結び目理論

位相幾何学において、結び目理論は数学的な結び目に関する研究です。靴ひもやロープの結び目など、日常生活で見られる結び目にヒントを得ていますが、数学的な結び目は端がつながって解けないという点で異なり、最も単純な結び目はリング（または「アンクノット」）です。数学的な言葉で言えば、結び目は3 次元ユークリッド空間への円の埋め込みです。2つの数学的な結び目は、一方が をそれ自身に変形させることによって他方に変換できる場合（アンビエントアイソトピーと呼ばれる）、同等です。これらの変換は、結び目のついた紐を切ったり、紐自体に通したりしない操作に対応します。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

結び目はさまざまな方法で記述できます。異なる記述方法を使用すると、同じ結び目が複数の記述で表現される場合があります。たとえば、結び目を記述する一般的な方法は、結び目図と呼ばれる平面図です。この平面図では、任意の結び目をさまざまな方法で描くことができます。したがって、結び目理論の基本的な問題は、2 つの記述が同じ結び目を表しているかどうかを判断することです。

この問題には完全なアルゴリズムによる解法が存在するが、その複雑さは不明である。^[1]実際には、結び目は結び目不変量、つまり結び目の異なる記述から計算しても同じになる「量」を使用して区別されることが多い。重要な不変量には、結び目多項式、結び目群、双曲不変量など がある。

結び目理論の創始者の元々の動機は、結び目とリンクの表を作成することでした。結び目とリンクは、互いに絡み合った複数の要素の結び目です。19世紀に結び目理論が始まって以来、 60 億を超える結び目とリンクが表にまとめられてきました。

さらなる洞察を得るために、数学者は結び目の概念をいくつかの方法で一般化しました。結び目は他の3 次元空間でも考えることができ、円以外のオブジェクトを使用することもできます。結び目 (数学)を参照してください。たとえば、高次元の結び目は、 ( n +2) 次元ユークリッド空間 に埋め込まれたn次元の球です。

考古学者は、結び目を作る習慣が先史時代にまで遡ることを発見しました。結び目は、情報を記録したり物を結びつけたりする用途のほかに、その美しさや精神的な象徴性によって人々の関心を集めてきました。結び目は、紀元前数世紀に遡る中国のさまざまな芸術作品に登場します (中国の結び目を参照)。エンドレスノットはチベット仏教に登場し、ボロミオの輪はさまざまな文化に繰り返し登場し、団結の強さを表すことが多かったです。ケルズの書を作成したケルトの修道士は、複雑なケルトの結び目をページ全体に惜しみなく施しました。

結び目に関する数学的理論は、1771 年にアレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンドによって初めて開発されました。ヴァンデルモンドは、位置の幾何学に関連する結び目の性質を議論する際に、位相的特徴の重要性を明示的に指摘しました。結び目に関する数学的研究は、19 世紀にカール・フリードリヒ・ガウスによって始まり、ガウスは連結積分を定義しました(Silver 2006)。1860 年代には、原子はエーテル内の結び目であるというケルビン卿の理論に基づいて、ピーター・ガスリー・テイトが完全な分類のための最初の結び目表を作成しました。テイトは 1885 年に、最大 10 の交差を持つ結び目の表と、テイト予想として知られるようになったものを発表しました。この記録は初期の結び目理論家に影響を与えましたが、結び目理論は最終的にトポロジーという新興分​​野の一部になりました。

20 世紀初頭の位相幾何学者、マックス・デーン、JW アレクサンダーらは、結び目群の観点から結び目を研究し、アレクサンダー多項式などのホモロジー理論からの不変量を研究しました。一連の画期的な進歩によりこのテーマが一変するまで、これが結び目理論への主なアプローチとなりました。

