魔方陣

数学、特に歴史数学や娯楽数学では、通常は正の整数である数字の正方形配列は、各行、各列、および両方の主対角線の数字の合計が同じである場合に魔方陣と呼ばれます。 ^{[1] [2]}魔方陣の「順序」は、1 辺に沿った整数の数 ( n ) であり、定数の合計は「魔定数」と呼ばれます。配列に正の整数だけが含まれている場合、魔方陣は「正常」であると言われます。一部の著者は、「魔方陣」を「正常魔方陣」を意味すると解釈しています。^[3]${\displaystyle 1,2,...,n^{2}}$

繰り返しのエントリを含む魔方陣はこの定義に該当せず、「自明」と呼ばれます。サグラダ ファミリアの魔方陣やパーカー方陣などのよく知られた例は、この意味で自明です。すべての行と列の合計が魔定数になるが、両方の対角線の合計が魔定数にならない場合、半魔方陣(オルト魔方陣と呼ばれることもあります) になります。

魔方陣の数学的研究は、通常、その構築、分類、および列挙を扱います。すべての順序の魔方陣を作成するための完全に一般的な方法は存在しませんが、歴史的に、境界法、複合魔方陣の作成、および 2 つの予備的な方陣の追加という 3 つの一般的な手法が発見されています。特定のパターンを再現する連続列挙法などのより具体的な戦略もあります。魔方陣は、通常、順序nに従って、 nが奇数の場合は奇数、 nが 4 の倍数の場合は偶数偶数 (「二重偶数」とも呼ばれます)、 nがその他の偶数の場合は奇数偶数 (「単独偶数」とも呼ばれます)に分類されます。この分類は、奇数、偶数偶数、および奇数偶数の方陣を構築するために必要なさまざまな手法に基づいています。これに加えて、さらなる特性に応じて、魔方陣は、結合魔方陣、汎対角魔方陣、最も完全な魔方陣などにも分類されます。さらに難しいことに、特定の順序のすべての魔方陣を、より小さな魔方陣の集合の変換として分類する試みも行われてきました。n ≤ 5 を除いて、より高次の魔方陣の列挙は未だに未解決の課題です。あらゆる順序の最も完全な魔方陣の列挙は、20 世紀後半になってようやく達成されました。

魔方陣の歴史は古く、中国では少なくとも紀元前 190 年にまで遡ります。さまざまな時代にオカルトや神話的な意味合いを帯び、芸術作品のシンボルとして登場してきました。現代では、追加または異なる制約の使用、セルの追加ではなく乗算、代替形状または 2 次元以上の使用、数値を形状に、加算を幾何学的演算に置き換えるなど、さまざまな方法で一般化されています。

3次魔方陣は紀元前190年には中国の数学者に知られており、西暦1世紀には明確に示されていました。4次魔方陣の最初の年代が判明している例は、インドで紀元587年に発生しました。3次から9次の魔方陣の例は、バグダッドの百科事典『清浄兄弟百科事典』（ラサイル・イフワーン・アル・サファ）に登場します 。12世紀末まで には、魔方陣を構築するための一般的な方法が確立されていました。この頃、これらの魔方陣のいくつかは、シャムス・アル・マアリフのように、オカルトの目的で魔法の文字と組み合わせて使用​​されることが増えました。 ^[4]インドでは、1356年にナラヤナによって第4次の全対角魔方陣がすべて列挙されました。魔方陣は、ルネッサンス時代にアラビア語の文献の翻訳を通じてオカルトの対象としてヨーロッパに知られるようになり、中国、インド、中東での先行開発とは関係なく一般理論が再発見されました。また、数学と数秘術の伝統を持つ古代文化でも魔方陣を発見しなかったギリシャ人、バビロニア人、エジプト人、プレコロンブス期のアメリカ人も注目に値します。

3×3魔方陣の偶数と奇数のパターンに関する古代の言及は易経に見られるが、この魔方陣の最初の明白な例は、1世紀の書物『大代礼記』の「明堂」と呼ばれる章に登場し、これは古代中国の周王朝の儀式を記述したものとされている。^{[5] [6] [7] [8]これらの数字は、紀元前190年に書かれたと言われる『数理術}伝承』と呼ばれるおそらくより古い数学書にも登場する。これは記録に残る魔方陣の最古の登場であり、主に占いや占星術に使用された。^[5] 3×3魔方陣は、初期の中国の数学者によって「九堂」と呼ばれていた。^[7] 3×3の魔方陣が伝説の洛書図と同一視されたのは12世紀になってからで、それ以降は洛書方陣と呼ばれるようになった。^{[5] [7]} 3次以上の魔方陣を示す現存する最古の中国論文は、 1275年に書かれた楊慧の『続古算法』である。 ^{[5] [7]}楊慧の論文の内容は国内外の古い著作から集められたもので、3次と4次の魔方陣の構築法のみを説明し、それより大きい魔方陣の完成図は単に伝えている。^[7]彼は、3次の魔方陣、4次から8次の魔方陣をそれぞれ2つずつ、9次の魔方陣を1つ、10次の半魔方陣を1つ挙げている。また、複雑さの異なる6つの魔方陣も挙げている。^[9]

上記の3次から9次の魔方陣は楊慧の論文から引用したもので、洛書の原理が明確に示されています。^{[7] [8]} 5次の魔方陣は縁取りされた魔方陣で、中央の3×3のマス目は洛書の原理に従って形成されています。9次のマス目は複合魔方陣で、9つの3×3のサブマス目も魔方陣です。^[7]楊徽以降、中国の数学では魔方陣が頻繁に登場する。例えば丁易東の『大眼算用』（ 1300年頃）、程大為の『算法通宗』（1593年）、魔方陣、立方体、球体を収録した方仲通の『舒度眼』（1661年）、中国初の10次の魔方陣を発表した張超の『心寨雑図』（1650年頃）、そして最後に様々な3次元の魔方陣を示した鮑其首の『 毘内山方記』（ 1880年頃）などである。 ^{[5] [8]}しかし、魔方陣を最初に発見し、数世紀も先行していたにもかかわらず、中国における魔方陣の発展は、インド、中東、ヨーロッパの発展に比べるとはるかに劣っている。魔方陣を扱った中国数学の最高峰は楊徽の著作にあるように思われる。しかし、古い手法を集めたものとしてさえ、この作品ははるかに原始的で、あらゆる次元の魔方陣を構築するための一般的な手法が欠けている。これは、ビザンチン学者マヌエル・モスコポロスが同時期に書いた同様の作品と比較すると明らかである。^[7]これは、中国の学者たちが洛書原理に夢中になり、それを応用してより高次の魔方陣を解こうとしたため、また楊徽と元朝の崩壊後に、中国の数学における外国の影響を体系的に排除したためであると考えられる。^[7]

日本と中国は数学の伝統が似ており、魔方陣の歴史において繰り返し影響を与え合ってきました。 ^[10]魔方陣に対する日本の関心は、17世紀に楊慧の『算法』と程大為の『算法通宗』という中国の著作が広まった後に始まり、その結果、ほぼすべての和算家がその研究に時間を費やしました。

磯村吉徳は1660年版の『結儀抄』で、奇数と偶数の両方の縁付き魔方陣と魔方陣を描いている。また、同書の1684年版には魔方陣に関する大きな章があり、縁付き魔方陣の一般的な構成法を持っていたことがわかる。^{[11]村松九太夫茂静の}『塵劫記』 （1665年）には、魔方陣と魔方陣の両方が掲載されている。茂静が構築した最大の方陣は19次のものである。野沢貞朝の『同海抄』（1666年）、佐藤誠耕の『今元記』（1666年）、星野実信の『古古元抄』（1673年）にも、様々な魔方陣と魔方陣が出版されている。^[12]関孝和の『法塵延讃』七書（ 1683年）の一冊は、魔方陣と魔方陣だけを扱っている。これは魔方陣の一般的な扱いを示した最初の日本の本であり、奇数、片偶、二重偶の境界を持つ魔方陣を作成するためのアルゴリズムが明確に説明されています。^[13] 1694年と1695年に、安藤友益は魔方陣を作成するためのさまざまな方法を示し、3次から30次の方陣を示しました。4次の魔方陣は、田中義実（1651–1719）によって楽勝奇観（1683）で作成されました。魔方陣の研究は関の弟子、特に建部賢弘（彼の方陣は入江周敬の『一元幸福』第4巻に掲載されています）、松永義助の『方陣心術』 、久留島義弘の『旧氏異考』でアグリッパの与えた奇数方陣を作成する方法を再発見し、 ^[14]安島尚信によって引き継がれました。^{[15] [16]}こうして18世紀初頭までに、日本の数学者は任意の順序の魔方陣を構築する方法を手に入れた。その後、魔方陣を列挙する試みは山路主澄によって始められた。^[16]

3×3の魔方陣は、インドではガルガの『ガルガサンヒター』に初めて登場し、9つの惑星を鎮める（ナヴァグラハ）ために使用することを推奨しています。このテキストの最古のバージョンは西暦100年のものですが、惑星に関する部分は西暦400年より前に書かれたものではありません。インドで3×3の魔方陣が最初に登場したのは、ヴリンダの医学書『シッダヨグ』（西暦 900年頃）で、出産を楽にするために産婦に処方されたものでした。^[17]

世界で年代が判明している最古の第四次魔方陣は、紀元587年頃にヴァラハミヒラが著した百科事典『ブラット・サンヒタ』に見られる。この魔方陣は、16種類の異なる物質から選ばれた4種類の物質を使って香水を作る目的で作られた。方陣の各セルは特定の成分を表し、セル内の数字は関連する成分の割合を表し、列、行、対角線などに沿った成分の任意の4つの組み合わせを混ぜると、混合物の総量は18になる。この本は主に占いに関するものだが、魔方陣は組み合わせ設計の問題として示されており、魔法の特性は何も説明されていない。この魔方陣の特別な特徴は、バトットパラ（紀元 966年頃）によって解説されている^{[18] [17]。}

上に示したヴァラハミヒラの正方形の合計は 18 です。ここでは、1 から 8 までの数字が正方形に 2 回現れます。これは対角線上の魔方陣です。1 から 8 までの 2 セットのどちらかに 8 を加えると、4 つの異なる魔方陣が得られます。このシーケンスは、各行、各列、および各主対角線に 8 が正確に 2 回追加されるように選択されます。右側に示されているのは、考えられる魔方陣の 1 つです。この魔方陣は、13 世紀のイスラム世界で最も人気のある魔方陣の 1 つとして登場した魔方陣を 90 度回転させたものである点で注目に値します。^[19]

4次魔方陣の構築は、10世紀頃に錬金術師ナーガールジュナが著した『カクサプタ』という著作に詳しく記されている。ナーガールジュナが示した方陣はすべて4×4の魔方陣であり、そのうちの1つは彼にちなんでナーガールジュニヤと呼ばれている。ナーガールジュナは、奇数または偶数の魔力の合計が与えられた場合に、基本スケルトン方陣を使用して4×4の魔方陣を構築する方法を示した。^[18]ナーガールジュニヤ方陣は以下に示すとおりで、合計は100である。

ナガルジュニヤ方陣は、汎対角魔方陣です。ナガルジュニヤ方陣は、6 と 16 から始まる 8 つの項を持つ 2 つの等差数列で構成され、連続する項間の共通差は 4 です。これらの 2 つの数列を 1 から 8 までの通常の数列に縮小すると、隣接する方陣が得られます。

12世紀頃、インドのカジュラホにあるパルシュヴァナート寺院の壁に4×4の魔方陣が刻まれている。いくつかのジャイナ教の賛美歌には魔方陣の作り方が書かれているが、年代は不明である。^[17]

知られている限り、インドにおける魔方陣の最初の体系的な研究は、ジャイナ教の学者タッカール・フェルが『ガニタサーラ・カウムディ』（1315年頃）で行った。この著作には、魔方陣に関する9つの詩からなる小節が含まれている。ここでフェルは、位数4の魔方陣を示し、その再配置について言及し、位数に応じて魔方陣を3つ（奇数、偶数偶数、奇数偶数）に分類し、位数6の魔方陣を示し、偶数と奇数の魔方陣をそれぞれ1つずつ構築する方法を規定している。偶数魔方陣の場合、フェルは位数4の構成要素となる魔方陣に分割し、位数4の標準魔方陣のパターンに従って数字をセルに入力する。奇数魔方陣の場合、フェルは馬の動きまたは騎士の動きを使用する方法を示している。アルゴリズムは異なるが、ドゥ・ラ・ルーベールの方法と同じ魔方陣が得られる。^[17]

魔方陣に関する次の包括的な著作は、ナラヤナ・パンディットによるもので、彼は『ガニタ・カウムディ』 （1356年）の第14章で、魔方陣構築の一般的な方法と、そのような構築を支配する原理を示しています。それは、規則に関する55節と例に関する17節で構成されています。ナラヤナは、ナイトの動きを使用して4次のすべての汎魔方陣を構築する方法を示しています。回転と反射によるすべてのバリエーションを含む、384の汎対角魔方陣の数を列挙しています。同じ次数の標準の正方形がわかっている場合に、任意の次数で和が一定の正方形を作成するための3つの一般的な方法、合計が与えられている場合の偶数偶数、奇数偶数、および正方形を作成するための2つの方法をそれぞれ示しています。ナラヤナは、正方形の種類ごとに1つの古い方法を説明していますが、偶数偶数と奇数正方形の重ね合わせの方法と奇数偶数正方形の交換方法は、独自の発明であると主張しています。重ね合わせの方法は後にヨーロッパでデ・ラ・イルによって再発見されました。最後のセクションでは、円、長方形、六角形など、数字を配置することで魔方陣と同様の特性を持つ他の図形を考案しました。^{[18] [17]}以下はナラヤナが構築した魔方陣の一部です。^[18]

