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ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン( / ˈ r iː m ɑː n / ; [ 1 ]ドイツ語: [ ˈɡeːɔʁk ˈfʁiːdʁɪç ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiːman ]ⓘ ; [ 2 ] [ 3 ] 1826年9月17日-20日）は、解析学、数論、微分幾何学に多大な貢献をした数学者実解析の分野では、積分の最初の厳密な定式化であるリーマン積分フーリエ級数に関する研究複素解析への貢献としては、リーマン面の導入があり、複素解析の自然な幾何学的扱いにおいて新たな地平を切り開きました。1859年の素数計数関数に関するリーマン予想の最初の記述が含まれており解析的数論の基礎となる論文とみなされています。微分幾何学への先駆的な貢献一般相対性理論の数学の基礎を築きました。 [ 4 ]彼は多くの人から史上最も偉大な数学者の一人とみなされています。 [ 5 ] [ 6 ]
リーマンは1826年9月17日、ハノーファー王国のダンネンベルク近郊のブレゼレンツ村で生まれた。彼の父フリードリヒ・ベルンハルト・リーマンはブレゼレンツの貧しいルター派牧師で、ナポレオン戦争で戦った。彼の母シャルロッテ・エーベルは1846年に亡くなった。リーマンは6人兄弟の2番目だった。リーマンは幼い頃から計算能力などの並外れた数学的才能を示したが、内気で人前で話すのが苦手で、体も弱かった。[ 7 ]
1840年、リーマンは祖母と暮らすためハノーバーに移り住み、リセウム（中学校）に通った。故郷の村からはそのような学校に通うことができなかったためである。1842年に祖母が亡くなると、リューネブルクの高等学校であるヨハネウム・リューネブルクに転校した。そこでリーマンは聖書を熱心に学んだが、しばしば数学に気を取られた。複雑な数学演算をこなす彼の能力には教師たちも驚嘆し、しばしば教師の知識を凌駕した。1846年、19歳になったリーマンは、牧師になって家計を支えるために、文献学とキリスト教神学の勉強を始めた。
1846年の春、父親は十分な資金を集め、リーマンをゲッティンゲン大学に送りました。リーマンはそこで神学の学位取得を目指して勉強する予定でした。しかし、ゲッティンゲンに到着すると、カール・フリードリヒ・ガウスのもとで数学（特に最小二乗法の講義）を学び始めました。ガウスはリーマンに神学の勉強をやめて数学の分野に進むよう勧め、父親の許可を得たリーマンは1847年にベルリン大学に転校しました。 [ 8 ]在学中は、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ、ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ、ヤコブ・シュタイナー、ゴットホルト・アイゼンシュタインが教鞭をとっていました。リーマンはベルリンに2年間滞在し、1849年にゲッティンゲンに戻りました。
リーマンは1854年に最初の講義を行い、リーマン幾何学の分野を確立し、それによってアルベルト・アインシュタインの一般相対性理論の基礎を築きました。[ 9 ] 1857年には、ゲッティンゲン大学でリーマンを特別教授に昇進させようとする試みがありました。この試みは失敗に終わりましたが、リーマンは最終的に正規の給与を受け取ることになりました。1859年、ディリクレ（ゲッティンゲン大学でガウスの講座を担当していた）の死後、彼はゲッティンゲン大学の数学科の主任に昇進しました。彼はまた、物理的現実を記述するために、単に3次元や4次元よりも高い次元を使用することを最初に提案した人物でもあります。[ 10 ] [ 9 ]
1862年、彼はエリーゼ・コッホと結婚し、二人の間には娘が生まれた。