1970年代後半、ウィリアム・サーストンは、双曲化定理によって、結び目の研究に双曲幾何学を導入しました。多くの結び目が双曲結び目であることが示され、幾何学を使用して新しい強力な結び目不変量を定義することができました。1984年のヴォーン・ジョーンズによるジョーンズ多項式の発見（Sossinsky 2002、pp. 71–89）と、その後のエドワード・ウィッテン、マキシム・コンツェビッチらによる貢献により、結び目理論と統計力学および量子場の理論における数学的手法との間に深いつながりが明らかになりました。それ以来、量子群やフロイヤーホモロジーなどの洗練されたツールを利用して、多数の結び目不変量が発明されてきました。

20 世紀最後の数十年間、科学者はDNAやその他のポリマーの結び目現象を理解するために物理的な結び目を研究することに興味を持つようになりました。結び目理論は、分子がキラル(「利き手」がある) であるかどうかを決定するために使用できます (Simon 1986)。両端が固定された紐であるタングルは、DNA に対するトポイソメラーゼの作用を研究するのに効果的に使用されています (Flapan 2000)。結び目理論は、トポロジカル量子計算のモデルを通じて、量子コンピューターの構築に非常に重要になる可能性があります(Collins 2006)。

結び目は、1次元の線分から始まり、それを任意に巻き付け、2 つの自由端を融合して閉じたループを形成することによって作成されます (Adams 2004) (Sossinsky 2002)。簡単に言えば、結び目は「単純な閉曲線」 (曲線を参照) であると言えます。つまり、「ほぼ」単射かつ連続な関数であり、唯一の「非単射性」は です。位相学者は、結び目が交差することなく滑らかに動かされて別の結び目と一致する場合、結び目とリンクや編み込みなどの他の絡み合いは同等であると考えています。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle K(0)=K(1)}$

結び目の同値性という考え方は、2 つの結び目が空間内でまったく異なる位置にある場合でも、同じであると見なすべき場合の正確な定義を与えることです。正式な数学的定義では、との向きを保存する同相写像がある場合、2 つの結び目は同値です。 ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle h(K_{1})=K_{2}}$

この結び目同値の定義は、空間のそれ自身への同相写像の連続族が存在し、それらの最後のものが最初の結び目を 2 番目の結び目へ運ぶとき、2 つの結び目は同値であることを意味します。(詳細: 2 つの結び目と は、a) 各 に対してを へ写像すると のそれ自身への同相写像になる、b)すべての に対して になる、c) となる連続写像が存在するとき同値です。このような関数はアンビエント同位体として知られています。) ${\displaystyle \{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H(x,0)=x}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H(K_{1},1)=K_{2}}$${\displaystyle H}$

これら 2 つの結び目同値の概念は、どの結び目が同値であるかに関して完全に一致しています。向きを保存する同相写像の定義で同値である 2 つの結び目は、アンビエント同位体の定義でも同値です。これは、 のそれ自体への向きを保存する同相写像は、恒等写像から始まるアンビエント同位体の最終段階であるためです。逆に、アンビエント同位体の定義で同値である 2 つの結び目は、向きを保存する同相写像の定義でも同値です。これは、アンビエント同位体の (最終) 段階が、1 つの結び目を他の結び目に運ぶ向きを保存する同相写像でなければならないためです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle t=1}$

結び目理論の基本的な問題である認識問題は、2つの結び目の同値性を判断することです。 この問題を解決するアルゴリズムは存在し、最初のアルゴリズムは1960年代後半にWolfgang Hakenによって提示されました(Hass 1998)。しかし、これらのアルゴリズムは非常に時間がかかる可能性があり、理論上の大きな課題は、この問題が実際にどれほど難しいかを理解することです (Hass 1998)。結び目が解けた状態を認識する特殊なケースは、結び目を解く問題と呼ばれ、特に興味深いものです (Hoste 2005)。2021年2月、Marc Lackenby は、準多項式時間で実行される新しい結び目認識アルゴリズムを発表しました。^[2]

