場合、シーケンスを定義し て 係数 を比較することで 項を再帰的に解くことができます。 ${\displaystyle d_{n}}$$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$$$${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$$${\displaystyle d_{n}}$

対応する方程式を解くと、係数の特定の行列の行列式に基づく公式が得られます。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$ $${\displaystyle d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}$$ $${\displaystyle d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}$$

関数が上記のようにべき級数として与えられると、収束領域の内部で微分可能になります。各項を別々に扱うことで、非常に簡単に 微分および積分できます。${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}}$$

これら両方のシリーズは、元のシリーズと同じ収束半径を持ちます。

RまたはCの開集合U上で定義された関数f は、局所的に収束するべき級数で与えられる場合、解析的と呼ばれます。これは、すべてのa ∈ Uには開近傍V ⊆ Uがあり、すべてのx ∈ Vに対してf ( x )に収束する中心aを持つべき級数が存在することを意味します。

収束半径が正であるすべてのべき級数は、その収束領域の内部で解析的です。すべての正則関数は複素解析的です。解析関数の和と積は解析的であり、分母がゼロでない限り商も同様です。

関数が解析的であれば、無限に微分可能であるが、現実の場合、その逆は一般には成り立たない。解析関数の場合、係数a _{n は}次のように計算できる 。$${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}$$

ここで、 はcにおけるfのn次導関数を表し、 は である。これは、すべての解析関数が局所的にはテイラー級数によって表されることを意味する。 ${\displaystyle f^{(n)}(c)}$${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$

解析関数の大域的形式は、次の意味でその局所的動作によって完全に決定されます。fとgが同じ連結された開集合U上で定義された 2 つの解析関数であり、すべてのn ≥ 0に対してf ^{( n )} ( c ) = g ^{( n )} ( c )となるような要素c ∈ Uが存在する場合、すべてのx ∈ Uに対してf ( x ) = g ( x )となります。

収束半径rの冪級数が与えられている場合、その級数の解析接続、つまり、 { x | | x − c | < r }よりも大きな集合上で定義され、この集合上の与えられた冪級数と一致する解析関数fを考えることができます。数rが最大となるのは、次の意味で、| x − c | = rとなる複素数x が常に存在し、その級数の解析接続がxで定義できないということです。

解析関数の逆関数のべき級数展開は、ラグランジュの逆定理を使用して決定できます。

正の収束半径を持つべき級数の和は、収束円盤の内部のあらゆる点において解析関数です。ただし、その円盤の境界上の点では異なる動作が発生することがあります。例:

1. 和が解析関数 に拡張される間、 は発散します。の収束半径は に等しく、 のすべての点で発散します。 ただし、 の和はであり、 を除く平面のすべての点で解析的です。${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle |z|<1}$${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$${\displaystyle z=1}$
2. いくつかの点では収束し、他の点では発散します。 は収束半径を持ちます。 については収束しますが、 については発散します。${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle z=-1}$${\displaystyle z=1}$
3. 境界のすべての点で絶対収束:は収束半径 を持ちますが、超調和収束級数に適用されたワイエルシュトラスの M テストにより、 のすべての点で絶対的かつ一様に収束します。${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |z|=1}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$
4. 収束円板の閉包上で収束するが、和は連続しない：Sierpińskiは、収束半径 の冪級数の例^[3]を示しており、これは のすべての点で収束するが、和は非有界関数であり、特に不連続である。境界点での片側連続性の十分条件は、アーベルの定理によって与えられる。${\displaystyle 1}$${\displaystyle |z|=1}$

抽象代数学では、実数と複素数の分野に制限されることなく、また収束について話す必要もなく、べき級数の本質を捉えようとします。これは、代数的組合せ論で非常に有用な概念である形式的べき級数の概念につながります。

多変数微積分学の目的には、理論の拡張が必要である。ここで、べき級数は、次の形式の無限級数であると定義される。ここで、 j = ( j ₁ , …, j _n )は自然数のベクトル、係数a _{( j 1 , …, j n )}は通常実数または複素数、中心c = ( c ₁ , …, c _n )および引数x = ( x ₁ , …, x _n )は通常実数または複素数ベクトルである。記号は積記号で、乗算を表す。より便利な多重インデックス表記法では、これは と書くことができ 、 ここで は自然数の集合であり、 は順序付けられたn組の自然数の集合である。 $${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},}$$${\displaystyle \Pi }$$${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.}$$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$

このような級数の理論は、収束領域がより複雑で、一変数級数よりも扱いにくい。例えば、べき級数は、 2つの双曲線の間の集合では絶対収束する。（これは、点の集合（ここで、 は上記の領域にある）が凸集合であるという意味での対数凸集合の例である。より一般的には、c=0のとき、絶対収束領域の内部は常にこの意味での対数凸集合であることを示すことができる。）一方、この収束領域の内部では、通常のべき級数の場合と同様に、級数の符号の下で微分および積分することができる。^[4]${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}$${\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}$${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$

α をべき級数f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n )の多重指数とします。べき級数fの位数は、 の場合、または_f ≡ 0の場合にα ≠ 0が存在するような最小の値として定義されます。特に、単一変数xのべき級数f ( x ) の場合、 fの位数は、係数がゼロでないxの最小のべき数です。この定義は、ローラン級数に容易に拡張されます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \infty }$

• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「べき級数」、数学百科事典、EMS Press

• Weisstein、Eric W.「形式べき級数」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「べき級数」。MathWorld。
• Michael Schreiber 著「複素数の累乗」、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。