正弦定理

正弦定理

図1、外接円

図2、外接円なし

正弦定理の成分がラベル付けされた2つの三角形。角度α、β、γはそれぞれ頂点A、B、Cに対応し、長さa、b、cの辺はこれらの頂点の反対側に位置します（例えば、辺aは角度αを持つ頂点Aの反対側に位置します）。

三角法において、正弦定理（正弦公式または正弦法則とも呼ばれる）は、任意の三角形の辺の長さと、その三角形の角の正弦を関連付ける数学的な方程式である。この法則によれば、 $${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,}$$ ここで、 a、b、cは三角形の辺の長さ、α、β、γは対角（図 2 を参照）、Rは三角形の外接円の半径です。 式の最後の部分が使用されない場合、法則は逆数を使用して表現されることがあります。 $$\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}$$ 正弦定理は、2つの角と1つの辺が分かっている場合に、三角形の残りの辺を計算するために使用できます。これは三角測量と呼ばれる手法です。また、2つの辺と囲まれていない角の1つが分かっている場合にも使用できます。このような場合、三角形はこれらのデータから一意に決定されない場合があり（曖昧な場合と呼ばれる）、この手法では囲まれた角に対して2つの可能な値が得られます。

正弦定理は、不等辺三角形の長さと角度を求めるためによく用いられる2つの三角関数方程式のうちの1つであり、もう1つは余弦定理である。

正弦法則は、曲率が一定の曲面上の高次元に一般化することができる。^{[ 1 ]}

長さaの辺を底辺とすると、三角形の高さはb sin γまたはc sin βとして計算できます。これら 2 つの式を等しいとおくと、 $${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,,}$$また、長さb の辺または長さcの辺を三角形の底辺として選択することによって、同様の方程式が得られます。これらの式が等しいことを証明するには、${\displaystyle 2R}$外接円との関係を参照してください。

正弦定理を用いて三角形の辺の長さを求める場合、与えられたデータから2つの異なる三角形を構成できる場合（つまり、三角形の解が2つ存在する場合）は、曖昧なケースとなります。下図のケースでは、それらは三角形ABCと三角形ABC′です。

一般的な三角形の場合、曖昧性が生じるためには、以下の条件を満たす必要がある。

• この三角形について分かっている情報は、角度αと辺aとcだけです。
• 角度αは鋭角である（つまり、α < 90°）。
• 辺aは辺cより短い（つまり、a < c）。
• 辺aは角度βからの垂線hより長い。ここでh = c sin αである（つまりa > h）。

上記の条件がすべて満たされる場合、角度βとβ′はそれぞれ有効な三角形を形成し、つまり以下の両方が成り立つことになります。 $${\displaystyle {\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{または}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.}$$

そこから、必要に応じて対応するβとb 、またはβ′とb′を見つけることができます。ここで、bは頂点AとCで囲まれた辺であり、b′はAとC′で囲まれた辺です。

以下は、正弦定理を用いて問題を解く方法の例です。

例１

与えられた条件：辺a = 20、辺c = 24、角度γ = 40°。求める角度αは、

正弦定理を用いると、次の結論が得られる。 $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.}$$$${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}$$

潜在的な解α = 147.61°は、必然的にα + β + γ > 180°となるため除外されることに注意してください。

例２

三角形の2辺の長さがaとbで、3辺目の長さがcで、長さa 、 b 、 cの辺の対角がそれぞれ α、β、γである場合、$${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}$$

アイデンティティにおいて $${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}$$ 3 つの分数の共通値は、実際には三角形の外接円の直径です。この結果はプトレマイオスにまで遡ります。^{[ 2 ] [ 3 ]}

証拠

図に示すように、内接する円があるとします。${\displaystyle \triangle ABC}$そしてもう一つは刻まれている${\displaystyle \triangle ADB}$円の中心Oを通る。${\displaystyle \angle AOD}$中心角は$180°$そしてこうして$\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}$タレスの定理により。${\displaystyle \triangle ABD}$直角三角形です。 $${\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{対辺}}{\text{斜辺}}}={\frac {c}{2R}},}$$ どこ${\textstyle R={\frac {d}{2}}}$は三角形の外接円の半径です。^{[ 3 ]}角度${\displaystyle {\gamma }}$そして${\displaystyle {\delta }}$同じ円上にあり、同じ弦cを張る。したがって、円周角の定理により、${\displaystyle {\ガンマ }={\デルタ }}$。したがって、 $${\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}$$