結び目を視覚化して操作する便利な方法は、結び目を平面に投影することです。結び目が壁に影を落とすと考えてください。投影の方向を少し変えるだけで、交差と呼ばれる二重点を除いて、1対1になります。交差では、結び目の「影」が横方向に1回交差します (Rolfsen 1976)。各交差点で元の結び目を再現できるようにするには、上のストランドと下のストランドを区別する必要があります。これは、下に行くストランドに切れ目を作ることでよく行われます。結果として得られる図は、各交差点でどのストランドが上にあり、どのストランドが下にあるかという追加データを持つ、浸漬平面曲線です。(これらの図は、結び目を表す場合は結び目図、リンクを表す場合はリンク図と呼ばれます。) 同様に、4 次元空間の結び目のある表面は、3 次元空間の浸漬面と関連付けることができます。

簡約図とは、簡約可能な交差（無意味な交差や除去可能な交差も含む）が存在しない、または簡約可能な交差がすべて除去されている結び目図のことである。^{[3] [4]}花びら投影とは、二重点を形成する代わりに、結び目のすべてのストランドが単一の交差点で出会い、入れ子になっていない「花びら」を形成するループによってそこに接続される投影の一種である。^[5]

1927 年、この図式的な結び目形式を用いて、JW アレクサンダーとガーランド ベアード ブリッグス、および独立してクルト ライデマイスターが、同じ結び目に属する 2 つの結び目図が、以下に示す図上の 3 種類の動きのシーケンスによって関連付けられることを実証しました。現在ライデマイスターの動きと呼ばれるこれらの操作は次のとおりです 。

同等の結び目の図がライデマイスター移動によって接続されることの証明は、1 つの結び目を別の結び目へ移す動きの平面投影の下で何が起こるかの分析に依存しています。動きは、2 つ以上のストランドが 1 点で交差したり、複数のストランドが 1 点で接線になったりするなど、「イベント」または「大惨事」が発生する有限回数を除いて、ほぼ常に投影が結び目の図になるように配置できます。詳しく調べると、複雑なイベントは排除でき、最も単純なイベントだけが残ります。(1)「ねじれ」が形成されるか、まっすぐになる、(2) 2 つのストランドが 1 点で接線になり、通過する、(3) 3 つのストランドが 1 点で交差する。これらはまさにライデマイスター移動です (Sossinsky 2002、ch. 3) (Lickorish 1997、ch. 1)。

結び目不変量は、同等の結び目に対して同じである「量」です (Adams 2004) (Lickorish 1997) (Rolfsen 1976)。たとえば、結び目図から不変量を計算すると、同等の結び目を表す 2 つの結び目図に対して同じ値になります。不変量は 2 つの異なる結び目で同じ値を取る場合があり、それだけではすべての結び目を区別できない可能性があります。基本的な不変量は三色性です。

「古典的な」結び目不変量には、結び目補集合の基本群である結び目群と、結び目補集合の無限巡回被覆から構成されるモジュールであるアレクサンダー不変量から計算できるアレクサンダー多項式が含まれます (Lickorish 1997)(Rolfsen 1976)。20 世紀後半には、「量子」結び目多項式、ヴァシリエフ不変量、双曲不変量などの不変量が発見されました。これらの前述の不変量は、現代の結び目理論の氷山の一角にすぎません。

結び目多項式は、結び目不変量であり、多項式です。よく知られている例としては、ジョーンズ多項式、アレクサンダー多項式、カウフマン多項式などがあります。アレクサンダー多項式の変形であるアレクサンダー–コンウェイ多項式は、変数zの整数係数の多項式です(Lickorish 1997)。

アレクサンダー・コンウェイ多項式は、実際には、互いに絡み合った 1 つ以上の結び目で構成される リンクによって定義されます。結び目について上で説明した概念、たとえばダイアグラムやライデマイスター移動は、リンクにも当てはまります。

有向リンク図、つまりリンクの各コンポーネントに矢印で示された優先方向がある図を考えてみましょう。図の特定の交差について、図に示すように図を変更した結果の有向リンク図を次の図とします。 ${\displaystyle L_{+}、L_{-}、L_{0}}$