8次の魔方陣は、最も完璧な魔方陣の一例であるため、それ自体興味深い。ちなみに、ナラヤナは魔方陣を研究する目的は、ヤントラを構築すること、下手な数学者の自我を破壊すること、そして優れた数学者の喜びのためであると述べた。魔方陣の主題はバドラガニタと呼ばれ、ナラヤナは、それが最初に人間に教えられたのはシヴァ神であると述べた。^[17]

ペルシアやアラビアにおける魔方陣の初​​期の歴史は不明であるが、イスラム以前の時代には知られていたと示唆されている。^{[20]しかし、}中世イスラムでは魔方陣の研究が一般的であったことは明らかであり、この地域にチェスが導入された後に始まったと考えられている。^{[21] [22] [23]} 3次の魔方陣が最初に登場したのはジャービル・イブン・ハイヤーン（721年頃活躍 - 815年頃活躍）の『キターブ・アル・マワジン・アル・サギル（天秤の小書）』で、そこでは魔方陣とそれに関連する数秘術が錬金術と関連付けられている。^[8]魔方陣に関する論文が9世紀に書かれたことは知られているが、現存する最古の論文は10世紀のもので、アブール・ワファ・アル・ブズジャニ（ 998年頃）とアリー・ブン・アフマド・アル・アンタキー（ 987年頃）によるものである。^{[22] [24] [25]}これらの初期の論文は純粋に数学的なものであり、使用された魔方陣のアラビア語の名称は「wafq al-a'dad」であり、これは「数の調和のとれた配置」と訳される。^{[23] 10世紀末までに、ブズジャニとアンタキーによる2つの論文は、中東の数学者が、あらゆる次数の縁取りされた正方形と、複合魔方陣を作成するために使用される小さな次数（} n ≤ 6）の単純な魔方陣の構築方法を理解していたことを明らかにしている。^{[22] [24]}中東の数学者によって考案された3次から9次の魔方陣の例は、バグダッドの 983年頃の百科事典『ラサイル・イフワーン・アル・サファ（清浄なる兄弟の百科事典）』に掲載されている。^[26]ラサイルの3次から7次の魔方陣は以下の通りである。^[26]

11世紀には、奇数と偶数偶数の順序に対する単純な魔方陣を構築するいくつかの方法が発見された。より困難な偶数奇数の場合（n = 4k + 2 ）は、 kが偶数の場合（1040年頃）にイブン・アル・ハイサムによって解決され、11世紀後半ではなくとも、12世紀初頭までには完全に解決された。^[22]同じ頃、汎対角方陣が構築されつつあった。魔方陣に関する条約は11世紀と12世紀に数多くあった。これらの後期の発展は、既存の方法の改良または簡略化となる傾向があった。13世紀以降、魔方陣はますますオカルト目的で使用されるようになった。^[22]しかし、オカルト目的で書かれたこれらの後期のテキストの多くは、特定の魔方陣を描写し、その属性について言及しているだけで、構築の原理については説明しておらず、一般理論を生かしているのは一部の著者のみである。^[22]そのようなオカルティストの一人はアルジェリアのアフマド・アル・ブニ（1225年頃）で、彼は縁取りのある魔方陣を構築する一般的な方法を提示しました。他には17世紀のエジプトのシャブラマリシや18世紀のナイジェリアのアル・キシュナウィなどがいます。^[27]

3次の魔方陣は、ジャービル・イブン・ハイヤーン（活躍721年頃-815年頃）^{[29] [ 30]}とガザール（1058-1111）^[31]の錬金術の著作に初めて文献に登場して以来、子授けのお守りとして説明され、惑星表の伝統の中に保存されてきた。7つの魔方陣と7つの天体の効能との関連が最も古いのは、アンダルシアの学者イブン・ザルカリ（ヨーロッパではアザルキエルとして知られる）（1029-1087）の『惑星の影響に関する書』に現れる。^[32] 1世紀後、アルジェリアの学者アフマド・アル・ブニは、その非常に影響力のある著書『シャムス・アル・マアリフ（グノーシスの太陽と高尚なものの微妙さの書）』の中で、魔方陣に神秘的な性質があると主張し、その構造についても説明しています。7つの惑星に関連付けられた3番目から9番目の一連の魔方陣に関するこの伝統は、ギリシャ語、アラビア語、ラテン語のバージョンで生き残っています。^[33]占星術の計算で魔方陣を使用するという言及もあり、これはアラブ人に由来すると思われます。^{[34] [35]}

ペルシャやアラビアとは異なり、魔方陣がヨーロッパに伝わった経緯については、より詳しい資料が残っている。1315年頃、アラブの資料に影響を受けたギリシャのビザンチン学者マヌエル・モスコポロスは、中東の先人たちの神秘主義を排除した魔方陣に関する数学論文を執筆し、奇数マス目の方法2つと偶数マス目の方法2つを示した。モスコポロスは、17世紀後半にフィリップ・ド・ラ・イルがパリ王立図書館で彼の論文を再発見するまで、ラテンヨーロッパではほとんど知られていなかった。^[36]しかし、彼は魔方陣について書いた最初のヨーロッパ人ではなく、魔方陣はオカルト的な物体としてスペインとイタリアを通じてヨーロッパの他の地域に広まった。魔方陣を掲載した初期のオカルト論文には、魔方陣の構築方法は記載されていなかった。そのため、理論全体を再発見する必要があった。

魔方陣は、ヨーロッパでは11世紀までにアルアンダルスのトレドのイブン・ザルカリによって書かれた「惑星の影響に関する書」で惑星の魔方陣として初めて登場しました。[ 32 ] 3^の魔方陣は、12世紀初頭にユダヤ人学者のアブラハム・イブン・エズラ・オブ・トレドによって数秘術的に議論され、後のカバラ学者に影響を与えました。^[37]イブン・ザルカリの著作は、1280年代にカスティーリャのアルフォンソ10世によって「天体魔術の書」として翻訳されました。^{[38] [39] [32]アルフォンソ}のテキストでは、イスラム文献と同様に、異なる次数の魔方陣がそれぞれの惑星に割り当てられています。残念ながら、議論されたすべての魔方陣のうち、次数5の火星の魔方陣が写本に示されている唯一の魔方陣です。^{[40] [32]}

魔方陣は14世紀にイタリアのフィレンツェで再び登場する。パオロ・ダゴマーリの『そろばん論』の写本には6×6と9×9の正方形が描かれている。^{[41] [42]}パオロ・ダゴマーリは、その後のパチョーリ同様、正方形を数学の問題やゲームを考案するための有用な基礎として言及しており、魔法の用途については何も触れていないのは興味深い。ちなみに、彼はまた、正方形をそれぞれ太陽と月の正方形と呼び、より明確には定義されていない占星術の計算に使用されていると述べている。前述のように、同じ観点がフィレンツェ出身のルカ・パチョーリにも影響を与えたようで、彼は15世紀末までに著書『De Viribus Quantitatis』で3×3から9×9の正方形について述べている。 ^{[43] [44]}

15 世紀末までに、惑星方陣は北ヨーロッパに広まりました。たとえば、ポーランドのクラクフ写本ピカトリクスには、3 次から 9 次の魔方陣が描かれています。クラクフ写本と同じ方陣が、後にパラケルススの著書Archidoxa Magica (1567)にも登場しますが、かなり乱雑な形になっています。1514 年、アルブレヒト デューラーは、有名な版画Melencolia Iで 4×4 の正方形を不滅のものにしました。パラケルススの同時代人ハインリヒ コルネリウス アグリッパ フォン ネッテスハイムは、1531 年に有名な全 3 巻の著書De occulta philosophiaを出版し、第 2 巻の第 22 章を以下に示す惑星方陣に充てています。^[37]アグリッパが示した同じ正方形のセットは、1539年にジローラモ・カルダーノの『算術実習』に再び登場し、そこで彼は「ダイヤモンド法」を使用して奇数順の正方形の構築を説明しています。これは後にバシェによって再現されました。^{[45]惑星正方形の伝統は、}アタナシウス・キルヒャーの『エジプトのオイディプス』（1653年）で17世紀まで引き継がれました。ドイツでは、魔方陣に関する数学的な条約が、1544年にミヒャエル・シュティフェルによって『算術積分』に書かれ、彼は縁取り正方形を再発見し、アダム・リーゼはアグリッパによって出版された奇数順の正方形を構築するための連続番号法を再発見しました。しかし、当時の宗教的動乱のため、これらの研究はヨーロッパの他の地域では知られていませんでした。^[37]

1624年、フランスでクロード・ガスパール・バシェは著書『平易な問題』の中で、アグリッパの奇数次正方形を構成する「ダイヤモンド法」について説明している。1640年、ベルナール・フレニクル・ド・ベッシーとピエール・フェルマーは魔方陣と魔方陣立方体について書簡を交換し、その中の1通でフェルマーは自分の方法で1,004,144,995,344個の8次魔方陣を構成できたと自慢している。^[45]縁取り正方形の構築に関する初期の記述は、アントワーヌ・アルノーの『新幾何学原論』（1667年）で与えられている。^[46]ベルナール・フレニクル・ド・ベッシーは、死後20年後の1693年に出版された2つの論文『魔方陣または表の分類』と『四辺形の魔方陣の一般表』で、 4次の魔方陣がちょうど880個あることを証明した。フレニクルは、偶数次と奇数次の魔方陣を構築する方法を示し、偶数次の魔方陣は境界線を使って構築した。また、魔方陣の行と列を入れ替えると新しい魔方陣が作れることも示した。^[45] 1691年、シモン・ド・ラ・ルーベールは著書『シャムの国』で、奇数次の魔方陣を構築するインドの連続法について説明した。これは彼が外交使節としてシャムから戻る途中に学んだもので、バシェの方法よりも速かった。その仕組みを説明するために、ド・ラ・ルーベールは原数と根号を使用し、2 つの予備的な正方形を加える方法を再発見しました。この方法は、アベ・ポワニャールのTraité des quarrés sublimes (1704)、フィリップ・ド・ラ・イルのMémoires de l'Académie des Sciences for the Royal Academy (1705)、ジョセフ・ソヴールのConstruction des quarrés quarrés magiques (1710) によってさらに研究されました。同心の縁取りされた正方形も 1705 年にド・ラ・イルによって研究され、ソヴールはマジックキューブと文字付き正方形を導入しました。これは後に 1776 年にオイラーによって取り上げられ、オイラーがそれらを考案したとよく言われています。1750 年にドンス＝ル＝ブレイは、縁取り技法を使用して二重偶数と単一偶数の正方形を構成する方法を発見しました。一方、1767年にベンジャミン・フランクリンは、フランクリンの名を冠した方陣の特性を持つ半魔方陣を出版した。^[47]この頃には、魔方陣に付随していた初期の神秘主義は完全に消え去り、この主題は娯楽数学の一部として扱われるようになった。^{[37] [48]}

19世紀、ベルナール・ヴィオールは、全3巻の著書『魔方陣全集（Traité complet des carrés magiques）』（1837年 - 1838年）で魔方陣を包括的に扱い、その中で魔方陣、平行四辺形、平行六面体、円についても説明している。汎対角方陣は、インドのナシク市で学んだアンドリュー・ホリングワース・フロストによって徹底的に研究され（そのため、彼はこれをナシク方陣と呼んだ）、一連の論文で取り上げられている。その論文は、「騎士の道について」（1877年）、「ナシク方陣の一般的性質について」（1878年）、「ナシク立方体の一般的性質について」（1878年）、「あらゆる次数のナシク方陣の構築について」（1896年）である。彼は、正規の単偶汎対角魔方陣は不可能であることを示した。フレデリック・AP・バーナードは著書『魔方陣と魔方陣の理論』（1888年）の中で、象嵌魔方陣や、魔球、魔円筒などの三次元の魔方陣を構築した。 ^[48] 1897年、エムロイ・マクリントックは著書『魔方陣の最も完璧な形について』を出版し、それまで完璧、悪魔的、ナシックと呼ばれていた「汎対角方陣」や「最も完璧な方陣」という言葉を生み出した。

紀元前650年ごろの伝説には、洛書（洛河の巻物）の物語がある。^[8]伝説によると、かつて古代中国で大洪水があった。禹王が洪水の水を海に流そうとしていたとき、亀がそこから現れた。亀の甲羅には奇妙な模様があった。3×3の格子で、円形の点が並んでおり、各行、列、対角線の数字の合計は同じ15だった。伝説によると、その後人々はこの模様をある特定の方法で利用して川を制御し、洪水から身を守ることができたという^[要出典]。亀の甲羅の魔方陣は洛書方陣と呼ばれ、1が底辺、2が右上隅にある唯一の3次の正規魔方陣である。3次の正規魔方陣はすべて、洛書から回転または反射によって得られる。

