逆数

数学において、数xの逆数または逆数は1/ xまたはx ^{−1で表され、} xを掛けると乗法単位元 1 になる数です。分数a / bの逆数はb / aです。実数の逆数を求めるには、 1 をその数で割ります。たとえば、 5 の逆数は 5 分の 1 (1/5 または 0.2) であり、 0.25 の逆数は 1 を 0.25 で割った値、つまり 4 です。逆数関数、つまりxを 1/ xに写す関数f ( x ) は、それ自身の逆数 (反転)である関数の最も簡単な例の 1 つです。

ある数を掛けることは、その逆数で割ることと同じであり、その逆も同様です。たとえば、4/5 (または 0.8) を掛けると、5/4 (または 1.25) で割るのと同じ結果になります。したがって、ある数を掛けた後にその逆数を掛けると、元の数になります (数とその逆数の積は 1 であるため)。

逆数という用語は、少なくともブリタニカ百科事典第3版（1797年）まで遡って、積が1になる2つの数を説明するために一般的に使用されていました。反比例する幾何学的量は、ユークリッドの原論の1570年の翻訳で逆数として説明されています。^[1]

乗法逆数という語句では、修飾語multiplicativeが省略されることが多く、暗黙的に理解されます (加法逆数とは対照的です)。乗法逆数は、数値だけでなく、多くの数学的領域で定義できます。これらの場合、ab ≠ baとなることがあり、その場合、「逆数」は通常、要素が左逆数と右逆数の両方であることを意味します。

表記法f ^{−1 は}関数fの逆関数を表すために使用されることもありますが、これはほとんどの関数では逆関数とは等しくありません。たとえば、逆関数1/(sin x ) = (sin x ) ⁻¹は x の余割であり、sin ⁻¹ xまたはarcsin xで表されるxの逆正弦ではありません。逆数と逆数という用語の違いだけではこの区別が不十分です。これは、おそらく歴史的な理由から、多くの著者が反対の命名規則を好むためです (たとえば、フランス語では、逆関数は単射 réciproque と呼ばれることが好まれます)。

実数では、ゼロには逆数がありません（ゼロで割ると定義されません）。これは、実数に 0 を掛けても 1 にならないからです（どの数とゼロの積もゼロです）。ゼロを除いて、すべての実数の逆数は実数であり、すべての有理数の逆数は有理数であり、すべての複素数の逆数は複素数です。ゼロ以外のすべての要素に逆数があるという性質は、体の定義の一部であり、これらはすべてその例です。一方、 1 と -1 以外の整数には整数の逆数がなく、したがって整数は体ではありません。

モジュラー算術では、aのモジュラー逆数も定義されます。これは、ax ≡ 1 (mod n )となる数xです。この逆数は、aとnが互いに素である場合にのみ存在します。たとえば、 3 を法として 11 を割った逆数は 4 です。これは、 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11)であるためです。拡張ユークリッドの互除法を使用して計算できます。

セデニオンは、すべての非ゼロ要素が逆元を持ち、それでもなおゼロの約数、つまりxy = 0となる非ゼロ要素x、yを持つ代数です 。

正方行列に逆行列が存在するのは、その行列式の係数環に逆行列が存在する場合のみです。ある基底に関して行列A ^{−1を持つ線型}写像は、同じ基底に行列Aを持つ写像の逆関数になります。したがって、関数の逆の 2 つの異なる概念は、この場合密接に関連していますが、Axの乗法逆は( Ax ) ⁻¹であり、A ⁻¹ x ではないため、まだ一致しません。

逆関数のこれら 2 つの概念は、たとえば が複素対数の主枝でありである関数 の場合など、一致することがあります。 ${\displaystyle f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}}$${\displaystyle \ln}$${\displaystyle e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }}$

${\displaystyle ((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x}$。

三角関数は逆数の関係にあります。つまり、コタンジェントはタンジェントの逆数、セカントはコサインの逆数、コセカントはサインの逆数です。

すべての非ゼロ元に逆元が存在する環は除算環である。同様に、これが成り立つ代数は除算代数である。

上で述べたように、すべての非ゼロ複素数の逆数は複素数です。これは、1/ zの上端と下端の両方にその複素共役を掛け、 zの絶対値の2 乗、つまり実数a ² + b ²という性質を使用することで求められます。 ${\displaystyle z=a+bi}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z \|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2} }}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

直感的には

${\displaystyle {\frac {\bar {z}}{\|z\|}}}$

は、大きさがの値に減少した複素共役を与えるので、再度 で割ると、大きさが元の大きさの逆数に等しくなります。したがって、次のようになります。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \|z\|}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}}$

特に、|| z ||=1（zの大きさが1）の場合、 となります。したがって、虚数単位± iは加法逆数が乗法逆数に等しく、この特性を持つ唯一の複素数です。たとえば、iの加法逆数と乗法逆数は、それぞれ−( i ) = − iと1/ i = − iです。 ${\displaystyle 1/z={\bar {z}}}$