元の図は、選択された交差の構成に応じて、または のいずれかになります。次に、アレクサンダー–コンウェイ多項式 が、次の規則に従って再帰的に定義されます。 ${\displaystyle L_{+}}$${\displaystyle L_{-}}$${\displaystyle C(z)}$

• ${\displaystyle C(O)=1}$（アンノットの図はどこにありますか）${\displaystyle O}$
• ${\displaystyle C(L_{+})=C(L_{-})+zC(L_{0}).}$

2 番目の規則は、しばしばかせ関係と呼ばれるものです。これらの規則が有向リンクの不変量を与えることを確認するには、3 つのライデマイスター移動で多項式が変化しないことを確認する必要があります。多くの重要な結び目多項式は、この方法で定義できます。

以下は、かせ関係を使用した典型的な計算の例です。三葉結び目のアレクサンダー・コンウェイ多項式を計算します。黄色の部分は、関係が適用されている場所を示しています。

C ( ) =  C ( ) +  z C ( )

は結び目とホップリンクを与える。ホップリンクに関係を適用すると、

C ( ) = C ( ) + z C ( )

交差が 0 のリンク (実際には2 つのコンポーネントのリンク解除) とアンノットに変形可能なリンクを生成します。リンク解除には少し工夫が必要です。

C ( ) = C ( ) + z C ( )

これは、最初の 2 つの多項式が結び目がないので等しいため、 C (2 つの成分の非連結) = 0 であることを意味します。

これらすべてをまとめると次のようになります。

${\displaystyle C(\mathrm {trefoil} )=1+z(0+z)=1+z^{2}}$

アレクサンダー・コンウェイ多項式は結び目不変量であるため、三つ葉は結び目のない形と同等ではないことが分かります。つまり、三つ葉は実際には「結び目」があるのです。

• 
  左巻きの三つ葉結び。
• 
  右巻きの三つ葉結び。

実際には、右手と左手と呼ばれる 2 つの三つ葉結び目があり、これらは互いに鏡像になっています (上記の三つ葉の図で、各交差を反対方向に変更すると鏡像になります)。これらは互いに同等ではなく、つまり両性ではありません。これは、結び目多項式が発明される前に、群論的手法を使用してMax Dehnによって示されました (Dehn 1914)。ただし、各種類の三つ葉結び目の Alexander–Conway 多項式は同じであり、上記の計算を鏡像で実行するとわかります。Jones多項式は、実際に左手と右手の三つ葉結び目を区別できます (Lickorish 1997)。

ウィリアム・サーストンは、多くの結び目が双曲結び目であることを証明しました。これは、結び目の補集合（つまり、結び目上にない 3 次元空間の点の集合）が幾何学的構造、特に双曲幾何学の構造を持つことを意味します。双曲構造は結び目のみに依存するため、双曲構造から計算される量はすべて結び目不変量になります (Adams 2004)。

幾何学では、光線が幾何学の測地線に沿って進むと想像することで、結び目またはリンク補完の内部がどのように見えるかを視覚化できます。例として、ボロミアン環の補完の図を示します。このリンク補完の住人は、赤い要素の近くから空間を見ています。図のボールは、リンクのホロボール近傍のビューです。標準的な方法でリンクを厚くすると、リンク要素のホロボール近傍が得られます。近傍の境界はトーラスですが、リンク補完の内側から見ると、球のように見えます。各リンク要素は、観察者からリンク要素への光線が無限にあるのと同じように、無限の数の球（1 色）として表示されます。基本的な平行四辺形（図で示されています）は、垂直方向と水平方向の両方に並べられ、球のパターンを無限に拡張する方法を示しています。

このパターン、ホロボール パターンは、それ自体が有用な不変量です。その他の双曲不変量には、基本平行四辺形の形状、最短測地線の長さ、体積などがあります。現代の結び目とリンクの表作成の取り組みでは、これらの不変量を効果的に利用しています。高速コンピューターとこれらの不変量を取得する巧妙な方法により、これらの不変量の計算は実際には簡単な作業になります (Adams、Hildebrand、Weeks 1991)。