インドのカジュラホにあるパールシュヴァナート寺院の壁には、12世紀に作られた有名な4×4の通常の魔方陣が刻まれている。^{[18] [17] [49]}

これは、その魔力の合計が 34 であることから、チャウティサ ヤントラ(チャウティサ、34;ヤントラ、文字通り「装置」) として知られています。これは、3 つの 4×4パン対角魔方陣の 1 つであり、最も完全な魔方陣の例でもあります。この魔方陣の研究により、19 世紀後半にヨーロッパの数学者がパン対角魔方陣を評価するようになりました。パン対角魔方陣は、古い英語の文献ではナシック スクエアまたはジャイナ教のスクエアと呼ばれていました。

上で言及した、アルブレヒト・デューラーが1514 年の版画「Melencolia I」で不滅にした4 次正規魔方陣は、ヨーロッパ美術で最初に登場したものと考えられています。木星に関連付けられた魔方陣は、憂鬱を追い払うために使用されるお守りとして現れます。これは、デューラーの時代より約 250 年前に中国で作成された楊輝の魔方陣に非常に似ています。すべての 4 次正規魔方陣と同様に、魔力の合計は 34 です。しかし、デューラーの魔方陣では、この合計は各象限、中央の 4 つの魔方陣、および角の魔方陣 (4×4 のマス目と、4 つの 3×3 のマス目を含む) にも見られます。この合計は、角から時計回りの外側の4つの数字（3+8+14+9）と同様に反時計回りの4つの数字（4つのクイーンのパズルの2つの解答^[50]における4つのクイーンの位置）、2組の対称的な4つの数字（2+8+9+15と3+5+12+14）、2つの外側の列と行の中央の2つのエントリの合計（5+9+8+12と3+2+15+14）、および4つの凧形または十字形のカルテット（3+5+11+15、2+10+8+14、3+9+7+15、および2+6+12+14）にも見られます。最下段の中央の2つの数字は、彫刻の日付1514を示しています。出版日の周囲の数字4、1は、デューラーの頭文字D、Aに対応しているのではないかと推測されています。しかし、もしそれが彼の意図であったなら、正方形の特性を損なうことなく、列 1 と 4 の順序を逆にして「A1514D」を実現できたはずです。

デューラーの魔方陣は魔方陣にも拡張できる。^[51]

バルセロナのサグラダ・ファミリア教会の受難のファサードは、アントニ・ガウディが構想し、彫刻家ジョゼップ・スビラクスが設計したもので、単純な次数4の魔方陣が特徴です。魔方陣の魔力定数は33で、これはイエスの受難当時の年齢です。^{[52]構造的には}メランコリアの魔方陣と非常に似ていますが、4つのセルの数字が1つ減らされています。

このような単純な魔方陣は、一般的に数学的に興味深いものではなく、歴史的な意味を持つだけです。リー・サローズは、スビラックスの魔方陣理論に対する無知のために、この有名な彫刻家は不必要な失策を犯したと指摘し、望ましい魔定数33を示す単純な4×4の魔方陣の例をいくつか挙げてこの主張を裏付けています。^[53]

デューラーの魔方陣と同様に、サグラダ・ファミリアの魔方陣も魔方陣に拡張することができる。^[54]

パーカー方陣は、娯楽数学者マット・パーカーにちなんで名付けられ、^[55] 3  ×  3の魔方陣を作成する試みであり、これはオイラー以来の貴重な未解決問題である。^[56]パーカー方陣は、いくつかの数字を複数回使用し、対角線の23 ² + 37 ² + 47 ²を合計すると、4107、ない3051 は他のすべての行と列、および他の対角線と同じです。パーカー方格は数学文化で人気を博しました。^[要出典]パーカー方格は「挑戦はするものの、結局はうまくいかない人たちのマスコット」になりました。^{[57] [より良い出典が必要]}

レクリエーション数学者マーティン・ガードナーにちなんで名付けられたガードナー方陣は、パーカー方陣に似ており、a、b、c、d を決定する問題として与えられます。^{[出典が必要]}

この解はa = 74、b = 113、c = 94、d = 97の場合、半魔方陣となる。対角線127 ² + b ² + d ²を足すと、38 307、ない他のすべての行と列、および他の対角線については21 609^{です。 [58] [59] [60]}

任意の行、列、または対角線の合計である定数は、魔法定数または魔法和Mと呼ばれます。すべての通常の魔方陣には、次数nに依存する定数があり、式 で計算されます。これは、 の合計がであることに注目することで実証できます。各行の合計は であるため、行の合計は であり、これを次数nで割ると、魔法定数 が得られます。次数n = 3、4、5、6、7、および 8 の通常の魔方陣の場合、魔法定数はそれぞれ 15、34、65、111、175、および 260 です ( OEISのシーケンス A006003 )。 ${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$${\displaystyle 1,2,...,n^{2}}$${\displaystyle n^{2}(n^{2}+1)/2}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle nM=n^{2}(n^{2}+1)/2}$${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$

1×1 魔方陣は、数字 1 を含むセルが 1 つだけあり、魔方陣について議論する際に通常は考慮されないため、単純 と呼ばれます。しかし、1 つのセルを 1 次の正方形と見なすと、定義上は確かに魔方陣になります。

2×2（つまり、n = 2の順序）を除くすべてのサイズの通常の魔方陣を構築できます。^[61]

魔方陣内の数字がさまざまなセルに配置された質量として見られる場合、魔方陣の 質量の中心はその幾何学的中心と一致します。

魔方陣の慣性モーメントは、すべてのセルのセル内の数字と、セルの中心から正方形の中心までの距離の二乗を掛けた合計として定義されています。ここでの測定単位は、1 つのセルの幅です。^[62] (したがって、たとえば 3×3 の正方形の角のセルの距離は 1 で、角以外の端のセルの距離は 1、中心のセルの距離は 0 です。) すると、特定の次数の魔方陣はすべて、互いに同じ慣性モーメントを持ちます。次数 3 の場合、慣性モーメントは常に 60 ですが、次数 4 の場合、慣性モーメントは常に 340 です。一般に、n × nの場合、慣性モーメントは^{[62]です。}${\displaystyle {\sqrt {2}},}$${\displaystyle n^{2}(n^{4}-1)/12.}$

魔方陣の各数を魔定数で割ると、行の合計と列の合計が1になる二重確率行列が得られます。ただし、二重確率行列とは異なり、このような行列の対角和も1になります。したがって、このような行列は二重確率行列のサブセットを構成します。バーコフ・フォン・ノイマンの定理は、任意の二重確率行列 に対して、実数 が存在することを述べています。ここで、および置換行列は次のようになります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$

${\displaystyle A=\theta _{1}P_{1}+\cdots +\theta _{k}P_{k}.}$

この表現は一般に一意ではないかもしれない。しかし、マーカス・リー定理によれば、分解において項が 個以上である必要はない。^[63]明らかに、この分解は魔方陣にも適用され、魔方陣は二重確率行列に魔定数を掛けることで復元できる。 ${\displaystyle k\leq n^{2}-2n+2}$

魔方陣の分類はさまざまな方法で行うことができますが、以下にいくつかの便利なカテゴリを示します。整数 1、2、...、n ^2のn × nの正方形配列は次のように呼ばれます。

• 行と列を合計すると魔法定数が得られる半魔法の正方形。
• 行、列、および 2 つの対角線を合計すると、魔法定数になり、それ以上にならない場合の単純な魔方陣。これらは、通常の魔方陣または標準魔方陣とも呼ばれます。
• 自己補数魔方陣とは、補数化されると（つまり、n ² + 1 から各数値を減算すると）、元の魔方陣の回転または反転バージョンが得られる魔方陣です。
• 結合魔方陣とは、中心から直線上で等距離にある数に任意の数を加えるとn ² + 1になるというさらなる特性を持つ魔方陣です。対称魔方陣とも呼ばれます。結合魔方陣は、偶数次の方陣には存在しません。結合魔方陣はすべて、自己補完魔方陣でもあります。
• パン対角魔方陣とは、破断された対角線の合計が魔定数になるというさらなる特性を持つ魔方陣です。これらは、パンマジック方陣、完全方陣、悪魔方陣、ジャイナ方陣、またはナシック方陣とも呼ばれます。パンマジック方陣は、単独の偶数次に対しては存在しません。ただし、単独の偶数次でない方陣はパンマジックになることがあります。
• 結合魔方陣と汎対角魔方陣の両方である超魔方陣。超魔方陣は、次数n ≥ 5 の場合にのみ存在します。
• 魔方陣であり、外縁の行と列を削除しても魔方陣のままである場合、それは縁取り魔方陣です。正方形の縁を連続的に削除すると、別のより小さな縁取り魔方陣が得られる場合、それらは同心縁取り魔方陣とも呼ばれます。 4 次の場合、縁取り魔方陣は存在しません。
• 複合魔方陣とは、小さな魔方陣を「掛け合わせる」ことで（ある意味で）作成される魔方陣で、複合魔方陣の順序は小さな魔方陣の順序の倍数になります。このような魔方陣は通常、重なり合わない小さなサブ魔方陣に分割できます。
• 構築手法に関係なく、魔法のサブ スクエアが埋め込まれた魔法のスクエアの場合、インレイされた魔法のスクエアと呼ばれます。埋め込まれた魔法のサブ スクエア自体は、インレイと呼ばれます。
• 最も完全な魔方陣とは、汎対角魔方陣であって、さらに次の 2 つの特性 (i) 2×2 の各サブスクエアは魔定数の1/ kを加算する (ここでn = 4 k )、および (ii)任意の対角線 (長対角線または破断対角線) に沿ってn /2 離れたすべての整数ペアが補数である (つまり、合計するとn ² + 1 になる) という特性を持つ方陣である。最初の特性はコンパクト性、2 番目の特性は完全性と呼ばれる。最も完全な魔方陣は、二重偶数位のスクエアに対してのみ存在する。位数 4 のすべての汎対角スクエアも最も完全である。
• フランクリンの魔方陣は、二重偶数魔方陣であり、さらに 3 つの特性 (i) 曲がった対角線ごとに魔定数が加算される、(ii) 外縁から始まる半行および半列ごとに魔定数が半分に加算される、(iii) 方陣がコンパクトである を備えています。
• 1 ≤ k ≤ Pの場合、その数字がすべてk乗に置き換えられても魔法のままである魔方陣の場合、マルチマジック方陣と呼ばれます。これらは、 P マルチマジック方陣またはサタニック方陣とも呼ばれます。 Pの値がそれぞれ 2、3、4、5 の場合、これらはバイマジック方陣、トライマジック方陣、テトラマジック方陣、ペンタマジック方陣とも呼ばれます

低次の正方形

1 次魔方陣 (自明な) は 1 つだけ存在し、2 次魔方陣はありません。前述のように、3 次魔方陣の集合は単一の同値類を構成し、すべて洛書魔方陣と等価です。したがって、基本的に 3 次魔方陣は 1 つだけです。

回転と反射を除いた、 nが 1 から 6 までの異なるn × n魔方陣の数は次のとおりです。

1、0、1、880、275305224、17753889197660635632。（OEISの配列A006052）

n = 6の数値はこれまで(1.7745 ± 0.0016) × 10 ¹⁹と推定されていた。^{[64] [65] [62]}

魔法の鳥

上記のシーケンスを相互参照すると、新しい分類では、これらの魔方陣を表示する魔方陣が列挙されます。1から 5 までの n次魔方陣の数は次のとおりです。

1、0、1、255、251449712（OEISの配列A270876）。

高次の正方形とトーラス

異なる正規魔方陣の数は高次の次元では急速に増加する。^[66]

4次の880個の魔方陣は4次の255個の魔方陣上に表示され、5次の275,305,224個の魔方陣は5次の251,449,712個の魔方陣上に表示される。魔方陣の数と異なる通常の方陣の数は、それぞれ5次と6次を超える次数ではまだわかっていない。^{[67] [出典が必要]}

アルゴリズムは特定のタイプまたは分類の魔方陣のみを生成する傾向があるため、すべての可能性のある魔​​方陣を数えることは非常に困難です。従来のカウント方法はうまくいかないことが証明されているため、モンテカルロ法を使用した統計分析が適用されています。魔方陣に適用される基本原理は、要素1からn ^2までのn × n行列をランダムに生成し、結果が魔方陣であるかどうかを確認することです。ランダムに生成された数値の行列が魔方陣である確率を使用して、魔方陣の数を概算します。^[68]

交換モンテカルロ法やモンテカルロバックトラッキング法など、モンテカルロ法のより複雑なバージョンでは、さらに正確な推定値が得られます。これらの方法を使用すると、魔方陣の確率は n が増加するにつれて急速に減少することが示されています。フィッティング関数を使用すると、右に示す曲線が得られます。

• 同じ位数の任意の 2 つの魔方陣を行列の加算によって合計すると、魔方陣になります。
• 魔方陣は、その中のすべての数字が同じ線形変換（つまり、 f ( x ) = m x + bの形式の関数）を受けるとき、魔方陣のままである。例えば、魔方陣はその数字に任意の定数を掛けても魔方陣のままである。 ^[69]さらに、魔方陣はその数字に定数を加算または減算した場合、あるいはその数字を定数から減算した場合にも魔方陣のままである。特に、 の通常の魔方陣のすべての要素を から減算すると、元の魔方陣の補数が得られる。^[69]以下の例では、左側の魔方陣の各要素を 17 から減算して、右側の補数魔方陣を得る。${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{2}+1}$

• 魔方陣は、正方形の対称群であるD ₄の任意の要素によって変換されても魔方陣のままである（ 8 次二面体群 § 正方形の対称群: 8 次二面体群 を参照）。1 つ以上の 90 度回転、鏡映、またはその両方の組み合わせにより、一般に同等であると見なされる 8 つの明らかに異なる正方形が生成される。このような 8 つの正方形は、単一の同値類を構成すると言われている。^{[70] [69]} 3×3 魔方陣の同等な 8 つの魔方陣を以下に示す。

