エルゴード理論

エルゴード理論は、決定論的力学系の統計的性質を研究する数学の一分野であり、エルゴード性の研究です。この文脈における「統計的性質」とは、力学系の軌跡に沿った様々な関数の時間平均の挙動によって表現される性質を指します。決定論的力学系の概念は、力学を決定する方程式にランダムな摂動やノイズなどが含まれていないことを前提としています。したがって、ここで扱う統計は力学系の性質です。

エルゴード理論は、確率論と同様に、測度論の一般的な概念に基づいている。その初期の発展は、統計物理学の問題に触発されたものであった。

エルゴード理論の中心的な関心事は、力学系を長時間実行させた場合の挙動である。この方向における最初の成果はポアンカレ再帰定理であり、位相空間の任意の部分集合内のほぼすべての点が最終的​​にその集合に再び現れると主張する。ポアンカレ再帰定理が成り立つシステムは保存系であり、したがってすべてのエルゴード系は保存系である。

より正確な情報は、特定の条件下では、軌道に沿った関数の時間平均がほぼあらゆる場所で存在し、空間平均と関連していると主張する様々なエルゴード定理によって提供される。最も重要な定理のうちの2つは、各軌道に沿った時間平均の存在を主張するビルコフ（1931）とフォン・ノイマンの定理である。エルゴード系の特殊なクラスでは、この時間平均はほぼすべての初期点で同じである。統計的に言えば、長時間進化するシステムは初期状態を「忘れる」。混合性や等分布性といったより強い性質も、広範囲に研究されている。

システムの計量分類の問題は、抽象エルゴード理論のもう一つの重要な部分である。エルゴード理論とその確率過程への応用において、力学系における様々なエントロピーの概念は傑出した役割を果たしている。

エルゴード性とエルゴード仮説の概念は、エルゴード理論の応用において中心的な役割を果たします。その根底にある考え方は、特定のシステムにおいては、その性質の時間平均が空間全体の平均に等しいというものです。エルゴード理論を数学の他の分野に応用する場合、通常は特殊な種類のシステムのエルゴード性を確立する必要があります。幾何学においては、エルゴード理論の手法は、負の曲率を持つリーマン面に関するエーベルハルト・ホップの結果に始まり、リーマン多様体上の測地線流の研究に用いられてきました。マルコフ連鎖は、確率論における応用の一般的な文脈を形成します。エルゴード理論は、調和解析、リー理論（表現論、代数群における束）、数論（ディオファントス近似理論、L関数）と実りある関係を持っています。

エルゴード理論は、しばしばエルゴード変換に関係します。与えられた集合に作用するこのような変換の背後にある直感は、その集合の要素を徹底的に「かき混ぜる」というものです。例えば、集合がボウルに入った温かいオートミールだとします。そこにスプーン一杯のシロップを落とした場合、オートミールのエルゴード変換の逆変換を繰り返しても、シロップはオートミールの特定の領域に留まることなく、全体に均等に分散されます。同時に、これらの繰り返し操作はオートミールのどの部分も圧縮したり膨張させたりすることはありません。つまり、密度という尺度は維持されます。

正式な定義は以下のとおりです。

T  : X → X を測度空間( X , Σ , μ )上の測度保存変換とし、μ ( X ) = 1 とする。このとき、 Tは、μ ( T ⁻¹ ( E ) Δ E ) = 0 (つまり、Eは不変)を満たすΣのすべてのEに対して、 μ ( E ) = 0またはμ ( E ) = 1のいずれかである場合にエルゴード的である。

ここで演算子 Δ は集合の対称差であり、集合のメンバーシップに関する排他的論理和演算に相当します。対称差の測度がゼロであるという条件は、本質的に不変であると呼ばれます。