3 次元の結び目は、4 次元空間に置くと解くことができます。これは、交差点を変更することで行われます。選択した点から見て、1 つのストランドが別のストランドの後ろにあるとします。それを 4 次元に持ち上げて障害物がないようにします (前方のストランドにはコンポーネントがありません)。次に、前方にスライドさせて、後ろに落とします。今度は前方になります。平面の場合の例えは、表面から糸を持ち上げる、または円内の点を取り除くことです。

実際、4 次元では、1 次元の弦の交差しない閉じたループは、結び目のないものと同等です。まず、ループを 3 次元のサブスペースに「押し込む」のですが、これは技術的には説明が難しいものの、常に可能です。

しかし、4 次元空間は古典的な結び目理論に登場し、スライス ノットとリボン ノットの研究は重要なトピックです。悪名高い未解決問題は、すべてのスライス ノットがリボンでもあるかどうかを問うものです。

結び目は位相的には 1 次元球面とみなせるので、次の一般化は4 次元ユークリッド空間 ( ) に埋め込まれた2 次元球面( ) を考えることです。このような埋め込みは、埋め込まれた 2 次元球面を 2 次元球面の標準的な「円形」埋め込みに取る の同相写像がない場合に結び目があります。吊り結び目と回転結び目は、このような 2 次元球面結び目の 2 つの典型的なファミリーです。 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

「一般位置」と呼ばれる数学的手法は、 m次元ユークリッド空間内のn球面に対して、 mが十分に大きい場合 ( nに依存)、球面は結び目がないはずであることを意味します。一般に、区分線形n球面は( n  + 2) 次元空間でのみ結び目を形成しますが (Zeeman 1963)、これは滑らかに結び目のある球面に対する要件ではなくなりました。実際、6 k次元空間には滑らかに結び目のある球面が存在します。たとえば、 (Haefliger 1962) (Levine 1965) には滑らかに結び目のある 3 球面が存在します。したがって、結び目のある球面の次元を固定しない場合、滑らかな結び目の余次元は任意に大きくすることができます。ただし、に埋め込まれた滑らかなk球面は結び目がありません。結び目の概念は、数学でさらに一般化されています。結び目 (数学)、埋め込みの同位体分類 を参照してください。 ${\displaystyle (4k-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 2n-3k-3>0}$

n球面 上のすべての結び目は、(Akbulut & King 1981) 内の孤立した特異点を持つ実代数集合のリンクです。${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

nノットは に埋め込まれた 単一のものです。nリンクはに埋め込まれたk個ののコピーで構成されます。ここでkは自然数です。と の両方のケースはよく研究されており、 の場合も同様です。^{[6] [7]}${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m=n+2}$${\displaystyle m>n+2}$${\displaystyle n>1}$

両方の結び目を切断し、両端のペアを結合することで、2 つの結び目を追加できます。この操作は、結び目の和、または2 つの結び目の接続和または合成と呼ばれることもあります。これは、次のように正式に定義できます (Adams 2004)。各結び目の平面投影を考え、これらの投影が互いに素であるとします。平面内で、1 組の反対側の辺が各結び目に沿った円弧であり、長方形の残りの部分が結び目から分離している長方形を見つけます。最初の反対側の辺のペアを削除し、他の反対側の辺のペアを結合することで、新しい結び目を形成します。結果として得られる結び目は、元の結び目の和です。これを行う方法によっては、2 つの異なる結び目 (それ以上ではない) が発生する可能性があります。この和の曖昧さは、結び目に向きがある、つまり、結び目に沿った移動の優先方向があり、和内の結び目の円弧が長方形の向きの境界と一貫して向いていると見なすことで解消できます。

有向結び目の結び目の和は、可換かつ結合的です。結び目が素数であるとは、それが非自明であり、2 つの非自明な結び目の結び目の和として表すことができないときです。そのような和として表すことができる結び目は合成数です。結び目には、素数と合成数に類似した素数分解があります(Schubert 1949)。有向結び目の場合、この分解も一意です。高次元の結び目を追加することもできますが、いくつか違いがあります。3 次元では 2 つの非自明な結び目を追加して非結び目を形成できませんが、少なくとも余次元が少なくとも 3 の滑らかな結び目を考えると、高次元では可能です。