• の位数の魔方陣は、について となるように行と列の両方が によって対称的に置換されたときに魔方陣のままです。行または列のすべての置換では、すべての行と列の合計が保存されますが、一般に 2 つの対角和は保存されません。行と列の両方に同じ置換を適用すると、行と列の対角要素は同じ対角線上にある行と列にマップされます。したがって、行と列に同じ置換を適用すると、主な (左上から右下への) 対角和が保存されます。置換が前述のように対称的である場合、行と列の対角要素は同じ対角線上にある行と列にマップされます。したがって、行と列の両方に同じ対称置換を適用すると、両方の対角和が保存されます。 が偶数 の場合、このような対称置換が存在し、 が奇数 の場合、 となります。以下の例では、左側の元の魔方陣の行と列が によって対称的に置換され、右側の魔方陣が生成されます。${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(i)+p(n+1-i)=n+1}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p(i)}$${\displaystyle p(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n+1-i}$${\displaystyle p(i)}$${\displaystyle p(n+1-i)=n+1-p(i)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!}$${\displaystyle 2^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (4,6,5,2,1,3)}$

• の魔方陣は、行と列を入れ替えても魔方陣のままである。これは、上で説明した形式の対称的な順列であるからである。^{[69] [48]}以下の例では、右側の正方形は、左側の元の正方形の1行目と4列目を入れ替えることによって得られる。${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n+1-i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n+1-i)}$

• 行と が交換され、行と が交換され、列と が交換され、列と が交換された場合でも、順序の魔方陣は魔方陣のままです。これは、上で説明した形式のもう 1 つの対称的な順列であるためです。以下の例では、左の正方形が元の正方形で、右の正方形がこの変換によって得られた新しい正方形です。中央の正方形では、行 1 と 2 および行 3 と 4 が入れ替わっています。右側の最後の正方形は、中央の正方形の列 1 と 2 および列 3 と 4 を入れ替えることで得られます。この特定の例では、この変換によって象限が 180 度回転します。中央の正方形も、元の正方形が結合的であるため魔方陣です。${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle (n+1-i)}$${\displaystyle (n+1-j)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle (n+1-i)}$${\displaystyle (n+1-j)}$${\displaystyle i<j<{\frac {n+1}{2}}}$

• 魔方陣は、その象限が対角線上で入れ替わっても魔方陣のままである。これは、上で説明した形式のもう 1 つの対称的な順列である。偶数次 の場合、 に対して 、 に対して となる順列によって行と列を順列させる。奇数次 の場合、に対して、 に対して となる順列によって行と列を順列させる。奇数次魔方陣の場合、中央の行と列の半分も入れ替わる。^[69] 4 次と 5 次の魔方陣の例を次に示します。${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle i\leq {\frac {n}{2}}}$${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle i>{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n+1}{2}}}$${\displaystyle i<{\frac {n+1}{2}}}$${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n+1}{2}}}$${\displaystyle i>{\frac {n+1}{2}}}$

• 結合魔方陣は、中心から等距離にある2つの行または列が交換されても結合性を保つ。^{[71] [72]}偶数正方形の場合、交換可能な行または列のペアはn /2個あるため、このような交換を組み合わせることで2 ^{n /2} × 2 ^{n /2} = 2 ^{n 個}の同等の魔方陣が得られる。奇数正方形の場合、交換可能な行または列のペアは( n -1)/2個あり、このような交換を組み合わせることで2 ^{n -1個}の同等の魔方陣が得られる。すべての行を交換すると正方形は垂直方向に反転し（つまり、水平軸に沿って反転）、すべての列を交換すると正方形は水平方向に反転する（つまり、垂直軸に沿って反転）。以下の例では、左側の4×4結合魔方陣は、2行目と3行目を交換すると右側の正方形に変換され、有名なデューラーの魔方陣が得られる。

• 結合魔方陣は、同じ辺の２つの行（または列）を、対応する他の辺の行（または列）とともに交換しても結合性を保つ。^{[71] [72]偶数魔方陣の場合、同じ辺の行（または列）が}n /2 個あるため、交換可能な行（または列）のペアはn ( n - 2)/8 個ある。したがって、このような交換を組み合わせることで、2 ^{n ( n -2)/8} × 2 ^{n ( n -2 )/8} = 2 ^{n ( n -2)/4 個}の同等の魔方陣を得ることができる。奇数魔方陣の場合、同じ辺の行または列が ( n - 1)/2 個あるため、交換可能な行または列のペアは ( n - 1)( n - 3)/8 個ある。したがって、このような交換を組み合わせることで得られる同等の魔方陣は、2 ^{( n - 1)( n - 3)/8} × 2 ^{( n - 1 )( n - 3)/8} = 2 ^{( n - 1)( n - 3)/4}個あります。同じ辺の行をすべて交換すると、魔方陣の各象限が垂直方向に反転し、同じ辺の列をすべて交換すると、魔方陣の各象限が水平方向に反転します。以下の例では、元の魔方陣は左側にあり、その行 1 と 2 が互いに交換され、行 3 と 4 も交換されて、右側の変換された魔方陣が得られます。

• 結合魔方陣は、その要素を、 r × s = n ²となるr項間の公差が同じで、かつ最初の項も等差数列になっているs等差数列の集合の対応する数字に置き換えて非正規魔方陣を得るときに結合性を維持します。ここで、sまたはr はnの倍数である必要があります。s等差数列が次のように与えられるとします。

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}a&a+c&a+2c&\cdots &a+(r-1)c\\a+d&a+c+d&a+2c+d&\cdots &a+(r-1)c+d\\a+2d&a+c+2d&a+2c+2d&\cdots &a+(r-1)c+2d\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a+(s-1)d&a+c+(s-1)d&a+2c+(s-1)d&\cdots &a+(r-1)c+(s-1)d\\\end{array}}}$

ここで、aは最初の項、cは等差数列の公差、dは各数列の最初の項間の公差です。新しい魔法の定数は次のようになります。

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}{\big [}(r-1)c+(s-1)d{\big ]}.}$

s = r = nの場合、次の簡略化が成り立ちます。

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}(n-1)(c+d).}$

a = c = 1 およびd = nの場合、通常のM = n ( n ² +1)/2 が得られます。与えられたMに対して、必要なa、c、およびd は、線形ディオファントス方程式を解くことによって見つけることができます。以下の例では、左端に 4 次正規魔方陣があります。2 番目の正方形は、r = 8、s = 2、a = 1、c = 1、およびd = 10 である対応する非正規魔方陣で、新しい魔定数はM = 38 です。3 番目の正方形は、5 次正規魔方陣で、De la Loubere 法で生成された正方形を時計回りに 90 度回転したものです。右端には、a = 4、c = 1、およびd = 6 である対応する非正規魔方陣があり、新しい魔定数はM = 90 です。

• 汎対角魔方陣は、行または列、あるいはその両方を循環的にシフトしても、汎対角魔方陣のままである。^{[69]これにより、} n次魔方陣のn ^{2 個}のセルのいずれかに、特定の数字を配置することができる。したがって、特定の汎魔方陣に対して、n ^{2 個}の同等の汎魔方陣が存在する。以下の例では、左側の元の方陣の最初の行を一番下にシフトして変換し、中央に新しい汎魔方陣を作成している。次に、中央の汎魔方陣の 1 列目と 2 列目を右に循環的にシフトして、右側に新しい汎魔方陣を作成している。

• 縁取りされた魔方陣は、コーナーのセルを固定したまま、行または列の縁取りセルを対応する補項とともに並べ替えた後も、縁取りされた魔方陣のままです。すべての同心円状の縁取りの各行と列のセルは独立して並べ替えることができるため、n ≥ 5が奇数の場合、((n-2)! × (n-4)! × ··· × 3!) ^{2 個の同等の縁取りされた正方形が存在します}。n ≥ 6が偶数の場合、((n-2)! × (n-4)! × ··· × 4!) ^{2 個}の同等の縁取りされた正方形が存在します。以下の例では、縁取りの行が並べ替えられた順序 5 の正方形が与えられており、(3!) ² = 36 個の同等の正方形が得られます。

• 縁取りされた魔方陣は、その同心円状の縁取りのそれぞれが中心のコア魔方陣に対して独立して回転または反転された後も、縁取りされた魔方陣のままです。b個の縁取りがある場合、この変換により 8 つの^{b 個の}同等の魔方陣が生成されます。以下の 5×5 魔方陣の例では、縁取りが反時計回りに 90 度回転されています。

• 複合魔方陣は、埋め込まれた魔方陣が魔法の特性を損なわない変換（回転、反射、行と列の移動など）を受けると、複合魔方陣のままになります。

何千年もの間、魔方陣を構築する多くの方法が発見されてきました。これらの方法は、一般的な方法と特別な方法に分類できます。一般的な方法では、特定の順序の魔方陣を複数構築できますが、特別な方法では、特定の順序の魔方陣を 1 つだけ構築できます。特別な方法は特定のアルゴリズムですが、一般的な方法では試行錯誤が必要になる場合があります。

特殊法は、魔方陣を構築する最も簡単な方法です。この方法は、正方形内に規則的な数字のパターンを生成する特定のアルゴリズムに従います。これらの特殊法の正しさは、後のセクションで説明する一般的な方法の 1 つを使用して証明できます。特殊法を使用して魔方陣を構築した後、前のセクションで説明した変換を適用して、さらに魔方陣を作成できます。特殊法は通常、その方法を説明した著者の名前 (わかっている場合) を使用して参照されます。たとえば、De la Loubere の方法、Starchey の方法、Bachet の方法などです。

魔方陣は、2 次を除くすべての次数で存在すると考えられています。魔方陣は、次数によって、奇数、二重偶数 ( nが 4 で割り切れる)、単一偶数 ( n が偶数だが 4 で割り切れない) に分類できます。この分類は、これらの異なる種類の魔方陣を構築するにはまったく異なる技術を採用する必要があるという事実に基づいています。奇数魔方陣と二重偶数魔方陣は生成が容易です。単一偶数魔方陣の構築はより困難ですが、魔方陣用のJohn Horton ConwayのLUX 法や魔方陣用の Strachey 法など、いくつかの方法があります。

19 世紀に、エドゥアール・リュカスは3 次魔方陣の一般的な公式を考案しました。正の整数a、b、cで構成される次の表を考えてみましょう。

これら 9 つの数字は、 0 < a < b < c − aかつb ≠ 2 aである限り、魔法定数 3 cを持つ魔方陣を形成する異なる正の整数になります。さらに、異なる正の整数の 3×3 魔方陣はすべてこの形式になります。

1997年、リー・サローズは、回転と反射を除けば、アルガン図に描かれたすべての異なる平行四辺形が一意の3×3魔方陣を定義し、その逆もまた真であることを発見した。これは、これまで注目されていなかった結果である。^[70]

奇数次の魔方陣を構築する方法は、フランスの外交官ラ・ルーベールの著書『シャム王国の新しい歴史』 （Du Royaume de Siam、1693年）の「インド人による魔方陣の問題」という章で発表されました。^[73]この方法は次のように機能します。

この方法では、最初の行の中央の列の数字 1 から開始するように指示します。その後、正方形を埋めるための基本的な動きは、一度に 1 ステップずつ、斜め上と右方向です。正方形がnの倍数で埋められている場合は、代わりに垂直に 1 マス下に移動し、前と同じように続行します。「上と右」への移動で正方形から外れてしまう場合は、それぞれ最後の行または最初の列に折り返されます。

最初の行の中央の列ではなく、他のマスから開始することも可能ですが、その場合、行と列の合計のみが同一となり、魔法の合計になりますが、対角の合計は異なります。したがって、結果は半魔法のマスであり、真の魔法のマスではありません。北東以外の方向に移動した場合も、魔法のマスになることがあります。

倍偶数とは、 n が偶数の整数の偶数倍であることを意味します。つまり、 pが整数 の場合、4 p (例: 4、8、12) となります。

一般的なパターン すべての数字は、左上隅から始めて、各行に左から右の順に書き込まれます。数字は、一定の規則的なパターンで、同じ場所に保持されるか、正反対の数字と交換されます。順序 4 の魔方陣では、中央の 4 つの正方形と各隅の 1 つの正方形の数字は同じ場所に保持され、その他の数字は正反対の数字と交換されます。

4 次魔方陣の構築 左上から始めて、方陣の各行を左から右に進み、各セルを 1 から 16 まで数え、対角線上のセルを対応する数字で埋めていきます。右下のセルに到達したら、表の右下から始めて各行を右から左に進み、対角線上のセル以外のセルを 1 から 16 まで数え、対応する数字で埋めていきます。以下に示すように:

上記の例を 8 次と 12 次について拡張します。 まず、パターン テーブルを生成します。ここで、「1」は、数字が 1 から n ^{2の順序 (左から右、上から下) で書かれているマスから選択することを示し、「} 0 」は、数字が逆の順序 ( n ²から 1)で書かれているマスから選択することを示します。M = 4の場合、パターン テーブルは以下のようになります (左から 3 番目のマトリックス)。変更されていないセル (「1」のセル) を網掛けすると、十字形のパターンが得られます。