並べ替えると $${\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}$$

作成のプロセスを繰り返す${\displaystyle \triangle ADB}$他のポイントを加えると

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.}$

球面正弦法則は、球面上の三角形（辺が大円弧である三角形）を扱う。

球の半径を 1とします。三角形の辺となる大弧の長さをa、b、cとします。単位球であるため、 a、b、cは、これらの弧が球の中心でなす角度（ラジアン）です。A 、B、Cをそれぞれの辺の反対側の角度とします。これらは、3つの大円の平面間の二面角です。

すると球面正弦法則は次のように述べる。 $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

ベクタープルーフ

原点から三角形の頂点に向かって引かれた3つの単位ベクトルOA、OB、OCを持つ単位球面を考えます。したがって、角度α、β、γはそれぞれ角度a、b、cになります。弧BCは中心で大きさaの角度をなします。OAをz軸に、OBをxz平面上に置き、 z軸と角度cをなすデカルト座標系を導入します。ベクトルOCはxy平面上のONに投影され、 ONとx軸の間の角度はAです。したがって、3つのベクトルの成分は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}$$

スカラー三重積OA ⋅ ( OB × OC )は、球面三角形OA、OB、OCの頂点の位置ベクトルによって形成される平行六面体の体積です。この体積は、 OA、OB、OCを表すために使用される特定の座標系に依存しません。スカラー三重積OA ⋅ ( OB × OC )の値は、OA、OB、OCを行とする3 × 3行列式です。z軸がOAに沿っている場合、この行列式の二乗は次のようになります 。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}$$ この計算をz軸をOBに沿って繰り返すと(sin c sin a sin B ) ^2となり、z軸をOCに沿って繰り返すと( sin a sin b sin C ) 2と^なる。これらの式を等式で結び、全体を(sin a sin b sin c ) ²で割ると、 $${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}$$ ここで、Vは球面三角形の頂点の位置ベクトルによって形成される平行六面体の体積である。したがって、次の結果が得られる。

小さな球面三角形の場合、球の半径が三角形の辺よりもはるかに大きい場合、この式は極限で平面の式になることが容易にわかります。 $${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}$$sin bとsin c についても同様です。

双曲幾何学において曲率が-1の場合、 正弦定理は次のようになる。$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}$$

Bが直角である 特殊な場合、次のようになる。$${\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}$$

これは、ユークリッド幾何学において、角度の正弦を対辺を斜辺で割った値として表す公式に相当するものです。

実数パラメータにも依存する一般化正弦関数を定義する${\displaystyle \kappa }$: $${\displaystyle \sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}.}$$

定曲率における正弦法則${\displaystyle \kappa }$^{[ 1 ]}と読みます$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.}$$

置換により${\displaystyle \kappa =0}$、${\displaystyle \kappa =1}$、 そして${\displaystyle \kappa =-1}$それぞれ、${\displaystyle \sin _{0}(x)=x}$、${\displaystyle \sin _{1}(x)=\sin x}$、 そして${\displaystyle \sin _{-1}(x)=\sinh x}$すなわち、上述の正弦定理のユークリッド、球面、双曲の場合である。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle p_{\kappa }(r)}$半径の円の円周を示す${\displaystyle r}$一定曲率の空間において${\displaystyle \kappa }$。 それから${\displaystyle p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)}$したがって、正弦定理は次のように表すこともできます。 $${\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin B}{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin C}{p_{\kappa }(c)}}\,.}$$

この公式はJános Bolyaiによって発見されました。^{[ 7 ]}

正四面体には 4 つの三角形の面があります。正四面体の頂点を共有する 3 つの面の法線ベクトルの極正弦( psin )の絶対値を4 番目の面の面積で割った値は、頂点の選択に依存しません。^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}$$