結び目は回路トポロジーアプローチを使用して構築することもできます。これは、5つの操作（並列、直列、交差、協調、サブ）を使用してソフトコンタクトと呼ばれる基本ユニットを組み合わせることによって行われます。^{[8] [9]}このアプローチはオープンチェーンにも適用でき、いわゆるハードコンタクトを含むように拡張することもできます。

伝統的に、結び目は交差数で分類されてきた。結び目の表には通常、素数結び目のみが含まれており、結び目とその鏡像（異なる場合でも）には 1 つのエントリのみが含まれる（Hoste、Thistlethwaite、Weeks 1998）。与えられた交差数の非自明な結び目の数は急速に増加するため、表の作成は計算上困難になる（Hoste 2005、p. 20）。表の作成作業により、60 億を超える結び目とリンクが列挙された（Hoste 2005、p. 28）。与えられた交差数の素数結び目の数は、交差数 16 まで、0、0、1、1、2、3、7、21、49、165、552、2176、9988、である。46 972 ,253 293 ,1 388 705 ... ( OEISのシーケンスA002863 )。このシーケンスの指数関数の上限と下限はわかっていますが、このシーケンスが厳密に増加していることは証明されていません (Adams 2004)。

テイト、リトル、カークマンによる最初の結び目表では結び目図が使用されていましたが、テイトはダウカー記法の前身も使用していました。結び目については、より効率的な表作成を可能にするさまざまな記法が発明されました (Hoste 2005)。

初期の表では、最大 10 交差の結び目と、11 交差の交互結び目をすべてリストしようとしました (Hoste、Thistlethwaite、Weeks 1998)。Alexander、Reidemeister、Seifert らによる結び目理論の発展により、検証作業が容易になり、1920 年代後半に Alexander–Briggs と Reidemeister によって、最大 9 交差までの結び目の表が出版されました。

この研究の最初の主要な検証は、1960年代にジョン・ホートン・コンウェイによって行われました。彼は新しい表記法だけでなく、アレクサンダー・コンウェイ多項式(Conway 1970) (Doll & Hoste 1991) も開発しました。これにより、最大11の交差を持つ結び目の一覧と、10の交差までの新しいリンクの一覧が検証されました。コンウェイは、テイト・リトル表に多くの欠落を見つけたが、重複は1つだけ見つけた。しかし、彼はパーコペアと呼ばれる重複を見落としていました。これは、1974年にケネス・パーコによって初めて指摘されました(Perko 1974)。この有名なエラーは、デール・ロルフセンがコンウェイの研究に基づいて彼の影響力のあるテキストに結び目表を追加したときに広まりました。コンウェイの 1970 年の結び目理論に関する論文でも、非交互 11 交差結び目のページに誤植の重複があり、4 つの例が省略されています。そのうち 2 つは D. ロンバルデロの 1968 年のプリンストン大学の卒業論文に記載されており、2 つはその後アラン・コードロンによって発見されました。[Perko (1982)、Primality of Certain Knots、Topology Proceedings を参照] あまり知られていないのは、彼の 10 交差リンク表の重複です。2.-2.-20.20 は 8*-20:-20 のミラーです。[Perko (2016)、Historical highlights of non-cyclic knot theory、J. Knot Theory Ramifications を参照]

1990 年代後半、Hoste、Thistlethwaite、Weeks は 16 の交差を通るすべての結び目を表にまとめました (Hoste、Thistlethwaite、Weeks 1998)。2003 年には、Rankin、Flint、Schermann が22 の交差を通る交互結び目を表にまとめました (Hoste 2005)。2020 年には、Burton が最大 19 の交差を持つ すべてのプライム ノットを表にまとめました(Burton 2020)。