リーマンは1866年にハノーファー軍とプロイセン軍がゲッティンゲンで衝突した際にゲッティンゲンから逃れた。 [ 11 ]彼は3度目のイタリア旅行中にセラシュカ（現在はマッジョーレ湖畔のヴェルバニアの集落）で結核により亡くなり、ビガンツォーロ（ヴェルバニア）の墓地に埋葬された。リーマンは敬虔なキリスト教徒で、プロテスタント牧師 の息子であり、数学者としての人生を神に仕えるもう一つの方法と考えていた。生涯を通じてキリスト教信仰を固く守り、それを人生で最も重要な側面と考えていた。亡くなる直前、彼は妻と主の祈りを唱えていたが、祈りを終える前に息を引き取った。[ 12 ]一方、ゲッティンゲンでは、家政婦が彼のオフィスの書類の一部を処分しており、その中には未発表の作品も多数含まれていた。リーマンは未完成の作品を出版することを拒否していたため、いくつかの深い洞察が失われた可能性がある。[ 11 ]
リーマンの著作は、解析学と幾何学を組み合わせた研究分野を切り開いた。これらは後に、リーマン幾何学、代数幾何学、複素多様体理論の主要な部分となる。リーマン面理論は、フェリックス・クライン、特にアドルフ・フルヴィッツによって発展させられた。この数学分野はトポロジーの基礎の一部であり、現在でも数理物理学に斬新な方法で応用されている。
1853年、ガウスは教え子のリーマンに幾何学の基礎に関する教授資格論文を準備するよう依頼した。リーマンは何ヶ月にもわたり高次元の理論を展開し、1854年6月10日にゲッティンゲンで「幾何学の基礎となる仮説について」と題する講演を行った。[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]この論文は、リーマンの死後2年後の1868年にデデキントによって出版された。当初の評価は低調だったようだが、現在では幾何学における最も重要な著作の1つとして認められている。
この研究によって確立された分野はリーマン幾何学である。リーマンは、ガウス自身がその卓越定理で証明した曲面の微分幾何学をn次元に拡張する正しい方法を見出した。基本的な対象はリーマン計量とリーマン曲率テンソルと呼ばれる。曲面（2次元）の場合、各点の曲率は数値（スカラー）に還元でき、一定の正または負の曲率を持つ曲面は非ユークリッド幾何学のモデルとなる。
リーマン計量は、空間内のあらゆる点における数値の集合（すなわちテンソル）であり、あらゆる軌道の速度を測定することを可能にする。このテンソルの積分は、軌道の両端間の距離を表す。例えば、リーマンは、4次元空間において、多様体がどれほど歪んでいても、各点における距離と曲率を記述するには10個の数値が必要であることを発見した。
彼の博士論文では、リーマン面を通して複素解析の幾何学的基礎を確立し、それによって対数関数（無限に多くのシートを持つ）や平方根関数（2つのシートを持つ）のような多価関数を単射関数にすることができるとしました。複素関数はこれらの面上で調和関数（つまり、ラプラス方程式を満たし、したがってコーシー・リーマン方程式を満たす）であり、特異点の位置と面の位相によって記述されます。リーマン面の位相的「種数」は次のように与えられます。表面には葉が集まって分岐点。リーマン面はパラメータ（「モジュラス」）。
この分野における彼の貢献は数多くあります。有名なリーマン写像定理によれば、複素平面上の単連結領域は、以下のいずれかと「双正則的に同値」（つまり、正則な逆写像を持つ全単射が存在する）であるとされています。または単位円の内部。この定理をリーマン面に一般化したものが有名な一様化定理であり、19 世紀にアンリ・ポアンカレとフェリックス・クラインによって証明されました。ここでも、より豊かな数学的ツール (この場合は位相幾何学) が開発された後に初めて厳密な証明が与えられました。リーマン面上の関数の存在の証明には、彼はディリクレの原理と呼ばれる最小性条件を使用しました。カール・ワイエルシュトラスは証明に欠陥があることを発見しました。リーマンは、作業仮定 (最小値が存在すること) が機能しない可能性があることに気づいていませんでした。関数空間は完全ではない可能性があり、したがって最小値の存在は保証されません。ダフィット・ヒルベルトの変分法の研究を通じて、ディリクレの原理は最終的に確立されました。それ以外では、ワイエルシュトラスはリーマン、特に彼のアーベル関数 の理論に非常に感銘を受けました。リーマンの研究が発表されると、ワイエルシュトラスはクレレの雑誌から論文を取り下げ、出版しなかった。1859年にリーマンがベルリンで彼を訪ねたとき、二人は良好な関係を築いていた。ワイエルシュトラスは、複素解析におけるディリクレ原理の代替案を見つけるよう学生のヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツに勧め、シュヴァルツはそれに成功した。アーノルド・ゾンマーフェルト[ 16 ]の逸話は、当時の数学者たちがリーマンの新しいアイデアに苦労したことを示している。1870年、ワイエルシュトラスはリーマンの博士論文をリギ山への休暇に持参し、理解するのが難しいと不満を漏らした。物理学者のヘルマン・フォン・ヘルムホルツが一晩かけて彼の研究を手伝い、戻ってきて「自然で」「非常に理解しやすい」とコメントした。