パターンは、a) 各行と各列に '1' と '0' の数が等しい、b) 各行と各列が「回文」である、c) 左半分と右半分が鏡像である、d) 上半分と下半分が鏡像である (c と d は b を意味する) です。パターン テーブルは、簡単にするために16 進数を使用して(9, 6, 6, 9) と表記できます (行ごとに 1 ニブル、4 行)。高次の二重偶数正方形に必要なパターンを生成する最も簡単な方法は、4 行目と 4 行目の各サブ正方形の 4 次正方形の一般的なパターンをコピーすることです。

M = 8 の場合、パターンの選択肢は (99、66、66、99、99、66、66、99)、(3C、3C、C3、C3、C3、C3、3C、3C)、(A5、5A、A5、5A、5A、A5、5A、A5) (行ごとに 2 ニブル、8 行) です。

M = 12 の場合、パターン テーブル (E07、E07、E07、1F8、1F8、1F8、1F8、1F8、1F8、1F8、E07、E07、E07) は魔方陣 (行ごとに 3 ニブル、12 行) を生成します。回転対称性を考慮して、パターン テーブルに基づいて選択肢の数を数えることができます。

重ね合わせ法は、14 世紀にインドの数学者ナラヤナによって最初に発見されました。同じ方法は、後に 18 世紀初頭のヨーロッパで、ド・ラ・ルーベール、ポワニャール、ド・ラ・イル、ソヴールによって再発見され、研究されました。この方法は、通常、ド・ラ・イル法と呼ばれています。オイラーの魔方陣に関する研究は独創的ではありませんでしたが、彼は、偶奇順に並べられた相互に直交するグレコ・ラテン方陣を構成することは不可能であると予想したことで有名です。この予想は、20 世紀半ばに反証されました。説明をわかりやすくするために、この方法には 2 つの重要なバリエーションがあります。

この方法は、2つの予備的な正方形を作成し、それらを足し合わせると魔方陣が得られるというものです。例として、3×3の魔方陣を考えてみましょう。3×3の自然方陣の各数字は、2つの数字で次のようにラベル付けできます。

ここで、ギリシャ語とラテン語のアルファベットのペア、例えばαa は、すべて足し合わせることを意図しており、すなわちαa = α + aである。ここで、 ( α , β , γ ) = (0, 3, 6) かつ ( a , b , c ) = (1, 2, 3) である。0、3、6 の数字はルート数と呼ばれ、1、2、3 の数字は基本数と呼ばれる。ここで重要な一般的な制約は、

• ギリシャ文字はラテン文字と一度だけペアになります。

したがって、元の正方形は 2 つのより単純な正方形に分割できます。

文字が書かれた正方形は、ギリシャ文字またはラテン文字で埋められている場合は、それぞれギリシャ方陣またはラテン文字方陣と呼ばれます。ギリシャ方陣とラテン方陣も魔方陣であることを保証すると、魔方陣を作成できます。このステートメントの逆も多くの場合当てはまりますが、常に当てはまるとは限りません (例: 縁取りされた魔方陣)。つまり、魔方陣はギリシャ方陣とラテン方陣に分解でき、それら自体が魔方陣です。したがって、この方法は魔方陣の合成と分析の両方に役立ちます。最後に、完成した正方形に数字が配置されているパターンを調べることで、予備的なギリシャ方陣とラテン方陣を作成しなくても、特定のパターンを複製する高次の正方形を作成するためのより高速なアルゴリズムを思いつくことがよくあります。

3×3魔方陣を構築する際、3つの項のみを持つギリシャ方陣とラテン方陣は、9つの異なる項を持つ元の方陣よりも扱いやすい。ギリシャ方陣の行の合計と列の合計は、α + β + γで同じになる。

• 各文字は、特定の列または行に 1 回だけ表示されます。

これは、 α、β、およびγの巡回置換によって実現できます。これら 2 つの条件を満たすことで、結果として得られる正方形が半魔方陣であることが保証されます。このようなギリシャ方陣とラテン方陣は、互いに直交していると言われています。与えられた順序nに対して、互いに直交する正方形の集合には、記号の置換による変化を除いて、最大でn - 1 個の正方形があります。この上限は、nが素数の場合に正確です。

魔方陣を構築するには、対角線の合計が魔方陣定数になるようにする必要があります。そのために、3 番目の条件があります。

• すべての文字が両方の対角線に正確に 1 回出現するか、または奇数順序の正方形の場合は、一方の対角線が中央の項のみで構成され、もう一方の対角線にはすべての文字が正確に 1 回出現する必要があります。

3 番目の条件の最初の部分 (すべての文字が両方の対角線に現れる) を満たす、相互に直交するギリシャ語方陣とラテン語方陣は、相互に直交する二重対角ギリシャ語方陣と呼ばれます。

奇数方陣: 3×3 の奇数方陣では、α、β、γ は等差数列になっているため、それらの合計は方陣の順序と中間項の積、つまりα + β + γ = 3 βに等しくなります。したがって、主対角線にβがあり、斜め対角線にα、β、γ がある場合、対角線の合計は等しくなります。ラテン方陣についても同様です。結果として得られるギリシャ方陣とラテン方陣とその組み合わせは以下のようになります。ラテン方陣は、ギリシャ方陣を反時計回りに 90 度回転 (または垂直軸を中心に反転) し、対応する文字を入れ替えたものです。ギリシャ文字とラテン文字の値を代入すると、3×3 の魔方陣が得られます。

奇数方陣の場合、この方法はシャム法（ド・ラ・ルーベール法）とその変種が機能する理由を説明します。この基本的な方法は、より高次の奇数順序の魔方陣を構築するために使用できます。要約すると、次のようになります。

• 奇数順序の正方形の場合、ギリシャ方陣を作成するには、中央の項を主対角線に沿って配置し、残りの項を斜め対角線に沿って配置します。残りの空のセルは、対角線の移動によって埋められます。ラテン方陣は、ギリシャ方陣を回転または反転し、対応するアルファベットを置き換えることによって作成できます。魔方陣は、ギリシャ方陣とラテン方陣を加算することによって得られます。

奇数の魔方陣について上記に示した構築方法の特徴は、真ん中の数 ( n ² + 1)/2 が常に魔方陣の中央のセルに現れることです。斜め対角項の配置方法は( n - 1)! 通りあるため、この方法で ( n - 1)! 個のギリシャ方陣を得ることができます。ラテン方陣についても同様です。また、各ギリシャ方陣は ( n - 1)! 個のラテン方陣と対にすることができ、各ギリシャ方陣の真ん中の項は主対角線または斜め対角線に任意に配置できるため (ラテン方陣の場合は、それに応じて斜め対角線または主対角線に沿って配置できます)、この方法を使用して合計 2 × ( n - 1)! × ( n - 1)! 個の魔方陣を構築できます。n = 3、5、7 の場合、それぞれ 8、1152、1,036,800 個の異なる魔方陣が得られます。回転と反射による等価な魔方陣を無視するために 8 で割ると、それぞれ 1、144、129,600 個の本質的に異なる魔方陣が得られます。

別の例として、5×5 魔方陣の構築を示します。アルファベットの代わりに数字が直接書き込まれます。数字の付いたマスは、それぞれ基本数またはルート数で埋められている場合、基本マスまたはルート マスと呼ばれます。数字は、ルート マスの斜めの対角線上に配置され、結果として得られるルート マスの中央の列には (下から上に) 0、5、10、15、20 が含まれます。基本マスは、ルート マスを反時計回りに 90 度回転し、数字を置き換えることによって得られます。結果として得られる正方形は結合魔方陣で、中心に対して対称的な位置にあるすべての数字のペアの合計は同じ値 26 になります。たとえば、16+10、3+23、6+20 などです。完成した正方形では、1 が最下段の中央のセルに配置され、その後の数字は細長いナイトの動き (右に 2 セル、下に 2 セル)、またはそれと同等のビショップの動き (右斜め下に 2 セル) によって配置されます。衝突が発生した場合、ブレークの動きは 1 セル上に移動することです。すべての奇数は、1、5、25、21 で形成される中央のダイヤモンドの内側に発生し、偶数は角に配置されます。偶数の出現は、正方形を隣接する辺にコピーすることで推測できます。隣接する 4 つの正方形の偶数は十字を形成します。

斜めの対角シーケンスが異なる順序で取られる上記の例のバリエーションを以下に示します。結果として得られる魔方陣は、有名なアグリッパの火星の魔方陣を反転させたものです。これは連想魔方陣であり、モスコプロス法で生成される魔方陣と同じです。ここで、結果として得られる魔方陣は、中央のセルの右側のセルに 1 を配置して開始し、デ ラ ルーベール法のように右下方向に移動します。衝突が発生すると、ブレーク ムーブは 2 つのセルを右にシフトします。

前の例では、ギリシャ方陣の場合、2 行目は 1 行目を右に 1 セルだけ循環シフトすることで取得できます。同様に、3 行目は 2 行目を右に 1 セルだけ循環シフトしたものになります。以下同様です。同様に、ラテン方陣の行は左に 1 セルだけ循環シフトされます。ギリシャ方陣とラテン方陣の行シフトは、互いに反対方向です。行を 1 セル以上循環シフトして、ギリシャ方陣とラテン方陣を作成できます。

• 奇数順の正方形の場合、順序が 3 で割り切れないときは、行を 2 桁左または右にシフトして次の行を形成することでギリシャ方陣を作成できます。ラテン方陣は、ギリシャ方陣を主対角線に沿って反転し、対応する文字を交換することで作成されます。これにより、ギリシャ方陣とは反対方向に行をシフトすることで行が作成されるラテン方陣が得られます。ギリシャ方陣とラテン方陣は、行のシフトが互いに反対方向になるようにペアにする必要があります。魔方陣は、ギリシャ方陣とラテン方陣を加算することで得られます。順序が素数でもある場合、この方法では常に汎対角魔方陣が作成されます。

これは本質的にナイトの動きを再現します。すべての文字が両方の対角線に表示され、正しい対角の合計が保証されます。ギリシャ文字のn ! 通りの順列を使用してギリシャ方陣の最初の行を作成できるため、最初の行を一方向にシフトすることで作成できるギリシャ方陣は n ! 個あります。同様に、最初の行を反対方向にシフトすることで作成されるラテン方陣は n ! 個あります。ギリシャ方陣は、行を反対方向にシフトした任意のラテン方陣と組み合わせることができるため、このような組み合わせはn ! × n ! 個あります。最後に、ギリシャ方陣は行を左または右にシフトすることで作成できるため、この方法で形成できる魔方陣は合計 2 × n ! × n ! 個あります。n = 5 と 7 は素数であるため、この方法では 28,800 個と 50,803,200 個の汎対角魔方陣が作成されます。回転や反射による等価な正方形を無視するために 8 で割ると、3,600 個と 6,350,400 個の等価な正方形が得られます。さらに、行または列の循環シフトによる等価なパンマジック正方形を無視するためにn ²で割ると、本質的に異なる 144 個と 129,600 個のパンマジック正方形が得られます。次数 5 の正方形の場合、これらが唯一のパンマジック正方形です。正方形の次数が 3 で割り切れないという条件は、この方法で次数 9、15、21、27 などの正方形を作成できないことを意味します。

以下の例では、1 が中央のセルになるように正方形が構築されています。完成した正方形では、ナイトの動きによって数字を連続的に数え上げることができます (2 セル上、1 セル右)。衝突が発生した場合、ブレーク ムーブは 1 セル上、1 セル左に移動します。結果として得られる正方形は、汎対角魔方陣です。この正方形には、さらに悪魔的な特性があり、ラップ アラウンドを含む任意の奇数サブ正方形によって形成される五点形パターンの任意の 5 つのセルの合計は、魔法の定数 65 になります。たとえば、13+7+1+20+24、23+1+9+15+17、13+21+10+19+2 などです。また、任意の 5×5 正方形の 4 つの角と中央のセル、およびラップ アラウンドを含む中央のセルと各辺の中央のセルの合計は、13+10+19+22+1 および 20+24+12+8+1 になります。最後に、細長い十字を形成する 4 つの菱形も魔法の合計になります: 23+1+9+24+8、15+1+17+20+12、14+1+18+13+19、7+1+25+22+10。

異なる方法で作成されたギリシャ方陣とラテン方陣を組み合わせることもできます。以下の例では、プライマリ方陣はナイトの動きを使用して作成されています。De la Loubere の方法で得られた魔方陣を再作成しました。前と同様に、この組み合わせによって8 × ( n - 1)! × n ! の魔方陣を形成できます。n = 5 と 7 の場合、23,040 と 29,030,400 の魔方陣が作成されます。回転と反射による同等の魔方陣を無視するために 8 で割ると、2,880 と 3,628,800 の魔方陣が得られます。

5 次魔方陣の場合、これら 3 つの方法により、重ね合わせ法で作成できる魔方陣の数の完全な調査が行われます。回転と反射を無視すると、重ね合わせ法で生成される 5 次魔方陣の総数は 144 + 3,600 + 2,880 = 6,624 になります。

偶数平方:この方法で偶数平方を構成することもできます。偶数平方の場合、ギリシャ語とラテン語のアルファベットの間に中間項は存在しないため、最初の 2 つの制約に加えて、対角線の合計が魔法の定数を生成するには、アルファベットのすべての文字が主対角線と斜め対角線に現れる必要があります。

4×4 の正方形の例を以下に示します。ギリシャ正方形の対角線と斜め対角線が指定されている場合、各文字が行と列に 1 回だけ表示されるという条件を使用して、残りのセルを埋めることができます。