これは最も伝統的な表記法で、1927 年のJames W. Alexanderと Garland B. Briggsの論文に由来し、後にDale Rolfsenが結び目表で拡張しました (上の画像と素数結び目の一覧を参照)。この表記法は、結び目を交差数で単純に整理したものです。交差数を下付き文字で書き、その交差数を持つすべての結び目の中での順序を示します。この順序は任意であり、特別な意味はありません (ただし、各交差数では、ねじれ結び目はトーラス結び目の後に来ます)。リンクは交差数で書き、上付き文字で構成要素の数を示し、下付き文字で構成要素と交差の数が同じリンク内での順序を示します。したがって、三つ葉結び目は 3 ₁と表記され、ホップリンクは 2 と表記されます。²
_{110 162}から10 ₁₆₆の範囲のアレクサンダー・ブリッグス名は、チャールズ・ニュートン・リトルのオリジナルおよびその後の結び目表でパーコペアが発見されたことと、この時点以降に作成された結び目表やその他の出版物でこのエラーを修正するためのアプローチが異なるために、曖昧になっています。^[10]

結び目のDowker –Thistlethwaite 表記法(Dowker 表記法または Dowker コードとも呼ばれる) は、偶数の整数の有限シーケンスです。数字は、結び目をたどり、連続する整数で交差をマークすることによって生成されます。各交差は 2 回訪問されるため、これにより偶数と奇数のペアが作成されます。交差の上下を示すために適切な符号が与えられます。たとえば、この図では、結び目図の交差には (1,6)、(3,−12)、(5,2)、(7,8)、(9,−4)、(11,−10) のペアでラベル付けされています。このラベル付けの Dowker–Thistlethwaite 表記法は、6、−12、2、8、−4、−10 のシーケンスです。結び目図には複数の Dowker 表記法が可能であり、Dowker–Thistlethwaite 表記法から結び目を再構築するときによく知られている曖昧さがあります。

結び目とリンクの Conway 表記法​​は、ジョン・ホートン・コンウェイにちなんで名付けられ、もつれの理論( Conway 1970) に基づいています。この表記法の利点は、結び目やリンクのいくつかの特性を反映することです。

この表記法は、リンクの特定のリンク図を構築する方法を説明します。まず、二角形領域のない 4 価の連結平面グラフである基本多面体から始めます。このような多面体は、まず頂点の数で示され、次に基本多面体のリストにおける多面体の位置を決定するアスタリスクの数で示されます。たとえば、10** は、コンウェイのリストの 2 番目の 10 頂点多面体を表します。

各頂点には代数的なタングルが代入されます (各頂点は方向付けられているため、代入の際に任意の選択はできません)。このようなタングルにはそれぞれ、数字と + または - 記号で構成される表記法があります。

例としては、1*2 −3 2 があります。1* は、唯一の 1 頂点の基本多面体を表します。2 −3 2 は、有理数タングルに関連付けられた連分数を記述するシーケンスです。このタングルを基本多面体 1* の頂点に挿入します。

より複雑な例は 8*3.1.2 0.1.1.1.1.1 です。ここでも 8* は 8 つの頂点を持つ基本的な多面体を表します。ピリオドは各タングルの表記を区切ります。

どのようなリンクでもこのような記述が可能で、非常に大きな交差数であっても、これが非常にコンパクトな表記法であることは明らかです。通常、さらにいくつかの省略形が使用されます。最後の例は通常 8*3:2 0 と記述されますが、1 は省略され、末尾のドットを除くドットの数は保持されます。最初の例のような代数的結び目では、1* は省略されることがよくあります。

このテーマに関する Conway の先駆的な論文では、リンクを表にまとめるのに使用する頂点が 10 個までの基本多面体がリストされており、これがリンクの標準となっています。頂点数の多い多面体のさらなるリストについては、非標準の選択肢があります。