• 円R / Zの無理数回転T : x → x + θ (θ は無理数)はエルゴード的である。この変換は、一意エルゴード性、最小性、等分布性というさらに強い性質を持つ。対照的に、θ = p / qが有理数 (最小項) である場合、 Tは周期qの周期的であり、したがってエルゴード的ではない。長さaの任意の区間I (0 < a < 1/ q)に対して、 Tによるその軌道(つまり、I、T ( I )、...、T ^{q −1} ( I の和集合であり、これはTの任意の回数の適用によるIの像を含む) は、長さaのq個の区間の和集合であるT不変 mod 0 集合であり、したがってその測度qaは厳密に 0 から1 の間にある。 
• G をコンパクトアーベル群、μ を正規化されたハール測度、T を G の群自己同型とする。G *をGの連続指標からなるポントリャーギン双対群とし、 T *をG *の対応する随伴自己同型とする。自己同型Tがエルゴード的であるのは、等式 ( T *) ⁿ ( χ ) = χがn = 0 またはχがGの自明な指標の場合にのみ可能である場合である。特に、Gがn次元トーラスであり、自己同型Tがユニモジュラー行列Aで表される場合、Tがエルゴード的であるのは、 Aの固有値が 1の根でない場合である。    
• ベルヌーイシフトはエルゴード的である。より一般的には、独立同分布の確率変数の列や、より一般的な定常過程に関連するシフト変換のエルゴード性は、コルモゴロフのゼロイチ法則から導かれる。
• 連続力学系のエルゴード性とは、その軌道が位相空間の周りを「広がる」ことを意味する。第一積分が一定でないコンパクトな位相空間を持つシステムはエルゴード的ではない。これは特に、第一積分Iがハミルトン関数Hと機能的に独立しており、エネルギーが一定のコンパクトなレベルセットX = {( p , q ): H ( p , q ) = E} を持つハミルトン系に当てはまる。リウヴィルの定理はX上に有限の不変測度が存在することを示唆しているが、システムのダイナミクスはX上のIのレベルセットに制約されるため、システムは正ではあるが完全測度より小さい不変セットを持つ。連続力学系のエルゴード性と反対の性質は完全積分可能性である。

T : X → X を測度空間( X , Σ, μ )上の測度保存変換とし、fをμ可積分関数、すなわちf ∈ L ¹ ( μ ) とします。このとき、以下の平均を定義します。

時間平均:これは、ある初期点xから始まるTの反復における平均 (存在する場合) として定義されます。 $${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).}$$

空間平均: μ ( X )が有限かつゼロでない場合、 ƒの 空間平均または位相平均を考えることができます。$$\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ (確率空間の場合、 }}\mu (X)=1 です。)}$$

一般に、時間平均と空間平均は異なる場合がある。しかし、変換がエルゴード的であり、測度が不変であれば、時間平均はほとんど至るところで空間平均と等しくなる。これが有名なエルゴード定理であり、抽象的な形ではジョージ・デイヴィッド・バーコフによって提唱された。（実際には、バーコフの論文は抽象的な一般の場合ではなく、滑らかな多様体上の微分方程式から生じる力学系の場合のみを扱っている。）等分布定理はエルゴード定理の特殊な場合であり、特に単位区間上の確率分布を扱っている。

より正確には、点ごとのエルゴード定理または強エルゴード定理は、 fの時間平均の定義における極限がほとんどすべてのxに対して存在し、(ほとんど至るところで定義される) 極限関数が${\displaystyle {\hat {f}}}$積分可能である：

$$\displaystyle {\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,}$$

さらに、${\displaystyle {\hat {f}}}$T不変である、つまり

$${\displaystyle {\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,}$$

ほぼあらゆる場所で成り立ち、μ ( X )が有限であれば、正規化は同じである。

$${\displaystyle \int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

特に、Tがエルゴード的である場合、${\displaystyle {\hat {f}}}$は定数でなければならない（ほとんどどこでも）、したがって、

$${\displaystyle {\bar {f}}={\hat {f}}\,}$$

ほぼあらゆる場所で。最初の主張と最後の主張を結び付け、μ ( X )が有限かつ非ゼロであると仮定すると、次のようになる。

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu }$$

ほとんどすべてのxに対して、つまり、測度がゼロの集合を除くすべてのxに対して。

エルゴード変換の場合、時間平均は空間平均とほぼ確実に等しくなる。

例として、測度空間 ( X , Σ, μ ) が上記のように気体の粒子をモデル化していると仮定し、f ( x )を位置xにおける粒子の速度とします。すると、点ごとのエルゴード定理によれば、ある特定の時刻におけるすべての粒子の平均速度は、ある粒子の時間平均速度に等しくなります。