その他の特筆すべき業績としては、リーマン面上のアーベル関数とシータ関数に関する研究が挙げられる。リーマンは1857年以来、楕円積分の一般化であるアーベル積分のヤコビアン逆問題を解くためにワイエルシュトラスと競い合っていた。リーマンは多変数シータ関数を用い、問題をこれらのシータ関数の零点の決定に帰着させた。リーマンはまた周期行列を研究し、「リーマン周期関係」（対称、実部負）によってそれらを特徴づけた。フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスとソロモン・レフシェッツは、この関係の妥当性が埋め込みと同等であることを示した。（どこは、射影空間における周期行列の格子であり、シータ関数によって表されます。これはリーマン面のヤコビ多様体であり、アーベル多様体の一例である。
アルフレッド・クレブシュをはじめとする多くの数学者は、リーマンの代数曲線に関する研究をさらに発展させた。これらの理論は、リーマン面上で定義された関数の性質に基づいていた。例えば、リーマン・ロッホの定理（ロッホはリーマンの弟子であった）は、リーマン面の線形独立な微分（零点と極に関する既知の条件を満たすもの）の数について述べている。
デトレフ・ラウグヴィッツ[ 17 ] によると、保型関数は、帯電した円筒上のラプラス方程式に関する論文で初めて登場した。しかし、リーマンは、1859年の超幾何関数に関する講義や極小曲面に関する論文で、等角写像（位相三角形を円に写像するなど）にそのような関数を使用した。
実解析の分野において、彼は教授資格論文の中でリーマン積分を発見した。とりわけ、彼はすべての区分的に連続な関数が積分可能であることを示した。同様に、スティルチェス積分もゲッティンゲンの数学者に遡るため、両者はリーマン＝スティルチェス積分としてまとめて呼ばれる。
フーリエ級数に関する教授資格論文において、師であるディリクレの研究を踏襲し、リーマン積分可能な関数はフーリエ級数で「表現可能」であることを示した。ディリクレは、連続かつ区分的に微分可能な関数（つまり、可算個の非微分点を持つ関数）については既にこのことを示していた。リーマンは、ディリクレが扱っていない、連続かつほとんど至るところで微分不可能な関数をフーリエ級数で表現する例を示した。また、リーマンはリーマン・ルベーグの補題も証明した。すなわち、関数がフーリエ級数で表現可能であれば、 nが大きいときフーリエ係数はゼロに収束するというものである。
リーマンの論文は、ゲオルク・カントールのフーリエ級数に関する研究の出発点でもあり、それが集合論の推進力となった。
彼はまた、 1857年に複素解析的手法を用いて超幾何微分方程式の研究を行い、特異点周りの閉経路の挙動（モノドロミー行列で記述される）を通して解を提示した。既知のモノドロミー行列によるこのような微分方程式の存在証明は、ヒルベルト問題の一つである。
リーマンは現代解析的整数論に数々の著名な貢献をした。数論に関する唯一の論文である短い論文の中で、彼は現在彼の名にちなんで名付けられているゼータ関数を研究し、素数の分布を理解する上でその重要性を確立した。リーマン予想は、彼がこの関数の性質について立てた一連の予想の一つである。
リーマンの業績には、他にも多くの興味深い展開がある。彼は、ゼータ関数（レオンハルト・オイラーが既に知っていた）の関数方程式を証明し、その背後にはシータ関数が存在することを明らかにした。実部が 1/2 の直線上の非自明な零点についてこの近似関数を総和することで、彼は正確な「明示的な公式」を与えた。。
リーマンはパフヌティ・チェビシェフの素数定理に関する研究を知っていた。チェビシェフは1852年にディリクレを訪ねていた。
リーマンの作品には以下が含まれる。