ガウス コードは、ダウカー-シスルスウェイト表記法に似ており、整数のシーケンスで結び目を表します。ただし、すべての交差が 2 つの異なる数値で表されるのではなく、交差には 1 つの数値のみがラベル付けされます。交差がオーバークロッシングの場合は、正の数値がリストされます。アンダークロッシングの場合は、負の数値がリストされます。たとえば、ガウス コードのトレフォイル ノットは、1、−2、3、−1、2、−3 のように表すことができます。

ガウス コードは結び目を識別する能力に限界があります。この問題は拡張ガウス コードによって部分的に解決されます。

• 結び目理論のトピックのリスト
• 分子の結び目
• 回路トポロジー
• 量子トポロジー
• リボン理論
• 接触幾何学#レジェンドリア部分多様体と結び目
• 結び目とグラフ
• ネクタイ § 結び目
• ランプコードトリック

• アダムス、コリン（2004）「結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門」アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3678-1
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結び目理論の入門書は数多くあります。大学院生や上級学部生向けの古典的な入門書は (Rolfsen 1976) です。参考文献にある他の優れたテキストは (Adams 2004) と (Lickorish 1997) です。Adams はくだけた内容で、高校生でもほとんど理解できます。Lickorish は大学院生向けの厳密な入門書で、古典と現代のトピックをうまく組み合わせて扱っています。(Cromwell 2004) は点集合位相幾何学を知っている学部生に適しています。代数位相幾何学の知識は必要ありません。

• ブルデ、ゲルハルト。Zieschang、Heiner (1985)、Knots、De Gruyter Studies in Mathematics、vol. 5、ウォルター・デ・グルイター、ISBN 978-3-11-008675-1
• クロウェル、リチャード H.;フォックス、ラルフ(1977)。結び目理論入門。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-90272-2。
• カウフマン、ルイス H. (1987)、On Knots、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08435-0
• カウフマン、ルイス H. (2013)、結び目と物理学 (第 4 版)、ワールド サイエンティフィック、ISBN 978-981-4383-00-4
• クロムウェル、ピーター・R.（2004）、Knots and Links、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54831-1

• メナスコ、ウィリアム W.;シスルウェイト、モーウェン編 (2005)、結び目理論ハンドブック、エルゼビア、ISBN 978-0-444-51452-3
  • Menasco と Thistlethwaite のハンドブックは、上級学部生にも理解しやすく、専門の研究者にとっても興味深い方法で、現在の研究動向に関連するさまざまなトピックを調査しています。
• リヴィオ、マリオ (2009)、「第 8 章: 不合理な有効性?」、神は数学者か?、サイモン & シュスター、203 ～ 218 ページ、ISBN 978-0-7432-9405-8

ウィキメディア・コモンズには結び目理論に関連するメディアがあります。

無料辞書のウィクショナリーで結び目理論を調べてください。

• 「数学と結び目」これは、1989 年の王立協会「PopMath RoadShow」のために開発された展示会のオンライン版です。その目的は、結び目を使用して一般の人々に数学の方法を紹介することでした。

• トムソン、ウィリアム卿（1867）、「渦状原子について」、エディンバラ王立協会紀要、VI：94-105
• シリマン、ロバート H. (1963 年 12 月)、「ウィリアム・トムソン: 煙の輪と 19 世紀の原子論」、Isis、54 (4): 461–474、doi :10.1086/349764、JSTOR  228151、S2CID  144988108
• テイトの煙の輪実験を現代的に再現した動画
• 結び目理論の歴史 ( Andrew Ranickiのホームページ)

• KnotInfo: 結び目不変量と結び目理論リソースの表
• ノットアトラス — ノット表内の個々のノットの詳細情報
• KnotPlot — 結び目の幾何学的特性を調べるソフトウェア
• Knotscape — 結び目の画像を作成するソフトウェア
• Knoutilus — 結び目のオンラインデータベースと画像ジェネレーター
• KnotData.html —結び目を調査するためのWolfram Mathematica関数
• Regina — 結び目とリンクをネイティブにサポートする低次元トポロジー用ソフトウェア。最大 19 の交差を持つ素数結び目の表