極形式の複素数z = r (cos φ + i  sin φ)の場合、逆数は大きさの逆数と角度の負数を単純に取ります。

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).}$

実数微積分では、1/ x = x ⁻¹の導関数は、-1 乗の べき乗則によって与えられます。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$

積分のべき乗則（カヴァリエリの求積法則）は、1/ xの積分を計算するのには使用できません。なぜなら、そうすると 0 で割ることになるからです。 代わりに、積分は次のように与えられます。 ここで、ln は自然対数です。これを示すには、 であることに留意してください。したがって、 およびの場合、 次式が得られ ます。^[2]$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C}$$$${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,}$$ $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.}$$${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$${\displaystyle x=e^{y}}$${\displaystyle y=\ln x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}}$$

逆数は長除法を使って手作業で計算できます。

逆数の計算は多くの除算アルゴリズムで重要です。商a / b は、まず 1/ bを計算し、次にそれをaで乗算することで計算できるからです。 x = 1/ bでゼロになることに注目すると、ニュートン法では、推測から始めて規則を使用して反復することで、そのゼロを見つけることができます。 ${\displaystyle f(x)=1/xb}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}$

_これは、必要な精度に達するまで続けられます。たとえば、1/17 ≈ 0.0588 を 3 桁の精度で計算するとします。x 0 = 0.1 とすると、次のシーケンスが生成されます。

x ₁ = 0.1(2 − 17 × 0.1) = 0.03

x ₂ = 0.03（2 − 17 × 0.03） = 0.0447

x ₃ = 0.0447(2 − 17 × 0.0447) ≈ 0.0554

x ₄ = 0.0554(2 − 17 × 0.0554) ≈ 0.0586

x ₅ = 0.0586(2 − 17 × 0.0586) ≈ 0.0588

典型的な初期推定値は、 b を2 の近い累乗に丸め、ビット シフトを使用してその逆数を計算することで得られます。

構成的数学では、実数x が逆数を持つためには、 x ≠ 0だけでは不十分です。代わりに、0 < r  < | x |となる 有理数r を与える必要があります。上記の近似アルゴリズムでは、 yの変化が最終的に任意に小さくなることを証明するためにこれが必要です。

この反復は、より広範な逆行列、たとえば逆行列に一般化することもできます。

ゼロを除くすべての実数と複素数には逆数があり、特定の無理数の逆数は重要な特殊特性を持つことがあります。例としては、eの逆数(≈ 0.367879) や黄金比の逆数(≈ 0.618034) などがあります。最初の逆数が特殊であるのは、他の正の数をそれ自身で累乗してもこれより小さい数にはならないためです。はの最小値です。2 番目の数は、その逆数に 1 を加えた値に等しい唯一の正数です。その加法逆数は、その逆数から 1 を引いた値に等しい唯一の負数です。 ${\displaystyle f(1/e)}$${\displaystyle f(x)=x^{x}}$${\displaystyle \varphi =1/\varphi +1}$${\displaystyle -\varphi =-1/\varphi -1}$

関数は、その逆数と整数だけ異なる無理数を無限に生成します。たとえば、は無理数 です。その逆数は で、ちょうどそれより小さくなります。このような無理数には明らかな共通点があります。つまり、これらの数は整数だけ異なるため、逆数と 同じ小数部を持ちます。${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {n^{2}+1}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$${\displaystyle f(2)}$${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$${\displaystyle 1/(2+{\sqrt {5}})}$${\displaystyle -2+{\sqrt {5}}}$${\displaystyle 4}$

逆数関数は、有理数と無理数の両方の表現に関連するいくつかの注目すべき特性を持つ 連分数において重要な役割を果たします。

乗算が結合法則に従う場合、乗法逆元を持つ元x は零因子にはなり得ません( x は、非零のy、xy = 0の場合に零因子です)。これを確認するには、方程式xy = 0にxの逆元(左側)を乗算し、結合法則を使用して簡略化するだけで十分です。結合法則がない場合、セデニオンは反例を提供します。

逆は成り立たない。零因子でない元には、乗法逆元があることは保証されない。Z内では、 −1、0、1 以外のすべての整数が例となる。これらは零因子ではなく、Z内に逆元もない。しかし、環または代数が有限である場合、零因子でないすべての元aには（左逆元と右逆元がある）。まず、写像f ( x ) = ax は単射でなければならないことに注意する。f ( x ) = f ( y )であれば、 x = yとなる。

${\displaystyle {\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(xy)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad xy=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}}$

異なる要素は異なる要素にマッピングされるため、像は同じ有限個の要素で構成され、マッピングは必然的に全射になります。具体的には、ƒ (つまり、aによる乗算) は、何らかの要素x を1 にマッピングする必要があり、 ax = 1であるため、x はaの逆になります。

逆数 1/ qを任意の基数で展開すると、q が「適切な」安全な素数、つまりpも素数である 2 p  + 1の形式の素数である場合、^疑似乱数の発生源としても機能します [3]。 展開によって 長さq − 1の疑似乱数列が生成されます。

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