バーコフの定理の一般化として、キングマンの劣加法エルゴード定理がある。

ビルコフ・ヒンチン定理。ƒ を可測値とし、E (|ƒ|) < ∞、Tを測度保存写像とする。このとき、確率 1 で次のことが成り立つ。

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),}$$

どこ${\displaystyle E(f|{\mathcal {C}})}$σ代数が与えられた場合の条件付き期待値$\displaystyle {\mathcal {C}}}$Tの不変集合の。

系（点ごとのエルゴード定理）：特に、Tもエルゴード的である場合、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$これは自明なσ代数であり、したがって確率1で次のようになる。

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).}$$

フォン・ノイマンの平均エルゴード定理は、ヒルベルト空間で成り立つ。^{[ 1 ]}

U をヒルベルト空間H上のユニタリ作用素とする。より一般的には、等長線形作用素（つまり、必ずしも全射ではない線形作用素で、Hのすべてのxに対して ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖を満たすもの、または同等に、U * U = I を満たすが、必ずしもUU * = I を満たすものではないもの）とする。Pを{ ψ ∈ H | Uψ = ψ} = ker( I − U ) への直交射影とする。          

すると、Hの任意のxに対して、次の式が成り立つ。

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,}$$

ここで極限はH上のノルムに関するものである。言い換えれば、平均の列は

$$\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$$

強作用素位相においてPに収束する。

実際、この場合、${\displaystyle x\in H}$直交分解を許容する${\displaystyle \ker(IU)}$そして${\displaystyle {\overline {\operatorname {ran} (IU)}}}$それぞれ。前者はすべての部分和において不変である。${\displaystyle N}$成長する一方、後半部分については、伸縮系列から次のようになる。

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(IU)=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\left(IU^{N}\right)=0}$$

この定理は、ヒルベルト空間Hが測度空間上のL ²個の関数からなり、 U が次の形式の演算子である場合に特化している。

$${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)\,}$$

ここで、TはXの測度保存自己準同型写像であり、応用上は離散力学系の時間ステップを表すものと考えられています。^{[ 2 ]} エルゴード定理は、関数 ƒ の十分大きな時間スケールにわたる平均的な挙動は、時間不変である ƒ の直交成分によって近似されると主張します。

平均エルゴード定理の別の形式では、U _{t を}H上のユニタリ作用素の強連続な1 パラメータ群とする。このとき、作用素は

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}U_{t}\,dt}$$

T → ∞のとき、強作用素位相において収束する。実際、この結果は、反射空間上の強連続な一パラメータ縮小作用素半群の場合にも拡張される。

注記：平均エルゴード定理の直感は、単位長の複素数を複素平面上のユニタリ変換（左乗法による）とみなす場合を考えることで理解できます。単位長の複素数を 1 つ選び（これをUとします）、そのべき乗が円を埋め尽くすことは直感的に理解できます。円は 0 を中心として対称であるため、 Uのべき乗の平均が 0 に収束するのは当然です。また、0 はUの唯一の不動点であるため、不動点の空間への射影はゼロ演算子でなければなりません（これは、先ほど説明した極限と一致します）。

（X、 Σ、μ）を、測度保存変換Tを持つ確率空間とし、1 ≤ p ≤ ∞ とする。T不変集合の部分 σ 代数 Σ _Tに関する条件付き期待値は、バナッハ空間L ^p ( X、 Σ、μ ) からその閉部分空間 L p ( X 、 Σ T 、 μ ) への^ノルム1の線形_射影E Tで_ある。後者は、 X上のすべてのT不変L ^p関数の空間としても特徴付けられる。エルゴード平均は、L ^p ( X、 Σ、μ ) 上の線形作用素として、作用素ノルムも単位であり、ビルコフ-ヒンチン定理の単純な結果として、 1 ≤ p ≤ ∞ の場合はL ^pの強作用素位相で、p = ∞の場合は弱作用素位相で射影E _Tに収束する。さらに、1 < p ≤ ∞ の場合、ウィーナー・吉田・角谷エルゴード的支配収束定理によれば、f ∈ L ^pのエルゴード平均はL ^pで支配されます。ただし、f ∈ L ^{1の場合、エルゴード平均は}L ^pで等支配されない可能性があります。最後に、fが Zygmund クラスに属すると仮定すると、つまり | f | log ⁺ (| f |) が積分可能であれば、エルゴード平均はL ¹で支配されます。