これら 2 つのグレコ ラテン方陣を使用して、2 × 4! × 4! = 1,152 個の魔方陣を作成できます。回転と反射による同等の方陣を除外するために 8 で割ると、4 次で本質的に異なる魔方陣が 144 個得られます。これらは、オイラー法で作成できる唯一の魔方陣です。4 次で相互に直交する二重対角グレコ ラテン方陣は 2 つしかないためです。

同様に、8×8 の魔方陣は以下のように構築できます。ここでは、数字の出現順序は重要ではありませんが、象限は 4×4 のギリシャ・ラテン方陣のレイアウト パターンを模倣しています。

オイラーの方法は、グレコ・ラテン方陣の研究を生み出しました。魔方陣を構築するオイラーの方法は、2 と 6 を除くすべての次数に有効です。

バリエーション: 相互に直交する二重対角のグレコ・ラテン方陣から構成される魔方陣は、方陣内のアルファベットの相対的な位置から魔力特性が現れるのであって、割り当てられた値の算術特性によるものではないため、それ自体興味深いものです。つまり、このような方陣のアルファベットに任意の値を割り当てても魔方陣が得られます。これが、方陣内に何らかの情報 (誕生日、年など) を表示する方陣を構築したり、「可逆方陣」を作成したりするための基礎となります。たとえば、数π ≈を表示できます。3.141 592は、上記のグレコ・ラテン方陣を使用して、( α、β、γ、δ ) = (10、0、90、15)、( a、b、c、d ) = (0、2、3、4) と代入して、4×4 魔方陣の最下行に生成されます。これにより、魔和が 124 となる次の非正規魔方陣が得られます。

奇数平方に対するナラヤナ・デ・ラ・イールの方法は、オイラーの方法と同じです。ただし、偶数平方では、ギリシャ文字とラテン文字が特定の行または列に 1 つだけ出現するという 2 番目の要件は省略します。これにより、項数が偶数である等差数列の合計は、2 つの反対対称項の合計に項の総数の半分を掛けたものに等しいという事実を活用できます。したがって、ギリシャ方陣またはラテン方陣を作成する場合、

• 偶数順序の正方形の場合、文字は列にn /2 回出現できますが、行には 1 回しか出現できません。またはその逆です。

例として、4×4 の正方形を取り上げます。ギリシャ語とラテン語の項の値はそれぞれ ( α、β、γ、δ ) = (0、4、8、12)、( a、b、c、d ) = (1、2、3、4) であり、α + β + γ + δ = 2 ( α + δ ) = 2 ( β + γ ) となります。同様に、a + b + c + d = 2 ( a + d ) = 2 ( b + c ) となります。これは、補数ペアαとδ (またはβとγ ) が 1 列 (または 1 行) に 2 回出現しても、目的の魔法の合計が得られることを意味します。したがって、次のように構成できます。

• 偶数順序の正方形の場合、ギリシャの魔方陣は、まずギリシャのアルファベットを主対角線に沿って何らかの順序で配置することによって作成されます。次に、斜めの対角線が同じ順序で埋められるか、主対角線の用語の補数となる用語を選択して埋められます。最後に、残りのセルが列ごとに埋められます。列が与えられた場合、その列と交差する対角セルの補数用語を使用し、特定の行には 1 回だけ、特定の列にはn /2 回表示されるようにします。ラテン方陣は、ギリシャ方陣を反転または回転し、対応するアルファベットを交換することによって得られます。最終的な魔方陣は、ギリシャ方陣とラテン方陣を加算することによって得られます。

以下の例では、主対角線（左上から右下へ）はα、β、γ、δの順序で埋められ、斜め対角線（左下から右上へ）は同じ順序で埋められます。残りのセルは、行内では補文字が 1 回だけ、列内では 2 回表示されるように列ごとに埋められます。最初の列では、α が1 行目と 4 行目に表示されているため、残りのセルにはその補語δが表示されます。同様に、2 列目の空のセルにはγが、3 列目にはβ が、4 列目にはαがそれぞれ表示されます。各ギリシャ文字は、行に沿って 1 回だけ、列に沿って 2 回表示されます。したがって、行の合計はα + β + γ + δですが、列の合計は 2 ( α + δ ) または 2 ( β + γ )のいずれかになります。ラテン方陣も同様で、これはギリシャ方陣を主対角線に沿って反転し、対応する文字を交換することによって得られます。

上記の例は、二重偶数魔方陣に「交差」法が機能する理由を説明しています。 同じルールを使用して、同様に全対角でかつ最も完全な 4×4 魔方陣のもう 1 つの可能性を以下で構築します。 ただし、対角シーケンスは、4 つの文字α、β、γ、δ がすべて中央の 2×2 サブ正方形内に表示されるように選択されます。 残りのセルは、各文字が行内に 1 回だけ表示されるように列ごとに埋められます。 1 列目では、空のセルに、補数ペアαとδから選択した文字のいずれか 1 つを埋める必要があります。 1 列目では、2 行目にはαがすでに存在するため、 2 行目のエントリはδのみになります。 一方、3 行目にはδがすでに存在するため、 3 行目にはαのみになります。 すべてのセルが埋められるまで同様に進めます。以下に示すラテン方陣は、ギリシャ方陣を主対角線に沿って反転し、ギリシャ語のアルファベットを対応するラテン語のアルファベットに置き換えることによって得られます。

このアプローチを使用して、単独の偶数魔方陣を作成することもできます。ただし、ギリシャ語とラテン語のアルファベットを一意に組み合わせるという基準が自動的に満たされるわけではないため、この場合はより注意が必要です。この条件に違反すると、最終的な方陣でいくつかの数字が欠落し、他の数字が重複します。したがって、ここに重要な条件があります。

• 偶数マスの場合、ギリシャマスでは、その補数と垂直にペアになっている列のセルをチェックします。このような場合、ラテンマスの対応するセルには、水平にペアになっているセルと同じ文字が含まれている必要があります。

以下は、アルファベットではなく数字が直接指定されている 6×6 魔方陣の構成です。2 番目の魔方陣は、最初の魔方陣を主対角線に沿って反転して構成されます。ここで、ルート スクエアの最初の列では、3 番目のセルが 4 番目のセルの補数とペアになっています。したがって、プライマリ スクエアでは、3 行目の 1 番目と 6 番目のセルの数字は同じです。他の列と行でも同様です。この例では、ルート スクエアの反転バージョンがこの条件を満たしています。

この方法で構築された 6×6 魔方陣の別の例を以下に示します。ここでは、対角要素の配置が異なります。プライマリ スクエアは、ルート スクエアをメイン対角線を中心に反転して構築されます。2 番目のスクエアでは、偶数スクエアの条件が満たされず、数字 3、13、24、34 が重複し、数字 4、18、19、33 が欠落している非正規の魔方陣 (3 番目のスクエア) になります。

最後の条件は少し恣意的であり、常に呼び出される必要はないかもしれません。次の例では、ルート スクエア内の各セルがその補数と垂直にペアになっています。

もう 1 つの例として、8×8 の魔方陣を生成しました。前のセクションの均等な偶数魔方陣の十字パターンとは異なり、ここでは変更されたセルと変更されていないセルに市松模様が使われています。また、各象限では、奇数と偶数が交互に列に表示されます。

バリエーション: 基本的な考え方には、さまざまなバリエーションがあります。1つの列に1 つの相補ペアがn /2 回以下出現できます。つまり、ギリシャ方陣の列は、複数の相補ペアを使用して構築できます。この方法により、魔方陣にはるかに豊富な特性を付与できます。この考え方は、対角線にも拡張できます。8×8 魔方陣の例を以下に示します。完成した方陣では、4 つの象限のそれぞれが汎魔方陣でもあり、各象限の魔定数は同じ 130 です。

この方法では、コアとして機能する小さな魔方陣の周囲に境界線を巻き付けることが目的です。たとえば、3×3 の正方形を考えてみましょう。中央の数字 5 を各数字 1、2、...、9 から減算すると、0、± 1、± 2、± 3、± 4 が得られます。適切な言葉が見つからないため、S. Harry White に倣って、これらをボーン番号と呼びます。これらのボーン番号で作成された魔方陣 (スケルトン スクエアと呼びます) の魔法定数は 0 になります。魔方陣のすべての行を追加するとnM = Σ k = 0 となり、M = 0 となるためです。

真ん中の数字を中央のセルに配置する必要があると主張するのは難しくありません。真ん中のセルに配置する数字をxとすると、真ん中の列、真ん中の行、および 2 つの対角線の合計は Σ k + 3 x = 4 Mになります。Σ k = 3 Mなので、 x = M / 3となります。ここでM = 0 なので、x = 0 です。

中央の数字 0 を中央のセルに配置して、結果として得られる正方形が魔法の境界を構築します。境界は次のように表されます。

各行、列、対角線の合計は定数（ゼロ）になる必要があるため、

a + a* = 0、

b + b* = 0、

u + u* = 0、

v + v* = 0 です。

ここで、 a、b、u、およびv を選択した場合、 a* = - a、b* = - b、u* = - u、およびv* = - vとなります。つまり、変数に特定の数値（たとえばa = 1）を割り当てると、その補数がa*に割り当てられます（つまり、a* = - 1）。したがって、8 つの未知の変数のうち、4 つの変数の値を指定するだけで十分です。a、b、u、およびvを独立変数とし、a*、b*、u*、およびv*を従属変数とします。これにより、骨番号 ± x を符号に関係なく単一の数値と見なすことができます。これは、（1）特定の変数（たとえばa ）に割り当てると、反対符号の同じ数値がその補数a*と共有されることが自動的に意味され、（2）2 つの独立変数（たとえばaとb）に同じ骨番号を割り当てることができないためです。しかし、 a、b、u、vをどのように選べばよいでしょうか？一番上の行の合計と右の列の合計は、

u + a + v = 0、

v + b + u* = 0 です。

0 は偶数なので、3 つの整数を足して偶数になる方法は 2 つしかありません。1) 3 つすべてが偶数の場合、または 2) 2 つが奇数で 1 つが偶数の場合です。私たちが選んだ数字には、0 でない偶数が 2 つ (± 2 と ± 4) しかないので、最初の記述は誤りです。したがって、2 番目の記述、つまり 2 つの数字が奇数で 1 つが偶数が正しいことが条件となります。

上記の 2 つの方程式の両方がこのパリティ条件を同時に満たし、なおかつ私たちが持っている数値セットと一貫性を保つことができる唯一の方法は、uとvが奇数の場合です。逆に、最初の方程式でuとaを奇数、v を偶数と仮定した場合、 u* = - u は2 番目の方程式で奇数になり、パリティ条件を満たすためにbも奇数になります。しかし、これには 3 つの奇数 ( u、a、およびb ) が必要であり、使用できる奇数は 2 つ (± 1 と ± 3) しかないという事実と矛盾します。これは、奇数のボーン番号がコーナー セルを占めることを証明しています。5 を加えて通常の数に変換すると、3×3 魔方陣のコーナーはすべて偶数で占められることを意味します。

したがって、u = 1、v = 3 とすると、a = - 4、b = - 2 となります。したがって、完成したスケルトン スクエアは左のようになります。各数字に 5 を加えると、完成した魔方陣が得られます。

同様の議論は、より大きな正方形を作成する場合にも使用できます。境界線を囲んで 4×4 の魔方陣を作成できる 2×2 の魔方陣は存在しないため、境界線のある正方形を作成できる次に小さい次数は 5 です。

5 次正方形を考えてみましょう。この正方形には 3×3 の魔法のコアがあり、その周りに魔法の境界を巻き付けます。使用する骨の番号は、± 5、± 6、± 7、± 8、± 9、± 10、± 11、± 12 です。符号を無視すると、8 つの骨の番号があり、そのうち 4 つは偶数で、4 つは奇数です。一般に、任意の次数nの正方形には、4( n - 1) 個の境界セルがあり、2( n - 1) 個の骨の番号を使用して埋められます。魔法の境界は次のように与えられます。

これまでと同様に、

• ボーン番号とその補数を互いに反対に配置して、魔法の合計がゼロになるようにします。

魔法の境界を記述するには、u、v、a、b、c、d、e、fの数値を決定するだけで十分です。前と同様に、上行と右列の 2 つの制約方程式があります。

u + a + b + c + v = 0

v + d + e + f + u* = 0 です。

複数の解決策が考えられます。標準的な手順は

• まずコーナーセルを決定し、その後残りの境界を決定してみます。

コーナーセルuとvの 8 つのボーン番号のセットから 2 つの数字を選択する方法は 28 通りあります。ただし、すべてのペアが許容されるわけではありません。28 ペアのうち、16 ペアは偶数と奇数で構成され、6 ペアは両方が偶数で、6 ペアは両方が奇数です。

コーナー セルuとv は偶数と奇数を持つことはできないと証明できます。これは、もしそうであれば、u + vとv + u*の合計が奇数になり、0 は偶数なので、a + b + cとd + e + fの合計も奇数になるはずだからです。3 つの整数の合計が奇数になる唯一の方法は、1) 2 つが偶数で 1 つが奇数の場合、または 2) 3 つすべてが奇数の場合です。コーナー セルは奇数と偶数であると想定されているため、これら 2 つのステートメントはどちらも、使用できる偶数のボーン番号と奇数のボーン番号が 3 つしかないという事実と互換性がありません。これは、uとv が異なるパリティを持つことはできないことを証明しています。これにより、16 の可能性が排除されます。