より一般的に、n次元ユークリッド空間におけるn次元単体(すなわち、三角形( n = 2 )、正四面体( n = 3 )、五面体( n = 4 ) など)の場合、頂点で交わる面の法線ベクトルの極正弦の絶対値を、その頂点の反対側の面の超面積で割った値は、頂点の選択に依存しない。n 次元単体の超体積を V、その (n − 1) 次元面の超面積の積を P とすると、公比は次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}$$

選択された頂点から他の各頂点へのベクトルv ₁、 ...、v _nが行列Vの列である場合、行列の列は${\displaystyle N=-V(V^{T}V)^{-1}{\sqrt {\det {V^{T}V}}}/(n-1)!}$これらは、選択された頂点で交わるファセットの外向き法線ベクトルです。この式は、ベクトルがm > nのm次元空間にある場合にも有効です。m = n でVが正方形の場合、式は次のように簡略化されます。${\displaystyle N=-(V^{T})^{-1}|\det {V}|/(n-1)!\,.}$

正弦定理に相当する、三角形の辺は対角の2倍の弦に比例するという法則は、2世紀のヘレニズム天文学者プトレマイオスに知られており、彼の『アルマゲスト』の中で時折用いられていた。^{[ 9 ]}

正弦定理に関する記述は、7世紀のインドの数学者ブラフマグプタの天文学および三角法に関する著作に見られる。ブラフマグプタは『ブラフマスプタシッダーンタ』の中で、三角形の外接円の半径を2辺の積を高さの2倍で割ったものとして表している。正弦定理は、高さを底角の正弦と対辺の積として交互に表し、得られた2つの式を等しくすることによって導き出すことができる。^{[ 10 ]}現代の正弦定理にさらに近い方程式は、ブラフマグプタの『カンダカーディヤカ』に、周転円をたどる惑星と地球間の距離を求める方法として登場する。しかし、ブラフマグプタは正弦定理を独立した主題として扱ったり、三角形を解くために体系的に使用したりすることはなかった。^{[ 11 ]}

球面正弦法則は、10 世紀の学者アブー・マフムード・フジャンディまたはアブー・アル＝ワファー（彼の『アルマゲスト』に登​​場する）に帰せられることもあるが、アブー・ナスル・マンスールの『球面弧の決定に関する論文』で重要視されており、彼の弟子であるアル＝ビールーニーが『天文学の鍵』の中でアブー・ナスル・マンスールに帰せている。^{[ 12 ]} 11 世紀のイブン・ムアーズ・アル＝ジャイヤーニーの『球面の未知の弧の書』にも球面正弦法則が含まれている。^{[ 13 ]}

13世紀のペルシャの数学者ナシール・アルディン・アルトゥーシーは、平面正弦法則を述べ、証明した。^{[ 14 ]}

平面三角形では、辺の比は、その辺に対向する角の正弦の比に等しくなります。つまり、三角形ABCでは、AB  : AC = Sin(∠ACB)  : Sin(∠ABC)となります。

アル・トゥースィーは正弦定理を用いることで、2つの角と1辺が既知であるか、2辺とそのうちの1辺の対角が与えられている三角形を解くことができた。2辺と挟角が与えられている三角形については、直角三角形に分割して解くことができた。3辺が与えられている場合は、垂線を下ろし、ユークリッド原論の命題II-13（余弦定理の幾何学的バージョン）を使用した。アル・トゥースィーは、2つの弧の和または差とそれらの正弦の比が与えられれば、弧を計算できるという重要な結果を確立した。^{[ 15 ]}

グレン・ヴァン・ブルンメレンによれば、「正弦定理は、レギオモンタヌスが第4巻で直角三角形の解法を確立した基礎であり、これらの解法は、一般の三角形の解法の基礎となっている。」^{[ 16 ]}レギオモンタヌスは15世紀のドイツの数学者であった。

• ゲルソニデス– 中世ユダヤ人哲学者 
• 半辺公式–球面三角形を解くための公式 
• 余弦定理
• 接線の法則
• 余接の法則
• モルワイデの公式―三角形の解を検証するための公式 
• 三角形の解法
• 測量

• 「正弦定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• cut-the-knotの正弦定理
• 曲率の​​度合い
• 1度の正弦を求める
• 高次元への一般化された正弦法則