( X , Σ, μ ) を、 μ ( X ) が有限かつ非ゼロであるような測度空間とする。可測集合Aで過ごす時間を滞在時間と呼ぶ。エルゴード定理の直接的な帰結として、エルゴード系では、 Aの相対測度は平均滞在時間に等しい。

$$\displaystyle {\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)}$$

測度ゼロの集合を除くすべてのxに対して、χ _AはAの指示関数である。

可測集合Aの出現回数は、 T ^k ( x ) がAに含まれるような時刻kの集合k ₁ , k ₂ , k ₃ , ...を昇順に並べたものとして定義されます。連続する出現回数R _i = k _i − k _{i − 1の差は、} Aの再帰回数と呼ばれます。エルゴード定理のもう 1 つの帰結は、初期点xがAに含まれると仮定すると、Aの平均再帰回数はAの測度に反比例し、 k ₀ = 0となることです。

$$\displaystyle {\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\to {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(ほぼ確実に)}}}$$

（ほぼ確実に参照。）つまり、Aが小さいほど、Aに戻るのに時間がかかる。

可変負曲率のコンパクトリーマン面および任意の次元の一定負曲率のコンパクト多様体上の測地線流のエルゴード性は、1939 年にエーベルハルト・ホップによって証明されたが、それ以前にも特殊なケースが研究されていた。例えば、アダマールのビリヤード(1898 年) およびアルティンのビリヤード(1924 年) を参照。リーマン面上の測地線流とSL(2, R )上の 1 パラメータ部分群との関係は、 1952 年にSV フォミンとIM ゲルファントによって記述された。アノソフ流に関する記事は、 SL(2, R ) および負曲率のリーマン面上のエルゴード流の例を示している。そこで記述された展開の多くは、双曲多様体に一般化できる。なぜなら、双曲多様体は、半単純リー群SO(n,1)の格子の作用による双曲空間の商と見なすことができるからである。リーマン対称空間上の測地線流のエルゴード性は、1957 年にFI Mautnerによって実証されました。1967 年にDV AnosovとYa. G. Sinai は、可変負断面曲率のコンパクト多様体上の測地線流のエルゴード性を証明しました。半単純リー群の同次空間上の同次流のエルゴード性に関する簡単な判定基準は、 1966 年にCalvin C. Mooreによって与えられました。この研究分野の定理や結果の多くは、剛性理論の典型です。

1930年代にGA Hedlundは、コンパクトな双曲面上のホロサイクルフローが最小かつエルゴード的であることを証明した。フローの一意的なエルゴード性は、1972年にHillel Furstenbergによって確立された。Ratnerの定理は、Gがリー群であり、ΓがG内の格子であるΓ  \ Gの形の同次空間上のユニポテントフローのエルゴード性の主要な一般化を提供する。  

過去20年間、ファーステンベルクとマルグリスの予想に触発され、ラトナーの定理に似た、対角化可能な作用に対する測度分類定理を見つけようとする研究が数多く行われてきた。重要な部分的結果（正のエントロピーという追加の仮定の下でこれらの予想を解決するもの）はイーロン・リンデンシュトラウスによって証明され、彼はこの結果により2010年にフィールズ賞を受賞した。

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• この記事は、 PlanetMathのエルゴード定理の資料を組み込んでおり、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。
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• カール・ペーターゼン。『エルゴード理論』（ケンブリッジ高等数学研究シリーズ）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。1990年。
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• AN Shiryaev、確率、第 2 版、Springer 1996、Sec. V.3. ISBN 0-387-94549-0。
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• Andrzej Lasota、Michael C. Mackey、 『カオス、フラクタル、ノイズ：力学の確率的側面』第2版、Springer、1994年。
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• ジェーン・ホーキンス著、『エルゴード力学：基礎理論から応用まで』、シュプリンガー、2021年。ISBN 978-3-030-59242-4

• エルゴード理論（2015年6月16日）コスマ・ロヒラ・シャリジによるノート
• エルゴード定理はテストに合格した（Physics Worldより）