同様の推論を使用して、集合 { a、b、c } と { d、e、f } についてもいくつかの結論を導き出すことができます。uとvが両方とも偶数の場合、両方の集合に 2 つの奇数と 1 つの偶数が含まれるはずです。uとvが両方とも奇数の場合、集合の 1 つには 3 つの偶数が含まれるはずですが、もう 1 つの集合には 1 つの偶数と 2 つの奇数が含まれるはずです。

実行例として、uとvが両方とも偶数の場合を考えてみましょう。可能な 6 つのペアは、(6, 8)、(6, 10)、(6, 12)、(8, 10)、(8, 12)、(10, 12) です。u + vとv + u* の合計は偶数なので、a + b + c と d + e + f の合計も偶数になるはずです。3つの整数の合計が偶数になる唯一の方法は、1) 2 つが奇数で 1 つが偶数の場合、または 2) 3 つすべてが偶数の場合です。2 つの角のセルが偶数であるという事実は、使用できる偶数が 2 つしかないことを意味します。したがって、2 番目のステートメントはこの事実と互換性がありません。したがって、最初のステートメントが真である必要があります。つまり、3 つの数のうち 2 つは奇数で、1 つは偶数である必要があります。

ここで、a、b、d、eを奇数、cとfを偶数とします。利用可能な奇数の骨の番号が ± 5、± 7、± 9、± 11 である場合、それらの差はD = {± 2、± 4、± 6} の範囲で、それらの合計はS = {± 12、± 14、± 16、± 18、± 20}の範囲になります。後で参照できるように、それらの合計と差の表を用意しておくと便利です。ここで、コーナーセル ( u、v ) がわかっているので、 u + v + cとv + u* + fの合計が集合DまたはSの範囲内にあるかどうかをチェックすることで、その許容性をチェックできます。コーナー番号の許容性は、解が存在するための必要条件ですが、十分条件ではありません。

たとえば、ペア ( u、v ) = (8, 12) を考えると、u + v = 20かつv + u* = 6 となり、± 6 および ± 10 の偶数骨数を利用できることになります。c = ± 6 とすると、 u + v + cの合計は、± 6の符号に応じて 26 および 14 となり、どちらもセットDまたはSには含まれません。同様に、c = ± 10 とすると、 u + v + c の合計は30 および 10 となり、どちらもセットDまたはSには含まれません。したがって、ペア (8, 12) は許容されません。同様の推論プロセスにより、ペア (6, 12) も除外できます。

別の例として、ペア ( u、v ) = (10、12) を考えると、u + v = 22、v + u* = 2 となり、± 6 と ± 8 の偶数の骨番号を利用できるようになります。c = ± 6 とすると、 u + v + c の合計は28 と 16 になります。 28 はセットDまたはSには該当しませんが、 16 はセットSに該当します。 調べてみると、 ( a、b ) = (-7、-9) の場合、a + b = -16 となり、最初の制約式を満たすことがわかります。 また、f = ± 8 とすると、 v + u* + f の合計は10 と -6 になります。 10 はセットDまたはSには該当しませんが、 -6 はセットDに該当します。 -7 と -9 はすでにaとbに割り当てられているので、明らかに ( d、e ) = (-5、 11) となり、d + e = 6 となり、2 番目の制約式を満たします。

同様に、c = ± 8 とすると、 u + v + c の合計は30 と 14 になります。 30 は集合DまたはSには含まれませんが、 14 は集合Sに含まれます。 調べてみると、 ( a、b ) = (-5、-9) の場合、a + b = -14 であることがわかります。 また、f = ± 6 とすると、 v + u* + fの合計は8 と -4 になります。 8 は集合DまたはSには含まれませんが、 -4 は集合Dに含まれます。 明らかに、 ( d、e ) = (-7、11) なので、d + e = 4 となり、2 番目の制約式が満たされます。

したがって、コーナーペア ( u、v ) = (10、12) は許容され、2 つの解が許容されます: (a、b、c、d、e、f) = (-7、-9、-6、-5、11、-8) および (a、b、c、d、e、f) = ( -5、-9、-8、-7、11、-6)。完成したスケルトン スクエアを以下に示します。魔方陣は、各セルに 13 を加えることで得られます。

同様の推論プロセスを使用して、以下に示すように骨番号として表されるu、v、a、b、c、d、e、fの値の次の表を作成できます。コーナー セルの選択肢は 6 つしかないため、境界ソリューションは 10 通りになります。

この10個の境界のグループが与えられれば、10×8×(3!) ² = 2880個の本質的に異なる境界付き魔方陣を構築できる。ここで、骨番号±5、...、±12は連続している。番号が連続していない場合は、より多くの境界付き正方形を構築できる。連続していない骨番号も使用した場合、合計605個の魔法の境界がある。したがって、5次の本質的に異なる境界付き魔方陣（連続した番号と連続していない番号を持つ）の総数は174,240である。^{[74] [75]}履歴を参照。^[76]境界法で構築できる5次魔方陣の数は、重ね合わせ法で構築できる数の約26倍である。

これまで行われてきたように、与えられた次数の魔方陣の境界をすべて網羅的に列挙するのは非常に面倒です。そのため、構造化されたソリューションが望まれることが多く、これにより、任意の次数の魔方陣の境界を構築できます。以下に、奇数、二重偶数、単一偶数の魔方陣の境界を構築するための 3 つのアルゴリズムを示します。これらの連続列挙アルゴリズムは、10 世紀にアラブの学者によって発見されました。その最も古い現存する解説は、アル・ブズジャニとアル・アンタキによる 2 つの論文ですが、彼ら自身は発見者ではありません。^[24]それ以来、さらに多くの同様のアルゴリズムが発見されています。

奇数次の正方形: 以下は、奇数次の正方形の境界を構築するために al-Buzjani が示したアルゴリズムです。この方法の特徴は、n次の正方形の場合、 2 つの隣接する角がn - 1とn + 1の数になることです。

左下隅の上のセルから始めて、中央のセルに到達するまで、左列と最下行に交互に数字を入れていきます。次の数字は、ちょうど到達した最下行の中央のセルに書き込まれ、その後、左上隅のセル、右列の中央のセル、右上隅のセルを埋めていきます。その後、すでに埋められている右列の中央のセルの上のセルから始めて、右列と最上行に数字を交互に配置し続けます。境界セルの半分が埋めら​​れたら、残りの半分を反対側のセルの補数で埋めます。次の内側の境界も同様に埋められ、3次の正方形が埋められるまで続きます。^[24]

以下は9次の正方形の例です。

二重偶数順序: 以下は、アル=アンタキによって示された方法です。順序n = 4 k ( k ≥ 3) の空の境界を考えます。このアルゴリズムの特徴は、隣接するコーナーセルが番号nとn - 1で占められていることです。

左上隅のセルから始めて、4つのグループごとに連続する数字を入れます。最初の数字は角の隣に、2番目と3番目は下に、4番目は上にというように、一番上の行（角を除く）に6つの空きセルが残るまで続けます。次に、次の2つの数字を上に、次の4つの数字を下に入れます。次に、左、右の順に上部の角を埋めます。次の数字を右の列の右上隅の下に置き、次の数字を左の列の反対側に置きます。次に、前と同じように、2つの列に連続する4つの数字のグループを入れ続けます。境界セルの半分が埋まったら、残りの半分を反対側のセルの補数で埋めます。^[24]

以下の例は、順序 16 の正方形の境界線を示しています。

8 平方オーダーの場合は、6 つのセルから直接開始します。

単偶数順序: 単偶数順序の場合、アル・アンタキによって与えられたアルゴリズムがあります。ここで、コーナー セルはnとn - 1 で占められます。以下は 10 次の正方形の例です。

まず、一番下の行の左隅のセルの隣に 1 を配置し、次に一番上の行に 2 を配置します。その後、一番下の行に 3 を配置し、反時計回りに境界を回って次の数字を配置し、右の列のn - 2 に達するまで続けます。次の 2 つの数字は上隅に配置されます (左上隅にn - 1、右上隅にn )。次に、次の 2 つの数字を左の列に配置し、境界セルの半分が埋まるまで数字の循環配置を再開します。境界セルの半分が埋まったら、残りの半分を反対側のセルの補数で埋めます。^[24]

これは、 2 つの行列のクロネッカー積を彷彿とさせる方法で、n × n魔方陣とm × m魔方陣からnm × nm魔方陣を構築します。^[77] 2 つの魔方陣の「積」により、2 つの被乗数よりも高次の魔方陣が作成されます。2 つの魔方陣の次数がmとnであるとします。最終的な魔方陣は次数がm × nになります。次数がm × nの魔方陣をm × m 個のサブスクエアに分割し、合計でn ^{2個のサブスクエアを作成します。次数が}nのスクエアでは、すべての数値の値を 1 減らします。これらの減らされた値にm ^{2を掛け、結果を}m × n全体のスクエアの対応するサブスクエアに配置します。次数がmのスクエアは、最終的なスクエアのサブスクエアにn ²回加算されます。この構築方法の特徴は、各魔方陣の魔の合計が異なることです。各魔法のサブスクエアからのこのような魔法の合計で作られたスクエアも、再び魔法のスクエアになります。 2 つのオーダー 3 のスクエアで構成されたオーダー 9 の最小の合成魔法のスクエアを以下に示します。

3×3 のサブ正方形はそれぞれ独立して回転し、8 つの異なる正方形に反転できるため、この 1 つの 9×9 合成正方形から、8 ⁹ = 134,217,728 の本質的に異なる 9×9 合成正方形を導き出すことができます。楊慧の 9×9 合成魔方陣のように、魔方陣のサブ正方形で連続しない数字を選択すると、さらに多くの合成魔方陣を導き出すこともできます。次に小さい 12 次合成魔方陣は、次数 3 と 4 の魔方陣で構成され、次のようになります。

基本正方形については、本質的に異なる 3 次正方形は 1 つだけですが、本質的に異なる 4 次正方形は 880 個から選択できます。各ペアリングで、異なる 2 つの合成正方形を作成できます。各合成正方形の各魔法のサブ正方形は、回転と反射により 8 つの異なる形式で表現できるため、この方法で作成された、各サブ正方形に連続した数字を持つ、本質的に異なる 12×12 の合成魔法方陣は、 1×880×8 ⁹ + 880×1×8 ¹⁶ ≈ 2.476×10 ¹⁷個あります。一般に、次数mとnの本質的に異なる魔法の正方形がc _mとc _nある場合、次数mnのc _m × c _n × ( 8 ^{m 2} + 8 ^{n 2} ) 個の合成正方形を形成できます ( m ≠ nの場合) 。m = nの場合は、次数m ^{2の (} c _m ) ² × 8 ^{m 2 個}の合成正方形を形成できます。

正方形が二重偶数順序である場合、すべての魔法のサブ正方形が同じ魔法定数を持つという意味で、上記のプロセスよりもエレガントな方法で複合魔方陣を構築できます。メイン正方形の順序をnとし、等しいサブ正方形の順序をm とします。サブ正方形は、任意の順序で、連続したm ^{2 /2 個のより小さな数 (つまり、} n ² /2以下の数) とその補数をn ² + 1 で 1 つずつ埋められます。各サブ正方形全体で同じ魔方陣の合計が得られます。このタイプの複合正方形の利点は、各サブ正方形が同じ方法で埋められ、その配置が任意であることです。したがって、偶数順序の単一の構成に関する知識があれば、正方形全体を埋めるのに十分です。さらに、サブ正方形が自然な順序で埋められる場合、結果として得られる正方形は対角線状になります。サブ正方形の魔方陣の合計は、正方形全体の魔方陣の合計と次の式で関連しています。ここで、n = kmです。^[24]${\displaystyle M_{m}={\frac {M_{n}}{k}}}$

以下の例では、12 次正方形を 9 つの 4 次サブ正方形に分割し、それぞれに 8 つの小さな数字を入れ、対応するビショップ セル (4×4 サブ正方形の対角線上の 2 つのセル、ラップ アラウンドを含む) にn ² + 1 = 145 の補数を入れています。各サブ正方形は、魔法定数 290 の汎対角線です。左側の正方形全体も、魔法定数 870 の汎対角線です。

以下の別の例では、12 次正方形を 4 つの 6 次正方形に分割しています。6 次正方形のそれぞれには、アル アンタキが示した境界技法を使用して、18 個の小さな数とその補数が埋め込まれています。6 次サブ正方形の影付きの境界を削除して 8 次正方形を形成すると、この 8 次正方形は再び魔方陣になります。完全に一般化すれば、m ^{2 /2 個の小さな数と}n ² + 1の補数をサブ正方形に埋めることができますが、必ずしも連続したシーケンスである必要はありません。

この方法では、魔方陣をメジグ方陣と「掛け合わせ」て、より大きな魔方陣を作成します。この方法の名前は、2006 年にウィレム バリンクが作成した数学ゲーム「メジグ」に由来していますが、方法自体はそれよりずっと古いものです。^{[引用が必要]}この方法を使用して構築された魔方陣の初​​期の例は、ヤン ホイの 6 次魔方陣のテキストにあります。^{[引用が必要]}単独の偶数魔方陣を構築するLUX法は、メジグ法の特殊なケースであり、メジグ方陣の構築には 24 パターンのうち 3 パターンのみが使用されます。^{[引用が必要]}

メジグ パズルのピースは 2×2 の正方形で、0、1、2、3 の数字が配置されています。0、1、2、3 の数字を 2×2 の正方形に配置する基本的なパターンは 3 つあり、0 は左上隅にあります。

各パターンを反転および回転すると、8 つの同等のパターンが得られ、合計 3×8 = 24 のパターンが得られます。パズルの目的は、n ^{2 個の}medjig ピースをn × nの medjig 正方形に配置し、medjig 正方形によって形成される各行、列、および 2 つの長い対角線の合計が 3 n (medjig 正方形の魔法定数)になるようにすることです。n × n のmedjig正方形は、2 n × 2 n の魔法の正方形を作成できます( n > 2)。

n × n のメジグ方陣とn × nの魔方陣ベースが与えられた場合、2 n ×2 nの位数の魔方陣は次のように構築できます。

• n × nの魔方陣の各セルは、対応するメジグ方陣の2×2のサブスクエアに関連付けられている。
• メジグ スクエアの各 2×2 サブスクエアに、元の数をn ^{2 で}割った値に等しい1 から 4 n ²までの 4 つの数字(つまりx + n ² y)を入力します。ここで、xは魔方陣の対応する数字、y は2×2 サブスクエア内の 0 から 3 までの数字です。

初期の魔方陣のベースがあると仮定すると、課題はメジグ方陣を構築することです。参考までに、イタリック体で示された行、列、対角線に沿った各メジグピースの合計は次のとおりです。

二重偶数正方形: 最小の偶数順序のメジグ正方形は、魔法定数 6 の順序 2 です。2×2 メジグ正方形を作成することは可能ですが、それを「乗算」するために必要な 2×2 魔法の正方形が存在しないため、4×4 魔法の正方形を作成することはできません。それでも、これらの 2×2 メジグ正方形を作成する価値はあります。魔法の定数 6 は、6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3 のように 3 つの方法で 2 つの部分に分割できます。このような 2×2 メジグ正方形は 96 個存在します。^{[引用が必要]}以下の例では、各 2×2 メジグ正方形は、単一のメジグピースの異なる方向を組み合わせることによって作成されます。

2×2 のメジグ スクエアを使用して、より大きな偶数順序のメジグ スクエアを作成できます。1 つの方法は、2×2 のメジグ スクエアを単純に組み合わせることです。もう 1 つの方法は、より小さなメジグ スクエアのコアをメジグ ボーダーで包むことです。2×2 のメジグ スクエアのピースは、ボーダーのコーナー ピースを形成できます。さらにもう 1 つの方法は、奇数順序のメジグ スクエアに行と列を追加することです。以下は、上記の左端の 2×2 のメジグ スクエアのコピーを 4 つ組み合わせて作成した 8×8 の魔方陣の例です。

次の例は、2×2 の medjig 正方形コアを境界にして構築されます。

偶数正方形のみ: 1 次メジグ正方形は存在しません。したがって、最小の奇数メジグ正方形は 3 次で、魔法定数は 9 です。整数 9 (魔法定数) を 3 つの部分に分割する方法は 7 つしかありません。^[要出典]これらの 3 つの部分が行、列、または対角の 3 つのメジグ ピースに対応する場合、関連する分割は次のようになります。

9 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3。

3×3 のメジグ スクエアは、以下の左端のスクエアのように、試行錯誤しながら作ることができます。別の方法としては、2×2 のメジグ スクエアに行と列を追加します。以下の中央のスクエアでは、左の列と下の行が追加され、前述の 2×2 のメジグ スクエアに L 字型のメジグ ボーダーが作成されています。以下の右端のスクエアは、中央のスクエアと基本的に同じですが、行と列が中央に追加されて十字形になり、2×2 のメジグ スクエアのピースが角に配置されている点が異なります。

3×3 のメジグ スクエアが構築されると、それを 6×6 の魔方陣に変換できます。たとえば、上記の 3×3 のメジグ スクエアの左端を使用すると、次のようになります。

このような 3×3 のメジグ スクエアは 1,740,800 個あります。^[78]高次の奇数メジグ スクエアを作成する簡単な方法は、偶数順序のメジグ スクエアの場合と同様に、より小さな奇数順序のメジグ スクエアをメジグの境界線で囲むことです。別の方法としては、偶数順序のメジグ スクエアに行と列を追加します。LUX メソッドなどのアプローチも使用できます。次の例では、前述の 3×3 メジグ スクエアをメジグの境界線で囲むことで、5×5 メジグ スクエアが作成されます。

部分的に完成した魔方陣を解くことは、数学の娯楽として人気がある。必要な技術は数独や賢者ゲームで使用されるものと似ており、論理と順列群論を使用して、埋められていないマス目の値を推測する必要がある（数独のグリッドは魔方陣ではないが、グレコ・ラテン方陣と呼ばれる関連するアイデアに基づいている）。^[67]

魔方陣には特定の追加制限を課すことができます。

各数値をn乗すると別の魔方陣が得られる場合、その結果はバイマジック (n = 2)、トリマジック (n = 3)、または一般にマルチマジック スクエアになります。

魔方陣内の各数字の名前の文字数によって別の魔方陣が生成される魔方陣をアルファ魔方陣と呼びます。

すべて素数で構成された魔方陣があります。ルドルフ・オンドレイカ (1928–2001) は、次の 3×3 の素数魔方陣(この場合は 9 つのチェン素数) を発見しました。

グリーン・タオの定理は、素数からなる任意の大きさの魔方陣が存在することを意味します。

次の「可逆魔方陣」は、上下逆さまでも正しい向きでも魔力定数は264である。^[79]

追加の制約が何らかの日付、特に誕生日を表示することである場合、そのような魔方陣は誕生日魔方陣と呼ばれます。このような誕生日魔方陣の初​​期のインスタンスは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって作成されました。彼は 4×4 の正方形を作成し、その最上行に D–M–CY 形式で誕生日を入力すると、正方形内の数字の加算と減算で魔法が起こりました。行、列、対角線の合計が同じ数字になるだけでなく、4 つの角、4 つの中央の正方形 (17、9、24、89)、最初と最後の行の 2 つの中央の数字 (12、18、86、23)、最初と最後の列の 2 つの中央の数字 (88、10、25、16) をすべて合計すると 139 になります。

各行、各列、対角線の数字を加算する代わりに、他の演算を適用することもできます。たとえば、乗法魔方陣では、数字の積は一定です。2 つの数字の積の対数は、それぞれの対数の和であるため、加法魔方陣から 2 (または任意の他の整数) を各要素の累乗にすることで、乗法魔方陣を導き出すことができます。あるいは、1 行の任意の 3 つの数字が 2 ^a、 2 ^b、 2 ^cである場合、それらの積は 2 ^{a + b + c}であり、 a + b + cが定数であれば定数であり、通常の (加法) 魔方陣からa、b、c を取った場合と同じです。 ^[80]たとえば、元の Lo-Shu 魔方陣は次のようになります。

乗法魔方陣の他の例としては、以下のものがあります。

アリ・スカリの非反復法を引き続き使用すると、集合に属する複素数^[81]の乗法魔方陣を無限に生成することができます。以下の例では、実数部と虚数部は整数ですが、実数全体の集合に属することもできます。積は、−352,507,340,640 − 400,599,719,520 iです。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

加法-乗法魔方陣と半魔方陣は、それぞれ通常の魔方陣と乗法魔方陣、半魔方陣の両方の性質を満たしている。^[82]

7×7より小さい加法-乗法魔方陣が存在するかどうかは不明だが、3×3や4×4の加法-乗法魔方陣や3×3の加法-乗法半魔方陣は存在しないことが証明されている。^[83]

数字の代わりに幾何学的図形を含む魔方陣が構築されることもあります。このような方陣は幾何学的魔方陣と呼ばれ、 2001年にリー・サローズによって発明され命名されました。 ^[84]

In the example shown the shapes appearing are two dimensional. It was Sallows' discovery that all magic squares are geometric, the numbers that appear in numerical magic squares can be interpreted as a shorthand notation which indicates the lengths of straight line segments that are the geometric 'shapes' occurring in the square. That is, numerical magic squares are that special case of a geometric magic square using one dimensional shapes.^[85]

In 2017, following initial ideas of William Walkington and Inder Taneja, the first linear area magic square (L-AMS) was constructed by Walter Trump.^[86]

Other two dimensional shapes than squares can be considered. The general case is to consider a design with N parts to be magic if the N parts are labeled with the numbers 1 through N and a number of identical sub-designs give the same sum. Examples include magic circles, magic rectangles, magic triangles^[87] magic stars, magic hexagons, magic diamonds. Going up in dimension results in magic spheres, magic cylinders, magic cubes, magic parallelepiped, magic solids, and other magic hypercubes.

Possible magic shapes are constrained by the number of equal-sized, equal-sum subsets of the chosen set of labels. For example, if one proposes to form a magic shape labeling the parts with {1, 2, 3, 4}, the sub-designs will have to be labeled with {1,4} and {2,3}.^[87]

In 1992, Demirörs, Rafraf, and Tanik published a method for converting some magic squares into n-queens solutions, and vice versa.^[89]

Magic squares of order 3 through 9, assigned to the seven planets, and described as means to attract the influence of planets and their angels (or demons) during magical practices, can be found in several manuscripts all around Europe starting at least since the 15th century. Among the best known, the Liber de Angelis, a magical handbook written around 1440, is included in Cambridge Univ. Lib. MS Dd.xi.45.^[90] The text of the Liber de Angelis is very close to that of De septem quadraturis planetarum seu quadrati magici, another handbook of planetary image magic contained in the Codex 793 of the Biblioteka Jagiellońska (Ms BJ 793).^[91] The magical operations involve engraving the appropriate square on a plate made with the metal assigned to the corresponding planet,^[92] as well as performing a variety of rituals. For instance, the 3×3 square, that belongs to Saturn, has to be inscribed on a lead plate. It will, in particular, help women during a difficult childbirth.

In about 1510 Heinrich Cornelius Agrippa wrote De Occulta Philosophia, drawing on the Hermetic and magical works of Marsilio Ficino and Pico della Mirandola. In its 1531 edition, he expounded on the magical virtues of the seven magical squares of orders 3 to 9, each associated with one of the astrological planets, much in the same way as the older texts did. This book was very influential throughout Europe until the Counter-Reformation, and Agrippa's magic squares, sometimes called kameas, continue to be used within modern ceremonial magic in much the same way as he first prescribed.^[93]

The most common use for these kameas is to provide a pattern upon which to construct the sigils of spirits, angels or demons; the letters of the entity's name are converted into numbers, and lines are traced through the pattern that these successive numbers make on the kamea. In a magical context, the term magic square is also applied to a variety of word squares or number squares found in magical grimoires, including some that do not follow any obvious pattern, and even those with differing numbers of rows and columns. They are generally intended for use as talismans. For instance the following squares are: The Sator square, one of the most famous magic squares found in a number of grimoires including the Key of Solomon; a square "to overcome envy", from The Book of Power;^[94] and two squares from The Book of the Sacred Magic of Abramelin the Mage, the first to cause the illusion of a superb palace to appear, and the second to be worn on the head of a child during an angelic invocation:

• In Goethe's Faust, the witch's spell used to make a youth elixir for Faust, the Hexen-Einmal-Eins [de], has been interpreted as a construction of a magic square.^[95][96]
• The English composer Peter Maxwell Davies has used magic squares to structure many of his compositions. For example, his 1975 Ave Maris Stella uses the 9×9 magic square of Moon while his 1977 A Mirror of Whitening Light uses the 8×8 magic square of Mercury to create the entire set of notes and durations for the piece. His other works that employ magic squares include The Lighthouse (1979), Resurrection (1987), Strathclyde Concerto No. 3 for Horn and Trumpet (1989), as well as many of his symphonies.^[97][98] According to Davies' own account:

A magic square in a musical composition is not a block of numbers – it is a generating principle, to be learned and known intimately, perceived inwardly as a multi-dimensional projection into that vast (chaotic!) area of the internal ear – the space/time crucible – where music is conceived. ... Projected onto the page, a magic square is a dead, black conglomeration of digits; tune in, and one hears a powerful, orbiting dynamo of musical images, glowing with numen and lumen.^[98]

• Magic squares, including Benjamin Franklin's, appear as clues to the mystery in Katherine Neville's novels The Eight and The Fire.
• Magic squares play a role in Steve Martin's 2003 novel The Pleasure of My Company.
• Dürer's magic square and his Melencolia I both also played large roles in Dan Brown's 2009 novel, The Lost Symbol.
• In the 2011 Korean television drama Deep Rooted Tree, King Sejong is shown attempting to construct a 33×33 magic square using lunch boxes. He ultimately discovers the "pyramid method" and completes the magic square with the help of an army of court attendants. This inspires him to create a more just form of government ruled by reason and words rather than military might.
• On October 9, 2014, the post office of Macao in the People's Republic of China issued a series of stamps based on magic squares.^[99] The figure below shows the stamps featuring the nine magic squares chosen to be in this collection.^[100]
• The metallic artifact at the center of The X-Files episode "Biogenesis" is alleged by Chuck Burks to be a magic square.^[101][102]
• Mathematician Matt Parker attempted to create a 3×3 magic square using square numbers in a YouTube video on the Numberphile channel. His failed attempt is known as the Parker square.
• The first season Stargate Atlantis episode "Brotherhood" involves completing a magic square as part of a puzzle guarding a powerful Ancient artefact.
• Magic Squares are also featured in the 2019 Spanish film Vivir dos veces.